Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
1/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Zadanie 1
a) Przekształć zapis sygnału
s
(t)=
A
sin(
ω
t
+
φ
sin
)
w zapis
s
(t)=
A
cos(
ω
t
+
φ
cos
)
;
b) Przekształć zapis sygnału s(t)= Acos(
ω
t
+
φ
)
w zapis s(t)=A
cos
cos(
ω
t
)+A
sin
sin(
ω
t
);
c) Przekształć zapis sygnału s(t)=A
cos
cos(
ω
t
)+A
sin
sin(
ω
t
) w zapis s(t)= Acos(
ω
t
+
φ
)
Rozwiązanie.
a) Z rysunku obok, interpretującego oba
zapisy, łatwo odczytujemy, że
ω
t
+
φ
sin
=
ω
t
+
φ
cos
+
π
2
skąd
φ
φφ
φ
sin
-
φ
φ
φ
φ
cos
= π
2
Zatem
s
(t)=Acos(
ω
t
-
2
π
+
φ
sin
).
Równoważnie
s
(t)=Asin(
ω
t
+
2
π
+
φ
cos
).
b) Ze wzorów na funkcje trygonome-
tryczne sumy kątów mamy:
s
(t)= Acos(
ω
t
+
φ
)=Acos(
ω
t
)cos(
φ
)-Asin(
ω
t
)sin(
φ
),
skąd
A
cos
=Acos(
φ
),
A
sin
= -Asin(
φ
).
c) Ze wzorów na funkcje trygonometryczne sumy kątów mamy:
A
cos(
ω
t
+
φ
)=Acos(
ω
t
)cos(
φ
)-Asin(
ω
t
)sin(
φ
),
skąd
A
cos
=Acos(
φ
),
A
sin
= -Asin(
φ
).
Zauważamy, że w naszej sytuacji:
(A
cos
)
2
+(A
sin
)
2
=A
2
,
zatem możemy przyjąć
2
2
0
cos
sin
A
A
A
=
+
> .
Wtedy zachodzi
tg(
φ
)=
sin
cos
A
A
−
,
przy czym kąt
φ
jest kątem tej ćwiartki, w której leży punkt (A
cos
, -A
sin
). Operację (funkcję)
znajdowania takiego kąta nazwijmy arcusem tangensem punktu (A
cos
, -A
sin
); jest to jednocze-
ś
nie argument liczby zespolonej
α
= A
cos
–j A
sin
=x+jy:
φ=
arg
(
α
)=arctg4(x;y)=arctg4(A
cos
, -A
sin
),
gdzie
arctg4(x; y) =
0
x
≠
(arctg(y/ x)+
0
x
<
sgn(
y
+
)
.
π)
)
)
) +
0
x
=
sgn(y)
2
π =
( )
0
0
arctg
0
sgn
+
=0
sgn( )
=0
0
2
y
y
x
x
y
x
y
y
x
x
π
π
π
≠
≠
⋅
+
<
⋅
⋅
+
<
.
i
1, gdy zachodzi
_
0, gdy nie zachodzi
_
.
warunek
logiczny
warunek
logiczny
warunek_logiczny
=
y
x
A
y
x
s
(t)
ω t+φ
cos
ω t+φ
sin
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
2/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Wtedy
s
(t)=
(
)
(
)
2
2
cos
arctg4 (
,
)
cos
sin
cos
sin
A
A
t
A
A
ω
+
+
−
.
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
3/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Zadanie 2
Przekształć zapis sygnału
s
(t)=10cos(
ω
t
–
π
/6)
w zapis
s
(t)=10sin(
ω
t
+
φ
)
oraz w zapis
s
(t)=A
cos
cos(
ω
t
)+A
sin
sin(
ω
t
).
Rozwiązanie
Łatwo sprawdzić, że jeżeli
A
cos(
ω
t
+
χ
)= Asin(
ω
t
+
σ
),
to
σ
−
χ
=
2
π
.
Ponieważ w naszym przypadku
χ
=–
π
/6,
więc
σ
=
2
π
+
χ
=
2
6
3
π
π
π
−
=
.
Zatem
s
(t)=10sin(
ω
t
+
π/
3).
Rozwinięcie wyrażenia
s
(t)=10cos(
ω
t
–
π
/6)
według wzoru na cosinus różnicy kątów
cos(
α
-
β
)=cos
α
cos
β
+sin
α
sin
β
pozwala zapisać:
s
(t)=10cos(
ω
t
–
π
/6)=10cos(
π
/6)cos(
ω
t
)+10sin(
π
/6)sin(
ω
t
)=
5 3 cos(
ω
t
)+5sin(
ω
t
).
