© Lesław ŁADNIAK

!430_Obwod_RLC2 2009-12-17

Obwody drugiego rzędu

Szeregowy obwód RLC

Każdy obwód elektryczny można przedstawić jako kombinacje
połączeń idealnych elementów: rezystora, cewki, kondensatora
oraz źródła siły elektromotorycznej. Rozpatrzmy obwód złożony z
szeregowo połączonych elementów RLC oraz źródła siły
elektromotorycznej e(t). Schemat obwodu przedstawiono na
Rys. 1. Przyjmiemy, że w chwili t = t

o

nastąpiło zamknięcie

łącznika W, a tym samym przyłączenie rozpatrywanego obwodu do
źródła energii elektrycznej.

Równania opisujące obwód RLC

Korzystając z bilansu energii dla dowolnej chwili czasu
możemy napisać:

dW

R

(t) + dW

L

(t) + dW

C

(t) = dW

Ź

(t)

gdzie:
dW

R

(t) - energia rozpraszana na rezystancji w chwili t,

dW

L

(t) - energia gromadzona w cewce w chwili t,

dW

C

(t) - energia gromadzona w kondensatorze w chwili t,

dW

Ź

(t) - energia dostarczana przez źródło w chwili t.

Ilość energii, jaka jest przekazywana przez źródło siły
elektromotorycznej do rozpatrywanego obwodu w każdej chwili
czasu jest opisana wzorem:

dW

E

= p

E

(t) dt = u

E

(t) i

E

(t) dt

Elementarna

ilość energii, jaka jest rozpraszana na rezystancji

w każdej chwili czasu jest opisana wzorem:

dW

R

= p

R

(t) dt = u

R

(t) i

R

(t) dt

Ilość energii gromadzona w kondensatorze w każdej chwili
czasu jest opisana wzorem:

dW

C

= p

C

(t) dt = u

C

(t) i

C

(t) dt = u

C

(t)

dq

dt dt = d [u

C

(t) q(t)]

W przypadku cewki elementarna ilość energii gromadzona w
każdej chwili czasu wynosi:

dW

L

= p

L

(t) dt = u

L

(t) i

L

(t) dt =

d

ψ

dt i

L

(t) dt = d [i

L

(t)

ψ

(t)]

Pamiętając o tym, że dW(t) = p(t) dt =
u(t) i(t) dt
możemy bilans energii zastąpić bilansem
mocy:

p

R

(t) + p

L

(t) + p

C

(t) = p

Ź

(t)

R

e(t)

u

R

(t)

i(t)

W

C

u

C

(t)

u

L

(t)

L

+q

-q

Φ

Rys. 1. Szeregowy obwód RLC

R

i

ź

(t)

i(t)

W

C

u(t)

L

i

R

i

L

i

C

Φ

+q

-q

Rys. 2. Równoległy obwód RLC

2

Ponieważ w rozpatrywanym przypadku, elementy obwodu są
połączone szeregowo, to przez każdy z tych elementów płynie taki
sam prąd i(t). Po uwzględnieniu tego faktu w równaniu na bilans
mocy otrzymujemy równanie:

u

R

(t) + u

L

(t) + u

C

(t) = e(t)

które jest zgodne z napięciowym prawem Kirchhoffa dla
rozpatrywanego obwodu.

W przypadku, gdy elementy obwodu są skupione, stacjonarne i
liniowe przepływ prądu i(t) powoduje, że napięcia na
poszczególnych elementach obwodu wynoszą:

u

R

(t) = R i(t)

u

L

(t) = L

di(t)

dt

u

C

(t) =

1

C

⌡

⌠

t

o

t

i(

τ

) d

τ

+ u

C

(t

o

)

Po podstawieniu do równania wynikającego z napięciowego
prawa Kirchhoffa wartości napięć na poszczególnych elementach
obwodu otrzymujemy następujące równanie:

R i(t) + L

di(t)

dt +

1

C

⌡

⌠

t

o

t

i(t) dt+ u

C

(t

o

) = e(t)

Po uporządkowaniu i obustronnym zróżniczkowaniu
powyższego równanie otrzymujemy:

