Wykład 3

Miary niejednorodności pól fizycznych.

Czynnikiem warunkującym przebieg procesów fizycznych w rozważanym obszarze górotworu jest niejednorodność pól fizycznych występujących w tym obszarze. Rozpatrujemy miary niejednorodności skalarnych i wektorowych pól fizycznych.

Pole skalarne

Rozważamy płaskie pole skalarne zadane w prostokątnym układzie współrzędnych a=a(x, y). W polu tym można wyznaczyć linie, na których rozważana wielkość skalarna ma jednakową wartość c : c=a(x, y).
Są to tzw. izolinie pola. W przypadku pola temperatur są to izotermy, a pola ciśnień izobary. Pochodne cząstkowe $\frac{\partial a}{\partial x}$ i $\frac{\partial a}{\partial y}$ określają szybkość zmiany wielkości a w określonych kierunkach. Na osiach x, y oznaczamy wektory jednostkowe tzw. wersory. Sumując wektorowo zmiany wielkości skalarnej a w kierunkach x, y otrzymuje się następującą wielkość $grad\ a = \ \overset{\overline{}}{i}\frac{\partial a}{\partial x} + \overset{\overline{}}{j}\frac{\partial a}{\partial y}$
Gradient jest wektorem, a jego kierunek wyznacz kierunek największej zmiany pola skalarnego. Natomiast wartość jego określa zmiany pola skalarnego w danym punkcie przestrzeni

Gdy  a =  const to grad a = 0

Wielkość wektorowa grad a uznawana jest za lokalną miarę niejednorodności pola skalarnego. Rozważając przestrzenne pole skalarne a = a(x, y, z) otrzymuje miarę niejednorodności w postaci wielkości wektorowej $grad\ a = \ \overset{\overline{}}{i}\frac{\partial a}{\partial x} + \overset{\overline{}}{j}\frac{\partial a}{\partial y} + \overset{\overline{}}{k}\frac{\partial a}{\partial z}$. W tym przypadku rozważana wielkość skalarna posiada stałą wartość i punkty tworzą powierzchnię tzw. powierzchnię ekwiskalarną.

Operator różniczkowy gradient przypisuje dowolnemu polu skalarnemu a = a (x, y, z) odpowiednie pole wektorowe grad a. Dla oznaczenia operatora gradient wprowadzamy symbol Nabla ∇. Wówczas to miara niejednorodności pola przestrzennego jest $\nabla a = \ \overset{\overline{}}{i}\frac{\partial a}{\partial x} + \overset{\overline{}}{j}\frac{\partial a}{\partial y} + \overset{\overline{}}{k}\frac{\partial a}{\partial z}$. Składowymi operatora wektorowego Nabla są $\nabla x = \frac{\partial}{\partial x},\ \nabla y = \frac{\partial}{\partial y},\ \nabla z = \frac{\partial}{\partial z}.$ Gdy pole skalarne zadane jest w układzie współrzędnych kołowo walcowych a=a(r,ϕ,z) to miara niejednorodności określana jest zależnością:

$$\text{gra}d\ a = \nabla a = \ \overset{\overline{}}{i_{r}}\frac{\partial a}{\partial r} + {\overset{\overline{}}{j}}_{\varphi}\frac{\partial a}{\partial\varphi} \bullet \frac{1}{r} + \overset{\overline{}}{k_{z}}\frac{\partial a}{\partial z}$$

dla pola płaskiego, gdy a = a(r,ϕ) to $\text{grad\ a} = \ \overset{\overline{}}{i_{r}}\frac{\partial a}{\partial r} + {\overset{\overline{}}{j}}_{\varphi}\frac{\partial a}{\partial\varphi} \bullet \frac{1}{r}$

Pole wektorowe

Rozważamy płaskie pole wektorowe $\overset{\overline{}}{u} = \overset{\overline{}}{u}(x,y)$ zadane w prostokątnym układzie współrzędnych. Dla określenia miary niejednorodności wielkości wektorowej $\overset{\overline{}}{u}$ w zależności od położenia należy zbadać zmianę składowych u_x i u_y wzdłuż osi x i y. Wielkości tych zmian określają pochodne cząstkowe $\frac{\partial u_{x}}{\partial x},\ \frac{\partial u_{x}}{\partial y}\text{\ oraz}\frac{\partial u_{y}}{\partial x},\ \frac{\partial u_{y}}{\partial y}\ .$ W przypadku płaskiego pola wektorowego miara niejednorodności jest wielkością o 4 składowych, nazywamy ją gradientem.

