© Lesław ŁADNIAK

!420_Obwod_RC 2009-12-17

Obwody pierwszego rzędu

Obwód RC

Rozpatrzmy obwód elektryczny złożony z kondensatora o
pojemności C oraz źródła napięcia o sile elektromotorycznej e(t).
Schemat obwodu przedstawiono na Rys.

1. Występujący w

obwodzie rezystor R odwzorowuje straty energii w źródle napięcia
oraz rezystancję przewodów łączących. Należy wyznaczyć
przebieg zmian prądu i(t) w analizowanym obwodzie po
zamknięciu łącznika W.

Ładowanie kondensatora

Przyjmijmy,

że siła elektromotoryczna źródła napięcia na ma

wartość stałą równą E, a napięcie na zaciskach kondensatora przed
zamknięciem łącznika było równe zeru. W chwili t

o

obwód zostaje

zamknięty. Ponieważ w obwodzie jest źródło siły
elektromotorycznej to ładunki elektryczne mogą się
przemieszczać. W obwodzie zaczyna płynąć prąd. Przepływające
od źródła napięcia, poprzez rezystor, ładunki elektryczne gromadzą
się w kondensatorze. Gromadzące się w kondensatorze ładunki
powodują wzrost napięcia na kondensatorze. Ładunki nie
przechodzą z jednej okładki kondensatora na drugą, ponieważ
pomiędzy nimi jest dielektryk. Ilość ładunków, jaka zostanie
zgromadzona w kondensatorze zależy od napięcia źródła oraz
parametrów kondensatora (wielkości okładek, odległości pomiędzy
okładkami, materiału znajdującego się pomiędzy okładkami). Gdy
na kondensatorze zgromadzona zostanie maksymalna ilość
ładunków w obwodzie przestaje płynąć prąd. Jeżeli nie płynie prąd
to napięcie na rezystorze jest równe zeru. Czyli proces
przemieszczania się ładunków ze źródła do kondensatora trwa do
chwili, gdy napięcie na kondensatorze nie zrówna się z napięciem
źródła. Czas od chwili zamknięcia obwodu do chwili
ustabilizowania się wartości napięć i prądów w obwodzie jest to
stan przejściowy. Na Rys. 2 przedstawiono wykres wartości
chwilowych napięcia i prądu w obwodzie RC w czasie ładowania
kondensatora ze źródła napięcia stałego.

R

e(t)

u

R

(t)

i(t)

W

C

u

C

(t)

+q

-q

Rys. 1. Ładowanie kondensatora - obwód RC

0

1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

5

τ

~37 %

t

E
R

i(t)

E
R

e

-t/

τ

~63 %

0

1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

5

τ

t

E(1 - e

-t/

τ

)

u(t)

E

Rys. 2. Wartość chwilowa prądu i napięcia w

obwodzie RC

2

1.1.1

Przebiegi napięć i prądów

Na Rys. 2 przedstawiono przebieg zmian natężenia prądu w
analizowanym obwodzie po zamknięciu łącznika W, czyli w czasie
ładowania kondensatora o pojemności C przez rezystor R ze źródła
napięcia stałego o sile elektromotorycznej E.

Zmiany

natężenia prądu i(t) są opisane równaniem:

i(t) =

E
R e

-t/τ

Napięcie na zaciskach kondensatora opisuje następujące
równanie:

u(t) = E(1 - e

-t/τ

)

Stała czasowa obwodu

τ

równa iloczynowi rezystancji i

pojemności występujących w obwodzie:

τ

= RC

określa szybkość zanikania prądu w obwodzie i szybkość
narastania napięcia na kondensatorze.

Warto

zauważyć, że wartość prądu po upływie czasu równego

jednej stałej czasowej (t =

τ

) wynosi około 37

% wartości

początkowej:

i(t=

τ

) =

I

o

e = 0,368

E
R

Po

upływie czasu równego pięciu stałym czasowym (t = 5

τ

)

wartość prądu jest równa:

i(t=5

τ

) =

I

o

e

5

= 0,00674

E
R

czyli jest mniejsza niż 1% wartości początkowej.

Moc i enerergia

Znając przebieg zmian napięcia i prądu w obwodzie RC
możemy wyznaczyć przebieg zmian wartości chwilowej mocy.

Wartość chwilowa mocy na rezystorze wynosi:

p

R

(t) = u

R

(t) i(t) = R i

2

(t) = R (I

o

e

-t/RC

)

2

= R E

2

e

-2t/

τ

Energia, jaka wydzieliła się w rezystorze
do chwili t wynosi:

W(t) =

⌡

⌠

0

t

p

R

(t) dt =

⌡

⌠

0

t

R I

o

e

-2t/

τ

dt = R I

o

τ

2 (1 - e

-2t/

τ

)

Na Rys.

3 pokazano przebieg zmian

wartości chwilowej mocy na rezystorze w
obwodzie RC po przyłączeniu do źródła
napięcia stałego.

0

25

50

75

100

0

1

2

3

4

5

t [

τ]

u

,

i

,

p

[%]

Rys. 3. Wartość chwilowa mocy