Interferencja i dyfrakcja fal świetlnych
Interferencją nazywamy niezakłócone nakładanie się fal (zasada niezakłóconej
superpozycji).
Inteferencja fal z dwóch źródeł.
Dwa dipole elektryczne S
1
i S
2
oscylujące w fazie, o momentach:p = p
o
cos
ω
t
W punkcie P pole E w wyniku nałożenia się fali wysłanej przez S
1
i S
2
wyniesie:
E = E
1
+ E
2
= E
o
cos (kr
1
-
ω
t) + E
o
cos (kr
2
-
ω
t)
gdzie podstawiono :
E
o
=
o
o
k
p
c r
2
2
ω
Różnica faz pomiędzy E
2
i E
1
wynosi :
φ
= (kr
1
-
ω
t) - (kr
2
-
ω
t) = k (r
2
- r
1
).
Różnica dróg (r
2
- r
1
), przy warunku : r
1
, r
2
>> d (z rys. w powiększeniu)
wynosi r
2
- r
1
= d sin
θ
E
1
i E
2
wzmocnią się, gdy różnica faz:
φ
= k d sin
θ
= n2
π
tzn. gdy różnica dróg : r
2
- r
1
= n
λ
( k = )
Maksimum wystąpi pod kątem
θ
gdy :
sin
θ
=
E
1
i E
2
osłabią się, gdy różnica faz :
φ
= k d sin
θ
= (2n +1)
π
;
tzn. dla różnicy dróg : r
2
- r
1
= (n + )
λ
;
Minimum wystąpi pod kątem
θ
gdy :
sin
θ
= (n + )
2π
λ
= ω
c
n
d
λ
1
2
1
2
λ
d
Średnią moc przenoszoną przez falę nazywamy natężeniem fali I; jest ono
proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali :
(E
o
’
)
2
=
czyli:
I
’
= 2 I
o
(1 + cos
φ
) = 2 I
o
(1 + cos(kdsin
θ
)
o
o
o
o
2
2
2
2
2
1
E
E
E
E
+
+
=
+
cos )
(
cos )
φ
φ
Obraz interferencyjny dla dwóch źródeł punktowych :
Natężenie fali w maksimum dla
φ
= 2n
π
:
I
m
= 2I
o
(1+1) = 4I
o
Gdyby E
1
i E
2
były niespójne (zmienna różnica faz źródeł S
1
i S
2
) ekran
byłby oświetlony równomiernie: I = 2I
o
Interferencja fal z wielu źródeł koherentnych (spójnych)
Różnica faz pomiędzy dwoma dowolnymi falami obserwowanymi pod
kątem
θ
wynosi :
φ
= k d sin
θ
Żeby wszystkie były zgodne w fazie, każda para sąsiadujących fal ma
różnicę dróg n
λ
d sin
θ
= n
λ
Warunek dla maksimum
: sin
θ
=
n
d
λ
Obraz interferencyjny dany jest wyrażeniem (dla N źródeł):
I = I
o
2
2
2
2
sin
( / )
sin ( / )
N
φ
φ
Dla maksimum, gdy
φ
→ 0, to sin N(
φ
/2)
→ N(
φ
/2) i
sin (
φ
/2)
→ (
φ
/2) ; wówczas I
→ I
o
= I
o
N
2
,
tzn. natężenie w maksimum jest N
2
razy większe od natężenia jednego
źródła. Dodatkowe, słabe maksima są wynikiem dodawania się fal tylko z
niektórych źródeł.
2
( ( / )
( / )
N
φ
φ
2
2
2
Dyfrakcja na pojedyńczej szczelinie
Dyfrakcja polega na uginaniu się fal świetlnych na przeszkodzie, np. na
brzegu szczeliny lub przesłony. Dyfrakcja jest wynikiem interferencji. Na
szczelinę pada monochromatyczna wiązka światła. Zgodnie z zasadą
Huygensa, każdy punkt w szczelinie staje się źródłem fali; fale te będą
interferować, a ponieważ są spójne, dadzą ustalony obraz interferencyjny.