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
4/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Zadanie 3
1
Wiedząc, że
.
-j56,31
=2
j3
3, 61e
3, 61 56, 31
not
A
−
≈
−
=-3+j5
5,83120,96
B
≈
wyznacz C w postaci algebraicznej
re
im
j
C
C
C
=
+
i wykładniczej
abs
arg
C
C
C
=
, gdy:
a) C
A
B
=
+
,
b) C
A B
=
−
,
c) C
A B
=
⋅ ,
d)
/
C
A B
=
,
e)
*
A
B
+
,
f)
*
A B
⋅ ,
g)
*
/
A
B .
Ponadto sprawdź poprawność przedstawienia liczby =2-j3
A
w postaci wykładniczej oraz
wyraź argument liczby A w mierze łukowej.
Rozwiązanie
Najpierw przedstawimy
=2-j3
A
w postaci wykładniczej.
Przypomnijmy,
ż
e je
ż
eli
re
im
j
C
C
C
=
+
,
to te
ż
abs
arg
C
C
C
=
,
czyli
arg
j
abs
C
C
C e
=
,
gdzie
2
2
abs
re
im
C
C
C
C
=
=
+
C
arg
=arg
(C)
=arctg4(
C
re
;
C
im
)
oraz
arctg4(
x
;
y
) =
0
x
≠
(
arctg(
y
/
x
)+
0
x
<
sgn(
y
+
)
.
π
))))
+
0
x
=
sgn(
y
)
2
π =
( )
0
0
arctg
0
sgn
+
=0
sgn( )
=0
0
2
y
y
x
x
y
x
y
y
x
x
π
π
π
≠
≠
⋅
+
<
⋅
⋅
+
<
.
(
Objaśnia się, iż
1, gdy zachodzi
_
0, gdy nie zachodzi
_
.
warunek
logiczny
warunek
logiczny
warunek_logiczny
=
)
Obliczamy
2
2
abs
2
j3
2
( 3)
13
3, 606
A
=
−
=
+ −
=
≈
,
A
arg
=
arg
(2-j3)=arctg4(2, -3)=arctg(-3/2)+sgn(-3)
2
0
<
.
π
= -arctg(3/2)
0.983
≈ −
.
W powyższym wierszu argument liczby zespolonej A został wyrażony w mierze łukowej.
Przeliczmy go na stopnie. Mamy:
A
arg
=
180
0.983
56,31
π
≈ −
⋅
≈
.
Możemy uznać, że poprawnie przedstawiono liczbę A w postaci wykładniczej.
Poniżej przedstawiamy pozostałe obliczenia.
a) C
A
B
=
+
=
(
2-j3
)+(
-3+j5
)
= -1+j2 =
2
2
2
1
(-1) +2
arctg4( 1; 2)
5 arctg(
)
1 1
2, 24 116, 57
π
−
−
=
+ ⋅ ⋅
≈
b) C
A B
=
−
=
(
2-j3
)-(
-3+j5
)
= 5-j8 =
2
2
8
5
5 +(-8)
arctg4(5; 8)
89 arctg(
)
0 ( 1)
9, 43 57,99
π
−
−
=
+
⋅ −
⋅
≈
−
1
Objaśnia się, iż zapis „
ϕ ” znaczy tyle samo, co „exp(j
ϕ)”
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
5/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
c) C
A B
=
⋅
=
(
2-j3
)(
-3+j5
)
= 9+j19 =
2
2
2
2
+(-3)
+5
arctg4(2; 3)
arctg4( 3, 5)
2
( 3)
−
+
−
=
−
3
5
2
3
13 34 arctg(
)
0 ( 1)
arctg(
)
1 1
π
π
−
−
⋅
+
⋅ −
⋅
+
+ ⋅ ⋅
≈
3, 61 5,83 56,31
120,96
21.02 64, 65
⋅
−
+
≈
d)
/
C
A B
=
=
(
2-j3
)/(
-3+j5
)
=
-21
1
34
34
-j
=
2
2
2
2
2 +(-3)
( 3) +5
arctg4(2; 3)
arctg4( 3, 5)
−
−
−
−
=
3
5
2
3
13
34
arctg(
)
0 ( 1)
(arctg(
)
1 1
)
π
π
−
−
+
⋅ −
⋅
−
+ ⋅ ⋅
≈
3,61
5,83
56, 31
120, 96
0.62 177, 27
−
−
≈
−
e) C
A
B
∗
=
+
=
(
2-j3
)+
(-3+j5)
∗
=
(
2-j3
)+
(-3-j5)
=
-1-j8
=
2
2
8
1
(-1) +(-8)
arctg4( 1; 8)
65 arctg(
)
1 ( 1)
π
−
−
− −
=
+ ⋅ −
⋅
≈
8, 06 97,13
−
f) C
A B
∗
=
⋅
= (2-j3)
∗
.