L

di

2

(t)

dt

2

+ R

di(t)

dt +

1

C i(t) =

du(t)

dt

Postać kanoniczna tego równania jest następująca:

di

2

(t)

dt

2

+

R

L

di(t)

dt +

1

LC i(t) =

1

L

du(t)

dt

Rozpatrywane równanie jest równaniem różniczkowym
drugiego rzędu. Jest to zwyczajne liniowe równie różniczkowe,
o stałych rzeczywistych współczynnikach, bo elementy obwodu
są skupione, stacjonarne i liniowe. Ponieważ po prawej stronie
tego równania występuje funkcja opisująca zmiany w czasie
wartości wymuszenia działającego w obwodzie, to równanie jest
równaniem niejednorodnym.

3

© Lesław ŁADNIAK

!430_Obwod_RLC2 17-12-2009

Rozwiązywanie obwodu RLC

Wyznaczanie odpowiedzi swobodnej

W celu wyznaczenia odpowiedzi swobodnej układu, należy
rozwiązać równanie jednorodne, które otrzymujemy przyjmując,
że prawa strona rozpatrywanego równania różniczkowego jest
równa zeru:

L

di

2

(t)

dt

2

+ R

di(t)

dt +

1

C i(t) = 0

Ponieważ rozpatrywane równanie różniczkowe jest równaniem
o stałych współczynnikach to funkcja wykładnicza o postaci:

i(t) = I

o

e

st

spełnia rozpatrywane równanie jednorodne.

Ponieważ pierwsza i druga pochodna funkcji wykładniczej
wynosi:

di(t)

dt = sI

o

e

st

oraz

di

2

(t)

dt

2

= s

2

I

o

e

st

to rozpatrywane równanie jednorodne przyjmuje postać:

s

2

L i(t) + sR i(t) +

1

sC i(t) = 0

Ponieważ interesuje nas niezerowe rozwiązanie, to powyższe
równanie możemy podzielić przez i(t). Otrzymane w ten sposób
równanie nazywamy równaniem charakterystycznym
rozpatrywanego równania różniczkowego:

s

2

L + sR +

1

C = 0

Należy zauważyć, że stopień równia charakterystycznego jest
taki sam jak rząd równania różniczkowego, czyli liczba
pierwiastków równania charakterystycznego jest taka sama jak
rząd równania różniczkowego.

R

u

R

(t)

i(t)

W

C

u

C

(t)

u

L

(t)

L

+q

-q

Φ

Rys. 3. Obwód RLC bez źródeł

4

Funkcja

wykładnicza o postaci i(t) = I

o

e

st

spełnia równanie

jednorodne wtedy i tylko wtedy, gdy liczba s jest pierwiastkiem
równia charakterystycznego.

Jeżeli równanie charakterystyczne ma n pierwiastków, to
rozwiązanie równia jednorodnego (odpowiedź swobodna) jest
sumą n funkcji wykładniczych:

i

s

(t) =

Σ

n

i=1

I

i

e

s

i

t

gdzie s

i

są pierwiastkami równania charakterystycznego, czyli

zależą tylko od parametrów RLC obwodu, a I

i

są wartościami

początkowymi poszczególnych składowych rozwiązania
jednorodnego.

Odpowiedź swobodna zależy więc jedynie od parametrów
obwodu, a nie zależy od działających w obwodzie źródeł napięcia
lub prądu.

W obwodzie drugiego rzędu, czyli z dwoma rodzajami
elementów gromadzących energię, odpowiedź swobodna, czyli
rozwiązanie rozpatrywanego równia różniczkowego jednorodnego
drugiego rzędu jest postaci:

i

s

(t) = I

1

e

s1t

+ I

2

e

s2t

gdzie s

1

oraz s

2

są pierwiastkami równania charakterystycznego.

Natomiast I

1

oraz I

2

są stałymi całkowania, których wartość jest

uzależniona od warunków początkowych.

