Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 3
W3-1
Interpolacja
funkcja przybliżana
)
x
(
f
,
siatka węzłów
)
x
(
f
f
,
n
,...,
i
,
x
i
i
i
=
= 0
Dla dowolnych, różnych n+1 punktów węzłowych istnieje
dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia, co
najwyżej n taki, że
i
i
f
)
x
(
P
=
dla i=0,1,...,n
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
∏
∑
≠
=
=
−
−
=
n
i
k
k
k
i
k
n
i
i
x
x
x
x
f
)
x
(
P
0
0
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 3
W3-2
Współczynniki wielomianu interpolacyjnego
0
1
1
1
c
x
c
x
c
x
c
)
x
(
P
n
n
n
n
+
+
+
+
=
−
−
można obliczyć z:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
f
f
f
f
c
c
c
c
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
macierz
Vandermonde’a
,
jest nieosobliwa jeśli węzły x
i
są różne, ale źle uwarunkowana (trudno ją
odwrócić)
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 3
W3-3
Jeśli wielomian P(x) ma współczynniki
0
1
1
c
c
,
c
,
c
,
n
n
−
to możemy obliczyć jego
wartości
)
x
(
P
),
x
(
P
),
x
(
P
m
1
0
w punktach
m
x
,
x
,
x
1
0
:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
c
c
c
c
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
x
(
P
)
x
(
P
)
x
(
P
)
x
(
P
n
n
m
n
m
n
m
m
n
m
n
m
n
n
n
n
m
m
Schemat Hornera:
n=3
0
1
2
2
3
3
c
x
c
x
c
x
c
)
x
(
P
+
+
+
=
=
(
)
0
1
2
2
3
c
x
c
x
c
x
c
+
+
+
=
(
)
(
)
0
1
2
3
c
x
c
x
c
x
c
+
+
+
więc:
c
2
c
1
c
0
c
3
= a
3
a
3
x
a
2
x
a
1
x
a
2
=c
2
+a
3
x
a
1
=c
1
+a
2
x
P(x)=c
0
+a
1
x
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 3
W3-4
Interpolacja przez rodzinę trójkątną
)
x
x
(
)
x
x
)(
x
x
(
)
x
(
)
x
x
)(
x
x
(
)
x
(
)
x
x
(
)
x
(
)
x
(
n
n
1
1
0
1
0
2
0
1
0
1
−
−
−
−
=
−
−
=
−
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
,
0
1
1
1
1
c
)
x
(
c
)
x
(
c
)
x
(
c
)
x
(
P
n
n
n
n
+
+
+
+
=
−
−
ϕ
ϕ
ϕ
0
0
0
0
0
f
c
c
)
x
(
P
f
=
⇒
=
=
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
x
x
c
f
c
c
)
x
x
(
c
)
x
(
P
f
−
−
=
⇒
+
−
=
=
=
⇒
+
−
+
−
−
=
=
2
0
0
2
1
1
2
0
2
2
2
2
c
c
)
x
x
(
c
)
x
x
)(
x
x
(
c
)
x
(
P
f
…………..