(-3+j5)
=
(
2+j3
)
(-3+j5)
=
-21+j
=
13
34 arctg4(2; 3)
arctg4( 3; 5)
+
−
≈
3, 61 5,83 56,31
120,96
21.02 177, 27
⋅
+
≈
f)
/
C
A
B
∗
=
= (2-j3)
∗
/
(-3+j5)
=
(
2+j3
)
/
(-3+j5)
=
9
19
34
34
-j
=
13
34
arctg4(2; 3)
arctg4( 3; 5)
−
−
≈
3,61
5,83
56,31
120,96
0, 62 64, 65
−
≈
−
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
6/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Zadanie 4
1
Niech A=1+j2, B=3-j5, C=2+j4, D=1-j3, E=4+j1, A=1+j2.
Obliczyć
/
A
B C
F
DE
+
=
.
Odp.: F 0, 073 129,10
-0,046+j 0,057
≈
≈
⋅
Rozwiązanie
/
(5,83 59,04 ) /(4, 47 63, 43 )
1,3 122, 47
0,7
j 1,1
B C
≈
−
≈
−
≈ −
− ⋅
/
(1 j2) ( 0, 7
j1,1)
0, 3
j0,9
0.95 71, 57
A
B C
+
≈
+
+ −
−
=
+
≈
0, 95 71,57
/
0, 95
71,57
( 71,57
14, 04 )
(1 j3)(4
j1)
3,16 4,12
0, 073 129,10
-0,046+j 0,057
A
B C
F
DE
+
=
≈
≈
− −
+
≈
−
+
⋅
≈
⋅
Wartość dokładna wynosi
F
=
39
24
850
425
j
−
+
,
a popełniony błąd jest mniejszy od 1%.
1
Objaśnia się, iż zapis „
ϕ ” znaczy tyle samo, co „exp(j
ϕ)”
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
7/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Zadanie 5
1
Dla następujących sygnałów x(t) zapisz ich amplitudy zespolone X i wskazy wirują-
ce
( )
X t
:
a) x
1
(t)=5cos(3t+25
o
),
b) x
2
(t)=3sin(5t+15
o
),
c) x
3
(t)=5cos(t+30
o
)+10sin(t+60
o
),
d) x
4
(t)=cos(5t)+sin(5t),
Rozwiązanie
Dla sygnału
x
(t)=X
m
cos(
ω
t
+
φ
)
mamy
.
j
e
not
m
m
X
X
X
φ
φ
=
,
j
j(
)
( )
t
t
m
m
X t
X
t
X e
X e
X
t
ω
ω φ
ω
ω
φ
+
=
=
=
=
+
,
x
(t)=Re(
( )
X t
).
Sygnał
y
(t)=Y
m
sin(
ω
t
+
ψ
)
można zapisać w postaci
y
(t)=Y
m
cos(
ω
t
+
ψ−π/
2).
Sygnał
x
(t)= x
1
(t)+ x
2
(t),
gdzie
x
1
(t)=X
m1
cos(
ω
t
+
φ
1
), x
2
(t)=X
m2
cos(
ω
t
+
φ
2
),
można zapisać w postaci
x
(t)=Re(
( )
X t
)=Re(
1
2
( )
( )
X t
X t
+
)=Re(
1
X
t
ω
+
2
X
t
ω
)=Re(
(
)
1
2
X
X
t
ω
+
),
co oznacza, że dla takiego przypadku
X
=X
1
+X
2
.
