1.4 Pochodne funkcji

Przy ustalonym punkcie x i zmiennym punkcie delta x i

Może mieć miejsce sytuacja, że gdy przyrost delta x zdąza do zera, to wartość ilorazu różnicowego zdąża do pewnej granicy. Wówczas grancia tg nazywamy pochodną funkcji y=f z w punkcie i oznacza symbolem f z lub y.

Def pochodnej

Pochodna funkcji y=fx w punkcie x jest to granica, do której dąży stosunek przyrostu funkcji to przyrost zmiennej niezależnej i gdy przyrost niezależnej zdąży do zera.

Y= fx = lim delta y/ delta x = lim f(x + delta - fx

Definicja pochodnej nie tylko mówi co to jest pochodna funkcji w określonym punkcie x, ale wskazuje jednocześnie sposób jej obliczania. I tak należy obliczyć wartość danej funkcji w punkcie x oraz w punkcie x+delta x , punktem będącym przyrostem argumentu. Od drugiej wartości należy odjąć wartość pierwszą, a otrzymaną różnicę (która jest w istocie przyrost delta y funkcji) podzielić przez delta x. Następnie należy obliczyć granicę tego ilorazu przy założeniu że przyrost zmiennej delta x zdąża do zera.

Przykład 1

Obliczyć pochodną funkcji y=x² w punkcie x=5 i w punkcie x= -10 . A więc należy obliczyć f prim w punkcie 5 oraz f prim dla -10.

F(5+ delta x) = (5+ delta x)²= 25 + 10 delta x + (delta x)²

Wartość funkcji w punkcie 5 f(5)= 5²=25

Wartość w punkcie (5+ delta x)

Przyrost funkcji delta y = 10* delta x + (delta x)²

Iloraz różnicowy funkcji przyrost delta y / delta x = 10+ delta x

Granica funkcji: delta x dąży do zera – to 10+ delta x = 10

Limes delta y do delta x = 10 czyli pochodna funkcji dla x=5 równa się 10.

W punkcie x= -10 .

Czyli f’(-10) = - 20

Lim delta y/ delta x = - 20

Przykład 2

1. Y=x³ y’= 3^* x²

2. Y= ½ x y’= - 1/x²

3. Y=√x y=

4. Y=c y’(c) = 0

5. Y= xⁿ (xⁿ) = x^n-1

6. C= f(x) = 0 f(x)= c* f prim x

[f(x)+ g(x)] = f(x) + g’(x)

Różniczkowanie iloczynu dwóch funkcji

[f(x)+ g(x) ] = f’(x) + g(x) + f(x) * g(x)

Różniczkowanie ilorazu dwóch funkcji

[F(x)] = f(x) * g(X) – fx - gx

[G(x)] [g(x)]²

Pochodna funkcji logarytm naturalny f(x) jest równa 1/x

Pochodna funkcji logarytmicznej

Log _a x = 1x * 1

Pochodna funkcji wykładniczej

Y= a ^x = a^x * log naturalny z a

Pochodna funkcji wykładniczej e^x

F(e^x)= e^x

Interpretacja ekonomiczna pochodnej funkcji :

Koszt całkowity – wszystkie elementy nakładów potrzebne do wyprodukowania danego towaru.

Jeżeli przychód będzie co najmniej równy kosztom lub przynosił określony zysk – wówczas gospodarka przedsiębiorstwa jest racjonalna ponieważ przynosi określoną wartość.

Każdej ilości x wyprodukowanych w ciągu miesiąca jednostek danego wyrobu odpowiada określony poziom kosztów, który oznaczamy k – koszt całkowity. Załóżmy, że zakład produkuje x jednostek wyrobu miesięcznie i postanowił zwiększyć swoją produkcję ponieważ popyt wzrósł. Poziom zwiększenia się produkcji będzie zależał od struktury popytu. Producent postanowił zwiększyć produkcję o delta x jednostek. Oczywiście wzrost pociągnie za sobą wzrost K o delta K złotych. Średnio o delta k do delta x na każdą jednostkę przyrostu produkcji . Stosunek przyrostu K do przyrostu produkcji nie jest stały zależy od wielkości przyrostu delta X . Jeżeli ten stosunek dąży do pewnej granicy gdy delta x dąży do zera to tę granicę nazywamy kosztem krańcowym odpowiadającym poziomowi x produkcji czyli koszt krańcowy jest granicą ilorazu delta k do delta x przy delta dążącym do zera co w skrócie możemy zapisać jako k prim lub f prim od x.

Definicja kosztu krańcowego: koszt krańcowy odpowiadający poziomowi x produkcji jest pochodną w punkcie x kosztu całkowitego K względem poziomu x produkcji . Można powiedzieć, że koszt krańcowy jest pewnego rodzaju miernikiem szybkości wzrastania kosztu całkowitego w zależności od poziomu produkcji i informuje o ile mniej więcej wzrośnie koszt całkowity gdy produkcja wzrośnie o jednostkę. Jednostka jest pojęciem szerokim.

Koszt krańcowy mierzy przyrost kosztu całkowitego w sytuacji gdy produkcja wzrasta o jednostkę, tzn. czy opłaca się zwiększyć produkcję bo relacje kosztu całkowitego i krańcowego będą wskazywały na opłacalność danego przedsięwzięcia.

Przykład 1.