Wyznaczenie warunku na I-sze minimum.
Aby określić kąt
θ
, dla którego wystąpi I-sze minimum,
podzielmy szczelinę na 2 części (rysunek). Różnica
dróg promieni z dowolnej pary symetrycznych
punktów w obydwu połówkach szczeliny (np. A
1
i A
1
’
;
D i A; A i B) :
r
2
- r
1
= (a/2) sin
θ
;
fale się wygaszają gdy r
2
- r
1
=
λ
/2
Warunek na I-sze minimum : sin
θ
=
λ
/a
Analogicznie, po podziale szczeliny na 4 części, dostaniemy warunek na
II-gie minimum : sin
θ
= 2
λ
/a
Wyznaczenie warunku na I-sze maksimum.
Aby określić kąt
θ
, dla którego wystąpi I-sze maksimum boczne, podzielmy
szczelinę na 3 części.
Różnica dróg promieni z dowolnej pary punktów symetrycznych w dwóch
sąsiednich częściach (np. dwóch górnych na rysunku):
r
2
- r
1
= (a/3) sin
θ
fale się wygaszą, gdy: r
2
- r
1
=
λ
/2.
Wówczas pozostaną niewygaszone promienie z dolnej 1/3 części szczeliny,
dając I-sze maksimum.
Warunek na I-sze maksimum: sin
θ = (3/2)
λ
/a
Analogicznie, po podziale szczeliny na 5 części, dostaniemy warunek na
II-gie maksimum : sin
θ = (3/2)
λ
/a
W ogólności, warunek na n-ty prążek, ciemny lub jasny, określa wzór :
sin
θ
n
= (n/2)
λ
/a
gdy :
n parzyste - minima
n nieparzyste - maksima
Obraz dyfrakcyjny szczeliny zależy od jej szerokości a,
a dokładnie od stosunku
λ
/a . Z warunku na I-sze minimum (sin
θ =
λ
/a)
wynika, że minimum to wystąpi tylko dla a
> λ
(wtedy sin
θ < 1) - dla
mniejszych wartości a szczelina będzie punktowym źródłem fali kulistej
(zgodnie z zasadą Huygensa), która równomiernie oświetli ekran -
patrz rys. dla a =
λ
.
Rozkład natężeń na ekranie dla różnych a
Dla a
> λ
rozkład natężeń obrazu dyfrakcyjnego dany jest wyrażeniem:
I = I
m
gdzie
φ
jest różnicą faz promieni z dwu krańców szczeliny:
φ
= 2
π a/
λ
sin
θ
sin( / )
/
φ
φ
2
2
2
Rozszerzając szczelinę powodujemy najpierw zwężanie się obrazu na ekranie (efekt
dyfrakcji), potem ponownie rozszerzanie się, gdy efekty dyfrakcji można zaniedbać.
Siatka dyfrakcyjna - łączny efekt dyfrakcji i interferencji
Kąty, pod którymi powstają maksima, określone są warunkiem, aby różnica
dróg fal z sąsiednich szczelin była równa n
λ
, czyli:
d sin
θ
= n
λ
Z tego :
sin
θ
= n
λ
/d
Warunek na maksima interferencyjne
W odróżnieniu od interferencji fal z koherentnych
źródeł punktowych, dla szeregu realnych szczelin o
szerokości a
> λ
(typowe siatki dyfrakcyjne), obraz
interferencyjny jest wynikiem nałożenia się efektów
interferencji z różnych szczelin i dyfrakcji na każdej
szczelinie.
„Czynnik interferencyjny”
Ale natężenie fali ugiętej na każdej
szczelinie określone jest przez efekt
dyfrakcji.
„Czynnik dyfrakcyjny”
„Wypadkowy” obraz interferencyjny
dla siatki dyfrakcyjnej.
Pierścienie Newtona, prążki interferencyjne
Fale świetlne, padając na soczewkę położoną na płytce szklanej odbijają
się m.in. od tylnej ścianki soczewki i od płytki.
