Ć w i c z e n i e 42

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA TARCIA TOCZNEGO

42.1 Opis teoretyczny

Rozważmy ciało (traktowane jako punkt materialny), które porusza się pod wpływem działania siły

F

r

. Zbadajmy pracę, jaką wykona ta siła w kilku możliwych przypadkach..

A) Na ciało działa stała siła F równoległa do wektora przemieszczenia ciała

sr (patrz rys 42.1a).

Torem ruchu ciała jest w tym przypadku prosta równoległa do kierunku działania siły. Można to
zapisać w postaci warunków:

constans

F

=

r

F

r

║

sr

W tym przypadku pracą W nazywamy iloczyn siły F i przebytej drogi s:

s

F

W

⋅

=

Praca jest skalarem, a jej jednostką w układzie SI jest dżul (praca wykonana siłą jednego niutona
na drodze jednego metra):

2

2

2

s

m

kg

1

m

s

m

kg

1

1m

1N

=

=

⋅

=

1J

B) W kolejnym przypadku niech stała siła F

r

działa na ciało pod kątem φ do kierunku przemiesz-

czenia ciała

r

(rys 42.1b), co można zapisać warunkami:

s

constans

F

=

r

r

║

sr

F

W tym przypadku pracę wykonuje nie cała siła F, lecz jej składowa w kierunku ruchu ciała –

ϕ

cos

F

, a tak wykonana praca

ϕ

cos

s

F

W

⋅

=

Kąt

ϕ

jest kątem zawartym między wektorami F

r

i

sr

, a więc pracę tą można zapisać jako ilo-

czyn skalarny tych wektorów:

W

s

F r

r

•

=

C) W przypadku najogólniejszym siła F

r

jest zmienna, a ciało przesuwane jest po torze krzywoli-

niowym K (rys 42.1c):

constans

F

≠

r

r

║

sr

F

Aby obliczyć pracę siły zmiennej co do wartości jak i kierunku na drodze K od punktu a do
punktu b, podzielmy tę drogę na bardzo małe elementy prostoliniowe o długościach

. Każdemu przemieszczeniu

)

1,2,3...n

i

(

s

∆

i

=

r

i

s

∆r

odpowiada siła

i

F

r

. Całkowita praca na dro-

dze krzywoliniowej ab będzie w przybliżeniu sumą prac elementarnych

, czyli iloczynów

skalarnych F

i

W

∆

i

i

s

∆r

r

•

tzn:

∑

∑

=

=

•

=

∆

≅

n

i

n

i

1

i

i

1

i

ab

s

∆

F

W

W

r

r

F

r

α

F

r

i

s

∆r

i

F

r

F

r

i

s

∆r

∑

•

=

=

∞

→

n

i

n

s

∆

F

W

1

i

i

ab

lim

r

r

a)

sr

b)

sr

c)

Rys 42.1 Różne orientacje wektora siły względem dokonanego przesunięcia.

Ogólną definicję pracy zmiennej siły na drodze krzywoliniowej wyraża się całką krzywoliniową,
czyli granicą do której dąży powyższa suma, gdy ilość odcinków elementarnych dąży do nieskoń-
czoności tzn. gdy ich długości

dąży do zera:

∫

•

=

K

s

d

F

r

r

(42.1)

Jeżeli praca wykonana przez siłę podczas przemieszczania ciała po dowolnej drodze zamkniętej jest
równa zeru, to siłę taką nazywamy siłą zachowawczą. Jeżeli warunek ten nie jest spełniony, to
mówimy, że siła jest niezachowawcza. Siły niezachowawcze nazywane są często siłami rozprasza-
jącymi lub dyssypatywnymi, albowiem energia włożona w ciało, w polu tych sił ulega rozproszeniu
(nie można jej z powrotem odzyskać).
Korzystając z zależności (42.1) obliczmy teraz, jaką pracę należy wykonać, aby ciało o ma-
sie m pozostające w spoczynku rozpędzić do prędkości V . Pozwalamy więc, aby droga ciała była

krzywoliniowa, a siła zmienna. Załóżmy, że na ciało działa siła F

r

, nadając mu przyśpieszenie

chwilowe

a

. Wówczas korzystając z zależności

r

dt

V

d

m

m

F

;

dt

V

s

r

r

r

=

=

ar

=

d

r

mamy:

K

2

K

V

0

ab

E

2

mV

dV

V

równolege

są

V

d

i

V

wektory

ponieważ

V

d

V

m

dt

V

dt

V

d

m

s

d

F

W

=

=

=

=

=

=

=

•

=

∫

∫

∫

∫

K

K

m

r

r

r

r

r

r

r

r

Z obliczeń wynika, że wykonana praca zamieniła się na energię kinetyczną ciała. Jest to energia
zgromadzona w poruszającym się ciele i zależna tylko od masy ciała m i od jego prędkości V. Roz-
pędzone ciało spotykając się z innymi ciałami, może z powrotem oddać swą energię kinetyczną
wykonując na nich pracę. Energia kinetyczna jest więc energią ciała w ruchu.
Inną postacią energii występującej w mechanice jest energia zależna od położenia zwana
energią położenia lub potencjalną. Z energią tą mamy do czynienia w przypadku działania sił za-
chowawczych i jest ona równa pracy jaką należy wykonać aby przenieść ciało z położenia odnie-
sienia do zadanego punktu. Położenie odniesienia przyjmuje się arbitralnie; w nim ciało ma zerową
energię potencjalną.

α

s

dr

ϕ

gr

Rys 42.2 Wahadło matematyczne wychylone z położenia równowagi o kąt

α

Obliczmy pracę konieczną do odchylenia wahadła matematycznego o kąt

α (rys 42.2). Jeśli waha-

dło wychylone o kąt

α

puścimy swobodnie, to powróci do położenia równowagi oddając wcześniej

włożoną pracę, ponieważ wahadło znajduje się w jednorodnym polu sił grawitacyjnych, które są
zachowawcze. Na podstawie zależności (42.1) możemy napisać:

0

0

W

s

d

g

m

g

-m

F

s

d

F

W

α

α

−

=

•

−

=

=

=

•

=

∫

∫

K

K

r

r

r

r

r

r

Zgodnie z definicją iloczynu skalarnego możemy napisać:

ϕ

cos

ds

g

s

d

g

=

• r

r

gdzie kąt φ jest zawarty między wektorem przyśpieszenia ziemskiego a torem ciała (rys 42.2)
Tak więc możemy napisać:

=

=

=

=

=

−

=

•

−

=

−

=

∫

∫

∫

dα

ds

sin

cos

ds

cos

g

m

ds

cos

g

m

s

d

g

m

W

W

K

K

0

0

l

K

α

ϕ

ϕ

ϕ

α

α

r

r

(

)

p

0

α

0

E

cos

1

g

m

g

m

α

cos

g

m

α

cos

g

m

dα

α

sin

g

m

=

−

=

+

−

=

=

=

−

∫

α

α

l

l

l

l

l

Obliczona praca jest energią potencjalną

wahadła wychylonego o kąt

p

E

α . Gdy go swobodnie

puścimy może ono wykonać pracę równą, co do wartości posiadanej energii potencjalnej, lub też
jego energia potencjalna zamieni się w energię kinetyczną ruchu wahadła (całkowicie w punkcie
równowagi). Energia jest więc zdolnością ciał do wykonywania pracy.
W przypadku nieobecności sił niezachowawczych (np. sił tarcia) wahadło wychylonego o kąt

α w

jedną stronę i puszczone swobodnie, przejdzie przez punkt równowagi, po czym wychyli się o
kąt

α w drugą stronę. Podczas tego ruchu początkowa energia wahadła nadana mu podczas jego

wychylania nie została wykorzystana na wykonanie pracy.
Wprowadźmy do rozważanego układu siły niezachowawcze. Wahadło zbudowane z kulki o masie
m zawieszonej na nici o długości l umieśćmy na płaszczyźnie nachylonej pod kątem

β

do pozio-

mu. Kulka toczy się po płaszczyźnie równi pochyłej (rys 42.3). W ruchu kulki odbywa się pod
wpływem siły ciężkości oraz pod wpływem niezachowawczej siły tarcia tocznego.

β

F

N

mg

β

Rys 42.3 Pochylnia do wyznaczania współczynnika tarcia tocznego (widok z boku). Siła na-

cisku kulki na podłoże:

β

cos

g

m

F

N

=

Przy ruchu wahadła z położenia A (patrz rys 42.4) cały czas będzie zmniejszała się całkowita ener-
gia kulki gdyż musi zostać wykonana praca W

T

przeciwko siłom tarcia.

α

0

α

1

α

3

α

2

A

E

B

D

C

Rys 42.4 Ruch kulki na

pochylni w obecności tarcia tocznego (widok z góry)

3

2

1

0

α

α

α

α

〉

〉

〉

.