Koszt całkowity k produkcji pewnego wyrobu jest następującą funkcją wielkości x produkcji

K= 0,1 x³ – 0,9 x² + 2,7x + 1,3

X – jest zawsze nieujemne

W stosunku do postaci kosztu całkowitego wyznaczamy koszt krańcowy

Koszt krańcowy jest funkcją w postaci

K’ = 0,3 x² + 1,8 x + 2,7

Na przykład produkując x = 5 produktu , koszt całkowity wyniesie

K = f(x) = 0,1 + 5³= 0,9 – 5² + 2,7 + 5 + 1,3 = 4,8

Koszt krańcowy wyniesie

K’= f(5) = 0,3 * 5² – 1,8 * 5 + 2,7 = 1,2

Podniesienie produkcji o jednostkę podnosi koszt całkowity o 1,2

INTERPRETACJA:

Koszt krańcowy pokazuje nam celowość zwiększenia produkcji ponieważ pozostaje on w korzystnej relacji do kosztu całkowitego.

Zadanie koszt krańcowy jeżeli koszt całkowity k wyraża się wzorem

K= 2x * x+3

x+1

x – wielkość produkcji

Elastyczność funkcji

W wielu zagadnieniach ekonomicznych interesuje nas nie bezwzględna wielkość zmian takich czynników takich jak ceny i ich wpływ na popyt, ale ważne są w tym zakresie zmiany względne tzn. najczęściej wyrażane w procentach. Pytanie formułujemy: Jak zmieni się popyt np. na agd jeżeli cena na te artykuły wzrośnie o 5% lub 7%.

Załóżmy, że dana jest pewna funkcja f(x) i załóżmy dalej , że x jest ustaloną wartością zmiennej niezależnej. Nadaje zmiennej x nową wartość x1 – nadajemy jej pewien przyrost . Delta x = x1- x .

Stosunek tego przyrostu do wartości początkowo ustalonej, a więc stosunek delta x do x co jest równe x1 – x/x nazywa się przyrostem względnym zmiennej niezależnej x. Zauważamy, że przyrost delta x jest zawsze wyrażany w tych samych jednostkach co x . Natomiast przyrost względny patrz wzór 9 , wyraża się zawsze liczbą niemianowaną . Rzecz jasna, że przyrost delta x spowoduje przyrost wartości funkcji y= f(x) równy odpowiednio delta y czyli przyrost funkcji równa się y1 – y = f(x) + delta x – f(x).

Stosunek przyrostu względnego funkcji do przyrostu względnego zmiennej niezależnej informuje ile razy przyrost względny funkcji jest większy od przyrostu względnego zmiennej niezależnej.

PRZYKŁAD

Dana jest funkcja y= 4x +10 i pewien punkt x = 10 .Zwiększając wartość zmiennej niezależnej o dwie jednostki czyli o 20% tzn. przyrost delta x = 2 , delta x^x czyli 20% . Otrzymujemy zwiększenie wartości funkcji o 8 jednostek czyli o 16%.

Delta y przyrost funkcji f¹² – f¹⁰ . Jak podstawimy 58-50 = 8 przyrost funkcji

Delta y do y 8/50 = 16% - iloraz różnicowy funkcji

Stosunek przyrostu względnych wynosi 8/50 do 2¹⁰ = 4/5 .

Przyrost względny funkcji stanowi 4/5 przyrostu względnego zmiennej niezależnej.

Stosunek przyrostu względnego funkcji do przyrostu względnego zmiennej niezależnej można formalnie zapisać w sposób:

Delta y/ y = x(y) * delta y/delta x = x/f(x) * f(x) + delta x – f(x) / delta x

W ostatnim iloczynie wzór 11 , x/f(x) nie zmienia się gdy delta x dąży do zera.

Natomiast drugi ułamek f(x) – delta x / f(x) dąży do pochodnej funkcji f(x) w punkcie x, a zatem istnieje granica tego iloczynu – granica stosunku przyrostu względnych:

Lim (delta x/y : delta x/x) = lim [ x/f(x) + f(x+delta x)/ delta x

x/f(x_ * lim f(x+ delta x) – f(x_ = x/f(x) * f(x)

Elastyczność funkcji oznaczamy e(y)/ e(x)

Zgodnie z relacją 12 elastyczność funkcji y= f(x) w punkcie x wyraża się następującym wzorem e(y)/e(x) = x/y * f’(y)

E f(x) / ex = x/ f(x) – f(x)

Pochodna funkcji w punkcie x wyraża o ile średnio jednostek wzrośnie lub zmniejszy się (zależnie od znaku pochodnej – ujemna spadnie, dodatnia wzrośnie) wartość funkcji gdy wartość zmiennej niezależnej wzrośnie o jednostkę. Elastyczność funkcji w punkcie x wyraża o ile średnio procent wzrośnie lub zmniejszy się wartość funkcji, gdy wartość zmiennej niezależnej wzrośnie o 1%.

Przykład: mamy popyt na jakiś produkt . Przychodzi moment, że popyt spada lub rośnie. Wówczas analityk powinien zadać pytanie czy obecne ceny są za wysokie i dlatego popyt spada czy może struktura podaży nie odpowiada strukturze popytu. Czy ukształtowane ceny są odpowiednimi cenami do popytu? Wobec tego trzeba przeprowadzić analizę popytu czyli zbadać jak zachowuje się popyt w zależności od cen. To jest problem elastyczności popytu.

Przykład :

Obliczyć elastyczność funkcji w postaci y- 4x + 10 ,

Stosunek x do y pomnożona przez x/y

Ey/Ex = x/y * y’ = x/ 4x+10 * 4= 4x/ 4x+10

W punkcie x=10 elastyczność wynosi

4*10/ 4*10+ 10 = 40/50= 0,8

Interpretacja:

Zwiększenie wyjściowych wartości x=10 zmiennej niezależnej o 1% spowoduje wzrost wartości funkcji średnio o 0,8% . Np. zwiększenie wartości x o 0,5% wywoła wzrost wartości y średnio o 0,4%.

X – umownie ceny , y – umownie popyt