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 3
W3-5
Rekurencyjne tworzenie wielomianów interpolacyjnych
Niech
)
(
,...,
1
,
0
x
k
i
i
i
P
będzie wielomianem stopnia nie
większego od k, spełniającym równania węzłów
k
i
,...,
i
,
i
1
0
:
k
j
j
i
f
j
i
x
k
i
i
i
P
,...,
0
)
(
,...,
1
,
0
=
=
Wtedy zachodzi wzór rekurencyjny
n
i
i
f
x
i
P
,...,
0
)
(
=
=
0
)
(
1
,...,
1
,
0
)
0
(
)
(
,...,
2
,
1
)
0
(
)
(
,...,
1
,
0
i
x
k
i
x
x
k
i
i
i
P
k
i
x
x
x
k
i
i
i
P
i
x
x
x
k
i
i
i
P
−
−
−
−
−
=
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 3
W3-6
Metoda
Aitken’a
0
x
0
0
f
)
x
(
P
=
1
x
1
1
f
)
x
(
P
=
)
x
(
P
,1
0
2
x
2
2
f
)
x
(
P
=
)
x
(
P
,2
0
)
x
(
P
,
, 2
1
0
3
x
3
3
f
)
x
(
P
=
)
x
(
P
,3
0
)
x
(
P
,
, 3
1
0
)
x
(
P
,
,
,
3
2
1
0
4
x
4
4
f
)
x
(
P
=
)
x
(
P
,4
0
)
x
(
P
,
, 4
1
0
)
x
(
P
,
,
,
4
2
1
0
)
x
(
P
,
,
,
,
4
3
2
1
0
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 3
W3-7
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
P
y
x
x
x
m
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
P
y
x
x
x
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
P
y
x
x
x
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
P
x
P
y
x
x
x
x
P
y
x
x
x
x
P
x
P
x
P
x
P
x
P
y
x
x
x
i
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
=
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
=
−
−
−
−
=
−
−
−
=
=
−
−
−
−
=
=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
1
,
2
,
,
1
,
0
1
,
,
1
,
0
1
,
,
1
,
0
2
,
1
,
0
2
,
1
,
0
2
,
2
,
1
,
0
1
,
0
1
,
0
1
,
1
,
0
0
0
0
,
0
3
2
3
,
1
,
0
3
2
,
1
,
0
2
3
,
2
,
1
,
0
3
1
3
,
0
3
1
,
0
1
3
,
1
,
0
3
0
3
3
0
0
3
,
0
3
3
3
3
2
1
2
,
0
2
1
,
0
1
2
,
1
,
0
2
0
2
2
0
0
2
,
0
2
2
2
2
1
0
1
1
0
0
1
,
0
1
1
1
1
0
0
0
0
,
,
1
,
0
,
2
,
1
,
0
,
1
,
0
,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
…
…
…
…
…
…
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 3
W3-8
Reszta wzoru interpolacyjnego:
Jeżeli funkcja
)
(
f
⋅
ma ciągłe pochodne do rzędu n+1 a
)
(
P
⋅
jest wielomianem interpolacyjnym stopnia n, to
)
x
x
(
)
(
f
)!
n
(
)
x
(
P
)
x
(
f
n
i
i
)
n
(
∏
=
+
−
+
=
−
0
1
1
1
ξ
gdzie
ξ
jest pewnym punktem z najmniejszego przedziału
domkniętego zawierającego
n
x
,...,
x
,
x
0
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne w Inżynierii wykład 3
W3-9
Przykład:
2
5
1
1
)
x
(
)
x
(
y
+
=
węzły równoodległe w [-1,1]
węzły Czebyszewa w [-1,1]
w=[];x=[];y=[];apr=[];
xx=-1:.01:1;yy=1./(1+(5*xx).^2);
for n=4:16
h=2/n;
for i=1:n+1
x(n,i)=-1+(i-1)*h;
end
y(n,1:n+1)=1./(1+(5*x(n,1:n+1)).^2);
w=polyfit(x(n,1:n+1),y(n,1:n+1),n);
apr(n,:)=polyval(w,xx);
end
w=[];x=[];y=[];apr=[];
xx=-1:.01:1;yy=1./(1+(5*xx).^2);
for n=4:16
for i=1:n+1
x(n,1:n+1)=-seqcheb(n+1,2);
end
y(n,1:n+1)=1./(1+(5*x(n,1:n+1)).^2);
w=polyfit(x(n,1:n+1),y(n,1:n+1),n);
apr(n,:)=polyval(w,xx);
end
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
W3-10
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n=5,6,7
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
W3-11
-1
-0.5
0
0.5
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
n=8,9,10,11,12
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
W3-12
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n=5,6,7
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 3
W3-13
-1
-0.5
0
0.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
n=8,9,10,11,12
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Metody numeryczne w3
metody numeryczne w3 (2)
metody numeryczne w3
Metody numeryczne w3
Metody numeryczne w6
metoda siecznych, Elektrotechnika, SEM3, Metody numeryczne, egzamin metody numeryczn
MN energetyka zadania od wykładowcy 09-05-14, STARE, Metody Numeryczne, Część wykładowa Sem IV
METODA BAIRSTOWA, Politechnika, Lab. Metody numeryczne
testMNłatwy0708, WI ZUT studia, Metody numeryczne, Metody Numeryczne - Ćwiczenia
Metody numeryczne Metoda węzłowa
Metody numeryczne, wstep
metody numeryczne w4
Metody numeryczne PDF, MN macierze 01 1
Metody numeryczne w11
metody numeryczne i w9
więcej podobnych podstron