Matematyka dyskretna

Część VIII

zadania warte są 1 punkt

Krzysztof Misztal

26-11-2012

Zadanie 1. Podaj cyfrę jedności: 7

9

, 2

2000

.

Zadanie 2. Wyznacz resztę z dzielenia
2010 · 2011 · 2012 + 2013

2

przez 7.

Zadanie 3.

Znajdź liczbę naturalną a taką, że

ϕ(a) = 3600 oraz a = 3

α

· 5

β

· 7

γ

(α, β, γ ∈ N).

Zadanie 4. Znajdź liczbe naturalną a jeśli, ϕ(a) =
40, a = p · q, gdzie p i q są różnymi liczbami pierw-
szymi oraz p − q = 6.

Zadanie 5. Proszę policzyć reszty z dzielenia

• 3

1000000

przez 76,

• 110

2·10

5

przez 273,

• 49

1500

przez 300,

• 3

1000000

przez 76,

• 15

96

przez 97,

• 67

72

przez 73.

Zadanie 6. Wyznacz:

• 4621x ≡ 4094 mod 10799,

• 3x + 2 ≡ 1 mod 5,

• 25x ≡ 12 mod 7,

• 3x ≡ 1 mod 6,

• 37x ≡ 23 mod 73.

Zadanie 7. Rozwiąż następujące układy kongruen-
cji

• x ≡ 3 mod 8, x ≡ 7 mod 12,

• x ≡ 3 mod 5, x ≡ 6 mod 8, x ≡ 2 mod 7,

• x ≡ 4 mod 27, x ≡ 16 mod 59,

• x ≡ 1 mod 3, x ≡ 5 mod 11, x ≡ 4 mod 25,

• x ≡ 3 mod 5, x ≡ 6 mod 8, x ≡ 2 mod 7,

x ≡ 3 mod 11,

Zadanie 8. Sprawdź czy to prawda, że

• p ⊕ q ⇔ (p ∧ ¬q)∨(¬p∧q)

• [(p ⇒ q)∧¬q] ⇒ ¬p

• (p∧q ⇒ r) ⇒ [p ⇒ (q ⇒ r)]

• (¬p ⇒ p) ⇒ p

• ¬p ⇒ (p ⇒ q)

• ¬[p∧(¬p∧q)]

• [(p∨q) ⇒ r] ⇒ [(p ⇒ r)∨(q ⇒ r)]

• (p ⇒ q) ⇔ [(p∧q) ⇔ p]

Jeśli to nie prawda postaraj się ułożyć zdanie z życia
codziennego które opisuje podaną zależność.

Zadanie 9.

Dlaczego (∃x ∈ U (p(x)))∧(∃y ∈

U (q(y))) nie jest równoważne ∃z ∈ U (p(z)∨q(z))?
Czy (∃x ∈ U (p(x)))∨(∃y ∈ U (q(y))) jest równoważne
∃z ∈ U (p(z)∨q(z))?

Zadania nie rozwiązane 26.11.2012 zostają na następny raz.

1

Matematyka dyskretna

Część VIII

zadania warte są 1 punkt

Krzysztof Misztal

26-11-2012

Zadanie 10. Podaj cyfrę jedności: 7

9

, 2

2000

.

Zadanie 11. Wyznacz resztę z dzielenia
2010 · 2011 · 2012 + 2013

2

przez 7.

Zadanie 12.

Znajdź liczbę naturalną a taką, że

ϕ(a) = 3600 oraz a = 3

α

· 5

β

· 7

γ

(α, β, γ ∈ N).

Zadanie 13. Znajdź liczbe naturalną a jeśli, ϕ(a) =
40, a = p · q, gdzie p i q są różnymi liczbami pierw-
szymi oraz p − q = 6.

Zadanie 14. Proszę policzyć reszty z dzielenia

• 3

1000000

przez 76,

• 110

2·10

5

przez 273,

• 49

1500

przez 300,

• 3

1000000

przez 76,

• 15

96

przez 97,

• 67

72

przez 73.

Zadanie 15. Wyznacz:

• 4621x ≡ 4094 mod 10799,

• 3x + 2 ≡ 1 mod 5,

• 25x ≡ 12 mod 7,

• 3x ≡ 1 mod 6,

• 37x ≡ 23 mod 73.

Zadanie 16. Rozwiąż następujące układy kongru-
encji

• x ≡ 3 mod 8, x ≡ 7 mod 12,

• x ≡ 3 mod 5, x ≡ 6 mod 8, x ≡ 2 mod 7,

• x ≡ 4 mod 27, x ≡ 16 mod 59,

• x ≡ 1 mod 3, x ≡ 5 mod 11, x ≡ 4 mod 25,

• x ≡ 3 mod 5, x ≡ 6 mod 8, x ≡ 2 mod 7,

x ≡ 3 mod 11,

Zadanie 17. Sprawdź czy to prawda, że

• p ⊕ q ⇔ (p ∧ ¬q)∨(¬p∧q)

• [(p ⇒ q)∧¬q] ⇒ ¬p

• (p∧q ⇒ r) ⇒ [p ⇒ (q ⇒ r)]

• (¬p ⇒ p) ⇒ p

• ¬p ⇒ (p ⇒ q)

• ¬[p∧(¬p∧q)]

• [(p∨q) ⇒ r] ⇒ [(p ⇒ r)∨(q ⇒ r)]

• (p ⇒ q) ⇔ [(p∧q) ⇔ p]

Jeśli to nie prawda postaraj się ułożyć zdanie z życia
codziennego które opisuje podaną zależność.

Zadanie 18.

Dlaczego (∃x ∈ U (p(x)))∧(∃y ∈

U (q(y))) nie jest równoważne ∃z ∈ U (p(z)∨q(z))?
Czy (∃x ∈ U (p(x)))∨(∃y ∈ U (q(y))) jest równoważne
∃z ∈ U (p(z)∨q(z))?

Zadania nie rozwiązane 26.11.2012 zostają na następny raz.

2