Operacje syntaktyczne

1. Typy operacji syntaktycznych
Na znakach, a w szczególności na wyrażeniach, dokonuje się niekiedy – w pewnych
celach – operacji syntaktycznych. Mogą one polegać na:

- przestawianiu (części znaku);

- zastępowaniu (elementu znaku innym elementem);

- dołączaniu (do znaku nowego elementu);

- odrywaniu (od znaku jakiegoś elementu);

- podstawianiu (jakiegoś elementu znaku za inny element);

- uzmiennianiu (jakiegoś wyrażenia);

- wiązania (jakiejś zmiennej);

- uwalniania (jakiejś zmiennej).

Przy tym ostatnich trzech operacji można dokonywać tylko na wyrażeniach.
Przekształceń znaków dokonuje się w różnych celach. Najważniejsze są te rodzaje
transformacji, dzięki którym można zachować pewną pożądaną własność znaku, na którym
dokonuje się operacji, bądź – uzyskać pewną pożądaną własność znaku, który się
transformuje. W logice formalnej ważne jest – związane z przekształceniami – pojęcie
wyprowadzania

, która zachowuje prawdziwość.

2. Przestawianie
Przestawianie polega na zamianie kolejności jakichś elementów znaku.
Jeżeli w wyrażeniu Z da się wyróżnić człony A i B, to po przestawieniu człon A zajmie
miejsce B, a człon B – miejsce A, np.:

(1)

Sokrates

i

Platon

Platon

i

Sokrates

(2)

Sokrates

pije

wino

.

Wino

pije

Sokratesa

.

(3)

Sokrates

i

Platon

i

Platon

Sokrates.

Jak widać, w wyniku przestawienia niekiedy uzyskujemy wyrażenia sensowne, a niekiedy
nie. Niekiedy zachowujemy denotację wyrażenia, a niekiedy nie. Po przestawieniu elementów
w (1) otrzymujemy wyrażenie o tej samej denotacji, co wyjściowe. Po przestawieniu
elementów w (2) – otrzymujmy wyrażenie o różnej denotacji niż wyjściowe. W (3) po
przestawieniu otrzymujemy wyrażenie niespójne, tj. różniące się od wyjściowego także pod
względem kategorii semantycznej.
Zastępowanie pewnego członu znaku innym członem polega na wymianie jakiegoś
członu na inny.

3. Zastępowanie

Jeżeli w wyrażeniu W da się wyróżnić człon A, to w wyniku zastąpienia członu A

członem B otrzymamy wyrażenie W’, różne od W tylko tym, że w miejscu A w W’ występuje
B

.

(4)

Sokrates i

Platon

.

Sokrates i

Protagoras

.

(5)

Sokrates jest filozofem.

Sokrates jest miłośnikiem mądrości.

W (4) zastąpienie członu o pozycji (1,2) przekształca wyjściową nazwę na inną nazwę (a więc
kategoria semantyczna zostanie zachowana), ale o innej denotacji.
Szczególnym rodzajem zastępowania jest to zastępowanie, w którym się dane
wyrażenie zastępuje jego definicyjnym równoważnikiem. Zgódźmy się, że z takim
zastąpieniem mamy miejsce w (5). Wówczas mimo wykonania operacji zastępowania

denotacja całego wyrażenia nie ulega zmianie (pod warunkiem, że funktor, którego wyrażenie
zastępowane jest argumentem, jest ekstensjonalny).

4. Ekstensjonalność i intensjonalność
Rozpatrzmy wyrażenie:

(6) Nieprawda, że śnieg jest biały.

Ponieważ zdanie „Śnieg jest biały” jest prawdziwe, całe zdanie (6) jest fałszywe. Konektyw
„Nieprawda, że” działa tak, że niezależnie, jakie zdanie prawdziwe do niego dołączymy –
przekształca on je na zdanie fałszywe. Na przykład zdanie:

(7) Nieprawda, że planety krążą po elipsach.

także jest fałszywe – bo fałszywe jest zdanie „Planety krążą po elipsach”. Dlatego o spójniku
„Nieprawda, że” powiemy, że jest ekstensjonalny.
Rozważmy wyrażenie:

(8) Kopernik sądził, że śnieg jest biały.

Całe wyrażenie (8) jest prawdziwe, podobnie jak jego argument. Rozważmy z kolei
wyrażenie:

(9) Kopernik sądził, że planety krążą po elipsach.

Wyrażenie to jest fałszywe, mimo że prawdziwe jest wyrażenie „Planety krążą po
elipsach”. Funktor „Kopernik sądził, że” jedne zdania prawdziwe przekształca w prawdę, a
inne – w fałsz. Powiemy o tym konektywie, że jest intensjonalny.
Porównajmy jeszcze następujące zdania:

(10) Neron wiedział, że spłonął Rzym.
(11) Neron wiedział, że spłonęła stolica papiestwa.