Różnica dróg optycznych zależy od wysokości szczeliny i jest równa:
∆ = 2h + (czynnik ) wynika ze zmiany fazy fali przy odbiciu od płytki).
Pierścienie jasne (wzmocnienie) dla grubości h, dla których: 2h + = n
λ
⇒ h = (2n - 1) ,
tzn. pierścienie Newtona będą miały promienie:
a =
(r - promień krzywizny soczewki).
2
2
λ
4
2
r
λ
λ
2
λ
λ
2n 1
−
W świetle białym ujrzymy pierścienie barwne.
Podobny efekt odpowiada za pojawienie się prążków interferencyjnych
jednakowej grubości w cienkich płytkach i błonkach; w świetle białym
powstają barwne smugi, gdyż przy odpowiednich grubościach warstwy
pewne barwy zostają wygaszone.
grubość warstwy
światło odbite
światło przechodzące
332 nm
jaskrawożółta niebieska
556 nm
czerwona
blado zielona
664 nm
niebieska
pomarańczowa
Holografia
Jedno z zastosowań lasera, pozwala na otrzymywanie trójwymiarowych
obrazów. Hologram (negatyw holograficzny) powstaje przez naświetlanie
błony fotograficznej wiązką spójnego, monochromatycznego światła
laserowego odbitego od fotografowanego przedmiotu; jednocześnie na
błonę fotograficzną pada wiązka odniesienia, odbita od zwierciadła.
Powstały obraz interferencyjny, utrwalony na błonie fotograficznej, jest
hologramem; przy oświetleniu go wiązką światła laserowego, wskutek
ugięcia i interferencji fal świetlnych, odtworzony zostaje pierwotny obraz
przedmiotu. Obraz jest „zawieszony” w przestrzeni i może być oglądany z
różnych stron - jest trójwymiarowy.
Hologram laserowy, oświetlony światłem białym, wytworzy rozmytą,
wielobarwną „plamę”.
Możliwe jest jednak wytworzenie tzw.
hologramu „tęczowego”:
normalny
hologram oświetla się światłem laserowym przez wąską, poziomą szczelinę
i taki zubożony obraz utrwala się na nowej błonie. Powstały nowy hologram
pozwala na oglądanie obrazu w świetle białym; wrażenie trójwymiarowo-
ści pozostaje tylko w płaszczyźnie poziomej; w płaszczyźnie pionowej
obraz zmienia barwy - stąd nazwa hologram tęczowy.
Możliwe zastosowania holografii :
1.
Magazynowanie danych -
olbrzymia gęstość
informacji
(wszystkie informacje zawarte w Bibliotece Kongresu USA
zmieściłyby się w 1 cm
3
!);
2. Rozpoznawanie
kształtów i przedmiotów przez roboty (hologramy
byłyby ich pamięcią);
3. Trójwymiarowe projektowanie (grafika komputerowa);
4. Obrazy trójwymiarowe dla celów dydaktycznych
(medycyna), artystycznych, rozrywkowych.
Polaryzacja światła
Światło - poprzeczna fala elektromagnetyczna
, z wzajemnie prostopadłym
polem elektrycznym E i polem magnetycznym B.
Wektor E
, indukujący drgania ładunków elektrycznych w ośrodku w którym
rozchodzi się fala świetlna, jest nazywany
„wektorem świetlnym”.
Płaszczyzna polaryzacji fali świetlnej
jest zdefiniowana jako płaszczyzna
zawierająca wektor B i kierunek rozchodzenia się fali (kwestia umowna -
niektórzy autorzy definiują płaszczyznę polaryzacji jako prostopadłą do B).
Światło niespójne
- w wiązce światła wektory E są skierowane w różnych
kierunkach.
Światło spolaryzowane liniowo
- kierunek wektorów E jest taki sam dla całej
wiązki i stały w czasie.
Dwa promienie świetlne, spójne, ale spolaryzowane w płaszczyznach
wzajemnie prostopadłych, nie utworzą obrazu interferencyjnego -
powstanie promień też spolaryzowany.
tg
α =
gdzie i
są amplitudami nakładających się fal.