Po tym przygotowaniu „artyleryjskim” możemy przystąpić do rozwiązania podpunktów.
a) x
1
(t)= Re( 5 3
25
t
+
)=Re(
(
)
5 25
3t
)
1
1
1
5 25 ,
( )
3
5 3
25
X
X t
X
t
t
⇒
=
=
=
+
b) x
2
(t)= Re( 3 5
15
90
t
+
−
)=Re(
(
)
3 75
5t
−
)
2
2
2
3 75 ,
( )
5
3 5
75
X
X t
X
t
t
⇒
= −
=
=
−
c) x
3
(t)= Re( 5
30
t
+
)+Re(10
60
90
t
+
−
)=
=Re( 5
30
t
+
+10
30
t
−
)=
=Re( (5 30
10 30 ) t
+
−
)
3
5 30
10 30
13, 23 10,89 ,
X
⇒
=
+
−
≈
−
3
3
( )
13, 23
10,89
X t
X t
t
=
≈
−
d) x
4
(t)= Re(1 5t )+Re(1 5
90
t
−
)=
=Re( (1 0
1 90 ) 5t
+ −
)
4
1 0
1 90
2 45 ,
X
⇒
=
+ −
=
−
4
4
( )
5
2 5
45
X t
X
t
t
=
=
−
,
1
Objaśnia się, iż zapis „
ϕ ” znaczy tyle samo, co „exp(j
ϕ)”
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
8/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Zadanie 6
Znaleźć napięcie u(t) w znajdującym się w
stanie ustalonym obwodzie z poniższego rysun-
ku.
Odp.: u(t)=
2
cos(5
15 )
2
t
−
[V].
Rozwiązanie
Wykorzystamy ten prosty przykład do zilustrowania, skąd się bierze „układ wskazowy”.
Dlatego, inaczej niż w innych zadaniach tego typu, rozwiązywanie zadania rozpoczniemy od
zapisania równania różniczkowego
1
(opisującego równowagę prądów w badanym układzie).
Prąd opornika o przewodności 2 S wynosi:
i
R
(t)=u(t)/R=2u(t).
Podobnie prąd kondensatora o pojemności 0,4 F wynosi:
( )
( )
(
( ))
0, 4 ( )
C
C
d
d
i t
q t
Cu t
u t
dt
dt
=
=
=
.
(0)
Zapisujemy równanie PPK:
2 ( ) 0, 4 ( )
2 cos(5
30 )
u t
u t
t
+
=
+
.
Równanie to powinno być spełnione dla każdej chwili czasu, zarówno dodatniej, jak i ujemnej
(układ działa od chwili t
0
→ -∞, więc wszystko, co mogło, ustaliło się dawno dawno temu).
Łatwo sprawdzić, że rozwiązaniem równania mógłby być przebieg
( )
cos(5
)
m
u
u t
U
t
ϕ
=
+
.
Wstawmy to wyrażenie do równania (0). Otrzymujemy:
2(
cos(5
)) 0, 4
(
cos(5
))
2 cos(5
30 )
d
m
u
m
u
dt
U
t
U
t
t
ϕ
ϕ
+
+
+
=
+
.
(1)
Teraz przyjmijmy, że
2
5
t
π
τ
= +
i podstawmy to wyrażenie do równania (1). Otrzymujemy:
2
2
2
5
5
5
2(
cos(5(
)
)) 0, 4
(
cos(5(
)
))
2 cos(5(
) 30 )
d
m
u
m
u
dt
U
U
π
π
π
τ
ϕ
τ
ϕ
τ
+
+
+
+
+
=
+
+
i równoważnie
2(
sin(5
)) 0, 4
(
sin(5
))
2sin(5
30 )
d
m
u
m
u
dt
U
U
τ ϕ
τ ϕ
τ
+
+
+
=
+
.
(2)
Ostatnie równanie jest spełnione dla każdego
τ
, o ile równanie (1) jest spełnione dla każde-
go t.
Teraz w równaniu (2) zamiast
τ
użyjmy zmiennej t, po czym przemnóżmy to równanie przez
jednostkę urojoną j i dodajmy stronami do równania (1). Otrzymamy:
j(5
)
j(5
)
j(5
30 )
2(
e
) 0, 4
(
e
)
2e
u
u
t
t
t
d
m
m
dt
U
U
ϕ
ϕ
+
+
+
+
=
.
(3)
Zauważmy, że przy oznaczeniu
j(5
)
( )
u
t
m
U t
U e
ϕ
+
=
,
mamy
u
(t)=Re(
( )
U t
),
przy czym
( )
U t
można łatwo wyznaczyć z równania (3).
1
Typowym postępowaniem w takich zadaniach jest tworzenie od razu zastępczego schematu dla wskazów, wy-
znaczenie odpowiednich amplitud zespolonych i odtworzenie na ich podstawie przebiegów czasowych.
j
(t)
2 S
0,4 F
u
(t)
j
(t)=2cos(5t+30
o
) A
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
9/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Kolejno obliczamy, po drodze oznaczając
j
e
u
m
U
ϕ
przez U:
j
j
j5
j5
j30
j5
2
e
e
0, 4
e
j5 e
2e
e
u
u
t
t
t
m
m
U
U
ϕ
ϕ
+
⋅
⋅
=
,
j
j
j30
2
e
0, 4
e
j5
2e
u
u
m
m
U
U
ϕ
ϕ
+
⋅
=
,
j30
2
0, 4
j5
2e
U
U
+
⋅
=
.