α

j

ω

-0.5

0

0.5

1

2

3

4

5

f(t)

t

Położenie pierwiastków równania charakterystycznego

5

© Lesław ŁADNIAK

!430_Obwod_RLC2 17-12-2009

Pierwiastki równia charakterystycznego

O

wartości pierwiastków równia charakterystycznego decyduje

wartość wyznacznika równia charakterystycznego, który w
rozpatrywanym przypadku jest opisany równaniem:

Δ

= R

2

- 4 L/C

1. Jeżeli wyznacznik równania charakterystycznego jest większy
od zera

Δ

> 0, czyli gdy R > 2 L/C, to odpowiedz swobodna

układu jest tłumiona i może być przedstawiona jako suma dwóch
zanikających wykładniczo funkcji (drgania aperiodyczne):

i

s

(t) = I

1

e

s1t

+ I

2

e

s2t

2. Jeżeli wyznacznik równania charakterystycznego jest mniejszy
od zera

Δ

< 0, czyli dla R < 2 L/C), to odpowiedź jest oscylacyjna

i może być przedstawiona jako zanikająca sinusoida (drgania
oscylacyjne tłumione):

i

s

(t) = I e

-

α

t

sin(

ω

t +

θ

).

3. Jeżeli wyznacznik równania charakterystycznego jest równy
zeru

Δ

= 0, czyli gdy R = 2 L/C, to odpowiedź jest krytycznie

tłumiona (drgania krytyczne) i może być reprezentowana przez
sumę następujących funkcji:

i

s

(t) = I

1

e

st

+ I

2

t e

st

.

W przypadku 1’ oraz 3’, gdy pierwiastki s

i

równania

charakterystycznego są rzeczywiste i ujemne lub stanowią parę
sprzężoną o części rzeczywistej ujemnej. Spełniony jest wtedy
warunek:

lim

t

→∞

i

s

(t) = 0

czyli składowa swobodna odpowiedzi dąży do zera, gdy czas dąży
do nieskończoności. Stąd nazwa składowa przejściowa.

Kształt odpowiedzi swobodnej (składowej przejściowej), czyli
rozwiązania równania jednorodnego, zależy tylko od wartości i
schematu połączeń elementów RLC tworzących rozpatrywany
obwód.

0

1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

5

τ

25

50

75

100

~37

t

%

Rys. 4. Odpowiedź swobodna dla

Δ > 0

-0.5

0

0.5

1

2

3

4

5

f(t)

t

Rys. 5. Odpowiedź swobodna dla

Δ < 0

6

Wyznaczanie odpowiedzi wymuszonej

Odpowiedź wymuszona nazywana jest składową ustaloną,
nawet wtedy gdy jest ona funkcją okresowo zmienną, pod
warunkiem, że odpowiedź swobodna układu dąży do zera, gdy
czas dąży do nieskończoności.

W celu wyznaczenia odpowiedzi wymuszonej należy rozwiązać
równanie niejednorodne. Istnieje kilka metod otrzymywania
rozwiązania równania niejednorodnego, z pośród których należy
wyróżnić metodę przewidywań.

Metoda przewidywań

Odpowiedz

wymuszoną układu, czyli rozwiązanie szczególne

równania niejednorodnego szukamy metodą przewidywań w
zależności od kształtu sygnału wymuszającego.

Jeżeli w rozpatrywanym obwodzie działają źródło napięcia e(t)
jest sinusoidalnie zmienne, to rozwiązaniem będzie funkcja
sinusoidalnie zmienna o postaci:

i

w

(t) = I

m

sin (

ω

t +

ψ

)

Jeżeli w rozpatrywanym obwodzie działa źródło napięcia e(t),
którego wartość jest stała w czasie, to rozwiązaniem będzie funkcja
o postaci:

i

w

(t) = F

Zmiana postaci funkcji wymuszającej powoduje
zmianę postaci odpowiedzi wymuszonej układu. Zmiana
parametrów obwodu lub zmiana układu połączeń
elementów w obwodzie, powoduje jedynie zmianę
parametrów funkcji opisującej odpowiedź wymuszoną
układu.

t

ω

t

F

m

T

2

π

ψ

t = 0

Rys. 6. Odpowiedź wymuszona

7

© Lesław ŁADNIAK

!430_Obwod_RLC2 17-12-2009

Rozwiązanie ogólne

Rozwiązaniem ogólnym równia różniczkowego jest sumą
dwóch składników: odpowiedzi swobodnej i odpowiedzi
wymuszonej.

i(t) = i

s

(t) + i

w

(t)

Ta część rozwiązania ogólnego, która spełnia równanie
różniczkowe, gdy jego prawa strona jest równa zeru, czyli gdy w
obwodzie nie ma wymuszeń, jest nazywana rozwiązaniem
jednorodnym. Natomiast ta część rozwiązania, która ma tę sama
postać jak funkcja wymuszająca, nosi nazwę rozwiązania
szczególnego.