Argumenty funktora „Neron wiedział, że” w obu wypadkach (10) i (11) mają tę samą
denotację, a nie tylko tę samą wartość logiczną. Mimo to – zdanie (10) jest prawdziwe, a (11)
– fałszywe.

5. Dołączanie
Dołączenie polega na dodaniu do znaku nowego członu.
Spójrzmy, jak dołączanie wygląda na wyrażeniach:

(12)

Sokrates

Sokrates

i Platon

.

(13)

Sokrates

Sokrates

i

W (12) po dołączeniu członu „i Platon” powstanie wyrażenie o różnej denotacji, ale o tej
samej kategorii semantycznej. Natomiast w (13) powstaje wyrażenie niespójne gramatycznie.
Z regułą dołączania można związać różne warunek co do własności, która ma być w
tej operacji zachowywana. Może to być np. własność należenia do pewnej kategorii
semantycznej, czyli np. bycia nazwa albo bycia zdaniem, ale może to też być np. wartość
logiczna (prawdziwość lub fałszywość).

(13)

fortepian (n)

biały fortepian (n)

(14)

fortepian (n)

bardzo fortepian (n/n//n/n n)

(15)

Wigilię obchodzi się 24 grudnia. Wigilię obchodzi się 24 grudnia lub 25 grudnia.

(16)

Wigilię obchodzi się 24 grudnia. Nieprawda, że wigilię obchodzi się 24 grudnia.

W wyniku dołączenia w przykładzie (13) otrzymujemy wyrażenie o tej samej kategorii
semantycznej (n), ale o innej (mniejszej) denotacji. W wyniku dołączenia w (14)
otrzymujemy z nazwy (n) – wyrażenie niegramatyczne (n/n//n/n, n). W wyniku dołączania
(14) –tj. po dodaniu członu „lub 25 grudnia” – otrzymujemy zdanie, które – podobnie jak
zdanie wyjściowe – jest prawdzie. W wyniku dołączania (15) – tj. po dodaniu członu
„Nieprawda, że” – otrzymujemy zdanie o różnej od zdania wyjściowego wartości logicznej.

6. Odrywanie
Odrywanie – to usuwanie ze znaku jakiegoś jego członu.
Spójrzmy, jak operacja ta wygląda na wyrażeniach:
Załóżmy, że własnością, która ma być zachowana w odrywaniu jest prawdziwość i z
tym założeniem przyjrzyjmy się następującym przykładom:

(17)

Grzmi i pada.

Grzmi.

(18)

Grzmi lub pada.

Grzmi.

Przekształcenie (17) zachowuje prawdziwość: jeśli zdanie „Grzmi i pada” jest prawdziwe, to
prawdziwe jest też zdanie „Grzmi”. Natomiast (18) prawdziwości nie zachowuje: może się
zdarzyć, że zdanie „Grzmi lub pada” jest prawdziwe, a zdanie „Grzmi” jest fałszywe.
Załóżmy z kolei, że własnością, która ma być zachowywana w odrywaniu, ma być
kategoria semantyczna.

(18)

Bardzo głośno grzmi.

Głośno grzmi.

(19)

Bardzo głośno grzmi.

Bardzo głośno.

Przekształcenie (18) zachowuje kategorię semantyczną (wyrażenie wyjściowe i docelowe są
zdaniami), przekształcenie (19) – nie zachowuje.
Załóżmy w końcu, że własnością, która ma być zachowywana w odrywaniu, jest
gramatyczność. W przekształceniach:

(20)

Marek grał na fortepianie

Marek grał na

(21)

Marek grał na fortepianie

Marek grał

(22)

Marek grał na fortepianie

Marek.

Tylko w przekształceniu (22) wyrażenie pozostanie gramatyczne (ze zdania powstaje nazwa).

7. Wyrażenia stałe i zmienne
Wyrażenia zmienne charakteryzują się tym, że można za nie podstawiać pewne stałe:
inaczej mówiąc, wrażenia stałe są reprezentowane przez pewne zmienne.
Zmienne miewają różny zakres, jednakże w języku naturalnym zakres zmiennej jest
zawsze ograniczony. W językach formalnych posługujemy się niekiedy pojęciem zmiennej o
nieograniczonym zakresie. Zmienna o ograniczonym zakresie reprezentuje tylko wyrażenia o
danej, wyznaczonej przez jej kształt kategorii – np. zbór nazw ludzi („ktoś”), zbiór nazw
czasów (kiedyś) etc.
Zmienna poprzedzona kwantyfikatorem („każdy”, „pewien”, „żaden”, „niektóre”) –
to zmienna związana (resp. pozorna). Zmienna nie poprzedzona kwantyfikatorem – to
zmienna wolna (resp. rzeczywista).
Wyrażenie jest zamknięte, gdy nie występuje w nim ani jedna zmienna wolna (resp. pozorna).
Wyrażenie jest otwarte, gdy występuje w nim co najmniej jedna zmienna wolna.
Spośród wyrażeń:

(23) Frycek grał na fortepianie.

