NUMERYCZNE WYZNACZANIE WEKTORÓW WŁASNYCH
I ODPOWIADAJĄCYCH IM WARTOSCI WŁASNYCH
1. Rozwijanie wielomianu charakterystycznego det(A-
I)
Def. Macierzą Frobeniusa nazywamy macierz postaci:
0
...
0
0
0
...
1
0
0
0
1
0
0
1
...
3
2
1
n
p
p
p
p
Cel:
0
det
,
0
...
...
1
0
1
0
1
...
1
3
2
1
M
AM
M
p
p
p
p
n
,
nn
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
Niech :
1
1
1
,
1
0
...
0
0
...
0
0
...
...
...
0
0
...
1
0
0
0
...
0
1
1
,
1
,
,
1
,
1
1
,
1
2
,
1
1
,
1
1
n
i
dla
a
n
i
dla
a
a
m
m
m
m
m
M
n
n
n
n
ni
i
n
n
n
n
n
n
n
n
Wtedy:
,
1
0
...
0
0
...
0
0
...
...
...
0
0
...
1
0
0
0
...
0
1
,
1
,
2
,
1
,
1
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
M
0
1
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
,
1
1
,
1
2
,
1
1
,
1
2
2
,
2
22
21
1
1
,
1
12
11
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
AM
1
,
1
1
,
1
,
1
,
1
1
,
1
,
,
1
1
,
n
j
n
i
dla
m
a
b
n
j
n
i
dla
m
a
a
b
n
n
n
i
n
j
j
n
n
i
ij
ij
0
1
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
0
1
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
,
1
1
,
1
2
,
1
1
,
1
2
2
,
2
22
21
1
1
,
1
12
11
,
1
1
,
1
2
,
1
1
,
1
2
2
,
2
22
21
1
1
,
1
12
11
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
c
c
c
b
b
b
b
b
b
b
b
c
c
c
c
c
b
c
c
c
c
c
c
AM
M
C
1
,
1
2
1
1
,
1
n
j
n
i
dla
b
a
c
n
i
dla
b
c
kj
nk
n
k
j
n
ij
ij
0
1
...
0
0
0
0
1
0
0
.
...
...
...
...
...
...
...
0
1
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
,
2
1
,
2
2
,
2
1
,
2
1
1
,
1
12
11
,
1
1
,
1
2
,
1
1
,
1
2
2
,
2
22
21
1
1
,
1
12
11
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
d
d
d
d
b
b
b
b
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
CM
M
D
0
...
0
0
0
...
1
0
0
0
1
0
0
1
...
...
...
3
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
n
n
n
n
n
p
p
p
p
M
M
CM
M
M
M
P
Wyjątki:
0
1
0
0
...
0
0
0
...
1
0
...
0
0
...
0
...
)
1
(
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
,
,
1
,
1
1
,
1
2
,
1
1
,
1
,
2
,
2
1
,
2
22
21
,
1
,
1
1
,
1
12
11
n
k
kk
n
k
k
k
k
k
k
k
n
k
k
n
k
k
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
1
0
0
0
...
0
0
0
1
...
0
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
0
...
1
0
...
...
...
...
...
...
...
0
...
...
1
...
0
0
0
...
...
0
...
0
1
1
k
M
- zamiana k-1-szego wiersza na j-ta kolumnę
1
1
1
k
k
M
D
M
D
Wyznaczenie wektorów własnych:
0
...
0
0
0
...
...
0
0
0
...
1
0
0
1
0
1
...
3
2
1
3
2
1
n
n
y
y
y
y
p
p
p
p
0
...
0
0
0
...
...
0
0
0
0
...
1
0
0
1
0
1
...
...
)
(
...
)
...
...
(
)
(
3
2
1
3
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
p
p
p
p
y
M
M
M
I
A
M
M
M
y
I
M
M
AM
M
M
M
y
I
P
0
..........
..........
..........
..........
..........
0
0
...
)
(
1
2
1
2
2
1
1
n
n
n
n
y
y
y
y
y
p
y
p
y
p
1
...
..........
1
2
1
1
1
n
n
n
n
y
y
y
y
Przykład:
1
2
3
4
2
1
2
3
3
2
1
2
4
3
2
1
A
,
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
333
.
3
333
.
5
1
167
.
0
P
2. Wyznaczanie dominującej wartości własnej.
Lemat ( Perrona) Jeśli macierz A ma wszystkie wyrazy RZECZYWISTE DODATNIE, to istnieje
rzeczywista dominująca wartośd własna.
