1 Liczby zespolone

‚wiczenie 1. Niech z

1

= x

1

+ iy

1

, z

2

= x

2

+ iy

2

. Wtedy

x

1

y

1

x

2

y

2

=

z

1

z

2

− z

1

z

2

2i

.

‚wiczenie 2. Wykaza¢, »e dla dowolnych liczb zespolonych z

1

, z

2

, z

3

liczba

D = i

1

1

1

z

1

z

2

z

3

z

1

z

2

z

3

jest rzeczywista.

Przypomnijmy, »e je±li V, W s¡ przestrzeniami liniowymi nad ciaªem K, to

odwzorowanie T : V → W nazywamy K-liniowym (lub liniowym, gdy wiadomo

o jakie ciaªo K chodzi), gdy

1. T (v

1

+ v

2

) = T (v

1

) + T (v

2

)

dla dowolnych v

1

, v

2

∈ V

,

2. T (av) = aT (v) dla dowolnych a ∈ K, v ∈ V .

‚wiczenie 3. Wykaza¢, »e

1. odwzorowanie C 3 z 7→ z jest R-liniowe, ale nie jest C-liniowe,

2. T : C → C jest odwzorowaniem R-liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy dla

dowolnego z ∈ C mamy

T (z) = λz + µz,

gdzie λ = (T (1) − iT (i))/2, µ = (T (1) + iT (i))/2,

3. T : C → C jest odwzorowaniem C-liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest

odwzorowaniem R-liniowym i µ = 0.

‚wiczenie 4. Niech

A =

a

b

c

d

b¦dzie macierz¡ o wyrazach rzeczywistych. Macierz A deniuje odwzorowanie
R-liniowe T : C → C dane wzorem

T (x + iy) = A

x

y

.

Wykaza¢, »e T jest odwzorowaniem C-liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy a = d,
−b = c

.

Niech w, z ∈ C. Kªadziemy

hw, zi := Re wz.

1

‚wiczenie 5. Wykaza¢, »e

1. liczba hw, zi jest iloczynem skalarnym w i z traktowanych jako wektory w

R

2

,

2. haw, azi = |a|

2

hw, zi, a ∈ C,

3. hw, zi = hw, zi,

4. hw, zi

2

+ hiw, zi

2

= |w|

2

|z|

2

,

5. |hw, zi| 6 |w||z| (nierówno±¢ Cauchy'ego-Schwarza),

6. |w + z|

2

= |w|

2

+ |z|

2

+ 2hw, zi

,

7. |w + z| 6 |w| + |z|, (nierówno±¢ trójk¡ta).

Sprawdzi¢, kiedy w nierówno±ciach 5 i 7 zachodzi równo±¢.
‚wiczenie 6. Je±li w, z ∈ C, |w|, |z| < 1, to

(a)

w − z

1 − wz

< 1

(b)

|w| − |z|

1 − |w||z|

6

w − z

1 − wz

‚wiczenie 7. Niech a, b ∈ C. Wykaza¢, »e równanie kwadratowe

z

2

+ az + b = 0

posiada rozwi¡zanie w C.
‚wiczenie 8. Wykaza¢, »e liczba (1+i)

4m

jest rzeczywista, a liczba (1+i)

4m+2

jest czysto urojona.
‚wiczenie 9. Je±li ϕ ∈ R \ {π/2 + kπ : k ∈ Z}, to dla m ∈ Z,

1 + i tan ϕ

1 − i tan ϕ

m

=

1 + i tan mϕ

1 − i tan mϕ

.

‚wiczenie 10. Korzystaj¡c ze wzoru De Moivre'a wykaza¢ to»samo±ci:

1. sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin

3

θ

,

2. cos 4θ = 8 cos

4

θ − 8 cos

2

θ + 1

,

3. sin 5θ = 5 sin θ − 20 sin

3

θ + 16 sin

5

θ

,

4. sin

6

θ + cos

6

θ = (3 cos 4θ + 5)/8

,

5. z

n

+ z

−n

= 2 cos nθ,

gdzie z = e

iθ

.