(4)
Zauważmy, że równanie (4) uzyskalibyśmy natychmiast jako równanie PPK górnego wę-
zła układu pokazanego obok. Jest to schemat za-
stępczy dla wskazów.
Gdy porównujemy go z układem z wcześniej-
szego rysunku, zauważamy znane odpowiedniości:
- przebieg czasowy PPM źródła prądowego zastą-
piony został amplitudą zespoloną tego przebiegu,
- rezystor przeniesiony został bez zmian,
- kondensator C zastąpiony został dwójnikiem o
admitancji
1
Y
C
=j
ω
.
C
(
ω
oznacza pulsację; w na-
szym przypadku
ω
=5).
Dokończmy obliczanie u(t). Z równania (4) znajdujemy:
u
j30
j
-j15
2e
2
e
e
2 2 j
2
m
U
U
ϕ
=
=
=
+
[V].
Przy wcześniej wprowadzonych oznaczeniach obliczamy kolejno:
j(5
)
j(5
15 )
2
( )
e
e
2
u
t
t
m
U t
U
ϕ
+
−
=
=
[V],
u
(t)=Re( ( )
U t
)=Re(
j(5
15 )
2
e
2
t
−
) =
2
cos(5
15 )
2
t
−
[V].
1
Admitancja jest uogólnieniem pojęcia przewodności. Jest to wielkość zespolona. Mierzy się ją też w simen-
sach. W szczególnych przypadkach jest liczbą rzeczywistą (dla opornika), bądź urojoną (np. dla kondensatora,
induktora). Na jej oznaczenie rezerwujemy najczęściej literę „Y” (wielkie igrek).
j30
2e
A
2 S
j5
.
0,4 S
U
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
10/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Zadanie 7
1
Wyznaczyć prąd i(t) i napięcie u(t) w obwodzie
z poniższego rysunku (obwód ten znajduje się w
stanie ustalonym)
Odp.:
( )
0,185 cos(4
26,31 ) A
i t
t
≈
−
,
( ) 1, 664 cos(4
63, 69 ) V
u t
t
≈
+
Rozwiązanie
Rysujemy
schemat
zastępczy
dla
wskazów
(Z
L
=3
.
j4=12j [
Ω], Z
C
=
1
12
1
j4
3j
⋅
= −
[
Ω]).
Po kolei obliczamy:
3
2
2 30
2 30
6 12 j 3j
3 13 arctg
I
=
=
=
+
−
3
180
2
2 30
3 13 arctg
π
≈
⋅
0,1849 26, 3099
−
[A],
3
1
2 30
6
3 180
9 j
9 j
30
-arctg
3 (2 3j)
2
2
13
U
I
π
π
=
=
=
+
≈
+
1, 6641 63,6901
[V].
Zatem
( )
0,185 cos(4
26,31 ) A
i t
t
≈
−
,
( ) 1, 664 cos(4
63, 69 ) V
u t
t
≈
+
.
1
Objaśnia się, iż zapis „
ϕ ” znaczy tyle samo, co „exp(j
ϕ)”
e
(t)
6
Ω
1
12
F
u
(t)
e
(t)=2cos(4t+30
o
) V
3 H
i
(t)
2 30 V
6
Ω
-3j
Ω
U
12j
Ω
I
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
11/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Zadanie 8
1
Wyznaczyć ustalone napięcie u(t) w
obwodzie z poniższego rysunku. W roz-
wiązaniu wykorzystać zamianę fragmentu
obwodu na lewo od zacisków ab źródłem
(wskazowym) Thevenina.
Odp.: u(t)
≈ 0, 484 cos(3
46, 94 )
t
−
V
Rozwiązanie
2
Rysujemy schemat dla wskazów. Oto
on (Z
3H
=j3s
-1.
3H=j9
Ω, Z
2H
=j3s
-1.
2H=j6
Ω, Y
0,25F
=j3s
-1.
0,25F=j0,75 S, E=E
m
e
ϕ
=2
10
V).
Fragment obwodu wskazowego na lewo od
zacisków ab przerysujemy, by łatwiej zro-
zumieć, jak zastępujemy go źródłem Theve-
nina.
