AGH
DZIAŁ ZLICZANIE – cz. III
wszystkie zadania warte są 1 punkt
Zad. 1.
Udowodnij, że w grupie 2012 osób przynajmniej 2 osoby mają taką samą liczbę znajomych (osoba A zna osobę B wtedy i tylko wtedy, gdy osoba B zna osobę A).
Zad. 2.
Udowodnij, że w gronie 6 osób albo pewne 3 osoby się znają, albo pewne 3 osoby się nie znają.
Zad. 3.
Udowodnij, że wśród dowolnych 7 różnych liczb całkowitych musza być takie 2, których suma lub różnica dzieli się przez 10.
Zad. 4.
Spośród liczb 1,2,3,…,9 wybrano sześć .Udowodnij, że spośród wybranych liczb można wybrać dwie których suma wynosi 10.
Zad. 5.
Przy Okrągłym Stole siedzi 12 Rycerzy. W czasie obrad każdych dwóch siedzących obok siebie pokłóciło się. Król Artur musi posłać w misję 5 Rycerzy. Na ile sposobów może to zrobić jeśli nie chce, aby wśród wysłanych byli jacyś kłócący się Rycerze?
Zad. 6.
Mnich – benedyktyn wpisuje na oprawie każdej z ksiąg znajdujących się w bibliotece klasztornej kolejny numer. Ile razy napisze cyfrę 9, jeśli wiadomo, że księgozbiór liczy sobie 77777 woluminów, zaś mnich rozpoczyna numerowanie od 1?
Zad. 7.
Towarzystwo złożone z 8 par małżeńskich dzieli się na 4 grupy po 4 osoby dla odbycia spaceru łódką.
a) Na ile sposobów można to zrobić tak, aby w każdej łódce znalazły się 2 panie i 2
panów?
b) W ilu przypadkach danych mężczyzna znajdzie się w łódce ze swoją żoną?
Łódki nie są numerowane.
Zad. 8.
W ilu permutacjach liczb 1,…,5 żadna z liczb nie stoi na swoim miejscu?