§

§

Prezentacja na prawach rękopisu

Paweł Kokot, Michał Krotoszyński

§

§

Jeżeli na tej podstawie, iż jestem przekonany, że dziś jest sobota, dochodzę do
przekonania, że jutro jest niedziela, znaczy to, że z tego, iż dziś jest sobota wnioskuję,
iż jutro jest niedziela.

Wnioskowanie (w rozumieniu wąskim) jest o proces myślowy polegający na tym,
że ktoś przyjmując pewne zdanie lub kilka zdań za prawdziwe dochodzi na tej
podstawie do przeświadczenia o prawdziwości innego zdania.

Zdania, na podstawie których uznajemy inne
zdania za prawdziwe, czyli te zdania, od których
zaczyna

się

wnioskowanie,

nazywamy

przesłankami

tego wnioskowania. Zdanie, które

uznajemy za prawdziwe w rezultacie procesu
wnioskowania, nazywamy

wnioskiem.

W przytoczonym przykładzie przesłanką było
zdanie „Dziś jest sobota”, a wnioskiem było zdanie
„Jutro jest niedziela”. We wnioskowaniu tym była
jeszcze jedna przesłanka – niewypowiedziana, ale
domyślna, że prawdziwe jest zdanie „Jeżeli dziś
jest sobota, to jutro jest niedziela” –

przesłanka

entymematyczna.

przesłanka

+ przesłanka
+ przesłanka
-----------------
= wniosek

przesłanka

+ przesłanka
+ przesłanka
entymatyczna
-----------------
= wniosek

Pojęcie wnioskowania

§

§

Wnioskowania często nawiązują do stosunku wynikania między zdaniami. Przesłanka to

jednak nie to samo, co racja, a wniosek to nie to samo, co następstwo.

stosunek wynikania:

racja:

nast

ę

pstwo:

prawdziwa

prawdziwe

fa

ł

szywa

fa

ł

szywe

przesłanka

+ przesłanka
+ przesłanka
-----------------
= wniosek

wnioskowanie:

Wnioskowanie może być oparte na wynikaniu, w tym na wynikaniu logicznym. Wówczas z prawdziwej
racji bez wątpienia (=niezawodnie) wynika prawdziwe następstwo. Np.

Jeżeli pada deszcz, to jest

mokro

(stosunek wynikania) +

pada deszcz

(racja) =

jest mokro

(następstwo).

Wnioskowanie nie musi być jednak oparte na wynikaniu. Możemy wnioskować:

Jeśli ziemia jest

mokra, to padał deszcz

(przesłanka niebędąca wynikaniem) +

ziemia jest mokra

(następstwo

wynikania) =

padał deszcz

(racja wynikania). Takie wnioskowanie jest jednak zawodne.

Proces wnioskowania a stosunek wynikania

§

§

Wnioskowania przebiegają wedle różnych schematów wnioskowań (= schematów
inferencyjnycych). Ze względu na nie wnioskowania dzielimy na:

wnioskowania niezawodne

z prawdziwych przesłanek zawsze

uzyskamy prawdziwy wniosek

najważniejsze to wnioskowanie

dedukcyjne, w którym z

przesłanki (przesłanek) wynika

logicznie wniosek

może być ono oparte na prawach

logicznych należących do

rachunku

zdań

i do

rachunku nazw

inny przykład: wnioskowanie

przez indukcję zupełną

wnioskowania zawodne

z prawdziwych przesłanek nie

zawsze uzyskamy prawdziwy

wniosek

Wyróżniamy m.in..:

- wnioskowania redukcyjne

(w tym w. indukcyjne przez

indukcję niezupełną),

- wnioskowanie z analogii

Rodzaje wnioskowań

§

§

Dla kogoś, kto chce wnioskować w taki sposób, aby z przyjętych przezeń przesłanek
wynikał niezawodnie przyjmowany przez niego wniosek, konieczna okazuje się
znajomość praw logicznych, twierdzeń logiki formalnej.

