Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 2

1

Zadanie 1 Obliczyć sumy:

a) sin x − sin 2x + . . . + (−1)

n−1

sin nx

b) cos x − cos 2x + . . . + (−1)

n−1

cos nx

c) sin x + sin 2x + . . . + sin nx
d) 2 + 2 cos x + 2 cos 2x + . . . + 2 cos nx

Zadanie 2 Wyprowadzić wzory na rzut sferyczny i rzut stereograficzny.

Zadanie 3 Wyznaczyć obrazy sferyczne:
a) punktów e

iα

, −1 + i, 3 − 4i

b) zbiorów |z| = 1, |z| > 1.

Zadanie 4 Wyprowadzić wzory na metrykę sferyczną na C.

Zadanie 5 Udowodnić, że ciąg {z

n

} ⊂ C jest zbieżny do punktu z

0

∈ C w metryce sferycznej

wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny do z

0

w metryce euklidesowej.

Zadanie 6 Udowodnić zupełność przestrzeni (C, | · |). Pokazać, że C z metryką sferyczną nie jest
zupełna.

Zadanie 7 Wykazać, że lim

n→∞



1 +

x + iy

n



n

= e

x

(cos y + i sin y).

Zadanie 8 Obliczyć granice ciągów:

a)

2n + 1

n + 1

+ (

√

n + 1 −

√

n)i b)

n

√

2

n

+ 4

n

+ in sin

1

n

c)

1

2

n

+ i

1

3

n

d)



1 +

iπ

n



n

e)

1

√

3

+ i

!

n

f)

n!

(ni)

n

g)

2

n

+ i

2

n

− i

h)

in + 1

n + i

i) 5 + n[1 + (−1)

n

]i

Odpowiedzi: 1. a)

sin

x

2

+ (−1)

n+1

sin



n +

1
2



x

2 cos

x
2

dla x 6= π + 2kπ, k ∈ Z , 0 dla x = π + 2kπ, k ∈ Z; b)

cos

x
2

+ (−1)

n+1

cos



n +

1
2



x

2 cos

x

2

dla x 6= π + 2kπ, k ∈ Z , −n dla x = π + 2kπ, k ∈ Z, c)

sin

n+1

2

x sin

n

2

x

sin

x
2

dla x 6= 2kπ, k ∈ Z , 0 dla x = 2kπ, k ∈ Z, d)

2 sin

n+1

2

x cos

n

2

x

sin

x
2

dla x 6= 2kπ, k ∈ Z, 2(n + 1)

dla x = 2kπ, k ∈ Z; 2. T : C → S\{N }, T (z) =

1

2

·

z + ¯

z

|z|

2

+ 1

,

1

2i

·

z − ¯

z

|z|

2

+ 1

,

|z|

2

|z|

2

+ 1

!

, T

−1

: S\{N } →

C, T

−1

(z

∗

) =



ξ

1 − ζ

,

η

1 − ζ



; 3. a) T (e

iα

) =



1

2

cos α,

1

2

sin α,

1

2



, T (−1 + i) =



−

1

3

,

1

3

,

2

3



, T (3 − 4i) =



3

26

, −

2

13

,

25

26



, b)

(

ξ

2

+ η

2

=

1
4

ζ =

1
2

,



ξ

2

+ η

2

+ ζ

2

= ζ

1
2

< ζ < 1

; 4. d(z

1

, z

2

) =

|z

1

− z

2

|

p

1 + |z

1

|

2

p

1 + |z

2

|

2

, d(z, ∞) =

Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 2

2

1

p

1 + |z|

2

, z

1

, z

2

, z ∈ C; 5. J. Chądzyński „Wstęp do analizy zespolonej” str.15; 8. a) 2, b) 4 + i, c) 0,

d) −1, e) ∞, f ) 0, g) 1, h) i, i) granica nie istnieje.