‚wiczenie 11 (Suma cz¦±ciowa szeregu geometrycznego). Je±li z ∈ C \ {1}, to

1 + z + · · · + z

n

=

1 − z

n+1

1 − z

.

2

‚wiczenie 12. Wykaza¢ to»samo±ci

n

X

k=0

cos kθ

=

1

2

+

sin n +

1
2

θ

2 sin

1
2

θ

n

X

k=0

sin kθ

=

1

2

cot

1

2

θ −

cos n +

1
2

θ

2 sin

1
2

θ

gdzie 0 < θ < 2π.

2 Pªaszczyzna domkni¦ta i sfera Riemanna

‚wiczenie 13. Wyznaczy¢ punkty na sferze Riemanna odpowiadaj¡ce liczbom

zespolonym:

1, i,

−1 + i

√

2

, 1 +

√

3i, . . .

‚wiczenie 14. Wykaza¢, »e

d(z

1

, z

2

) = d(z

1

, z

2

) = d

1

z

1

,

1

z

2

‚wiczenie 15. Dwa punkty na sferze nazywamy antypodalnymi, gdy prosta

wyznaczona przez te punkty zawiera ±rednic¦ sfery. Wykaza¢, »e obrazy sfe-

ryczne liczb z

1

i z

2

s¡ antypodalne dokªadnie wtedy, gdy 1 + z

1

z

2

= 0

.

‚wiczenie 16. Niech B ⊂ C b¦dzie zbiorem ograniczonym. Zaªó»my, »e |z| <
M

dla z ∈ B. Wtedy dla z

1

, z

2

∈ B

, takich »e z

1

6= z

2

mamy

d(z

1

, z

2

) < |z

1

− z

2

| < (1 + M

2

)d(z

1

, z

2

)

‚wiczenie 17. Wykaza¢, »e obraz sferyczny prostej jest okr¦giem na sferze

Riemanna, zawieraj¡cym punkt N = (0, 0, 1) (biegun póªnocny). Odwrotnie,

rzut stereograczny okr¦gu zawieraj¡cego punkt N jest prost¡.
‚wiczenie 18. Wykaza¢, »e obraz sferyczny okr¦gu jest okr¦giem na sferze

Riemanna, nie zawieraj¡cym N. Odwrotnie, rzut stereograczny okr¦gu nie

przechodz¡cego przez N jest okr¦giem.
‚wiczenie 19. Wykaza¢, »e

Bz + Bz + C = 0,

B ∈ C \ {0}, C ∈ R

jest ogólnym równaniem prostej.
‚wiczenie 20. Wykaza¢, »e

zz + Bz + Bz + C = 0,

B ∈ C, C ∈ R, |B|

2

− C > 0

jest ogólnym równaniem okr¦gu.

3

3 Ci¡gi i szeregi liczbowe

‚wiczenie 21. Niech (z

n

)

b¦dzie ci¡giem liczb zespolonych. Wykaza¢, »e

lim

n→∞

|z

n

| = +∞

wtedy i tylko wtedy, gdy ci¡g (z

n

)

zbiega do punktu ∞

w metryce sferycznej.
‚wiczenie 22. Obliczy¢, o ile istniej¡, granice funkcji:

(a) lim

z→0

z

2

z

,

(b) lim

z→0

z

z

.

‚wiczenie 23. Wykaza¢, »e

lim

n→∞

n

cos

ϕ

n

+ i sin

ϕ

n

− 1

= iϕ,

ϕ ∈ R,

lim

n→∞

n

Arg

i +

1

n

−

π

2

= −1

lim

n→∞

nArg (n + i) = 1

‚wiczenie 24. Wykaza¢, »e

lim

n→∞

1 +

z

n

n

= e

Re z

.

‚wiczenie 25. Poªó»my

ϕ

n

:= Arg

1 +

z

n

,

n ∈ N.

Liczba ϕ

n

jest dobrze okre±lona gdy z/n 6= −1, a zatem dla prawie wszystkich

n

. Wykaza¢, »e lim

n→∞

nϕ

n

= Im z.

‚wiczenie 26. Korzystaj¡c z dwóch poprzednich ¢wicze« wykaza¢, »e

lim

n→∞

1 +

z

n

n

= e

Re z

(cos Im z + i sin Im z).