Znamy już pojęcie funkcji zdaniowej, znamy pojęcie kwantyfikatora
oraz przynależenia elementu do klasy. Znamy również pojęcie
funktora prawdziwościowego. Wprowadzamy do rozważań pojęcie
„stałej logicznej”, które oznaczać będzie następujące wyrażenia:
1) funktor

∈

,

2) funktory prawdziwościowe,
3) kwantyfikatory,
4) wszelkie takie wyrażenia, które można zdefiniować odwołując się
jedynie do wyrażeń wymienionych w pkt 1 – 3.

Funkcja zdaniowa zbudowana jedynie ze stałych logicznych oraz ze zmiennych

nazywana jest

funkcją logiczną.

Funkcję logiczną, która przy dokonywaniu wszelkich składnych podstawień

logicznych za występujące w niej daje zdanie prawdziwe,

nazywamy

prawem logicznym, czy też tautologią logiczną.

Funkcję taką traktujemy jako twierdzenie logiki formalnej.

Prawa logiczne

§

§

Spośród wielkiej liczby praw logicznych
interesować nas będą w szczególności,
które jako całość mają postać implikacji
albo równoważności

(którą

możemy

traktować

jako

koniunkcję

dwóch

implikacji: pierwszego zdania i drugiego
oraz drugiego i pierwszego.

Prawo logiczne, w którym głównym funktorem, to znaczy funktorem podporząd-
kowującym sobie wszystkie pozostałe występujące w tym prawie, jest znak implikacji
albo równoważności, stwarza schemat dla wielkiej liczby wnioskować, w których ze
zdań powstałych w drodze odpowiedniego podstawienia poprzednika takiego prawa
wnioskować się będzie odpowiednie podstawienie następnika, mając pewność, że z
przesłanki czy przesłanek takiego wnioskowania wynikać będzie jego wniosek.

Zasada

sprzeczności

~(p^~p)

Zasada

wy

ł

ączonego

środka

pv~p

Zasada

podwójnego

przeczenia

p

≡~(~p)

Przykładami praw logicznych

są: zasada

sprzeczności,

zasada

wyłączonego

środka,

zasada

podwójnego

przeczenia.

Są

one

funkcjami logicznymi, a przy tym przy każdym
podstawieniu dają zdanie prawdziwe.

p≡q = (p->q)^(q->p)

Prawa logiczne (2)

§

§

(p

⇒

⇒

⇒

⇒

q)

⇒

⇒

⇒

⇒

(~q

⇒

⇒

⇒

⇒

~p)

Prawo transpozycji powyżej zostało zapisane przy
użyciu znaku implikacji jako funktora głównego,
choć

można

byłoby

użyć

nawet

znaku

równoważności, implikowanie zachodzi tutaj również
i w kierunku odwrotnym: (p

⇒

q)

⇔

(~q

⇒

~p).

Przykład: Jeśli pada deszcz (p) to jest ślisko (q) co
znaczy, iż jeśli nie jest tak, że jest ślisko (~q) to nie
jest tak, że pada deszcz (~p).

Dowolne podstawienie jakichś

zdań

na

miejsce zmiennych

p

oraz

q

zamieni tę

funkcję w zdanie prawdziwe: znaczy to w tym
przypadku, że zdanie powstałe z dowolnego
podstawienia

zmiennych

w

pierwszym

nawiasie implikować będzie zdanie powstałe
z odpowiednio takiego samego podstawienia
zmiennych w drugim nawiasie.

Prawo transpozycji

§

§

Π S, P: SaP ≡ nie-P a nie-S

Przykładem prawa logicznego
rachunku nazw jest prawo
kontrapozycji zdań typu SaP.

Ze względu na to prawo,
zdanie: „Każdy samochód jest
pojazdem”

jest równoważne

zdaniu „Każdy nie-pojazd jest
nie-samochodem”

(pierwsze

zdanie

implikuje

drugie,

a drugie implikuje pierwsze).