0

2

3

1

Kulka wychylona do położenia A, wykonuje ruch wahadłowy i po przejściu przez punkt C zatrzy-
muje się w punkcie E. Następnie powracając, część jej energii jest zużywana na pracę przeciwko
siłom tarcia i dlatego nie powróci do punktu A, lecz zatrzyma się w punkcie B. Kąty kolejnych wy-
chyleń kulki będą coraz mniejsze.
Rozpatrzmy teraz szczegółowo ruch kulki z położenia A do położenia C (rys 42.4). Ponieważ ruch
kulki odbywa się w płaszczyźnie nachylonej pod kątem β do poziomu (rys 42.3) więc:

energia potencjalna w punkcie A

(

)

β

α

sin

cos

1

g

m

E

p

−

=

l

energia kinetyczna ruchu obrotowego (w C)

2

E

2

K

0

ω

I

=

gdzie

2

r

m

5

2

=

I

i

r

V

=

ω

co po podstawieniu daje

2

K

mV

10

2

E

0

=

oraz energia kinetyczna ruchu postępowego (w C)

2

K

mV

2

1

E

P

=

.

Praca sił tarcia:

β

cos

S

f

mg

0

S

s

β

cos

mgf

ds

f

β

cos

mg

ds

f

F

W

K

K

s

0

s

s

0

s

N

T

k

p

k

p

=

=

=

=

∫

∫

=

=

gdzie:

S

- droga jaką przebędzie kulka pomiędzy punktem A i C, f - współczynnik tarcia tocznego

K

Ponieważ jest to ruch po krzywej, będącej częścią okręgu, więc

jest długością łuku okręgu o

promieniu

l

, a zatem

K

S

α

l

=

K

S

czyli ostatecznie:

β

α

cos

f

g

m

W

T

l

=

(42.2)

Zapiszmy, zasadę zachowania energii mechanicznej dla rozważanego przypadku

T

K

K

P

W

E

E

E

P

0

+

+

=

(42.3)

(

)

β

α

α

β

cos

f

g

m

V

m

10

5

V

m

10

2

cos

1

sin

g

m

2

2

l

l

+

+

=

−

(

)

β

α

α

β

cos

f

g

m

V

m

10

7

cos

1

sin

g

m

2

l

l

+

=

−

(42.4)

Powyższe równanie dla torów AC i CE będzie miało postacie:

dla

AC

(

)

β

α

α

β

cos

f

g

m

V

m

10

7

cos

1

sin

g

m

0

2

0

l

l

+

=

−

dla

CE

(

)

β

α

α

β

cos

f

g

m

V

m

10

7

cos

1

sin

g

m

1

2

1

l

l

+

=

−

Odejmując stronami powyższe równania otrzymujemy:

(

)

β

α

α

α

α

β

cos

)

(

f

cos

cos

sin

1

0

0

1

+

=

−

czyli

(

)

)

(

f

cos

cos

tg

1

0

0

1

α

α

α

α

β

+

=

−

(42.5)

I stąd możemy wyznaczyć współczynnik tarcia tocznego f :

(

)

)

(

cos

cos

tg

f

1

0

0

1

α

α

α

α

β

+

−

=

Analogiczne do wyrażenia (42.5) równanie opisujące ruch wahadła w następnym półokresie, czyli
dla toru EB ma postać:

(

)

)

(

f

cos

cos

tg

1

2

1

2

α

α

α

α

β

+

=

−

(42.6)

Dodając stronami wyrażenia (42.5) i (42.6) otrzymujemy dla pierwszego okresu AEB ruchu waha-
dła:

(

)

)

2

(

f

cos

cos

tg

2

1

0

0

2

α

α

α

α

α

β

+

+

=

−

(42.7)

I stąd również możemy wyznaczyć interesujący nas współczynnik tarcia tocznego f:

(

)

)

2

(

cos

cos

tg

f

2

1

0

0

2

α

α

α

α

α

β

+

+

−

=

(42.8)

Kontynuując śledzenie ruchu wahadła dla drugiego okresu ruchu wahadła (analogiczne do wyraże-
nia (42.7)) otrzymujemy:

(

)

)

2

(

f

cos

cos

tg

4

3

2

2

4

α

α

α

α

α

β

+

+

=

−

(42.9)

Dodając stronami wyrażenia (42.7) i (42.9) otrzymujemy dla dwóch okresów ruchu wahadła:

(

)

)

2

2

2

(

f

cos

cos

tg

4

3

2

1

0

0

4

α

α

α

α

α

α

α

β

+

+

+

+

=

−

(42.10)