Obliczamy amplitudę zespoloną napięcia
rozwarcia
3
,
oznaczoną
na
rysunku
przez
U
rozwarcia
. Korzystamy z zależności na odpowiedź
dzielnika napięciowego. Mamy:
( )
9
2
2
2 85
180
2 10
2 10
arctg
0, 433861 67, 4712
2 9 j
85
rozwarcia
U
π
=
=
⋅
−
⋅
≈
−
+
[V].
Przy wyznaczaniu wskazu prądu zwarcia najpierw wyznaczamy amplitudę zespoloną prą-
du płynącego przez źródło napięciowe, a następnie z zależności na odpowiedź dzielnika prą-
dowego obliczamy wskaz prądu zwarcia; jest ten wskaz jednocześnie wskazem prądu płyną-
cego przez dwójnik o admitancji 0,75j simensów. Mamy
4
:
853
27
1
23
0,5 j0,75
4
4
4
2 10
j0, 75
2 0, 75 10
90
1, 5 100
j9
0, 5
j0, 75
1
j4, 5
arctg4(
; 4, 5)
zwarcia
I
−
+
⋅
+
=
=
=
=
+
+
−
+
1
Objaśnia się, iż zapis „
ϕ ” znaczy tyle samo, co „exp(j
ϕ)”
2
Poniższe rozwiązanie przeprowadzono z nieco przesadzoną dokładnością numeryczną. Jednak, gdyby zadanie
było bardziej skomplikowane, a ciąg obliczeń znacznie dłuższy, obliczenia pośrednie powinny być prowadzone
z większą dokładnością, niż oczekiwana dokładność wyników końcowych.
3
Mówimy też wskaz napięcia rozwarcia bądź wskazowe napięcie rozwarcia. Gdy wiadomo, że chodzi na pewno
o amplitudę zespoloną, a nie przebieg czasowy, mówimy po prostu napięcie rozwarcia. Analogiczna uwaga
dotyczy innych wskazów napięć oraz wskazów prądów w układzie wskazowym.
4
Objaśnia się, że: arctg4(x; y)
df
=
0
x
=
sgn(y)
2
π
+
0
x
≠
(arctg(y/ x)+
0
x
<
sgn(
y
+
)
.
π)
gdzie
1, gdy zachodzi
_
oraz =0, gdy nie zachodzi
_
warunek_logiczny
warunek logiczny
warunek logiczny
=
e
(t)
2
Ω
0,25 F
u
(t)
e
(t)=2cos(3t+10
o
) V
2 H
3H
a
b
E=
2 10
V
2
Ω
j0,75 S
U
j6
Ω
j9
Ω
a
b
E=
2 10
V
2
Ω
j0,75 S
U
rozwarcia
j9
Ω
a
b
I
zwarcia
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
12/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
853
23
23
18
180
4
4
4
23
1, 5 100
6 100
0, 205436 41, 953
arctg(4, 5 /
) sgn(4, 5)
0
853 (-arctg( )
)
π
π
π
−
−
=
≈
−
+
<
+
[A].
Obliczony wyżej wskaz U
rozwarcia
jest wskazową SEM, zaś iloraz wskazów U
rozwarcia
i I
zwarcia
jest impedancją
1
zastępczego źródła Thevenina obwodu wskazowego:
E
Thevenina
= U
rozwarcia
0, 433861 67, 4712
≈
−
[V]
0, 433861 67, 4712
2,1119 25, 5182
0, 205436 41, 953
rozwarcia
Thevenina
zwarcia
U
Z
I
−
=
≈
≈
−
−
[
Ω].
Wykorzystamy znalezione powyżej zastępcze źródło
Thevenina do uproszczenia struktury obwodu wskazo-
wego i następnie do obliczenia wskazu U napięcia u(t)
(patrz rysunek).
Korzystając z dzielnika napięciowego znajdujemy,
ż
e
6 j
6 j
Thevenina
Thevenina
Z
U
E
Z
Z
Ω
Ω
=
≈
+
6 j
0, 433861 67, 4712
6 j+2,1119 -25,5182
−
≈
6 90
0, 433861 67, 4712
5,4353 69,473
−
≈
0, 484179 46,9442
−
[V].
Czas, by zapisać przebieg czasowy odpowiadający znalezionemu wskazowi U.
( )
Re(
)
Re(0, 484179 46,9442
3 )
Re(0, 484179 3
46,9442 )
u t
U
t
t
t
ω
=
=
−
⋅
=
−
=
0, 484179 cos(3
46,9442 )
t
−
[V].