Prawo kontrapozycji

§

§

Jeżeli jakieś zdanie powstaje przez właściwe podstawienia jakichś wyrażeń na miejsce
zmiennych występujących w poprzedniku prawa logicznego o postaci implikacji (czy
równoważności), a drugie zdanie powstaje przez takie same podstawienia w
następniku takiego prawa, to mówimy, iż w takim przypadku z pierwszego zdania
jako racji logicznej wynika logicznie drugie zdanie jako następstwo logiczne

Prawo transpozycji uzasadnia dyrektywę inferencyjną:
Ponieważ: Jeżeli p, to q
Więc:

Jeżeli nie jest tak, że q, to nie jest tak, że p

Prawo kontrapozycji uzasadnia dyrektywę inferencyjną:
Ponieważ: Jeżeli SaP
Więc:

nie-P a nie-S

Wynikanie logiczne. Wnioskowanie dedukcyjne

Takie wnioskowanie, z którego przesłanek
wynika logicznie jego wniosek, nazywamy

wnioskowaniem dedukcyjnym

Pomnik Sherlocka Holmesa w
Meiringen, Szwajcaria (zdj. Juhanson)

§

§

[(p

⇒

⇒

⇒

⇒

q) ˄ p]

⇒

⇒

⇒

⇒

q

Modus ponendo ponens
(„

twierdząc twierdzę

”):

Tautologia ta mówi, że jeśli uznajemy prawdziwość
poprzednika prawdziwej implikacji, to musimy uznać
też prawdziwość jej następnika

Przykład:

Ponieważ: jeżeli dziś jest tęgi mróz, to dziś jest lód na
stawie, i dziś jest tęgi mróz – więc: dziś jest lód na
stawie.

Powyższe wnioskowanie przebiega w następujący sposób:
Ponieważ:

Jeżeli p, to q
i p

Więc:

___________
q

Augus Rodin, Myśliciel

Modus ponendo ponens

§

§

[(p

⇒

⇒

⇒

⇒

q)

∧

∧

∧

∧

~q]

⇒

⇒

⇒

⇒

~p

Modus tollendo tollens

(łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia):

Tautologia ta mówi, że jeśli z p wynika q (tzn. p jest racją, a q następstwem) i
stwierdzimy, że nieprawda, iż q, to nieprawdziwe jest zdanie p. Inaczej: fałszywość
następstwa pociąga za sobą fałszywość racji.

Przykład:

„Jeżeli nie ma śladów uderzeń na zwłokach, a
przy tym gdyby zmarły był bity przed śmiercią,
to by były ślady uderzeń na zwłokach, tedy
nieprawda, że zmarły był bity przed śmiercią."

Tadeusz Kotarbiński, Elementy teorii poznania, logiki formalnej i
metodologii nauk

Modus tollendo tollens

§

§

[(p

∨

∨

∨

∨

q)

∧

∧

∧

∧

~p]

⇒

⇒

⇒

⇒

q

Modus tollendo ponens

(łac. sposób potwierdzający przez zaprzeczenie):

Tautologia ta mówi, że jeśli uznajemy alternatywę i fałszywość jednego z jej członów,
musimy uznać prawdziwość drugiego członu.

Jeżeli wiadomo, że dane przestępstwo popełnił Jan lub popełnił Piotr, i stwierdzono, że
Jan go nie popełnił, to musimy z takich przesłanek wyciągnąć wniosek, że dane
przestępstwo popełnił Piotr.

[(p / q)

∧

∧

∧

∧

p]

⇒

⇒

⇒

⇒

~q

Modus ponendo tollens

(łac. sposób przeczący przez potwierdzenie):

Tautologia ta mówi, że na podstawie prawdziwości jednego ze zdań składowych
prawdziwej dysjunkcji można orzekać o fałszywości drugiego.

Jeżeli wiadomo, że z pewnej porcji gliny bądź zostanie zrobiony wazonik, bądź zostanie
zrobiona figurka, i wiadomo, że zostanie zrobiony wazonik, to niewątpliwie nie zostanie
zrobiona figurka z tej porcji gliny.

