1

IDENTYFIKACJA W OPARCIU O POMIAR CHARAKTERYSTYK W DZIEDZINIE

CZASU LUB CZĘSTOTLIWOŚCI

Znaczna grupa metod identyfikacji opiera się na wyznaczeniu charakterystyk

identyfikowanych obiektów w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Wykorzystuje się tutaj
w szczególności charakterystyki impulsowe, skokowe lub częstotliwościowe.
1. Układ 2-go rzędu

Rys 1. Mikromechanivzny model układu 2-go rzędu

Równanie ruchu przedstawionego na powyższym Rysunku układu można opisać za pomocą

równania różniczkowego 2-go rzędu, wykorzystując w tym celu równanie momentów. Mamy

zatem

)

(

)

(

)

(

)

(

t

x

k

t

ku

dt

t

du

c

dt

t

y

d

m

1

=

+

+

2

2

(1)

gdzie

2

2

dt

t

y

d

m

)

(

jest momentem bezwładności,

dt

t

du

c

)

(

jest momentem tłumiącym,

)

(t

ku

jest

momentem sprężystości,

)

(t

u

jest względnym przesunięciem masy,

)

(t

y

jest bezwzględnym

przesunięciem masy i

]

[kg

m

,

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

s

kg

c

,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

2

s

kg

k

są odpowiednio: masą, współczynnikiem

tłumienia lepkiego i stałą sprężyny.

W przypadku pomiaru przyspieszenia wielkością wejściową jest druga pochodna

bezwzględnego przesunięcia

2

2

dt

t

x

d

)

(

, a wyjściem jest bezwzględne przesunięcie masy

)

(t

y

,

Z (1) wynika

)

(

)

(

)

(

)

(

t

x

a

t

u

dt

t

du

dt

t

u

d

2

0

0

2

2

=

+

2

+

ω

βω

(2)

gdzie:

)

(t

x

- sygnał wejściowy

2

)

(t

u

- sygnał wyjściowy

a

- współczynnik wzmocnienia statycznego

β

- współczynnik tłumienia

0

ω

- pulsacja drgań własnych nietłumionych oraz

2

0

=

ω

m

k

,

β

2

=

m

k

c

,

k

a

1

=

(3)

Wykonując operację transformaty Laplace’a na (2) mamy

)

(

)

(

)

(

)

(

s

X

a

s

U

s

sU

s

U

s

2

0

0

2

=

+

2

+

ω

βω

(4)

i w efekcie

2

0

0

2

2

0

+

2

+

=

=

ω

βω

ω

s

s

a

s

X

s

Y

s

K

)

(

)

(

)

(

(5)

Dla

1

≤

<

0

β

bieguny transmitancji (5), czyli pierwiastki równania:

0

=

+

2

+

=

2

0

0

2

ω

βω

s

s

s

M

)

(

(6)

wynoszą

2

0

0

∗

2

0

0

−

1

−

−

=

−

1

+

−

=

β

ω

βω

β

ω

βω

i

p

i

p

(7)

Transmitancja widmowa

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

ω

ϕ

ω

ω

ω

ω

ω

β

ω

ω

βωω

ω

ω

ω

ω

i

e

A

iQ

P

i

a

i

a

i

K

=

+

=

=

2

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1

=

2

+

−

=

0

2

0

0

2

2

0

2

0

(8)

gdzie

)

(

ω

A

- charakterystyka wzmocnienia (magnitude characteristic)

)

(

ω

ϕ

- charakterystyka przesunięcia fazowego systemu (phase delay characteristic of system)

2

0

2

2

2

0

2

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

4

+

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1

=

+

=

=

ω

ω

β

ω

ω

ω

ω

ω

ω

a

Q

P

i

K

A

)

(

)

(

)

(

)

(

(9)

3

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1

2

−

=

2

0

0

ω

ω

ω

ω

β

ω

φ

arctg

)

(

(10)

Dla ),

(

ω

i

K

0

ω oraz

β

zachodzą następujące relacje:

