v.2009

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

21

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy

Wyznaczanie przemieszczeń

w układach statycznie wyznaczalnych (ciąg dalszy)

Zad. 2.1

Dana jest belka z jednej strony podparta z jednej strony na podporze sprężystej przedstawiona na rysunku
2.1.1. Obliczyć przemieszczenie

δ

na środku przęsła. Znana jest sztywność na zginanie EI=1 000[kNm

2

]

Rys. 2.1.1.

T

E

O

R

I

A

Przemieszczenie

δ

obliczymy ze wzoru wynikającego z zasady prac wirtualnych:

B

B

l

M M

ds

R

EI

δ

δ

⋅

=

+

⋅

∫

;

gdzie:

B

δ

- przemieszczenie podpory sprężystej wywołane obciążeniem

zewnętrznym

B

S

B

R

δ

δ

=

⋅

,

1

S

s

k

δ

=

-

podatność sprężyny (odwrotność sztywności,

S

k - siła, jaka powstaje w

sprężynie po wydłużeniu/ skróceniu jej o wielkość

[ ]

1 m

δ

=

),

B

R

- reakcja w podporze sprężystej wywołana jednostkowym obciążeniem na miejscu

i kierunku szukanego przemieszczenia.

1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających

M

.

Rys. 2.1.2.

v.2009

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

22

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy

Przemieszczenie podpory sprężystej od obciążenia zewnętrznego:

1

1

10

0,1

100

B

s

B

B

s

R

R

k

δ

δ

= ⋅

=

⋅

=

⋅ =

[m]

2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia;
wyznaczenie wykresu momentów zginających

M .

Rys. 2.1.3.

Reakcja podpory sprężystej od jednostkowego obciążenia wirtualnego:

1

[ ]

2

B

R

=

−

Obliczenie przemieszczenia w układzie z podporą sprężystą:
- wpływ zginania belki:

1

1

1

2

8

2

2 20

1

2, 667[

]

1000

2

3

300

l

M M

ds

cm

EI

δ

⋅

=

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

=

∫

- wpływ przemieszczenia podpory sprężystej:

2

1

0,1

0, 05

2

B

B

R

m

δ

δ

=

⋅

=

⋅ =

Przemieszczenie sumaryczne:

1

2

7, 667[

]

cm

δ δ δ

= +

=

v.2009

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

23

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy

Zad. 2.2

Dany jest układ ramowy podparty na podporach sprężystych przedstawiony na rysunku 2.2.1. Obliczyć
przemieszczenie

δ

. Znana jest sztywność na zginanie EI=2 000[kNm

2

]

Rys. 2.2.1.

T

E

O

R

I

A

Przemieszczenie

δ

obliczymy ze wzoru wynikającego z zasady prac wirtualnych

dla układów z podporami sprężystymi (patrz zadanie poprzednie). Człon opisujący
przemieszczenie podpory sprężystej ma charakter uogólniony.

B

B

l

M M

ds

R

EI

δ

δ

⋅

=

+

⋅

∫

1) Obciążenie zewnętrzne, wyznaczenie wykresu momentów zginających

M

.

Rys. 2.2.2.

v.2009

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

24

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy

2) Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia;
wyznaczenie wykresu momentów zginających

M .

Rys. 2.2.3.

Obliczenie przemieszczenia:
- wpływ zginania

( ) ( )

1

1

20 2

1

0, 02[ ]

2000

l

M M

ds

m

EI

δ

⋅

=

=

⋅ −

⋅ ⋅ − =

∫

;

- wpływ przemieszczenia podpór sprężystych

2

1

2

1

1

1

20 2

0, 05

800

A

A

A

A

R

R

M

M

m

k

k

δ

=

⋅

+

⋅

=

⋅ ⋅ =

.

Przemieszczenie sumaryczne

1

2

0, 07 m

δ δ δ

= +

=

.

Zad. 2.3

Dany jest układ ramowy trójprzegubowy przedstawiony na rysunku 2.3.1. Obliczyć kąt obrotu zastrzału
ramy w punkcie B. Przemieszczenie wywołane jest przyrostem temperatury

30

o

t

C

∆ =

(nierównomiernym ogrzaniem) w zaznaczonych elementach. Dodatkowe dane:

30

d

g

t

t

t

C

∆ = − =

5

1

10 [deg ]

t

α

−

−

=

0, 2

h

m

const

=

=

Rys. 2.3.1.

v.2009

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

25

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy

T

E

O

R

I

A

Szukany kąt obrotu oblicza się ze wzoru

t

B

l

t

M

ds

h

α

ϕ

⋅ ∆

=

∫

gdzie:

t

∆

- przyrost temperatury

t

α

- współczynnik

h

- wysokość przekroju

M

- moment zginający od jednostkowego obciążenia wirtualnego na odcinkach

poddanych obciążeniu

termicznemu

Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia;
wyznaczenie wykresu momentów zginających

M .

Rys. 2.3.2.

Obliczenie kąta obrotu

(

)

5

3

10

30 1

1

1 0, 3

4

0, 4

3 0, 3

5

4, 35 10

[

] 14 '57"

0, 2

2

2

2

t

B

l

t

M

ds

rad

h

α

ϕ

−

−

⋅∆

⋅

+





=

=

⋅ ⋅ −

+ ⋅ ⋅

+

⋅ =

⋅

=









∫

.

Zad. 2.4

Dany jest układ ramowy trójprzegubowy przedstawiony na rysunku 2.4.1. Obliczyć pionowe
przemieszczenie punktu C. Przemieszczenie wywołane jest równomiernym ogrzaniem wszystkich
elementów układu o wielkość

0

t względem temperatury montażu. Dane są wielkości

0

,

,

t

a

t

α

.