Jako ciekawostkę przedstawiamy poniżej theveninowski równoważnik tego samego frag-
mentu obwodu, ale dla przebiegów czasowych (porównaj rysunek z treści zadania oraz wyra-
ż
enia na E
Thevenina
i Z
Thevenina
1
j3 0,303467
2,1119 -25,5362
1,9056 -j0.910401=1,9056+
⋅
≈
≈
[
Ω]).
Uważnego
Czytelnika
powinno
zastanowić to, że w prezentowanym tu
równoważniku theveninowskim nie ma
induktora, a w oryginalnym fragmencie
jest. Warto zwrócić uwagę, że ten rów-
noważnik dotyczy wybranej pulsacji
pobudzenia (tu: 3 rad/s). Może istnieją
pulsacje, dla których należałoby za-
miast kondensatora narysować induk-
tor? Czy istnieje pulsacja różna od zera, dla której w tym równoważniku nie wystąpi ani kon-
densator, ani induktor?
1
Impedancja jest uogólnieniem pojęcia oporności. Jest to wielkość zespolona. Mierzy się ją też w omach. W
szczególnych przypadkach jest liczbą rzeczywistą (dla opornika), bądź urojoną (np. dla induktora, kondensato-
ra). Na jej oznaczenie rezerwujemy najczęściej literę „Z” (wielkie zet).
1,9056
Ω
e
Thevenina
(t)
0, 433861cos(3
67, 4712 )
t
≈
−
V
0,303467 F
b
a
Z
Thevenina
2, 1119 25,5362
≈
−
Ω
E
Thevenina
0, 433861 67,4712
≈
−
6j
Ω
U
b
a
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
13/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Zadanie 9
1
Wyznaczyć ustalony prąd i(t) w obwodzie jak na rysunku (jednostki to odpowiednio:
Ω,
H, F, A, rad/s).
Odp.: ( )
279cos(4 +160 ) mA
i t
t
≈
Rozwiązanie
Rysujemy schemat dla wskazów (jednostki to
Ω, A).
Obliczamy wskaz napięcia (w woltach) na źródle
prądowym:
1
1
1
10
8 j 7 j
5 4 j
2 60
J
J
U
Y
−
+
−
− −
=
=
=
+
+
∑
(5 4 j)-10 j(5 4 j)+10
45 36 j)
55 46 j
10(5 4 j)
10(5 4 j)
10(5 4 j)
2 180
60
2 120
2 120
+
+
−
−
+
+
+
−
=
=
=
180
46
4
5
55
20 41
120
(arctg( ) arctg(
))
5141
π
−
+
−
.
Wskaz I prądu i(t) wyniesie:
20 41
20 41
180
46
180
46
4
4
5
55
5
55
5141
5141
180
4
5 4 j
5
120
(arctg( ) arctg( )
120
(arctg( ) arctg( )
5 4 j
41
arctg( )
J
U
I
Z
π
π
π
+
+
+
+
+
=
=
=
=
+
180
46
55
20
120
arctg( )
5141
π
+
≈
"
'
0,278937 159.908
0,278937 159 54 29 [A]
≈
.
Prąd i(t) będzie następującym przebiegiem
"
'
( )
278,937cos(4 +159 54 29 ) [mA]
i t
t
≈
.
Rezygnując z przesadnej dokładności napiszemy, że:
( )
279cos(4 +160 ) [mA]
i t
t
≈
.
Na rysunku obok przedstawiono pobudze-
nie j(t) (linia ciemniejsza) i odpowiedź i(t)
(linia jaśniejsza), przy strzałkowaniu prze-
biegów określonym na rysunku zadania.
1
Objaśnia się, iż zapis „
ϕ ” znaczy tyle samo, co „exp(j
ϕ)”
j
(t)
10
1
/
28
i
(t)
j
(t)=2cos(4t-60
o
)
1
5
2
J
=2|-60
o
10
-7j
I
4j
5
8j
-2
-1
1
2
3
-2
-1
1
2
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
14/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Zadanie 10
1
Wyznaczyć ustalone napięcie
u
(t) w obwodzie z idealnym wzmac-
niaczem operacyjnym (jak na rysun-
ku; jednostki to odpowiednio:
Ω, H,
F, A, rad/s).
