Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 3

1

Zadanie 1 Znaleźć sumy szeregów rzeczywistych

∞

X

n=1

r

n

cos(nt) i

∞

X

n=1

r

n

sin(nt), gdzie t, r ∈ R,

|r| < 1.

Zadanie 2 Wykazać, że szereg

∞

X

n=1

z

n

jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi

∞

X

n=1

Rez

n

i

∞

X

n=1

Imz

n

są bezwzględnie zbieżne.

Zadanie 3 Udowodnić, że jeżeli Rez

n

­ 0 dla każdego n ∈ N oraz szeregi

∞

X

n=1

z

n

i

∞

X

n=1

z

2

n

są zbieżne,

to szereg

∞

X

n=1

|z

n

|

2

jest zbieżny.

Zadanie 4 Zbadać zbieżność szeregów. Określić rodzaj zbieżności.

a)

∞

X

n=1

sin

√

n + in cos n

1 + n

3

b)

∞

X

n=1

3 + n + 2ni

n

2

c)

∞

X

n=1

(−1)

n

+

1

2n

i

n

d)

∞

X

n=1

sin

√

n

i(1 + n

2

)

e)

∞

X

n=1

e

in

π

2

n

f)

∞

X

n=1

1 + in + n

2

+ in

3

1 + n

3

g)

∞

X

n=1

n

n

n!(e − i)

n

h)

∞

X

n=1

(1 + i)

n

n(

√

2)

n

i)

∞

X

n=1

n(1 + i)

n

2

n

j)

∞

X

n=1

(1 + i)

n

2

n

2

k)

∞

X

n=1

i

n

n

l)

∞

X

n=1

n

(in)

n

m)

∞

X

n=1

n

2

+ i

in

4

+ 1

n)

∞

X

n=1

√

n + 3i

(i

√

n)

3

o)

∞

X

n=1

(n + i)

n

n

n

p)

∞

X

n=1

(n + i)

5

n

7

Odpowiedzi: 1.

r(cos t − r)

1 − 2r cos t + r

2

,

r sin t

1 − 2r cos t + r

2

; 4. a) zbieżny bezwzględnie, b) rozbieżny, c)

zbieżny warunkowo, d) zbieżny bezwzględnie, e) zbieżny warunkowo, f ) rozbieżny, g) zbieżny bez-
względnie, h) zbieżny warunkowo, i) zbieżny bezwzględnie, j) rozbieżny, k) zbieżny warunkowo, l)
zbieżny bezwzględnie, m) zbieżny bezwzględnie, n) rozbieżny, o) rozbieżny, p) zbieżny bezwzględnie.