‚wiczenie 27. Wykaza¢, »e szereg

∞

X

n=1

z

n

n

(3.1)

jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, gdy |z| < 1, za± rozbie»ny, gdy |z| > 1 lub z = 1.
‚wiczenie 28. Stosuj¡c kryterium Dirichleta wykaza¢, »e szereg (3.1) jest

zbie»ny, gdy |z| = 1, z 6= 1.
‚wiczenie 29. Sprawdzi¢ zbie»no±¢ szeregów:

(a)

∞

X

n=2

i

n

ln n

,

(b)

∞

X

n=1

(3 + 4i)

n

5

n

√

n

,

(c)

∞

X

n=1

cos n

n

,

(d)

∞

X

n=1

sin

2

n

n

.

4

4 Homograa

‚wiczenie 30. Wyznaczy¢ poprzez inwersj¦ f(z) = 1/z obrazy nast¦puj¡cych

prostych i okr¦gów:

1. y = x + 1
2. y = x
3. x

2

+ y

2

= r

2

, r > 0

4. (x − 1)

2

+ y

2

= 4

5. (x − 1)

2

+ y

2

= 1

‚wiczenie 31. Niech f b¦dzie homogra¡ dan¡ wzorem

f (z) =

z − i

z + i

1. Wykaza¢, »e f przeksztaªca prost¡ y = c, c > 0 na krzyw¡ dan¡ parame-

trycznie wzorem

R 3 t 7→

t

2

+ c

2

− 1

t

2

+ (c + 1)

2

−

2it

t

2

+ (c + 1)

2

(4.1)

2. Sprawdzi¢, »e obrazem krzywej (4.1) jest okr¡g

n

z ∈ C :

z −

c

c + 1

=

1

c + 1

o

bez jednego punktu. Wyznaczy¢ ten punkt.

3. Wywnioskowa¢, »e f przeksztaªca górn¡ póªpªaszczyzn¦ H = {z ∈ C :

Im z > 0}

na koªo K = {z ∈ C : |z| < 1}.

‚wiczenie 32. Niech f b¦dzie homogra¡ dan¡ wzorem

g(z) = i

1 + z

1 − z

1. Wykaza¢, »e g przeksztaªca okr¡g {z ∈ C : |z| = r}, 0 < r < 1 na krzyw¡

dan¡ parametrycznie wzorem

h0, 2πi 3 t 7→

−2r sin t

r

2

− 2r cos t + 1

+ i

1 − r

2

r

2

− 2r cos t + 1

(4.2)

2. Sprawdzi¢, »e obrazem krzywej (4.2) jest okr¡g

n

z ∈ C :

z − i

1 + r

2

1 − r

2

=

2r

1 − r

2

o

3. Wywnioskowa¢, »e g przeksztaªca koªo K = {z ∈ C : |z| < 1} na górn¡

póªpªaszczyzn¦ H = {z ∈ C : Im z > 0}.

4. Sprawdzi¢, »e homograe f i g s¡ wzajemnie odwrotne.

5

5 Funkcja wykªadnicza. Funkcje trygonometryczne.

‚wiczenie 33. Wykaza¢, »e funkcja exp przeksztaªca:

1. odcinek {x + it : t ∈ (−π, πi}, x ∈ R, na okr¡g {z ∈ C : |z| = e

x

}

,

2. prost¡ {t + iy : t ∈ R}, y ∈ R, na póªprost¡ {re

iy

: r > 0}

.

‚wiczenie 34. Wykaza¢, »e funkcja exp:

1. jest ró»nowarto±ciowa w zbiorze A = {z ∈ C : −π < Im z 6 π},

2. przeksztaªca zbiór A na C \ {0}.

‚wiczenie 35. Wykaza¢, »e funkcje sin i cos s¡ nieograniczone w C.

‚wiczenie 36. Rozwi¡za¢ w C równania sin z = a, cos z = a, gdzie a przyjmuje

kolejno warto±ci −1, 0, 1, i, −i, . . .