(

)

0

2

2

0

2

0

0

2

0

2

0

0

2

0

2

2

0

0

2

0

0

0

2

2

0

2

0

2

2

2

0

0

2

0

0

0

2

0

0

2

0

0

0

∗

0

2

+

−

=

−

2

−

−

1

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

1

−

−

−

1

+

−

−

1

=

=

−

1

+

−

+

−

1

+

−

+

−

1

−

−

−

1

=

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1

−

−

−

1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1

+

−

−

1

=

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1

=

βωω

ω

ω

ω

ω

ω

βω

ω

ω

ω

β

ω

βω

β

ω

βω

ω

β

ω

ω

β

ω

β

ω

βω

ω

β

ω

βω

ω

β

ω

βω

ω

β

ω

βω

ω

ω

ω

ω

i

K

i

K

i

i

i

K

i

i

i

i

H

i

i

i

i

K

p

i

p

i

K

i

K

)

(

)

(

)

(

(11)

)

(

2

2

0

2

0

2

−

1

+

=

β

ω

ω

β

p

=

0

2

0

2

2

0

2

0

2

=

−

+

ω

ω

β

ω

ω

β

(12)

β

ω

βω

=

=

−

0

0

p

p)

Re(

(13)

gdzie

(

)

a

i

K

K

=

0

=

=

0

ω

(14)

Dla układu (1) pulsacja drgań własnych tłumionych

n

ω

oraz szczyt rezonansowy

r

M

wynoszą:

2

0

−

1

=

β

ω

ω

n

(15)

2

−

1

2

=

β

β

a

M

r

(16)

4

Rysunek 2 przedstawia charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową układu
oscylacyjnego 2 rzędu.

Rys. 2. Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa układu oscylacyjnego 2 rzędu

Wzór określający pulsację rezonansową

r

ω wyprowadza się poprzez przyrównanie

pochodnej

[

]

)

(

ω

ω

A

d

d

do zera

[

]

0

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

4

+

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1

2

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

8

+

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1

4

−

−

=

3

2

0

2

2

2

0

2

0

2

2

0

2

0

ω

ω

β

ω

ω

ω

ω

β

ω

ω

ω

ω

ω

ω

a

A

d

d

)

(

(17)

Wtedy

0

=

8

+

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

1

4

−

2

0

2

2

0

2

0

ω

ω

β

ω

ω

ω

ω

(18)

Mnożąc powyższe równanie obustronnie przez

ω

ω

4

2

0

otrzymujemy

0

=

2

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

1

−

2

2

0

β

ω

ω

(19)

i w efekcie

2

0

2

−

1

=

=

β

ω

ω

ω

r

(20)

5

Wyznaczenie odpowiedzi impulsowej

)

(t

k

metodą residuów

(

)

)

(

lim

)

(

s

K

p

s

s

K

res

i

i

p

s

i

p

s

−

=

→

=

∑

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

1

=

=

n

i

t

i

p

i

p

s

e

s

K

res

t

y

)

(

)

(

(21)

Bieguny transmitancji (5) opisuje (7). Zgodnie z (21) mamy

(

)

2

0

2

0

2

0

=

∗

2

0

∗

2

0

→

=

−

1

2

−

=

−

1

2

=

−

=

−

−

−

=

β

ω

β

ω

ω

ω

ω

ia

i

a

p

s

a

p

s

p

s

a

p

s

s

K

res

p

s

p

s

p

s

)

(

)

)(

(

lim

)

(

(22)

(

)

2

0

2

0

2

0

∗

=

2

0

∗

2

0

∗

∗

→

∗

=

−

1

2

=

=

−

1

2

−

=

−

=

−

−

−

=

β

ω

β

ω

ω

ω

ω

ia

i

a

p

s

a

p

s

p

s

a

p

s

s

K

res

p

s

p

s

p

s

)

(

)

)(

(

lim

)