Uogólniając dla n okresów ruchu wahadła otrzymujemy:

(42.11)

(

)

)

2

(

f

cos

cos

tg

2

1

2

1

0

0

2

n

n

i

i

n

α

α

α

α

α

β

+

+

=

−

∑

−

=

i stąd ogólny wzór na współczynnik tarcia tocznego z pomiarów wykonanych z n okresów:

(

)

)

2

(

cos

cos

tg

f

2

1

2

1

0

0

2

n

n

i

i

n

α

α

α

α

α

β

+

+

−

=

∑

−

=

(42.12)

UWAGA

: Przy korzystaniu z powyższych wzorów kąty

α

należy wyrazić w radianach

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika tarcia tocznego dla danego podłoża.

42.2 Opis układu pomiarowego

Układ pomiarowy składa się z równi pochyłej w postaci szerokiej deski o regulowanym kącie na-
chylenia β. U szczytu równi ( na środku deski) zamocowana jest cienka nić o długości około 30 cm.
Na jej drugim wisi metalowa kulka o średnicy około 2 cm.
Po wychyleniu kulki w bok ze stanu równowagi i puszczeniu, kulka będzie się toczyć po równi wy-
konując ruchy wahadłowe (raz w prawo raz w lewo). Występowanie tarcia tocznego powoduje to,
że każde następne wychylenie kulki z położenia równowagi będzie mniejsze.

Z pomiarów kątów

(

,....

,

,

2

1

0

)

α

α

α

o jakie wychyla się kulka można wyznaczyć współczynnik tar-

cia tocznego

f z wyrażenia (42.8):

(

)

2

1

0

0

2

2

cos

cos

tg

α

α

α

α

α

β

+

+

−

=

f

gdzie:

0

α

- początkowe wychylenie kulki (w prawo),

1

α

- wychylenie kulki w stronę przeciwną

(w lewo),

2

α

- wychylenie kulki po jej powrocie na stronę prawą.

Zwiększając ilość mierzonych kątów c, oraz powtarzając pomiary przy różnych kątach nachylenia
równi β , można wydajnie zwiększyć dokładność wyznaczenia współczynnika tarcia tocznego

f.

Ćwiczenie można również powtórzyć zmieniając szorstkość podłoża, po którym toczy się kulka.

42.3. Przebieg pomiarów

1. Zaznajomić się z układem pomiarowym oraz sposobem wyznaczania kątów

α

i β.

2. Wykonać pomiar kąta β.

3. Odchylić kulkę z położenia równowagi o znany kąt

0

α

, a następnie pamiętając aby kulka pozo-

stawała na desce puścić ją.

4. Dokonać pomiarów kątów

α

przy wychyleniach kulki w obie strony podczas wykonywania

przez nią jednego okresu wahnięć

5. Dokonać pomiarów kątów

α

przy wychyleniach kulki w obie strony podczas wykonywania

przez nią dwu okresów wahnięć.

6. Dokonać pomiarów kątów

α

przy wychyleniach kulki w obie strony podczas wykonywania

przez nią trzech okresów wahnięć.

7. Powtórzyć procedury 2-6 dla dwu innych wartości kąta β.
8. Nałożyć na deskę pochylni gumową podkładkę i powtórzyć czynności 2-7.
9. Oszacować błędy pomiarowe wyznaczania kątów

α

i β

10. Wyniki pomiarów zapisywać we własnoręcznie zaprojektowanej tabelce.

42.4. Opracowanie wyników pomiarów

.

1. Posługując się właściwymi wzorami wyznaczyć współczynnik tarcia tocznego

f dla wszystkich

pomiarowych przypadków.

2. Zestawić otrzymane wyniki, poszukać zbieżności i wyciągnąć właściwe wnioski.
3. Oszacować błąd wyznaczonych współczynników tarcia tocznego i zaproponować procedury

zmniejszenia go.

42.5. Pytania kontrolne

1. Omówić drgania wahadła matematycznego.
2. Czy analizowane w ćwiczeniu drgania wahadła są ruchem harmonicznym?
3. Wyprowadzić wyrażenie na współczynnik tarcia tocznego dla walca toczącego się po równi

pochyłej.

4. Wyprowadzić wyrażenie na współczynnik tarcia tocznego dla kuli toczącej się po równi pochy-

łej.

L i t e r a t u r a

[1] Piekara A.: Mechanika ogólna. PWN, Warszawa 1970.
[2] Massalski J.M.: Fizyka dla inżynierów, cz.2, WNT, Warszawa 1975.