Dla obwodu drugiego rzędu, w którym działa sinusoidalnie
zmienna siła elektromotoryczna postać rozwiązania ogólnego
będzie następująca:

i(t) = I

1

e

s1t

+ I

2

e

s2t

+ I

m

sin (

ω

t +

ψ

)

gdzie I

1

oraz I

2

są stałymi, których wartości należy dobrać w

zależności od warunków początkowych.

Rozwiązanie przy zerowym wymuszeniu charakteryzuje
naturalne (swobodne), niewymuszone zachowanie układu. Postać
tego rozwiązania zależy od stopnia równania różniczkowego
opisującego rozpatrywany układ. Z tego względu pierwiastki
wielomianu charakterystycznego są nazywane wartościami
własnymi układu.

Ponieważ narzucone warunki początkowe muszą być
identyczne z warunkami początkowymi rozwiązania szczególnego,
to rolą rozwiązania jednorodnego jest „skompensowanie
sprzeczności” pomiędzy wymaganiami wynikającymi z postaci
funkcji wymuszającej oraz niezależnych od niej warunków
początkowych.

Warunki początkowe

Warunkami

początkowymi nazywamy wartości (ładunków i

strumieni) napięć i prądów występujących na poszczególnych
elementach obwodu w chwili t = t

o-

, czyli tuż przed zmianą

wartości parametrów źródeł wymuszenia lub elementów obwodu,
czy też zmiany struktury obwodu.

Jeżeli w chwili t = t

o-

, czyli tuż przed

załączeniem obwodu w polu magnetycznym
w otaczającym cewkę lub w polu
elektrycznym wytworzonym pomiędzy
okładkami kondensatora była zgromadzona
energia, to w obwodzie występują niezerowe
warunki początkowe.

Ponieważ zgodnie z zasadą zachowania
energii, ilość energii na każdym z
elementów obwodu dla chwili t = t

o-

musi

być równa ilości energii w chwili t = t

o+

,

czyli po załączeniu obwodu, to muszą być
spełnione następujące warunki:

u(t

o-

) q(t

o-

) = u(t

o+

) q(t

o+

)

oraz

i(t

o-

)

ψ

(t

o-

) = i(t

o+

)

ψ

(t

o+

)

Jeżeli przyjmujemy, że w chwili t = t

o

ilość ładunków q na okładkach kondensatora
nie ulega zmianie oraz strumień
magnetyczny

ψ

przenikający cewkę nie

ulega zmianie, to w konsekwencji ani
wartość napięcia na kondensatorze, ani prąd
płynący przez cewkę nie może zmienić się
skokowo. W konsekwencji otrzymujemy:

u

C

(t

o-

) = u

C

(t

o+

)

oraz

i

L

(t

o-

) = i

L

(t

o+

)

Znajomość warunków początkowych,
czyli wartości początkowych napięć i
prądów oraz pochodnych tych wielkości,
jest konieczna do prawidłowego
wyznaczenia stałych całkowania przy
rozwiązania obwodów elektrycznych w
stanach przejściowych.

8

Wyznaczenie wartości stałych całkowania I

1

oraz I

2

, których

liczba jest równa stopniowi równania charakterystycznego, czyli
rzędowi równania różniczkowego, jest uzależniona od warunków
początkowych, wartości początkowych i ich pochodnych.