Przypomnijmy, »e rzeczywiste funkcje hiperboliczne deniujemy wzorami:

sinh x :=

e

x

− e

−x

2

,

cosh x :=

e

x

+ e

−x

2

,

x ∈ R.

Zatem kªad¡c

sinh z :=

e

z

− e

−z

2

,

cosh z :=

e

z

+ e

−z

2

,

z ∈ C.

(5.1)

otrzymujemy rozszerzenie funkcji hiperbolicznych z prostej rzeczywistej na dzie-

dzin¦ zespolon¡.

‚wiczenie 37. Niech z = x + iy. Wykaza¢, »e

1. sin iz = i sinh z, cos iz = i cosh z,

2. Re sin z = sin x cosh y, Im sin z = cos x sinh y,

3. Re cos z = cos x cosh y, Im cos z = − sin x sinh y,

4. | sin z|

2

= sin

2

x + sinh

2

y = cosh

2

y − cos

2

x

,

5. | cos z|

2

= cos

2

x + sinh

2

y = cosh

2

y − sin

2

x

.

‚wiczenie 38. Wyznaczy¢ wszystkie punkty C, w których funkcja sinus przyj-

muje warto±ci rzeczywiste. Analogiczne zadanie dla funkcji cosinus, tangens,

cotangens.

‚wiczenie 39. Funkcja sinus jest ró»nowarto±ciowa w zbiorze A = {z ∈ C :
−π/2 < Re z < π/2}

.

‚wiczenie 40. Obrazem odcinka I

y

= {t + iy : −π/2 6 t 6 π/2}, y ∈ R przez

funkcj¦ sinus jest

6

1. przedziaª h−1, 1i, gdy y = 0,

2. póªelipsa

E

y

=

n

(u, v) ∈ R

2

:

u

2

cosh

2

y

+

v

2

sinh

2

y

= 1, v > 0

o

,

gdy y > 0,

3. póªelipsa

E

y

=

n

(u, v) ∈ R

2

:

u

2

cosh

2

y

+

v

2

sinh

2

y

= 1, v 6 0

o

,

gdy y < 0.

‚wiczenie 41. Obrazem prostej L

x

= {x + it : t ∈ R}, −π/2 6 x 6 π/2 przez

funkcj¦ sinus jest

1. póªprosta h1, +∞), gdy x = π/2,

2. póªprosta (−∞, −1i, gdy x = −π/2,

3. prosta {it : t ∈ R}, gdy x = 0,

4. gaª¡¹ hiperboli

H

x

=

n

(u, v) ∈ R

2

:

u

2

sin

2

x

−

v

2

cos

2

x

= 1, u < 0

o

,

gdy −π/2 < x < 0,

5. gaª¡¹ hiperboli

H

x

=

n

(u, v) ∈ R

2

:

u

2

sin

2

x

−

v

2

cos

2

x

= 1, u > 0

o

,

gdy 0 < x < π/2.

‚wiczenie 42. Korzystaj¡c z ¢wiczenia 40 lub 41 wywnioskowa¢, »e

1. sin(A) = C, dla A = {z ∈ C : −π/2 6 Re z 6 π/2},

2. sin(B) = {z ∈ C : Im z 6= 0 ∨ (Im z = 0 ∧ − 1 < Re z < 1)}, dla

B = {z ∈ C : −π/2 < Re z < π/2}.

7

6 Pochodna zespolona i warunki Cauchy'ego-Riemanna

‚wiczenie 43. Niech

f : C 3 z 7→ λz + µz,

λ, µ ∈ C.

Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

1. f posiada pochodn¡ w pewnym punkcie z

0

∈ C,

2. f posiada pochodn¡ w ka»dym punkcie z ∈ C,

3. µ = 0.

‚wiczenie 44. Sprawdzi¢ bezpo±rednio, »e cz¦±¢ rzeczywista i urojona funkcji

sinus speªnia równania Cauchy'ego-Riemanna. Analogiczne zadanie dla funkcji

cosinus

‚wiczenie 45. Wyznaczy¢ punkty, w których dana funkcja f : C → C jest

ró»niczkowalna:

1. f(x + iy) = x

3

y

2

+ ix

2

y

3

,

2. f(x + iy) = x

4

y

5

+ ixy

3

,

3. f(x + iy) = y

2

sin x + iy

,

4. f(x + iy) = sin

2

(x + y) + i cos

2

(x + y)

.

