Matematyka dyskretna
Część VIII
zadania warte są 1 punkt
Krzysztof Misztal
26-11-2012
Zadanie 1. Podaj cyfrę jedności: 7
9
, 2
2000
.
Zadanie 2. Wyznacz resztę z dzielenia
2010 · 2011 · 2012 + 2013
2
przez 7.
Zadanie 3.
Znajdź liczbę naturalną a taką, że
ϕ(a) = 3600 oraz a = 3
α
· 5
β
· 7
γ
(α, β, γ ∈ N).
Zadanie 4. Znajdź liczbe naturalną a jeśli, ϕ(a) =
40, a = p · q, gdzie p i q są różnymi liczbami pierw-
szymi oraz p − q = 6.
Zadanie 5. Proszę policzyć reszty z dzielenia
• 3
1000000
przez 76,
• 110
2·10
5
przez 273,
• 49
1500
przez 300,
• 3
1000000
przez 76,
• 15
96
przez 97,
• 67
72
przez 73.
Zadanie 6. Wyznacz:
• 4621x ≡ 4094 mod 10799,
• 3x + 2 ≡ 1 mod 5,
• 25x ≡ 12 mod 7,
• 3x ≡ 1 mod 6,
• 37x ≡ 23 mod 73.
Zadanie 7. Rozwiąż następujące układy kongruen-
cji
• x ≡ 3 mod 8, x ≡ 7 mod 12,
• x ≡ 3 mod 5, x ≡ 6 mod 8, x ≡ 2 mod 7,
• x ≡ 4 mod 27, x ≡ 16 mod 59,
• x ≡ 1 mod 3, x ≡ 5 mod 11, x ≡ 4 mod 25,
• x ≡ 3 mod 5, x ≡ 6 mod 8, x ≡ 2 mod 7,
x ≡ 3 mod 11,
Zadanie 8. Sprawdź czy to prawda, że
• p ⊕ q ⇔ (p ∧ ¬q)∨(¬p∧q)
• [(p ⇒ q)∧¬q] ⇒ ¬p
• (p∧q ⇒ r) ⇒ [p ⇒ (q ⇒ r)]
• (¬p ⇒ p) ⇒ p
• ¬p ⇒ (p ⇒ q)
• ¬[p∧(¬p∧q)]
• [(p∨q) ⇒ r] ⇒ [(p ⇒ r)∨(q ⇒ r)]
• (p ⇒ q) ⇔ [(p∧q) ⇔ p]
Jeśli to nie prawda postaraj się ułożyć zdanie z życia
codziennego które opisuje podaną zależność.
Zadanie 9.
Dlaczego (∃x ∈ U (p(x)))∧(∃y ∈
U (q(y))) nie jest równoważne ∃z ∈ U (p(z)∨q(z))?
Czy (∃x ∈ U (p(x)))∨(∃y ∈ U (q(y))) jest równoważne
∃z ∈ U (p(z)∨q(z))?
Zadania nie rozwiązane 26.11.2012 zostają na następny raz.
1
