1

METODY STATYSTYCZNE I

ĆWICZENIA 3, 4

Zad. 1
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej

(

)

Y

X ,

dana jest wzorem

( )

(

)

⎩

⎨

⎧

>

>

−

−

=

poza.

,

0

,

0

,

0

dla

,

3

2

exp

,

y

x

y

x

a

y

x

f

a) Wyznaczyć stałą a.
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe.
c) Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.
d) Wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej losowej X przy warunku

y

Y

= .

e) Obliczyć

(

)

3

0

,

2

1

<

<

<

<

Y

X

P

.

Zad. 2
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej

(

)

Y

X ,

dana jest wzorem

( )

(

)

⎩

⎨

⎧

>

>

−

−

=

poza.

,

0

,

0

,

0

dla

,

exp

,

y

x

y

x

a

y

x

f

a) Wyznaczyć stałą a.
b) Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.
c) Obliczyć

(

)

2

1

,

2

1

<

<

<

<

Y

X

P

.

Zad. 3
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej

(

)

Y

X ,

dana jest wzorem

( )

⎩

⎨

⎧

+

<

<

−

<

<

−

=

poza.

,

0

,

2

,

0

1

dla

,

,

x

y

x

x

a

y

x

f

a) Wyznaczyć stałą a.
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe.

Zad. 4
Wyznaczyć dystrybuantę dwuwymiarowej zmiennej losowej

(

)

Y

X ,

, której gęstość dana jest

wzorem

( )

⎩

⎨

⎧

≤

≤

≤

≤

=

poza.

,

0

,

1

0

,

2

0

dla

,

,

y

x

xy

y

x

f

Zad. 5
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej

(

)

2

1

, X

X

dana jest wzorem

(

)

⎩

⎨

⎧

<

<

<

<

+

=

poza.

,

0

,

1

0

,

1

0

dla

,

,

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

f

a) Wyznaczyć gęstości brzegowe.
b) Wyznaczyć gęstości warunkowe.
c) Wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych oraz macierz kowariancji.

2

Zad. 6

Wiedząc, że wektor losowy

X ma rozkład normalny

(

)

Σ

µ,

3

N

, znaleźć rozkład

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

3

2

2

1

X

X

X

X

.

Zad. 7

Wiedząc, że wektor losowy X ma rozkład normalny

(

)

Σ

µ,

5

N

, znaleźć rozkład

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

4

2

X

X

.

Zad. 8

Dany jest wektor losowy

X o rozkładzie normalnym

(

)

Σ

µ,

3

N

, gdzie

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

2

0

0

0

3

1

0

1

4

Σ

.

a) Czy zmienne losowe

1

X

i

2

X

są niezależne?

b) Czy niezależne są

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

2

1

X

X

i

3

X ?

Zad. 9
Dany jest wektor losowy

[

]

T

X

X

X

X

4

3

2

1

=

X

o rozkładzie normalnym

(

)

Σ

µ,

N

z parametrami

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

4

3

2

1

µ

,

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

4

1

2

3

1

2

1

1

2

1

4

2

3

1

2

3

Σ

a)

Wyznaczyć

rozkład wektora

[

]

T

X

X

X

4

2

1

.

b)

Wyznaczyć

rozkład warunkowy

2

1

| X

X

, gdzie

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

1

1

X

X

X

,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

3

2

3

4

2

X

X

X

.

c)

Wyznaczyć

rozkład warunkowy

2

1

| X

X

, gdzie

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

2

4

1

1

X

X

X

X

,

[ ] [ ]

1

3

2

=

= X

X

.

d)

Wyznaczyć

rozkład wektora

b

AX

Y

+

=

, gdzie

[

]

0

2

1

0

=

A

,

[ ]

3

=

b

.

Zad. 10
Dany jest wektor losowy

[

]

T

X

X

X

3

2

1

=

X

o rozkładzie normalnym

(

)

Σ

µ,

N

z parametrami

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

3

2

1

µ

,

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

2

1

4

1

2

3

Σ

a)

Wyznaczyć

rozkład wektora

[

]

T

X

X

3

1

.

b)

Wyznaczyć

rozkład warunkowy

2

1

| X

X

, gdzie

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

1

2

1

X

X

X

,

[ ] [ ]

1

3

2

=

= X

X

.

3

c)

Wyznaczyć

rozkład wektora

AX

Y

=

, gdzie

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

1

0

2

0

1

A

.

Zad. 11
W badaniu miesięcznych wydatków (w zł.) na energię (zmienna

1

X

), telefon (zmienna

2

X

),

gaz (zmienna

3

X ) dla próby 30 rodzin otrzymano, że średnie wydatki w złotych wynoszą

odpowiednio

130

1

=

x

,

85

2

=

x

,

95

3

=

x

,

macierz kowariancji

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

300

120

150

50

70

450

~

S

Wiedząc, że rozkład wektora losowego

[

]

T

X

X

X

3

2

1

=

X

jest normalny, czy można

przypuszczać, że te wydatki wynoszą średnio

[

]

T

100

100

120

? Przyjąć poziom istotności

01

,

0

=

α

.