Odp.:
'
( ) 1,536 sin(3
80 12 )
u t
t
≈
−
Rozwiązanie
Rozpoczniemy od dygresji na temat idealnego wzmacniacza operacyjnego (IWO). Otóż
mimo, że na schematach występuje on często jako element o widocznych tylko trzech zaci-
skach (patrz rysunek obwodu zadania), to w istocie jest to element czterozaciskowy, dwuwro-
towy. Jeżeli czwarty zacisk nie jest narysowany, przyjmuje się, że jest on podłączony do tzw.
masy (czyli jest uziemiony). We wskazowym schemacie zastępczym idealny wzmacniacz
operacyjny jest reprezentowany przez samego siebie. Znany jest inny, wygodny w analizie i
syntezie, sposób przedstawiania IWO jako pary dwójników:
nulatora
i
noratora
. Przedstawio-
no to na poniższym
rysunku.
Z wrotami wej-
ś
ciowymi IWO, za-
znaczonymi na ry-
sunku kolorem nie-
bieskim, są związa-
ne dwa równania definicyjne wzmacniacza, mianowicie: i
in
=0, u
in
=0. Z wrotami wyjściowymi
wzmacniacza nie są związane żadne z równań definicyjnych wzmacniacza (fakt ten oddano
zapisem i
out
, u
out
dowolne). Jeżeli z wrotami wejściowymi IWO skojarzymy dwójnik, nazy-
wany nulatorem, o równaniach i
in
=0, u
in
=0, na rysunku przedstawiony niebieską elipsą, a z
wrotami wyjściowymi dwójnik, zwany noratorem, o warunkach i
out
, u
out
dowolne, na rysunku
reprezentowany parą stycznych kółek pomarańczowych, to para takich dwójników wymusza
w dowolnym układzie to samo, co IWO. Zatem para {nulator, norator} oraz IWO są sobie
równoważne (i to zarówno w schemacie dla przebiegów czasowych, jak i dla wskazów).
Narysujmy zatem schemat dla wskazów, zastępując wzmacniacz operacyjny parą dwójni-
ków {nulator, norator}. Inaczej niż
w rozwiązaniach poprzednich za-
dań, przeniesiemy do schematu dla
wskazów
oznaczenia
graficzne
elementów (kondensatorów, ce-
wek) ze schematu dla przebiegów
czasowych, a jedynie zastąpimy
opisy tych elementów stosownymi
wartościami impedancji (taki spo-
sób postępowania bywa spotykany
w literaturze).
W schemacie wskazowym zaznaczono napięcia, które są sobie równe, bo taką sytuację
wymusza nulator, na którym występuje zerowe napięcie i przez który płynie zerowy prąd.
1
Objaśnia się, iż zapis „
ϕ ” znaczy tyle samo, co „exp(j
ϕ)”
5
1
/
12
u
(t)
e
(t)=sin(3t+60
o
) V
1
2
3
5
-j4
U
E
=
1|60
o
-
90
o
j3
j6
3
U
E
i
in
=0
u
in
=0
i
out
dowolne
u
out
dowolne
Zadania z Przedmiotu Technika Analogowa
Analiza wskazowa 01-10
© C. Stefański
1_Zadania01_10.doc
15/15
Zauważone błędy i usterki proszę zgłaszać autorowi na adres cestef@o2.pl
Zapisujemy równanie PPK dla nieuziemionego węzła nulatora. Otrzymujemy:
1
1
0
5
j6
j3
j4
E
U
+
+
=
+
−
,
skąd
180
1 30
61
arctg(1.2)
5 j6
180
'
"
1
1
12
12
12
30
90
arctg(1.2) 1,53644 -170 1138
j
90
61
E
U
π
π
− −
−
+
−
−
=
=
=
−
−
−
≈
.
Zatem
'
"
'
( ) 1,536 cos(3
170 1138 )
1,536 sin(3
80 12 )
u t
t
t
≈
−
≈
−
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2011 EM BF zadania 10id 27558 Nieznany (2)
FMP1 Zadania Kursy i transakcje Nieznany
chemia zadania 2 id 113035 Nieznany
geometria zadania 1 25 aksonome Nieznany (3)
me zadanie 2 id 290295 Nieznany
FMP2 Zadania Relacje parytetowe Nieznany
Kolos z Ekonomi zadanie ASAD id Nieznany
plyta zadanie id 363191 Nieznany
Dodatkowe zadania id 138777 Nieznany
1 10id 8308 Nieznany (2)
formularze zadania id 179681 Nieznany
(budzet zadaniowy)id 1238 Nieznany (2)
CO zadania id 118396 Nieznany
blok 7 zadania id 90420 Nieznany (2)
111 ZADANIA2 1 id 601077 Nieznany (2)
Algorytmy zadania id 51150 Nieznany (2)
elektrotechnika zadanie id 1593 Nieznany
IT zadania1 id 220832 Nieznany
więcej podobnych podstron