Rys. 2.4.1.

v.2009

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

26

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy

T

E

O

R

I

A

Przemieszczenie obliczymy ze wzoru wynikającego zasady prac wirtualnych przy
obciążeniu w postaci równomiernego ogrzania

t

l

N

tds

δ

α

=

⋅ ⋅ ∆

∫

gdzie:

t

∆

- przyrost temperatury

t

α

- współczynnik

N

- siły normalne od jednostkowego obciążenia wirtualnego na odcinkach poddanych

obciążeniu termicznemu

Obciążenie jednostkowe wirtualne w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia;
wyznaczenie wykresu momentów zginających

M .

Rys. 2.4.2.

Obliczenie przemieszczenia:

0

0

2

2

2

2

2

3

2

3

3

t

t

t

a

a

a

a

t

δ

α

α





= − ⋅

⋅

+ ⋅

+ ⋅

= − ⋅ ⋅













Zad. 4.5

Dana jest kratownica przedstawiony na rysunku 2.5.1. Obliczyć przemieszczenie

δ

wywołane

równomiernym ogrzaniem zewnętrznych prętów kratownicy o wielkość

0

20

o

t

C

=

względem

temperatury montażu.

Rys. 4.5.1.

v.2009

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

27

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy

T

E

O

R

I

A

Przemieszczenie wywołane równomiernym ogrzaniem obliczamy ze wzoru

0

t

l

N

t ds

δ

α

=

⋅ ⋅

∫

W przypadku kratownic wzór przedstawimy w postaci

0

1

i

i

t

n

S

t

l

i

i

i

δ

α

=

⋅ ⋅ ⋅

∑

=

gdzie:

n

- liczb prętów

0

,

,

i

i

t

i

t

l

α

- wielkości związane z danym prętem

i

S

- siła w danym pręcie od obciążenia wirtualnego

Siły w prętach wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:

Rys. 2.5.2

Obliczenie przemieszczenia

( )

5

4

0

1

2

2

1, 2 10

20 2

1

2 2

2 2

2 2

1, 6 10 [ ]

3

3

3

1

i

i

t

n

S

t

l

m

i

i

i

δ

α

−

−









=

⋅ ⋅ ⋅ =

⋅

⋅

⋅ − + ⋅ ⋅ −

+ ⋅ ⋅ +

⋅

=

⋅

∑

















=

.

Zad. 4.6

Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 2.6.1. Obliczyć zmianę kąta obrotu przekroju
poprzecznego (pręta) w przegubie (C) wywołaną zadanymi wymuszeniami kinematycznymi –
przemieszczeniami podpór.

Rys. 2.6.1

v.2009

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

28

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy

T

E

O

R

I

A

Zmianę kata obrotu

ϕ

∆

obliczymy ze wzoru wynikającego z zasady prac

wirtualnych w przypadku działania wymuszonych przemieszczeń podpór

1

-

n

i

i

i

R

ϕ

=

∆ =

∆ ⋅

∑

gdzie:

i

∆

- zadane przemieszczenie podpory

i

R

- jednostkowym obciążeniem wirtualnym

Zadane przemieszczenia podpór:

1

2

3

0, 05 [

]

0, 04 [ ]

0, 03 [ ]

A

B

B

rad

u

m

v

m

ϕ

∆ =

=

∆ =

= −

∆ =

= −

Reakcje podporowe wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym:

1

2

3

1,5[ ]

1

0, 25

0

A

B

B

R

M

R

H

m

R

V

=

=

−

 

=

=

 

 

=

=

Rys. 2.6.2.

Obliczenie zmiany kąta obrotu

ϕ

∆

(

)

3

1

1,5 0, 05 0, 25

0, 04

0, 065 [

]

3 43'

o

i

i

i

R

rad

ϕ

=

∆ = − ∆ ⋅ = −

⋅

+

⋅ −

= −

= −









∑

.

v.2009

Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek

29

Jeśli zauważysz błędy, masz uwagi, uważasz, że w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeżeniami pisząc na adres e-mail: [e-mail], z góry dziękujemy. Autorzy

Zad. 4.7

Dany jest układ ramowy trójprzegubowy
przedstawiony na rysunku 2.7.1.
Obliczyć przemieszczenie

δ

powstałe

w wyniku zaznaczonych błędów montażowych


Imperfekcje geometryczne:

1

2

0, 03 [ ]

l

m

−

∆ =

,

2

0, 01[

]

rad

ϕ

∆ =

Rys. 2.7.1.

T

E

O

R

I

A

Przemieszczenie

δ

obliczymy ze wzoru (zasada prac wirtualnych; przypadek

imperfekcji geometrycznych)

(

)

i

i

i

i

l N

M

δ

ϕ

=

∆ ⋅

+ ∆ ⋅

∑

gdzie:

,

i

i

l

ϕ

∆ ∆

- imperfekcje geometryczne (tu rozumiane jako błędy montażowe),

,

i

i

N M

- siły wewnętrzne w miejscu i na kierunku danej imperfekcji

geometrycznej

Stan jednostkowego obciążenia wirtualnego
i odpowiadające mu wielkości statyczne
(sprzężone z zadanymi imperfekcjami).




Obliczenie przemieszczenia

1 2

1 2

2

2

0, 03 0, 5 0, 01 ( 2)

0, 005 [ ]

l

N

M

m

δ

ϕ

−

−

= ∆

⋅

+ ∆ ⋅

=

=

⋅

+

⋅ − = −

Rys. 2.7.2.