Modus tollendo ponens/modus ponendo tollens

§

§

Augustus de Morgan.

Źródło: Wikipedia

~ (p

∧

∧

∧

∧

q) ≡ (~p

∨

∨

∨

∨

~q)

Pierwsze prawo de Morgana:

Pierwsze prawo de Morgana mówi, iż negacja koniunkcji
jest równoważna alternatywie negacji.

Skoro zaprzeczamy, by koniunkcja „p” oraz „q” była
prawdziwa, to z tego wynika, że przynajmniej jedno z jej
zdań składowych jest nieprawdziwe.

Zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań jest równoważne
logicznie alternatywie zaprzeczonych zdań składowych
tej koniunkcji.

I prawo de Morgana

§

§

Augustus de Morgan.

Źródło: Wikipedia

~ (p

∨

∨

∨

∨

q) ≡ (~p

∧

∧

∧

∧

~q)

Drugie prawo de Morgana:

Drugie prawo de Morgana mówi, iż negacja alternatywy
jest równoważna koniunkcji negacji.
Alternatywa nierozłączna jest fałszywa tylko wtedy, gdy
nieprawdziwe są wszystkie jej zdania składowe; skoro więc
zaprzeczamy alternatywie, to znaczy, że każde ze zdań tej
alternatywy uważamy za fałszywe.

Przykład:

Z tego, iż nieprawda, że oskarżony był członkiem SS lub
był pracownikiem Gestapo, wynika, iż nieprawda, że był
on członkiem SS, i nieprawda, że był on pracownikiem
Gestapo.

Zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań jest równoważne
logicznie koniunkcji jej zaprzeczonych zdań składowych.

II prawo de Morgana

§

§

~ (p

⇒

⇒

⇒

⇒

q)

⇒

⇒

⇒

⇒

(p

⇒

⇒

⇒

⇒

~q)

Prawo negacji implikacji:

Skoro stwierdzamy, że nieprawdą jest, iż jeżeli p, to q, to na
pewno jest tak, iż gdy zdanie p jest prawdziwe, zdanie q jest
nieprawdziwe.

Jeżeli stwierdzamy, że nieprawdziwe jest zdanie warunkowe
„Jeżeli 1 listopada jest piątek, to 2 listopada jest niedziela”, to
wynika stąd, iż „Jeżeli 1 listopada jest piątek, to 2 listopada
nie jest niedziela”.

Prawo negacji implikacji wskazuje, że z negacji zdania
warunkowego wnioskować można, że poprzednik tego zdania
implikuję negację następnika.

Inne wersje tego prawa:
~ (p

⇒

q)

⇒

(q

⇒

p)

~ (p

⇒

q)

⇒

(~p

⇒

q)

~ (p

⇒

q)

⇒

(~p

⇒

~q)

p

q

p → q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Prawo negacji implikacji

§

§

[(p

⇒

⇒

⇒

⇒

q)

∧

∧

∧

∧

(q

⇒

⇒

⇒

⇒

r)]

⇒

⇒

⇒

⇒

(p

⇒

⇒

⇒

⇒

r)

Prawo sylogizmu
hipotetycznego:

Mamy tutaj, jak widać, wypowiedź o
postaci zdania warunkowego mające
w poprzedniku koniunkcję

dwóch

zdań („<<Jeżeli p, to q”>> i <<Jeżeli
q, to r>>”), w których pewien
składnik

(mianowicie

zdanie

q)

powtarza się, natomiast w następniku
występują te zdania (p oraz r), które
nie powtarzają się w poprzedniku.

Omówimy teraz prawa logiczne, które są podstawą szczególnego rodzaju wnioskowań z
koniunkcji dwóch przesłanek. Sylogizmem nazywamy wypowiedź o postaci zdania
warunkowego (implikację materialną albo formalną) mającego w poprzedniku
koniunkcję dwóch zdań (funkcji zdaniowych), w których powtarza się pewien składnik
wspólny, następnik zaś jest zdaniem (funkcją zdaniową) zbudowanym ze składników nie
powtarzających się w poprzedniku.