‚wiczenie 46. Dla podanych funkcji u: C → R wyznaczy¢ wszystkie funkcje
v : C → R, takie »e u + iv jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ w C:

1. u(x + iy) = 2x

3

− 6xy

2

+ x

2

− y

2

− y

,

2. u(x + iy) = x

2

− y

2

+ e

−y

sin x − e

y

cos x

,

3. u(x + iy) = x

2

+ y

2

.

‚wiczenie 47. Sprawdzi¢, »e funkcja

L(z) =

1

2

ln(x

2

+ y

2

) + iarctg

y

x

posiada w ka»dym punkcie zbioru C \ {z ∈ C : Re z = 0} pochodn¡ równ¡ 1/z.

8

7 Szeregi pot¦gowe

‚wiczenie 48. Wyznaczy¢ promie« i koªo zbie»no±ci nast¦puj¡cych szeregów

pot¦gowych:

a)

∞

X

n=1

n

n

z

n

,

b)

∞

X

n=1

z

n

n

n

,

c)

∞

X

n=1

2

n

z

n

,

d)

∞

X

n=1

(ln n)

2

z

n

,

e)

∞

X

n=1

2

−n

z

n

,

f)

∞

X

n=1

n

2

z

n

,

g)

∞

X

n=1

n!

n

n

z

n

,

h)

∞

X

n=1

(n!)

3

(3n)!

z

n

,

i)

∞

X

n=1

z

2n

c

n

, c ∈ C \ {0},

j)

∞

X

n=1

n!

2

n

(2n)!

(z − 1)

n

,

k)

∞

X

n=0

(n

2

+ a

n

)z

n

, a ∈ C,

l)

∞

X

n=1

(sin n)z

n

.

‚wiczenie 49. Zaªó»my, »e dla danego szeregu pot¦gowego P

∞
n=0

a

n

z

n

istniej¡

r, M > 0

, takie »e

|a

n

r

n

| 6 M,

dla n = 0, 1, 2, . . .

Wykaza¢, »e wtedy ten szereg jest zbie»ny jednostajnie w kole {z ∈ C : |z| < r}.

Wywnioskowa¢ st¡d, »e je±li R jest kresem górnym tych r > 0, dla których ci¡g
(|a

n

r

n

|)

jest ograniczony, to R jest promieniem zbie»no±ci szeregu P

∞
n=0

a

n

z

n

.

‚wiczenie 50. Wykaza¢, »e szereg

∞

X

n=0

z

n

jest zbie»ny bezwzgl¦dnie i niemal jednostajnie w kole K = {z ∈ C : |z| < 1}

do funkcji

K 3 z 7→

1

1 − z

.

‚wiczenie 51. Udowodni¢ dla k = 0, 1, 2, . . . równo±¢

1

(1 − z)

k+1

=

∞

X

n=k

n

k

z

n−k

,

z ∈ C, |z| < 1

‚wiczenie 52. Wykaza¢, »e dla c ∈ C, d ∈ C \ {c}, k = 0, 1, 2, . . . zachodzi

równo±¢

1

(c − z)

k+1

=

1

(c − d)

k+1

∞

X

n=k

n

k

z − d

c − d

n−k

,

z ∈ C, |z − d| < |c − d|

9

‚wiczenie 53. Wykaza¢, »e promie« zbie»no±ci szeregu pot¦gowego

∞

X

n=1

z

n

n

2

jest równy 1 oraz, »e szereg ten jest zbie»ny w domkni¦ciu koªa zbie»no±ci do

funkcji ci¡gªej.

‚wiczenie 54. Rozwin¡¢ dane ni»ej funkcje w szereg pot¦gowy lub w szereg

Laurenta o ±rodku w z

0

. Wyznaczy¢ promienie, ewentualnie pier±cienie, zbie»-

no±ci.

