© Lesław ŁADNIAK

!420_Obwod_RL 2009-12-17

Obwód RL

Rozpatrzmy obwód złożony z cewki o indukcyjności L oraz
źródła napięcia e(t) o sile elektromotorycznej E. Schemat obwodu
przedstawiono na Rys. 1. Występujący w obwodzie rezystor R
odwzorowuje straty energii w źródle napięcia oraz rezystancję
przewodów. Należy wyznaczyć przebieg zmian prądu w
analizowanym obwodzie po zamknięciu łącznika W.

Ładowanie cewki

Przyjmijmy,

że siła elektromotoryczna źródła napięcia na ma

wartość stałą równą E, a przed zamknięciem łącznika przez cewkę
nie płynął prąd. W chwili t

o

obwód zostaje zamknięty. W obwodzie

zaczyna płynąć prąd. Gdyby Przepływający przez rezystor i cewkę
prąd wywołuje pole magnetyczne. Według prawa Faradaya
przenikający zwoje cewki zmienny w czasie strumień pola
magnetycznego powoduje pojawienie się siły elektromotorycznej
samoindukcji na zaciskach tej cewki. Zgodnie z regułą Lenza
wyidukowana siła elektromotoryczna przeciwdziała wzrostowi
prądu, co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do kierunku
przepływu prądu, a tym samym do kierunku siły
elektromotorycznej wywołującej przepływ prądu w obwodzie.
Wartość indukowanej siły elektromotorycznej samoindukcji jest
proporcjonalna do szybkości zmian strumienia magnetycznego,
którego wartość zależy natomiast od natężenia prądu płynącego w
obwodzie. Ponieważ w wyniku zamknięcia łącznika zmiana
natężenia prądu jest dużą, a indukowana siła elektromotoryczna ma
przeciwdziałać zmianom prądu w obwodzie, to wartość tej siły jest
równa wartości siły elektromotorycznej wywołującej przepływ
prądu w chwili zamknięcia łącznika. Aby nie wystąpiła zmiana
prądu płynącego w obwodzie, to napięcie na zaciskach rezystora
nie może się zmienić. Prąd płynący przez rezystor przed
zamknięciem łącznika był równy zeru. Czyli w celu zachowania
wartości prądu obwodzie w chwili zamykania łącznika wartość
indukowanej w cewce siły elektromotorycznej samoindukcji musi
być równa wartości siły elektromotorycznej wywołującej przepływ
prądu. Prąd płynący przez rezystor będzie tak długo mniejszy od
wartości maksymalnej (E/R), jak długo działa siła
elektromotoryczna samoindukcji. W miarę upływu czasu szybkość,
z jaką rośnie natężenie prądu, staje się coraz mniejsza. W
konsekwencji siła elektromotoryczna samoindukcji
proporcjonalnie do szybkości zamian prądu maleje. Efekt ten
powoduje, że prąd osiąga wartość E/R asymptotycznie z pewnym
opóźnieniem (Rys. 2). Czas od chwili zamknięcia obwodu do
chwili ustabilizowania się wartości napięć i prądów w obwodzie
nazywany jest stanem przejściowym.

R

e(t)

u

R

(t)

i(t)

Φ

L

u

L

(t)

W

Rys. 1. Obwód RL

u

L

(t)

E

0

1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

5

τ

~37 %

t

E e

- t L/R

0

1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

5

τ

~63 %

t

E/R (1 - e

-t/

τ

)

E
R

i(t)

Rys. 2. Wartość chwilowa napięcia i prądu w

obwodzie RL

2

Przebiegi napięć i prądów

Jak

widać na Rys. 2 w czasie załączania napięcia stałego o sile

elektromotorycznej E w obwodzie złożonym z cewki o
indukcyjności L i rezystora o wartości R wartość prądu i napięcia
zmienia się wykładniczo.

Zmiany

natężenia prądu i(t) są opisane równaniem:

i(t) =

E
R (1 - e

-t/τ

)

Napięcie na zaciskach cewki opisuje następujące równanie:

u(t) = E e

-t/τ

Stała czasowa obwodu

τ

równa ilorazowi indukcyjności i

rezystancji występujących w obwodzie:

τ

=

L
R

określa szybkość narastania prądu w obwodzie i szybkość
zanikania napięcia na cewce.

Moc i energia

Poprawić i sprawdzić równania

Znając przebieg zmian napięcia i prądu w obwodzie RL
możemy wyznaczyć przebieg zmian wartości chwilowej mocy.

Wartość chwilowa mocy na rezystorze wynosi:

p

R

(t) = u

R

(t) i(t) = R i

2

(t) = R (I

o

e

-t/RC

)

2

= R I

o

e

-2t/

τ

Energia, jaka wydzieliła się w rezystorze do chwili t wynosi:

W =

⌡

⌠

0

t

p

R

(t) dt =

⌡

⌠

0

t

R I

o

e

-2t/

τ

dt = R I

o

τ

2 (1 - e

-2t/

τ

)

Na Rys. 3 pokazano przebieg zmian wartości chwilowej mocy
na rezystorze w obwodzie RL po przyłączeniu do źródła napięcia
stałego.

0

25

50

75

100

0

1

2

3

4

5

t [

τ]

u

,

i

,

p

[%]

Rys. 3.

Wartość chwilowa mocy