Ustawmy moduły wartości własnych takiej macierzy w porządku niemalejącym:
(1)
|
||
...
|
|
|
|
|
3
2
1
n
Podamy przybliżony sposób wyznaczania dominującej wartości własnej
Niech y będzie dowolnym wektorem z R
n
a
n
k
j
j
c
1
)
(
x
y
jego rozkładem w bazie wektorów własnych. Stąd
n
k
j
m
j
j
n
k
j
m
j
m
n
k
j
j
j
n
k
j
j
n
k
j
j
j
n
k
j
j
c
A
c
A
c
A
c
A
c
A
c
A
1
)
(
1
)
(
1
)
(
2
1
)
(
2
2
1
)
(
1
)
(
....
x
x
y
x
x
y
x
x
y
Weźmy inna bazę e
1
, e
2
, …, e
n
w R
n
i niech
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
...
m
n
m
m
m
m
y
y
y
A
y
y
gdzie
)
(
)
(
2
)
(
1
,...,
,
m
n
m
m
y
y
y
są współrzędnymi wektora
)
(m
y
w tej nowej bazie. Rozłóżmy także
każdy z wektorów własnych w tej nowej bazie:
i
ij
n
i
m
x e
x
1
)
(
Wtedy
)
(
1
1
1
1
1
1
)
(
m
i
i
n
i
n
k
m
j
ij
j
i
n
i
i
ij
n
i
n
k
m
j
j
n
k
j
m
j
j
m
y
x
c
x
c
c
A
e
e
e
x
y
Stąd
n
j
m
j
ij
j
m
i
x
c
y
1
)
(
. Podobnie
n
j
m
j
ij
j
m
i
x
c
y
1
1
)
1
(
. Ostatecznie:
m
n
i
in
n
m
i
i
m
n
i
in
n
m
i
i
m
n
in
n
m
i
m
i
m
n
in
n
m
i
m
i
n
j
m
j
ij
j
n
j
m
j
ij
j
m
i
m
i
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
y
y
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
1
(
...
1
...
1
...
...
Przejście graniczne
m
prowadzi do:
1
)
(
)
1
(
lim
m
i
m
i
m
y
y
(2)
|
||
...
|
|
|
|
...
|
|
|
|
1
2
1
n
s
s
To samo rozumowanie prowadzi do:
m
n
i
in
n
m
s
s
i
s
is
s
i
m
n
i
in
n
m
s
s
i
s
is
s
i
m
n
in
n
m
i
m
i
m
n
in
n
m
i
m
i
n
j
m
j
ij
j
n
j
m
j
ij
j
m
i
m
i
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
y
y
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
1
(
...
....
...
....
...
...
Przejście graniczne a dla
m
mamy znów:
1
)
(
)
1
(
1
lim
)
(
)
(
lim
m
i
m
i
m
i
m
i
m
m
y
y
A
A
y
y
3. Przybliżony sposób wyznaczania „drugiej” wartości własnej
Zmodyfikujmy powyższe rozumowanie:
)
(
1
)
2
(
1
2
2
)
1
(
1
1
1
1
)
(
1
1
...
n
m
n
n
m
m
n
k
j
m
j
j
m
c
c
c
c
A
x
x
x
x
y
)
(
)
2
(
2
2
)
1
(
1
1
1
)
(
...
n
m
n
n
m
m
n
k
j
m
j
j
m
c
c
c
c
A
x
x
x
x
y
)
(
1
)
2
(
1
3
3
3
)
2
(
1
2
2
2
1
1
)
(
...
)
(
)
(
n
n
m
n
n
m
m
m
m
c
c
c
A
A
x
x
x
y
y
Oznaczenie:
y
y
y
m
m
i
m
A
A
A
1
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
3
2
3
3
3
1
2
2
2
1
1
2
1
3
1
2
3
3
3
1
2
2
2
2
1
1
3
3
3
3
1
2
2
2
2
1
1
1
3
1
3
3
3
1
2
1
2
2
2
1
n
m
n
in
n
m
i
i
n
m
n
in
n
m
i
i
n
m
n
in
n
m
i
m
i
n
m
n
in
n
m
i
m
i
i
m
i
m
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
x
c
A
A
y
y
Przejście graniczne
m
prowadzi do:
2
1
)
(
)
(
lim
i
m
i
m
m
A
A
y
y