7. ODWZOROWANIA KONFOREMNE

1. Wyznaczy´

c obraz osi urojonej przy homografii f (z) =

1

z−1

.

2. Wyznaczy´

c obraz kwadaratu S = {z ∈ C : 0 < Rez < 1, 0 < Imz < 1} przy odwzoro-

waniu f (z) = z

2

.

3. Wyznaczy´

c wszystkie homografie przekszta lcaj

,

ace obszar D = {z ∈ C : Imz > 0} na

ko lo D(0, 1).

4. Wyznaczy´

c wszystkie homografie, kt´

ore przekszta lcaj

,

a dysk jednostkowy na dysk jed-

nostkowy.

5. Udowodni´

c, ˙ze dla dowolnych trzech r´

o˙znych punkt´

ow z

1

, z

2

, z

3

∈ ˆ

C i trzech r´

o˙znych

warto´sci w

1

, w

2

, w

3

∈ ˆ

C istnieje dok ladnie jedna homografia f taka, ˙ze f (z

i

) = w

i

, i = 1, 2, 3.

6. Znale´

z´

c homografi

,

e, kt´

ora przekszta lca punkty 0, 1, ∞ na 1, 1 + i, i odpowiednio. Wyzna-

czy´

c obraz prostej Rez = Imz przy tej homografii.

7. * Znale´

z´

c przekszta lcenie konforemne obszaru S = {z ∈ C : |z| < 1, Imz > 0, Rez > 0}

na dysk D(0, 1).

8. * Znale´

z´

c odwzorowanie konforemne, kt´

ore przekszta lca obszar

D = C \ {z ∈ C : Rez ≤ 0 ∧ Imz = 0} na obszar D

1

= {z ∈ C : |z| > 1}.