Toni Lazano, A broad metal chain.

Prawa o budowie sylogistycznej

§

§

[(p^q)

⇒

⇒

⇒

⇒

r] ≡ [p

⇒

⇒

⇒

⇒

(q

⇒

⇒

⇒

⇒

r)]

Prawo eksportacji i importacji

prawo eksportacji

[(p^q)

⇒

⇒

⇒

⇒

r]

⇒

⇒

⇒

⇒

[p

⇒

⇒

⇒

⇒

(q

⇒

⇒

⇒

⇒

r)]

Skoro wiadomo, że gdy pistolet jest

gotowy do strzału i naciskasz na spust

to następuje wystrzał,

to wiadomo też, że jeśli pistolet jest

gotowy do strzału, to gdy naciśniesz

spust nastąpi wystrzał.

prawo importacji

[p

⇒

⇒

⇒

⇒

(q

⇒

⇒

⇒

⇒

r)]

⇒

⇒

⇒

⇒

[(p^q)

⇒

⇒

⇒

⇒

r]

Skoro wiadomo, że gdy pistolet jest gotowy do

strzału, to gdy naciśniesz spust nastąpi wystrzał,

to wiadomo też, że jeśli pistolet jest gotowy do

strzału i naciskasz na spust to następuje wystrzał.

Zlatý Strom, Praga (fot. M. Krotoszyński)

§

§

Prawo dylematu konstrukcyjnego i
dylematu konstrukcyjnego złożonego

prawo dylematu

konstrukcyjnego

[(p

⇒

⇒

⇒

⇒

r)^(q

⇒

⇒

⇒

⇒

r)^(pvq)]

⇒

⇒

⇒

⇒

r

Skoro wiadomo, że gdy pies warczy

to jest zły i wiadomo, że gdy pies

szczerzy zęby to jest zły, a przy tym

pies warczy lub szczerzy zęby,

to wiadomo, że pies jest zły.

prawo dylematu konstrukcyjnego

złożonego

[(p

⇒

⇒

⇒

⇒

q)^(r

⇒

⇒

⇒

⇒

s)^(pvr)]

⇒

⇒

⇒

⇒

(qvs)

Skoro wiadomo, że gdy pójdę do kawiarni

to wypiję kawę i wiadomo, że gdy pójdę

do herbaciarni to wypiję herbatę, a przy

pójdę do kawiarni lub herbaciarni,

to wiadomo, że wypiję kawę lub herbatę.

§

§

Rachunek nazw. Kwadrat logiczny

Tradycyjny rachunek nazw zajmuje się zdaniami subsumpcyjnymi, a więc
zdaniami o postaci: SaP (każde S jest P), SeP (żadne S nie jest P), SiP (niektóre S są
P) oraz SoP (niektóre S nie są P). Tradycyjny rachunek nazw dotyczy nazw niepustych
(jednostkowych bądź ogólnych). Nazwy S oraz P nazywamy tradycyjnie terminami.

Terminem rozłożonym nazywamy termin
informujący o wszystkich desygnatach
terminu danego zdania.

Terminy rozłożone:

S a P

= Każde S jest P

S e P = Żaden S nie jest P

S i P = Niektóre S są P

S o P

= Niektóre S nie są P

Niedopuszczalne jest uznanie za prawo
logicznej takiej implikacji, w następniku
dany

termin

byłby

rozłożony,

a

w

poprzedniku

ten

sam

termin

występowałby jako nierozłożony.

Beziau, Jean-Yves / Payette, Gillman (eds)
The Square of Opposition, A General
Framework for Cognition, 2012. 504 pp.