Ponieważ dla t > t

o

i(t) = i

s

(t) + i

w

(t)

to dla t = t

o+

musi być spełniony warunek:

i(t

o+

) = i

s

(t

o+

) + i

w

(t

o+

)

oraz

i’(t

o+

) = i

s

’(t

o+

) + i

w

’(t

o+

)

Ponieważ odpowiedź swobodna jest opisana wzorem:

i

s

(t) = I

1

e

s1t

+ I

2

e

s2t

to otrzymujemy następujące warunki:

i(t

o+

) = (I

1

+ I

2

)+ i

w

(t

o+

)

oraz

i’(t

o+

) = (s

1

I

1

+ s

2

I

2

)+ i

w

’(t

o+

)

Z równań tych wynika, że

I

1

+ I

2

= i(t

o+

) - i

w

(t

o+

)

oraz

s

1

I

1

+ s

2

I

2

= i’(t

o+

) - i

w

’(t

o+

)

Dla

układu drugiego rzędu odpowiedź

naturalna, swobodna jest opisana wzorem:

y

s

(t) = Y

1

e

s1t

+ Y

2

e

s2t

to otrzymujemy następujące warunki:

y(t

o+

) = (Y

1

+ Y

2

)+ y

w

(t

o+

)

oraz

y’(t

o+

) = (s

1

Y

1

+ s

2

Y

2

)+ y

w

’(t

o+

)

Z

równań tych wynika, że

Y

1

+ Y

2

= y(t

o+

) - y

w

(t

o+

)

oraz

s

1

Y

1

+ s

2

Y

2

= y’(t

o+

) - y

w

’(t

o+

)

Funkcja wymuszająca powoduje
wystąpienie w rozwiązaniu, odpowiedzi
układu składowych określonych przez
wartości własne układu.

Jeżeli

y(0) =

U

p(s

o

) oraz y’(0) =

s

o

U

p(s

o

)

to stałe

C

1

= C

2

= 0 i rozwiązanie

jednorodne nie występuje.

9

© Lesław ŁADNIAK

!430_Obwod_RLC2 17-12-2009

Procedura użycia biegunów i zer

W celu wyznaczenia napięcia na zaciskach lub prądu płynącego
między zaciskami obwodu elektrycznego (odpowiedzi układu dwu
zaciskowego) złożonego z elementów skupionych, stacjonarnych i
liniowych, czyli opisanego równaniem różniczkowym drugiego
rzędu o stałych współczynnikach:

d2i(t)

dt2

+ p

di(t)

dt + q i(t) = u(t)

na wymuszenie sygnałem

u(t)

, który można opisać funkcją

wykładniczą typu

f(t) = F

o1

e

s1t

+ F

o2

e

s2t

należy:

1. Wyznaczyć funkcję impedancji lub admitancji obwodu
względem interesujących zacisków.
Należy pamiętać, że impedancje poszczególnych elementów
obwodu są opisane równaniami podanymi w tabeli 1.
Tabela 1.

Rezystor Cewka Kondensator

Z

R

(s) = R

Z

L

(s) = sL

Z

C

(s) =

1

sC

Funkcję impedancji Z(s) lub admitancji Y(s) wyznaczamy dla
wybranej pary zacisków obwodu elektrycznego w analogiczny
sposób jak w twierdzeniu Thevenina. Funkcja impedancji Z(s) lub
admitancji Y(s) (krótko mówiąc immitancja) zawiera wszystkie
informacje o występujących w obwodzie elementach oraz
połączeniach pomiędzy tymi elementami i jest postaci:

Z(s) = K

(s - s

1

)(s - s

2

)

(s - s

a

)(s - s

b

)

gdzie:

s = s

1,

s

2

,

są zerami impedancji, czyli gdy Z(s) = 0,

s = s

a,

s

b

,

są biegunami impedancji, czyli gdy Z(s) =

∞

.

2. Wyznaczyć bieguny i zera impedancji lub admitancji
układu.
Obliczyć bieguny i zera impedancji lub admitancji obwodu oraz
wykreślić diagram biegunów i zer.

10

3. Wykorzystać bieguny i zera do opisu składowej swobodnej
odpowiedzi układu (składowej przejściowej).
Zapisać równania opisujące poszczególne składowe odpowiedzi
swobodnej. Na podstawie biegunów lub zer można określić
funkcje opisujące odpowiedź swobodną obwodu. Znając funkcję
impedancji obwodu, wykorzystać bieguny do opisania
poszczególnych składowych odpowiedzi swobodnej napięcia, a
zera wykorzystać do opisania składowych swobodnych prądu. W
równaniach opisujących składowe swobodne odpowiedzi należy
przyjąć, że są one na razie nieznane.