(24) Frycek grał na x.

(25) Frycek grał na pewnym instrumencie.

(26) Każdy grał kiedyś na pewnym instrumencie.

(27) Każdy coś robił kiedyś z czymś.

Tylko (24) jest wyrażeniem otwartym (zmienna ‘x’ nie jest w nim związana).
Tylko wyrażenia zamknięte mają wartość logiczną. Wyrażeń otwartych nie można pod
względem wartości logicznej ocenić.

8. Podstawianie
Operacji podstawiania dokonuje się na wyrażeniach otwartych, tj. zawierających
zmienne wolne. Podstawianie polega na wstawieniu za wyrażenie zmienne stałej należącej do
zakresu tej zmiennej.
Na przykład do wyrażenia:

(28) Fryderyk dedykował swój utwór x-owi

wstawiamy wyrażenie:

(29) Fryderyk dedykował swój utwór Konstancji.

Do wyrażenia:

(30) Fryderyk dedykował swój utwór Konstancji, ponieważ p.

wstawiany wyrażenie:

(31) Fryderyk dedykował swój utwór Konstancji, ponieważ ją kochał.

Stosowana w logice reguła podstawiania ogranicza jej stosowanie trzema
warunkami:
(i) Nie można dokonywać podstawiania za zmienne związane.
W wyrażeniu „Każdy x kocha pewnego y-ka” nie można dokonać żadnego
podstawienia.
(ii) Jeżeli w wyrażeniu otwartym występuje więcej niż jedna zmienna danego
kształtu, to trzeba za nią zawsze podstawiać to samo wyrażenie.
Poprawnym podstawieniem funkcji „x kocha x-a” jest wyrażenie: „Izolda kocha
Izoldę” (tj. „Izolda się kocha”), a nie „Izolda kocha Tristana”.
(iii) Jeżeli wyrażenie będące przedmiotem operacji podstawiania jest wyrażeniem
otwartym, to jego zmienne nie powinny zostać związane w wyniku podstawienia.
W wyrażeniu: „Każdy x kocha y-a” można więc podstawić za y np. zmienną z, ale
nie można za y podstawić np. wyrażenia “teściową x-a”, gdyż w rezultacie otrzymalibyśmy
wyrażenie : „Każdy x kocha teściową x-a”, czyli – „Każdy x kocha swoją teściową”.

9. Uzmiennianie
Uzmiennianie – to operacja odwrotna do podstawiania, polegająca na wstawieniu
pewnej zmiennej w miejsce stałej w pewnym wyrażeniu.
Uzmienniając człony wyrażenia:

(32) Fryderyk grał z Konstancją na cztery ręce.

Otrzymamy kolejno:

(33) x grał z Konstancją na na cztery ręce.

(34) x grał z y-kiem na na cztery ręce.

(35) x grał z y-kiem na z rąk.

(36) x grał z y-kiem na z rąk.

(37) x grał z y-kiem P-owo.

(38) x był w relacji R do y-ka.

(39) p.

10. Wiązanie
Wiązanie zmiennej polega na poprzedzaniu wyrażenia otwartego kwantyfikatorem
wiążącym zmienną, występującą w tym wyrażeniu.
Wynikiem związania wyrażenia:

(40) x myśli

są wyrażenia:

(41) Każdy x myśli.

(42) Pewien x myśli.

Operacja wiązania może mieć dwie formy: uogólniania i uszczegóławiania.
Wiążąc zmienne w generalizatorem („Każdy”, „Wszystkie”) – dokonujemy uogólnienia.
Wiążąc

zmienne

partykularyzatorem

(„Pewien”,

„Niektóre”)

–

dokonujemy

uszczegółowienia.

11. Uwalnianie
Uwalnianie zmiennej polega na opuszczaniu kwantyfikatora wiążącego zmienną
występującą w danym wyrażeniu.
Uwolnienie przekształca np., wyrażenie:

(43) Każdy x myśli.

na wyrażenie:

(44) x myśli.

Jest to więc operacja odwrotna względem wiązania.