1. 1/z, z

0

2 + 3i

;

2. (z + i)/(z − i), z

0

= 0, z

0

= −i

, z

0

= i

;

3. 1/(z

2

+ 1)

, z

0

= x ∈ R, z

0

= i

;

4. (2z − i)/(z

2

+ iz + 2)

, z

0

= 1

, z

0

= −i

;

5. z/(z

2

− (1 + 2i)z − 1 + i)

, z

0

= 0

.

8 Caªka krzywoliniowa

‚wiczenie 55. Naszkicowa¢ podane krzywe dla t ∈ h0, 1i:

1. γ(t) = 1 + it,

2. γ(t) = e

−πit

,

3. γ(t) = e

πit

,

4. γ(t) = 1 + it + t

2

.

‚wiczenie 56. Obliczy¢ caªki krzywoliniowe wzdªu» krzywych danych parame-

trycznie w ¢wiczeniu 55 z funkcji

1. f(z) = z

3

,

2. f(z) = z,

3. f(z) =

1
z

.

‚wiczenie 57. Niech Γ b¦dzie dodatnio zorientowanym okr¦giem o ±rodku w
z

0

∈ C i promieniu r > 0. Obliczy¢

ˆ

Γ

(z − z

0

)

k

dz

dla k ∈ Z.

10

‚wiczenie 58. Niech f b¦dzie sum¡ szeregu Laurenta

f (z) =

∞

X

n=−∞

a

n

(z − z

0

)

n

w pier±cieniu P = {z ∈ C : r < |z − z

0

| < R}

. Je±li r < ρ < R i Γ jest dodatnio

zorientowanym okr¦giem o ±rodku w z

0

i promieniu ρ, to dla ka»dego k ∈ Z

zachodzi równo±¢

a

k

=

1

2πi

ˆ

Γ

f (z)

(z − z

0

)

k+1

dz.

‚wiczenie 59. Niech x ∈ R \ {0}. Obliczy¢

I

x

:=

ˆ

[−i,i]

1

z − x

dz.

Ile wynosz¡ granice lim

x→0

−

I

x

, lim

x→0

+

I

x

?

‚wiczenie 60. Niech x > 0. Obliczy¢ caªki

I

−

R

:=

ˆ

[−R,R]

1

z + ix

dz,

I

+

R

:=

ˆ

[−R,R]

1

z − ix

dz.

Ile wynosz¡ granice lim

R→+∞

I

−

R

, lim

R→+∞

I

+

R

?

‚wiczenie 61. Sprawdzi¢, »e

ˆ

[0,z]

e

ζ

dζ = e

z

− 1,

z ∈ C.

Wywnioskowa¢ st¡d nierówno±¢

|e

z

− 1| < |z|,

Re z < 0.

9 Twierdzenie i wzór caªkowy Cauchy'ego

Poni»ej przyjmujemy, »e P

R

jest prostok¡tem normalnym o wierzchoªkach −R, R, R+

iR, −R + iR

, R > 1. Kªad¡c

Γ

R

:= [−R, R] + ∆

R

, ∆

R

:= [R, R + iR, −R + iR, −R],

mamy Γ

R

= ∂P

R

.

‚wiczenie 62. W tym ¢wiczeniu wyka»emy, »e

ˆ

+∞

−∞

cos t

1 + t

2

dt =

π

e

.

(9.1)

11

1. Niech

f (z) =

e

iz

1 + z

2

,

z ∈ C \ {−i, i}.

Wtedy

ˆ

Γ

R

f (z)dz =

π

e

.

2. Wykaza¢, »e |e

iz

| 6 1, gdy Im z > 0. Wyprowadzi¢ st¡d, »e

lim

R→+∞

ˆ

∆

R

f (z)dz = 0.

3. Wywnioskowa¢ równo±¢ (9.1).

‚wiczenie 63. Niech a > 0. Wyka»emy, »e

ˆ

+∞

−∞

t sin t

t

2

+ a

2

dt = πe

−a

.

(9.2)

1. Niech

f (z) =

ze

iz

z

2

+ a

2

,

z ∈ C \ {−ia, ia}.

Wykaza¢, »e je±li R > a, to

ˆ

Γ

R

f (z)dz = iπe

−a

.