(a)

Dla zwartych zacisków obwodu, odpowiedź swobodna

prądu (przejściowa) opisana jest równaniem:

i

s

= I

1

e

s1t

+ I

2

e

s2t

gdzie

s

1

, s

2

są zerami funkcji impedancji lub biegunami funkcji

admitancji.

(b) Dla rozwartych zacisków obwodu, odpowiedź swobodna
(przejściowa) napięcia jest opisana równaniem:

u

s

= U

a

e

sat

+ U

b

e

sbt

gdzie

s

a

, s

b

są biegunami funkcji impedancji lub zerami funkcji

admitancji.

Jeżeli występują zera lub bieguny wielokrotne, to postać funkcji
opisującej składową swobodną jest następująca:

f

s

= (F

1

+ t F

2

) e

skt

gdzie

s

k

jest biegunem lub zerem wielokrotnym (dwu krotnym).

11

© Lesław ŁADNIAK

!430_Obwod_RLC2 17-12-2009

4. Wyznaczyć odpowiedź wymuszoną układu przy zadanej
funkcji wymuszającej (składową ustaloną).
Odpowiedź wymuszona układu zależy od postaci funkcji
wymuszającej oraz wartości impedancji Z(s) lub admitancji Y(s)
układu. Kształt i parametry funkcji wymuszającej jednoznacznie
określają wartość parametru s

w

wykładniczej funkcji opisującej

wymuszenie. W czasie obliczeń odpowiedzi wymuszonej wartość
impedancji Z(s) lub Y(s) wyznaczamy dla parametru s

w

funkcji

wymuszającej.

u

w

(t) =

Z(s

w

) I

o

e

swt

i

w

(t) =

Y(s

w

) U

o

e

swt

5. Rozwiązanie jest sumą składowej swobodnej i składowej
wymuszonej.
Całkowita odpowiedź obwodu jest sumą odpowiedzi swobodnej
i wymuszonej:

i(t) = i

s

(t) + i

w

(t) =

u(t) = u

s

(t) + u

w

(t)

6. Obliczyć nieznane współczynniki składowych swobodnych
(przejściowych) dla zadanych warunków początkowych.
Współczynniki składowej swobodnej odpowiedzi wyznaczamy
pamiętając o zasadzie zachowania energii. Ponieważ energia w
obwodzie tuż po zamknięciu klucza musi być równa energii jaka
była w chwili tuż przed zamknięciem tego klucza, to w
konsekwencji prąd płynący przez cewkę oraz napięcie na zaciskach
kondensatora nie mogą zmienić się skokowo.

i(t) = I

1

e

s1t

+ I

2

e

s2t

+ Y(s

w

) U

o

e

swt

u(t) = U

a

e

sat

+ U

b

e

sbt

+ Z(s

w

) I

o

e

swt

Współczynniki I

1

, I

2

dobieramy z warunków początkowych dla

prądu:

i(t=0) = I

1

+ I

2

+ Y(s

w

) U

o

di(t=0)

dt

= s

1

I

1

+ s

2

I

2

+ s

w

Y(s

w

) U

o

7. Zapisujemy rozwiązanie

12

8. Podsumowanie

Stan ustalony jest odpowiedzią na energię dostarczoną do
obwodu elektrycznego z zewnątrz, czyli energię źródeł. Składowe
przejściowe są odpowiedzią układu na energię zmagazynowaną
wewnątrz tego układu, czyli w cewkach i kondensatorach.

W celu wyznaczenia odpowiedzi swobodnej liniowego układu
należy:

1.

Napisać równanie różniczkowe dla rozpatrywanego obwodu.

2.

Przekształć to równie do postaci jednorodnego równia

różniczkowego.
3.

Przyjąć wykładniczą postać rozwiązania z nieznanymi

stałymi.
4. Wyznacz stałe zanikania z równia jednorodnego.
5.

Określ współczynniki z warunków początkowych.