Analiza zespolona – grupay 2 - 5 – ćwiczenia nr 4

1

Zadanie 1 Znaleźć część rzeczywistą i część urojoną funkcji:

a) w = z

2

+ z + 5i b) w =

1

1 + z

2

c) w =

z + 1

z

d)

Rez

z

Zadanie 2 Zbadać ciągłość funkcji:

a) f (z) =















Rez

1 + |z|

z 6= 0

0

z = 0

b) f (z) =















Rez

2

z

2

z 6= 0

0

z = 0

c) f (z) =











z

¯

z

z 6= 0

0

z = 0

d) f (z) =















z

2

¯

z

z 6= 0

0

z = 0

Zadanie 3 Udowodnić, że

a) ∀

z∈C

e

z

6= 0

b) ∀

z

1

,z

2

∈C

e

z

1

+z

2

= e

z

1

e

z

2

c) ∀

z

1

,z

2

∈C

e

z

1

= e

z

2

⇔ ∃

k∈Z

z

1

= z

2

+ 2kπi

d) ∀

z∈C

cos

2

z + sin

2

z = 1

e) ∀

z

1

,z

2

∈C

sin(z

1

+ z

2

) = sin z

1

cos z

2

+ cos z

1

sin z

2

Zadanie 4 Obliczyć:

a) sin i b) cos 5i c) sin(−2i) d) e

1−πi

e) log(1 − i) f) i

i

Zadanie 5 Dla jakich wartości z = x + iy wartość funkcji wykładniczej e

z

jest

a) czysto rzeczywista
b) czysto urojona.

Zadanie 6 Rozwiązać równanie e

2z+1

=

√

3 − i

a) używając logarytmu
b) nie używając logarytmu

Zadanie 7 Znaleźć wszystkie miejsca zerowe funkcji sin z i cos z.

Zadanie 8 Przedstawić funkcje cos z, sin z, gdzie z = x + iy, w postaci u(x, y) + iv(x, y),
u, v : R

2

→ R.

Zadanie 9 Rozwiązać równania:

a) sin z =

√

3i (korzystając z zadania 6) b) cos z = −10 (korzystając z definicji)

Zadanie 10 Wykazać tożsamość:

(1 + i) ctg(α + iβ) + (1 − i) ctg(α − iβ) = 2

sin 2α + sinh 2β

cosh 2β − cos 2α

.

Analiza zespolona – grupay 2 - 5 – ćwiczenia nr 4

2

Zadanie 11 Wyznaczyć obrazy podanych zbiorów przy zadanych odwzorowaniach:

a) D =



z ∈ C : 0 ¬ Rez ¬ 2, 0 ¬ Imz ¬

π

2



, w = e

z

b) D = {z ∈ C : Imz = 2} , w = sin z

c) D = {z ∈ C : |z| < 1, 0 < argz < π}, w =

1

z

d) D =



z ∈ C : |z| > 0, 0 ¬ argz ¬

π

3



, w = iz

e) D = {z ∈ C : Rez = 1}, w =

1

z

f) D =



z ∈ C :

1

2

¬ |z| ¬ 1, 0 ¬ argz ¬

π

4



, w = (1 + i)¯

z

g) D = {z ∈ C : |z| ¬ 2}, w =

z

z − 1

Odpowiedzi: 1. a) u = x

2

+x−y

2

, v = 2xy+y+5, b) u =

1 + x

2

− y

2

(1 + x

2

− y

2

)

2

+ 4x

2

y

2

, v =

−2xy

(1 + x

2

− y

2

)

2

+ 4x

2

y

2

,

c) u = 1+

x

x

2

+ y

2

, v = −

y

x

2

+ y

2

, d) u =

x

2

x

2

+ y

2

, v = −

xy

x

2

+ y

2

; 3. a) i sinh 1, b) cosh 5, c) −i sinh 2, d)

−e; 4. a) z = x+ikπ, x ∈ R, k ∈ Z, b) z = x+i



π

2

+ kπ



, x ∈ R, k ∈ Z, e) ln

√

2+i



2kπ −

π

4



, k ∈ Z,

f ) e

−

(

2kπ+

π

2

), k ∈ Z; 5. z =

ln 2 − 1

2

+ i



kπ −

π

12



, k ∈ R; 6. z = kπ, k ∈ Z, z =

π

2

+ kπ, k ∈ Z; 7.

cos z = cos x cosh y −i sin x sinh y, sin z = sin x cosh y +i cos x sinh y; 8. a) z = 2kπ +i ln(2+

√

3), k ∈ Z lub

z = π+2kπ+i ln(2−

√

3), k ∈ Z, b) z = π+2kπ+i ln(10−3

√

11), k ∈ Z lub z = π+2kπ+i ln(10+3

√

11), k ∈

Z; 11. a) D

0

=



w ∈ C : 1 ¬ |w| ¬ e

2

, 0 ¬ argw ¬

π

2



, b) D

0

=

(

(u, v) ∈ R

2

:

u

2

cosh

2

2

+

v

2

sinh

2

2

= 1

)

(Wsk. Skorzystać z zadania nr 7) c) D

0

= {w ∈ C : |w| > 1, Imz < 0}.