Jeśli różnica faz pomiędzy dwoma wzajemnie prostopadle
spolaryzowanymi falami światła wynosi
π/2 , to długość wypadkowego
wektora E pozostaje stała, ale wektor ten obraca się wokół kierunku
rozchodzenia się fali :
t = 0 t = 1/8 T t =1/4 T t = 3/8 T t = 1/2 T t = 5/8 T
2
1
o
o
E
E
1
o
E
2
o
E
Jeśli różnica faz pomiędzy tymi dwoma promieniami jest
równa zero, wówczas powstały promień
jest
spolaryzowany liniowo, a jego „wektor świetlny” E tworzy
z pionem kąt
α określony przez wyrażenie :
Wektor wypadkowy obraca się z okresem T = ,
gdzie
ω
jest częstością
nakładających się fal :
= cos
ω
t oraz = cos(
ω
t -
)
Polaryzacja kołowa jest lewoskrętna
gdy wektor E obraca się
zgodnie z
ruchem wskazówek zegara
patrząc w kierunku poruszania się fali; gdy
obraca się
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara polaryzacja kołowa jest
prawoskrętna
.
Źródła światła, poza laserami, na ogół emitują światło niespolaryzowane;
polaryzację można uzyskać kilkoma sposobami :
1.
Przepuszczenie światła przez polaroid
(filtr polaryzacyjny) przepuszczający
tylko fale z wektorami elektrycznymi drgającymi w jednym wyróżnionym
kierunku. Polaroidy wykonuje się najczęściej z silnie zorientowanych folii
polimerowych.
2 π
ω
1
E
1
o
E
2
E
2
o
E
π
2
Jeśli na drodze fali świetlnej ustawi się dwa filtry polaryzacyjne (pierwszy
zwany polaryzatorem, a drugi analizatorem), to natężenia światła po przejściu
przez analizator zależy od kąta
α pomiędzy płaszczyznami polaryzacji obu
filtrów.
Zależność tą opisuje
prawo Malusa
:
I
A
= I
P
cos
2
α
gdzie I
A
jest natężeniem światła po przejściu przez analizator, a I
P
natężeniem
światła po przejściu przez polaryzator.
Skrzyżowane polaroidy (
α = π/2 ) praktycznie nie przepuszczają światła, I
A
≈ 0.
2.
Polaryzacja przez odbicie
Wiązka światła padająca na powierzchnię ośrodka nieprzewodzącego,
jest częściowo odbita a częściowo ulega załamaniu. Zgodnie z prawem
odbicia kąt padania jest równy kątowi odbicia, a zgodnie z prawem Snella:
= n
Źródłem promienia odbitego są drgające elektrony w izolatorze; drgające
ładunki wysyłają fale tylko w kierunku prostopadłym do swojego ruchu (nie
promieniują w kierunku swojego ruchu).
s in
s in
α
β
Zatem, jeśli kąt padania
α zostanie tak
dobrany, że kąt pomiędzy promieniem
odbitym a załamanym będzie równy 90
o
, to
promień odbity będzie generowany tylko
przez elektrony drgające w kierunku
prostopadłym do płaszczyzny rysunku -
odbita wiązka będzie spolaryzowana.
Warunek ten jest spełniony gdy :
α + β + 90
o
= 180
o
czyli :
α + β = 90
o
lub
β = 90
o
-
α
Z prawa Snella :
= n
otrzymujemy warunek na kąt całkowitej polaryzacji wiązki odbitej :
tg
α
= n
Prawo Brewstera
sin
α
o
sin(
)
α
90
−
3. Polaryzacja przez kryształy dwójłomne
Wiązka rozszczepia się na dwa promienie, spolaryzowane wzajemnie
prostopadle. Promień zwyczajny spełnia prawo Snella, natomiast promień
nadzwyczajny nie. Wynika to z optycznej anizotropii takich kryształów
(współczynnik załamania jest w nich zależny od kierunku).