(

(23)

oraz

t

i

t

t

i

t

e

e

ia

e

e

ia

t

k

2

−

1

0

−

0

−

2

0

2

−

1

0

0

−

2

0

−

1

2

+

−

1

2

−

=

β

ω

βω

β

ω

βω

β

ω

β

ω

)

(

(24)

Wykorzystując relacje

x

i

x

e

x

i

x

e

ix

ix

sin

cos

sin

cos

−

=

+

=

−

(25)

mamy

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

1

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

1

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

1

−

−

1

2

=

2

0

2

0

2

0

2

0

0

−

2

0

t

i

t

t

i

t

e

ia

t

k

t

β

ω

β

ω

β

ω

β

ω

β

ω

βω

sin

cos

sin

cos

)

(

(26)

Z (2.26) wynika

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

1

−

1

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

1

2

−

1

2

−

=

2

0

0

−

2

0

2

0

0

−

2

0

t

e

a

t

i

e

ia

t

k

t

t

β

ω

β

ω

β

ω

β

ω

βω

βω

sin

sin

)

(

(27)

W rezultacie mamy

( )

t

e

a

t

k

n

t

ω

β

ω

βω

sin

)

(

0

−

2

0

−

1

=

(28)

Z kolei odpowiedź skokową opisuje równanie

6

( )

( )

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

1

=

∫

=

0

0

−

0

t

t

e

a

d

k

t

h

n

n

n

t

t

ω

ω

β

ω

ω

τ

τ

βω

sin

cos

)

(

)

(

(29)

Drgania (29) są tłumione wykładniczo z wykładnikiem

a

t

t

h

+

⋅

⋅

−

±

=

0

1

)

exp(

)

(

ω

β

(30)

stanowiącym asymptoty dla przebiegu oscylacyjnego.
Rysunek 3 przedstawia odpowiedź skokową(29) układu (5).

Rys. 3. Odpowiedź skokowa układu oscylacyjnego 2 rzędu

Wartość współczynnika wzmocnienia odpowiada stanowi ustalonemu h(t).
Maksymalne odchylenie od stanu ustalonego odpowiedzi skokowej przedstawia (31).

m

y

∆

=

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

−

1

⋅

−

⋅

2

β

β

π

exp

a

(31)

Czas ustalania się wskazań, w którym przebieg h(t) odchyla się od swojego stanu ustalonego
o więcej niż

ε

± , określa (32).

u

T =

2

0

−

1

⋅

⋅

⋅

1

β

ε

ω

β

a

ln

(32)

Ze wzoru (31) wynika następująca zależność opisująca

β

β

=

α

π

α

π

⋅

2

−

1

+

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⋅

2

2

(33)

gdzie

⎜

⎜
⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

∆

=

m

y

a

ln

α

(34)

Dla przypadku odpowiedzi impulsowej współczynnik tłumienia wynosi

7

β

=

2

0

2

2

0

ln

4

ln

⎜

⎜
⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

+

⋅

⋅

n

n

A

A

n

A

A

π

(35)

i wyznacza się go na podstawie stosunku kolejnych amplitud

n

A odpowiedzi oscylacyjnej.

Ze wzoru (35) wynika pulsacja drgań własnych nietłumionych

0

ω

0

ω

=

u

T

a

⋅

−

1

⋅

2

β

β

ε

ln

(36)

Po wstawieniu (35) i (36) w (4) i (5) otrzymujemy szukany matematyczny model.


2. Przykład syntezy matematycznego modelu inercyjnego 1 rzędu w oparciu o pomiar

odpowiedzi skokowej

Transmitancja układu 1-go rzędu z opóźnieniem

)

(

)

(

s

X

s

Y

=

τ

s

e

T

s

k

−

⋅

+

1

(37)

Odpowiedź skokowa

τ

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

1

=

T

t

k

t

h

exp

)

(

(38)

Rysunek 4 przedstawia odpowiedź skokową (38) układu (37).

Rys. 4. Odpowiedź skokowa układu 1 rzędu z opóźnieniem