1

Zmiany energii w oddziaływaniach fizycznych.

Jedną z przepływających wielkości ekstensywnych w każdym oddziaływaniu fizycznych jest energia. Pod pojęciem
zmiany energii rozumiemy to, że jeden z układów traci energię na rzecz drugiego, który ją zyskuje. Np. w oddziały-
waniu mechanicznym objętościowym w skutek różnicy ciśnień objętość układu zmieni się o ∆V , natomiast energia
układu zmieni się :

∆E = −p · ∆V

(1)

Znak minus wskazuje, że układ którego objętość wzrasta, wykonuje pracę, podczas której zmniejsza się ciśnienie, a
w konsekwencji mniejsza się jego energia.
Rozważając wzajemne oddziaływanie dwóch układów możemy stwierdzić, że przekazywanie energii od otoczenia do
układu i odwrotnie dokonuje się na dwa sposoby:

• w postaci pracy,

• w postaci ciepła.

Ponieważ energia jest wielkością zachowawczą i addytywną, czyli sumującą się, to całkowita zmiana energii jest
sumą zmian zachodzących w poszczególnych oddziaływaniach:

∆E = −p∆V + T ∆S + φ∆Q

e

+ U ∆M

(2)

Przy występowaniu jednoczesnym n oddziaływań możemy zapisać:

∆E =

i

X

n=1

Y

i

· ∆X

i

(3)

Y

i

- charakterystyczna wielkość intensywna i-tego oddziaływania

X

i

-charakterystyczna wielkość ekstensywna i-tego oddziaływania.

Uogólniając, dla n oddziaływań, możemy otrzymać zależność:

E =

i

X

n=1

Y

i

X

i

(4)

Zależność ta podaje podstawowe równanie termodynamiki, tzn. energia układu fizycznego jest sumą iloczynów
charakterystycznych wielkości intensywnych i odpowiadających im ekstensywnych.

Rodzaj oddział.

Wielkości ekstensywne

Char. wielk. ekstensywna

Char. wielk. intensywna

Zmiana en.

mechaniczne-objętościowe

energia, objętość

V

ciśnienie p

−p · ∆v

substancji chemicznej

energia, masa

M

potencjał chemiczny µ

µ · ∆M

elektrostatyczne

energia, ładunek elektryczny

Q

e

potencjał elektrostatyczny φ

φ · ∆Q

e

termiczne

energia, entropia

S

temperatura T

T · ∆S

mechaniczne-reologiczne

energia pęd

M · v

prędkość v

v · ∆(M · v)

1

2

Równania bilansu wielkości ekstensywnych.

Rozważamy otwarty układ fizyczny będący częścią przestrzeni materialnej i ograniczony powierzchnią o polu Σ i
posiadający objętość V . Z układem związana jest ekstensywna wielkość fizyczna X

i

będąca skalarem lub wektorem.

Szybkość zmiany wielkości X

i

w danym układzie można ująć zależnością:

dx

i

dt

= Q

i

− I

i

(5)

W rozważaniach przyjmujemy, że X

i

jest skalarem, Q

i

- natężenie źródła wielkości ekstensywnej X

i

, czyli jest to

ilość tworzącej się wielkości X

i

w jednostce czasu. I

i

-natężenie strumienia wielkości przepływu wielkości X

i

, czyli

jest to ilość przepływającej przez powierzchnię Σ wielkości X

i

w jednostce czasu. Równanie wyraża bilans wielkości

X

i

dla całej objętości V , dlatego zwane jest całkowym równaniem bilansu. Dla opisu procesów fizycznych, w których

rozkłady wielkości intensywnych i ekstensywnych są niejednorodne, potrzebne jest różniczkowe równanie bilansu
odnoszące się do nieskończenie małej objętości obszaru.

• całkowita wielkość X

i

w układzie

X

i

=

Z

V

ξ

i

dV

(6)

• natężenie źródła

Q

i

=

Z

V

q

i

dV

(7)

• natężenie strumienia przepływu

I

i

=

Z

Σ

−

→

J

i

· −

→

n dΣ

(8)

2

gdzie:

• ξ

i

- gęstość objętościowa wielkości x

i

, czyli ilość x

i

zawarta w jednostce objętości [

kg

m

3

]

• q

i

- gęstość objętościowa natężenia źródła x

i

, czyli jest to ilość x

i

tworząca się w jednostce objętości na jednostkę

czasu [

kg

m

3

·s

]

• J

i

- gęstość powierzchniowa natężenia strumienia x

i

, czyli ilość x

i

przepływająca w jednostce czasu przez

jednostkę pola powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu [

kg

m

2

·s

]

Pod całką powierzchniową występuje iloczyn skalarny wektora J i normalnego wektora n do elementu powierzchni
dΣ.
Stosując wzór Gaussa-Ostrogradzkiego można całkę powierzchniową wyrazić przez całkę objętościową:

I

i

=

Z

Σ

−

→

J

i

· −

→

n dΣ =

Z

V

div

−

→

j

i

dV

(9)

Powyższe zależności wprowadzamy do całkowego równania bilansu:

dx

i

dt

= Q

i

− J i

(10)

i otrzymujemy zależność:

d

dt

Z

V

ξ

i

dV =

Z

V

q

i

dV −

Z

V

div

−

→

j

i

dV

(11)

Operator różniczkowania względem czasu można wprowadzić pod znak całki przy jednoczesnej zmianie symbolu

pochodnej zwyczajnej nad pochodną cząstkową.
Granice całkowania dla wszystkich całek są wspólne, dlatego poszczególne wyrazy równania można wprowadzić pod
wspólną całkę:

Z

V

(

dξ

i

dt

+ divj

i

− q

i

)

(12)

Równanie odnosi się do dowolnej objętości V różnej od 0. Całka może mieć wartość 0, tylko gdy wyrażenie podcał-
kowe jest równe 0.