§

§

Rachunek nazw. Kwadrat logiczny (2)

Znaczenie zdań:

S a P

= Każde S jest P (Nie ma S, który jest nie-P)

S e P

= Żaden S nie jest P (Nie ma S, które są P)

S i P

= Niektóre S są P

S o P

= Niektóre S są nie-P

wynikanie

sprzeczność (jedno zdanie prawdziwe, drugie fałszywe)

przeciwieństwo (oba zdania mogą być fałszywe, ale oba nie mogą być prawdziwe)

oba zdania mogą być prawdziwe, ale oba nie mogą być fałszywe

S a P

S e P

S i P

S o P

П S, P: S a P ≡ ~ S o P
П S, P: ~ S a P ≡ S o P
П S, P: S e P ≡ ~ S i P
П S, P: ~ S e P ≡ S i P
П S, P: S a P
S i P
П S, P: S e P
S o P
П S, P: S a P / S e P
П S, P: S i P v S o P

§

§

Konwersja

Konwersją zdania subsumpcyjnego nazywamy zdanie powstałe zeń w ten
sposób, że podmiot stawiamy na miejscu orzecznika, a orzecznik na miejscu
podmiotu.

konwersja prosta

П S, P: S e P ≡ P e S

Jeśli żaden kot nie jest psem,

to żaden pies nie jest kotem.

П S, P: S i P ≡ P i S

Jeżeli niektórzy studenci są

sportowcami, to niektórzy sportowcy

są studentami.

konwersja ograniczona

П S, P: S a P

P i S

Jeśli każdy basset to pies,

to niektóre psy są bassetami.

Bonnie van den Born, Basset hound

§

§

Prawa sylogiczmu kategorycznego

W tradycyjnym rachunku ze zdań wchodzących w zakres kwadratu magicznego
układano tzw. tryby sylogistyczne (jest ich 256), z których niektóre są prawami
logicznymi. Poprzednikiem jest w tym przypadku koniunkcja zdań, w których
dwukrotnie występuje ten sam termin (= termin średni), a pozostałe nazwy (termin
mniejszy i większy) występują też we wniosku. Np.:

(S a M) ^ (M a P) -> S a P,

M – termin średni,
S – termin mniejszy (podmiot wniosku)
P – termin większy (orzecznik wniosku)

S a M
M a P
------
S a P

Aby tryb był prawem logiki, spełnionych musi być pięć przesłanek:
1.

Termin średni musi być rozłożony w choć jednej przesłance.

2.

Jedna z przesłanek musi być twierdząca.

3.

Jeśli obie przesłanki są twierdzące, wniosek musi być twierdzący.

4.

Jeśli jedna przesłanka jest przecząca, wniosek musi być przeczący.

5.

Termin rozłożony we wniosku musi być rozłożony w przesłance.

Powyższy sylogizm to tzw. sylogizm Arystotelesa:

Wszyscy Grecy są ludźmi (SaM), Wszyscy ludzie są
śmiertelni (MaP)
Wszyscy Grecy są śmiertelni (SaP)

Lizyp, Arytsoteles fot. Eric Gaba

§

§

Błędy we wnioskowaniach

błąd materialny

polega na omyłkowym uznaniu,

że przesłanka fałszywa jest prawdziwa

Każdy labrador jest psem przewodnikiem

,

Każdy pies przewodnik umie

przechodzić na zielonym,

--------------------------------------

Każdy labrador umie

przechodzić na zielonym

Jeśli wnioskowanie oparte jest na prawie o
postaci równoważności, to fałszywość jednej
z przesłanek świadczy o fałszywości wniosku.

Jeśli wnioskowanie oparte jest na implikacji,
to wniosek jest nieuzasadniony, choć może
być prawdziwy.

błąd formalny

polega na omyłkowym uznaniu,

że schemat wnioskowania oparty jest

na prawie logicznym a samo

wnioskowanie jest dedukcyjne

Jeśli pada deszcz to jest mokro,

----------------------------------------

jeśli jest mokro, to pada deszcz.

Wniosek może być tak prawdziwy,

jak i fałszywy, bo nie jest to

wnioskowanie dedukcyjne.