2. Stosuj¡c caªkowanie przez cz¦±ci oraz nierówno±¢ z ¢wiczenia 62 punkt 2.

wykaza¢, »e

lim

R→+∞

ˆ

∆

R

f (z)dz = 0.

3. Wywnioskowa¢ (9.2), w szczególno±ci zauwa»y¢ zbie»no±¢ caªki.

‚wiczenie 64. Niech n b¦dzie liczb¡ caªkowit¡ nieujemn¡. Wyka»emy, »e

ˆ

+∞

−∞

dt

(1 + t

2

)

n+1

=

1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)

2 · 4 · 6 · · · (2n)

π.

(9.3)

1. Ró»niczkuj¡c n-krotnie wzór caªkowy Cauchy'ego dla odpowiedniej funkcji

wykaza¢, »e

ˆ

Γ

R

dξ

(1 + ξ

2

)

n+1

=

1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)

2 · 4 · 6 · · · (2n)

π.

2. Zauwa»y¢, »e

lim

R→+∞

ˆ

∆

R

dξ

(1 + ξ

2

)

n+1

= 0

a nast¦pnie wywnioskowa¢ (9.3).

‚wiczenie 65. Wykaza¢, »e

ˆ

+∞

−∞

cos nt

1 + t

2

dt = πe

−n

.

12

10 Punkty osobliwe odosobnione, residua

‚wiczenie 66. Wykaza¢, »e f posiada zero k-krotne w z

0

, dokªadnie wtedy,

gdy

f (z

0

) = f

0

(z

0

) = · · · = f

(k−1)

(z

0

) = 0,

f

(k)

(z

0

) 6= 0.

‚wiczenie 67. Sprawdzi¢ z jakimi krotno±ciami podane ni»ej funkcje przyjmuj¡

swoje zera

a) sin z,

b) exp z − 1,

c) tg z,

d) cos z − 1.

‚wiczenie 68. Niech z

0

b¦dzie co najwy»ej k-krotnym biegunem funkcji f.

Niech g(z) = (z − z

0

)

k

f (z)

. Wykaza¢, »e z

0

jest punktem pozornie osobliwym

g

oraz

res

z

0

f =

1

(k − 1)!

lim

z→z

0

g

(k−1)

(z).

‚wiczenie 69. Wyznaczy¢ rodzaje osobliwo±ci, residua i rz¦dy (gdy punkt nie

jest istotnie osobliwy) funkcji

a)

z

2

(z

2

− 1)

2

,

b)

1

sin z

,

c) tg z,

d)

z

2

− π

2

sin z

,

e)

1 − cos z

sin z

,

f)

1

e

z

− 1

−

1

z − 2πi

.

11 Twierdzenie o residuach i obliczanie caªek

‚wiczenie 70. Stosuj¡c to»samo±¢ cos t = (e

it

+ e

−it

)/2

przedstawi¢ caªk¦

I :=

ˆ

2π

0

dt

5 + 4 cos t

w postaci

−i

ˆ

Γ

dz

2z

2

+ 5z + 2

Wykaza¢, »e I = 2π/3.

‚wiczenie 71. Niech a > 1. Wykaza¢, »e

ˆ

2π

0

dt

a + sin t

=

2π

√

a

2

− 1

,

ˆ

2π

0

dt

(a + cos t)

2

=

2πa

(a

2

− 1)

3/2

.

13

‚wiczenie 72. Obliczymy caªk¦

I :=

ˆ

∞

−∞

x

2

1 + x

4

dx.

Niech Γ

R

:= [−R, R] + C

R

, gdzie R > 1 a C

R

jest krzyw¡ o parametryzacji

h0, πi 3 t 7→ exp (it)

.

1. Kªadziemy

f (z) :=

z

2

1 + z

4

.

Wykaza¢, »e

ˆ

Γ

R

f (z) dz = 2πi

exp (−πi/4)

4

−

i exp (−πi/4)

4

=

π

√

2

.

2. Zauwa»y¢, »e

lim

R→∞

ˆ

C

R

f (z) dz = 0.

3. Wywnioskowa¢, »e I = π/

√

2

.

14