Z

V

(

dξ

i

dt

+ divj

i

− q

i

) = 0

(13)

skalarnej wielkości ekstensywnej zwane także równaniem ciągłości. Gdy wielkością ekstensywna jest masa, jest to
prawo zachowania masy, a gdy energia-to prawo zachowania energii. Operator różniczkowy dywergencja przypisuje

wektorowi j wartość skalarną dywergencja j

i

, która wyraża gęstość objętościową strumienia przepływu j

i

.

Wśród oddziaływań fizycznych znajdują się również takie, gdzie wielkość ekstensywna wyrażona jest wektorem.

3

Całkowe równanie bilansu wielkości wektorowej.

Rozważamy otwarty układ fizyczny będący częścią przestrzeni materialnej, ograniczony powierzchnią oporu Σ i

posiadający objętość V . Z układem związana jest wektorowa wielkość ekstensywna

−

→

X

i

Szybkość zmiany wielkości

−

→

X

i

w danym układzie wyraża zależność:

d

−

→

X

i

dt

=

−

→

Q

i

−

−

→

I

i

(14)

gdzie:
Q

i

- natężenie źródła wielkości wektorowej X

i

.

I

i

- natężenie strumienia przepływu wielkości wektorowej X

i

.

3

W prostokątnym układzie współrzędnych wektor ma trzy składowe. Składowe te będą skalarami, wobec tego

jedno równanie wektorowe bilansu można zastąpić trzema skalarnymi równaniami:

dX

i

x

dt

= Q

i

x − I

i

x

(15)

dX

i

y

dt

= Q

i

y − I

i

y

(16)

dX

i

z

dt

= Q

i

z − I

i

z

(17)

Równania całkowe bilansu wielkości wektorowej X

i

wyraża bilans wielkości X

i

dla całej objętości V i dla całego

obszaru.

4

4

Różniczkowe równanie wielkości wektorowej

Różniczkowe równanie bilansu wielkości wektorowej można wyprowadzić z równania całkowego poprzez wprowadze-
nie pojęć gęstości objętościowych i gęstości powierzchniowej.
Wykorzystując postać skalarną wyprowadzamy trzy równania różniczkowe skalarne:

dξ

i

x

dt

+ div

−

→

j

i

x = q

i

x

(18)

dξ

i

y

dt

+ div

−

→

j

i

y = q

i

y

(19)

dξ

i

z

dt

+ div

−

→

j

i

z = q

i

z

(20)

Te trzy równania dają bilans wielkości ekstensywnej o charakterze wektorowym, można je zastąpić jednym równa-
niem wektorowym:

d

−

→

ξ

i

dt

+ Divj

kl

= −

→

q

i

(21)

gdzie:

j

k

- tensor gęstości powierzchniowych.

j

k

=








j

xx

j

xy

j

xz

j

yx

j

yy

j

yz

j

zx

j

zy

j

zz








(22)

div

−

→

j =

dj

x

dx

+

dj

y

dy

+

dj

z

dz

(23)

5

5

Równanie transportu skalarnej wielkości ekstensywnej.

Łącząc równanie różniczkowe bilansu wielkości ekstensywnych z prawem dynamiki przepływów otrzymuje się rów-
nanie opisujące transport przepływającej wartości ekstensywnej np. objętości, masy, ładunku elektrycznego, energii,
entropii, czyli wielkości skalarnych, względnie pędu, czyli wielkości wektorowej.

dξ

i

dt

+ div

−

→

j

i

= q

i

(24)

−

→

j

i

= −L

i

gradY

i

+ ξ

i

−

→

V

(25)

gdzie:

• L

i

gradY

i

-gęstość powierzchniowa strumienia kondukcyjnego,

• ξ

i

V -gęstość powierzchniowa strumienia,

• L

i

- współczynnik proporcjonalności charakteryzujący własności ośrodka,

• ksi

i

-gęstość objętościowa wielkości X

i

,

• v- prędkość przepływu makroskopowego,

• minus oznacza, że przepływ odbywa się w kierunku największego spadku wielkości intensywnej Y

i

.

Prawo dynamiki przepływu wiąże gęstość powierzchniową całkowitego strumienia przepływu, czyli J

i

z charaktery-

styczną wielkością intensywną, która jest siłą powodującą przepływ.

Po podstawieniu prawa dynamiki przepływu do równania bilansu otrzymuje się:

dξ

i

dt

+ div(−L

i

gradY

i

+ ξ

i

−

→

V ) = q

i

(26)

Jest to równanie transportu skalarnej wielkości ekstensywnej, które może być wykorzystane do opisu zjawisk, gdzie
występują przepływy objętości, masy, ładunku elektrycznego, energii cieplnej, czyli skalarów ekstensywnych.

6