Matematyka dyskretna

Część VII

zadania warte są 1 punkt

Krzysztof Misztal

19.11.2012

Zadanie 1. Wiemy, że p = 11, q = 19, e = 7. Jaką wartośc ma d? Zakoduj wiadomość 100 i pokaż
jak ją odkodować.

Zadanie 2. Wiemy, że p = 11, q = 23, e = 13. Jaką wartośc ma d? Zakoduj wiadomość 100 i pokaż
jak ją odkodować.

Zadanie 3. Proszę podać dokładny dowód

a ≡ b

mod n wtedy i tylko wtedy, gdy n|(a − b).

Zadanie 4. Znajdź wszystkie rozwiązania

a) 7x ≡ 3 mod 11

b) 4z ≡ 1 mod 6

Zadanie 5. Proszę zapoznać się z funkcją Eulera (tocjent) (Wikipedia) przypisująca każdej liczbie
naturalnej liczbę liczb względnie z nią pierwszych nie większych od niej samej. A następnie proszę
policzyć

• φ(45)

• φ(13)

• φ(16)

• φ(1) + φ(2) + φ(3) + φ(4) + φ(6) + φ(12)

Zadanie 6. Dla ilu ułamków

0

n

,

1

n

,

2

n

, . . . ,

n − 1

n

dla n ∈ N

1

n jest najmniejszym możliwym mianownikiem?

Zadanie 7. Pokaż, że poniższe równania nie mają całkowitych rozwiązań:

a) 8x+20y=30

b) 8x+20y=44.

Zadanie 8. Znajdź takie liczby x oraz y aby spełniały jednocześnie następujące równania

2x+y=4

3x+7y=5.

1