Zad. 12
Zbadano pot 20 kobiet pod względem trzech składowych:

1

X

- wskaźnik potu,

2

X

- zawartość sodu,

3

X - zawartość potasu. Otrzymano następujące wyniki:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

965

,

9

400

,

45

640

,

4

x

,

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

628

,

3

640

,

5

810

,

1

640

,

5

788

,

199

010

,

10

810

,

1

010

,

10

879

,

2

S

.

Wiedząc, że rozkład wektora losowego

X jest normalny

(

)

Σ

µ

,

3

N

, zweryfikować hipotezę

[

]

T

H

10

50

4

:

0

=

µ

wobec

[

]

T

H

10

50

4

:

1

≠

µ

? Przyjąć poziom istotności

1

,

0

=

α

.

Zad. 13
Zbadano losowo wybranych 30 studentów matematyki i 20 studentów fizyki pod względem
ocen z języka angielskiego (zmienna

1

X

) i niemieckiego (zmienna

2

X

). Otrzymano

następujące wyniki:
Studenci matematyki:

1

,

4

1

=

x

,

85

,

3

2

=

x

,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

56

,

0

35

,

0

35

,

0

5

,

0

~

S

.

Studenci fizyki:

2

,

4

1

=

x

,

95

,

3

2

=

x

,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

45

,

0

25

,

0

25

,

0

65

,

0

~

S

.

Zakładając normalność wektora losowego

X sprawdzić, czy średnie ocen uzyskanych

przez studentów obu kierunków są takie same. Przyjąć poziom istotności 05

,

0

=

α

.

4

Zad. 14
W badaniu struktury miesięcznych wydatków studentów i studentów uwzględniono wydatki
na żywność (zmienna

1

X

), wydatki na książki (zmienna

2

X

) i wydatki na ubrania (zmienna

3

X ). Dla losowo wybranych 30 studentek i 20 studentów otrzymano następujące średnie

w zł.:
Studentki:

280

1

=

x

,

85

2

=

x

,

250

3

=

x

,

Studenci:

320

1

=

x

,

85

2

=

x

,

200

3

=

x

.

Odwrotność uśrednionej macierzy kowariancji dla tej próby wyniosła:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

−

20

,

0

02

,

0

15

,

0

05

,

0

15

,

0

25

,

0

~

1

*

S

.

Wiedząc, że rozkład wektora losowego

[

]

T

X

X

X

3

2

1

=

X

jest normalny, czy można

stwierdzić, że struktury wydatków studentek i studentów są takie same.

Zad. 15
Zweryfikować hipotezę, czy macierz wariancji – kowariancji w populacji generalnej

o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym

(

)

Σ

µ,

N

jest równa

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

3

1

1

3

, jeśli dla 100

elementowej próby pobranej z tej populacji obciążona macierz wariancji – kowariancji

ma postać

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

3

2

2

3

. Przyjąć poziom istotności

01

,

0

=

α

.

Zad. 16*
Zbadano losowo wybranych 20 studentów ze względu na wzrost (zmienna

1

X

) i wagę

(zmienna

2

X

), otrzymano odpowiednio następujące wyniki:

172 89
160 54
166 83
158 71
187 82
160 83
163 108
177 82
153 85
159 85
169 75
168 80
171 97
188 85
171 69
174 79
168 77
177 85
183 78
172 82

Wiedząc, że rozkład wektora losowego

[

]

T

X

X

2

1

=

X

jest normalny, czy można

przypuszczać, że te średnie wynoszą odpowiednio

[

]

T

83

167

? Przyjąć poziom istotności

05

,

0

=

α

.

5

Zad. 17*
Zbadano losowo wybranych pracowników z wykształceniem wyższym, z dwóch firm F1 i F2
(15 pracowników z pierwszej firmy i 10 z drugiej), pod względem wynagrodzenia (zmienna

1

X

), średniej ocen na świadectwie maturalnym (zmienna

2

X

) oraz średniej ocen na studiach

(zmienna

3

X ). Otrzymano następujące wyniki odpowiednio dla firmy F1 i firmy F2:

1531.09 3.20 3.35 5664.44 3.39 4.89
2726.67 3.53 4.38 4601.96 5.15 4.16
5228.50 3.75 3.85 4927.52 3.94 5.00
1763.96 3.98 5.00 4350.83 3.71 3.31
3502.66 4.92 5.00 2600.26 3.42 4.68
2706.50 3.31 4.10 4710.56 3.03 3.94
5525.26 3.68 3.83 3197.18 4.93 4.66
5920.71 3.88 5 .00 4412.57 4.17 4.31
3604.19 4.82 4.39 4324.51 3.61 4.27
5942.44 3.74 4.23 2708.78 4.57 5.00
5481.81 4.48 5.00
2499.85 3.18 4.38
3275.49 4.48 4.37
3724.04 4.04 5.00
3818.33 4.99 3.63

Wiedząc, że rozkład wektora losowego

[

]

T

X

X

X

3

2

1

=

X

jest normalny, zweryfikować

hipotezę zerową o równości rozważanych wektorów wartości oczekiwanych w obu
populacjach. Przyjąć poziom istotności

01

,

0

=

α

.