$$\text{grad\ }\overset{\overline{}}{u} = \left| \begin{matrix} \frac{\partial u_{x}}{\partial x} & \frac{\partial u_{x}}{\partial y} \\ \frac{\partial u_{y}}{\partial x} & \frac{\partial u_{y}}{\partial y}\ \\ \end{matrix} \right|$$

Rozważania można uogólnić na pola przestrzenne $\overset{\overline{}}{u} = \overset{\overline{}}{u}(x,y,z)$. Miarą niejednorodności pola wektorowego przestrzennego jest wielkość określana 9 pochodnymi cząstkowymi

$$\text{grad\ }\overset{\overline{}}{u} = \left| \begin{matrix} \frac{\partial u_{x}}{\partial x} & \frac{\partial u_{x}}{\partial y} & \frac{\partial u_{x}}{\partial z} \\ \frac{\partial u_{y}}{\partial x} & \frac{\partial u_{y}}{\partial y} & \frac{\partial u_{x}}{\partial z} \\ \frac{\partial u_{z}}{\partial x} & \frac{\partial u_{z}}{\partial y} & \frac{\partial u_{z}}{\partial z} \\ \end{matrix} \right|$$

Wielkość $\text{grad\ }\overset{\overline{}}{u}$ jest tensorem, dlatego też zwane jest gradientem tensorowym i uznawane jest jednocześnie za lokalną miarę niejednorodności pola wektorowego

Gdy $\overset{\overline{}}{u} = \ const\ to\ grad\ \overset{\overline{}}{u} = 0$

Wykorzystując symbol Nabla:

$$\nabla\overset{\overline{}}{u} = \left| \begin{matrix} \nabla_{x}u_{x} & \nabla_{y}u_{x} & \nabla_{z}u_{x} \\ \nabla_{x}u_{y} & \nabla_{y}u_{y} & \nabla_{z}u_{y} \\ \nabla_{x}u_{z} & \nabla_{y}u_{z} & \nabla_{z}u_{z} \\ \end{matrix} \right|$$

$$\nabla\overset{\overline{}}{u} = \ \nabla x\ \bullet u_{x} + \nabla y\ \bullet u_{y} + \nabla z\ \bullet u_{z}$$

Określona w ten sposób wielkość nazywana jest dywergencją pola wektorowego

$$\text{div\ }\overset{\overline{}}{u} = \ \frac{\partial u_{x}}{\partial x} + \frac{\partial u_{y}}{\partial y} + \frac{\partial u_{z}}{\partial z}$$

Gdy pole wektorowe jest jednorodne

$$\overset{\overline{}}{u} = \ const\ to\text{\ div}\ \overset{\overline{}}{u} = 0$$

W polu wektorowym można określić dwie miary niejednorodności tensorową grad $\overset{\overline{}}{u}$ i skalarną div $\overset{\overline{}}{u}$.

ODDZIAŁYWANIA FIZYCZNE

Ze względu na fizyczny charakter nośnika energii w danym procesie oddziaływania fizycznie podzielić można następująco

- mechaniczne – nośnikiem energii jest objętość wypełniona masą
- substancji chemicznej – gdzie nośnikiem energii są molekuły
- elektrostatyczne – nośnik to jony
-termiczne – nośnik to poruszające się atomy

W oddziaływaniu mechanicznym wyróżniamy:
a) objętościowe – charakterystyczną wielkością ekstensywną jest skalarna wielkość objętości
b) reologiczne – charakterystyczną wielkością ekstensywną jest wielkość pędu

Rozpatrujemy układ odizolowany od otoczenia. Układ dzielimy na dwa podukłady rozdzielone przegrodą z możliwością przesuwania. Ciśnienie p₁ > p₂, czy li pod układ 1 traci energie ( wzrost V i obniżenie p). Ścianka może się przesuwać do chwili, gdy p₁ = p₂. Suma objętości przed oddziaływaniem i po oddziaływaniu są sobie równe V₁’ + V₂’ jest równa sumie objętości po oddziaływaniu V₁ + V₂. Oprócz przepływu objętości nastąpił przepływ energii, przy czym energia całkowita pozostaje bez zmian E₁+E₂=E₁’+E₂’. Całkowita objętość i całkowita energia są wielkościami zachowawczymi, podlegają, zatem sumowaniu i są wielkościami ekstensywnymi. Wielkością wyrównująca się jest ciśnienie (wielkość intensywna). Iloraz dwóch wielkości ekstensywnych jest wielkością intensywną E₁/V₁ i E₂/V₂ – gęstość energii.

Ponieważ przy wzroście ciśnienia objętość maleje, przy zmniejszeniu wzrasta, dlatego za charakterystyczną wielkość intensywną uznaje się wartość ujemną ciśnienia.

Oddziaływanie substancji chemicznej:

Układ jest podzielony przez przegrodę nieruchomą, lecz przenikliwą dla masy. Pomiędzy podukładami może odbywać się przenikanie masy na drodze dyfuzji. Przenikanie trwa tak długo, aż wyrównają się wielkości intensywne, czyli potencjały chemiczne układu. Początkowo u₁ > u₂ po zakończeniu wymiany masy u₁’ = u₂’. Każda cząstka posiada energie, dlatego przenikająca masa przenosi również energię. Zarówno masa jak i energia są wielkościami ekstensywnymi zachowawczymi. M₁+M₂ = M₁’ +M₂’ i E₁+E₂ = E₁’+E₂’. Zachowawcza jest całość energii, w przeciwieństwie do jej poszczególnych form.

Oddziaływanie elektrostatyczne:

Przegroda nieruchoma, nieprzenikliwa dla masy, ale przewodzi ładunki elektryczne. Jeśli potencjał elektrostatyczny fi₁ > fi₂ to przez osłonę przepływa ładunek elektryczny unosząc równocześnie ze sobą energie. Przepływ trwa do momentu wyrównania się potencjałów elektrostatycznych. Zarówno ładunek elektryczny jak i energia są wielkościami zachowawczymi. Q_e1 +Q_e2 = Q_e1’ +Q_e2’,
E₁+E₂ = E₁’+E₂’

Oddziaływanie termiczne:

Przegroda nieprzenikliwa dla masy, nieruchoma, przewodząca energie termiczną ( cieplną) Podukłady posiadają różne temperatury, a t₁ > t₂. Przepływ energii cieplnej trwa aż do momentu
t₁= t₂. Energia tak jak i w poprzednich oddziaływaniach jest wielkością ekstensywną zachowawczą E₁+E₂ = E₁’+E₂’. W tym oddziaływaniu wraz z energią przepływa druga wielkość ekstensywna entropia, która nie jest wielością zachowawczą s₁ +s₂ < s₁’ +s₂’. W izolowanej od otoczenia części przestrzeni ilość entropi stracona przez jeden układ jest mniejsza od ilości zyskanej przez drugi –Δs₁ < –Δs_2.

Nierówność jest ilościowym wyrazem drugiej zasady termodynamiki tzn. we wszystkich samorzutnych procesach fizycznych suma entropi układu i otoczenia wzrasta.

Oddziaływanie mechaniczne – reologiczne:

Zakładamy, że dwa układy fizyczne poruszają się w tę samą stronę. Wielkości układów podanych na rysunku. Przyjmujemy, że układy są odizolowane, nie działają na nie siły zewnętrzne. Jeśli v₁>v₂ wtedy w określonej chwili po zbliżeniu się do układu drugiego przepływać będzie pęd i energia do momentu v₁ = v₂. Pęd i energia są wielkościami ekstensywnymi zachowawczymi.

E₁+E₂ = E₁’+E₂’

Prędkość jest charakterystyczną wielkością intensywną w tym oddziaływaniu, gdyż wyznacza kierunek procesu przepływu energii oraz określa warunek równowagi procesu.