Mechanika dla studentów I roku

Zestaw 4: dynamika, cz. 2.

1.

Dynamika – ruch jednowymiarowy.

Z wysoko ci h = 250 m spada ciało o masie m = 3 kg i zarywa si w ziemi . Przyjmuj c, e opór
ziemi jest stały i wynosi F = 3·10

9

dyn obliczy , jak gł boko zaryło si to ciało oraz jaki był czas

ruchu tego ciała w ziemi.

2.

Dynamika – ruch jednowymiarowy.

Parowóz o masie m = 50 ton porusza si po poziomym torze ze stał szybko ci v = 4 m/s.
Po zamkni ciu dopływu pary, parowóz był jeszcze w ruchu przez czas t = 80 s. Obliczy
opór ruchu parowozu oraz drog s, jak przeb dzie parowóz od chwili zamkni cia
dopływu pary do chwili całkowitego zatrzymania si .

3.

Dynamika – ruch jednowymiarowy.

Poci g jedzie z szybko ci 54 km/h. Po zamkni ciu dopływu pary i uruchomieniu
hamulców, poci g porusza si ze stałym opó nieniem o warto ci a = 0,5 m/s

2

. Po ilu

sekundach poci g zatrzyma si i jak przebiegnie drog do chwili zatrzymania si .

4. Dynamika – zderzenia jednowymiarowe

a) Dwie gliniane bryłki o masach m

1

i m

2

, biegn ce ku sobie wzdłu linii prostej z

szybko ciami v

1

i v

2

, zderzaj si niespr

y cie (po zderzeniu powstaje jedna

bryłka). Znale ilo wydzielonego ciepła Q.

b) Dwie kule o masach m

1

i m

2

, biegn ce wzdłu linii prostej w tym samym kierunku

z szybko ciami v

1

i v

2

, zderzaj si całkowicie spr y cie (po zderzeniu powstaje

układ dwóch rozdzielonych kul i spełniona jest zasada zachowania energii
mechanicznej). Obliczy szybko ci ko cowe tych kul po zderzeniu.

5. Dynamika – zderzenia dwuwymiarowe

Dwie gliniane bryłki o masach m

1

i m

2

, biegn ku sobie z szybko ciami odpowiednio v

1

i

v

2

, przy czym wektory pr dko ci tych kul tworz przed zderzeniem k t . Bryłki zderzaj

si niespr y cie (po zderzeniu powstaje jedna bryłka). Znale ilo wydzielonego ciepła
Q.

6. Dynamika – zderzenia dwuwymiarowe

Dwie kule o jednakowych masach biegn ku sobie z szybko ciami odpowiednio v

1

i v

2

,

przy czym wektory pr dko ci tych kul tworz przed zderzeniem k t . Wiadomo, e po
całkowicie spr

ystym zderzeniu, szybko ci obu kul wynosz u

1

i u

2

. Znale k t

mi dzy wektorami u

1

i u

2

.

7. Dynamika – całkowanie numeryczne jednowymiarowego równania Newtona.

Samochód o masie m porusza si po linii prostej i jest hamowany sił o warto ci F(v) =
kv

2

. Jak drog s przeb dzie ten samochód, zanim jego szybko spadnie od warto ci v

0

=

72 km/h do warto ci v

0

/2? Zadanie nale y rozwi za poprzez numeryczne scałkowanie

równania Newtona. Rachunki przeprowadzi dla t = 0.5 s, t = 0.1 s oraz t = 0.02 s.
Przyj k/m = 0.01 [1/m]. Wykonać wykresy v(t) i x(t).

8. Dynamika – całkowanie numeryczne jednowymiarowego równania Newtona.

Znale zale no poło enia, pr dko ci i przyspieszenia od czasu dla cz stki o masie m,
puszczonej swobodnie nad ziemi (z pr dko ci pocz tkow v

0

= 0), uwzgl dniaj c opór

powietrza jako sił proporcjonaln do pr dko ci: F(v) = -kv. Ruch cz stki odbywa si w
obecno ci stałego i skierowanego pionowo w dół przyspieszenia ziemskiego o warto ci g
= 9,80 m/s

2

. Zadanie nale y rozwi za poprzez numeryczne scałkowanie równania

Newtona. Rachunki przeprowadzi dla t = 0.5 s, t = 0.1 s oraz t = 0.02 s. Przyj k/m
= 1,00 [1/s]. Wykonać wykresy v(t) i x(t).

9. Dynamika – całkowanie numeryczne jednowymiarowego równania Newtona.

Rozwa y oscylator anharmoniczny, dla którego równanie Newtona ma posta :

3

( )

( )

.

mx t

F x

x

α

=

= −

a) Dane s warto ci: = 5 dyn/cm

3

, m = 5 g, x(0) = 2 cm i v(0) = 0. Przyj przedział

całkowania numerycznego t = 0,1 s i obliczy v(t) i x(t) dla 0 t T, gdzie T jest
okresem ruchu (nale y go wyznaczy ).

b)

Narysować wykresy x(t) i v(t) dla 0 ≤ t ≤ T.

c)

Powtórzy obliczenia i wyznaczenie T dla t = 0,02 s.

10.

Dynamika – ruch jednowymiarowy z siłą zależną od czasu.

Wyznaczy zale no poło enia, pr dko ci i przyspieszenia cz stki o masie m,
poruszaj cej si wzdłu osi OX, pod wpływem siły F(t) = F

0

cos( t) + F

1

, gdzie F

0

, F

1

i w

s dodatnimi stałymi o odpowiednim wymiarze. Dane s warunki pocz tkowe: (i) v(0) = 0
i x(0) = 0 oraz (ii) v(t

0

) = v

0

i x(t

0

) = x

0

.

11.

Dynamika – ruch jednowymiarowy z siłą zależną od czasu.

Wyznaczy zale no poło enia, pr dko ci i przyspieszenia cz stki o masie m,
poruszaj cej si wzdłu osi OX, pod wpływem siły F(t) = F

0

sin( t) + F

1

, gdzie F

0

, F

1

i w

s dodatnimi stałymi o odpowiednim wymiarze. Dane s warunki pocz tkowe: (i) v(0) = 0
i x(0) = 0 oraz (ii) v(t

0

) = v

0

i x(t

0

) = x

0

.

12. Dynamika – ruch jednowymiarowy z siłą zależną od czasu.

Wyznaczy zale no poło enia, pr dko ci i przyspieszenia cz stki o masie m,
poruszaj cej si wzdłu osi OX, pod wpływem siły F(t) = F

0

exp(-bt), gdzie F

0

i b s

dodatnimi stałymi o odpowiednim wymiarze. Dane s warunki pocz tkowe: (i) v(0) = 0 i
x(0) = 0 oraz (ii) v(0) = -F

0

/(mb) i x(0) = 0.

13. Dynamika – wahadło balistyczne

Na sznurku o długo ci l wisi drewniany kloc o masie M. O jaki k t odchyli si sznurek, je eli kloc
zostanie trafiony pociskiem karabinowym o masie m i szybko ci v? Kloc jest na tyle gruby, e
pocisk grz nie w nim całkowicie, zawieszenie kloca jest całkowicie elastyczne, a masa sznurka
jest znikomo mała.

14.

Dynamika – ruch trójwymiarowy.

Ruch cz stki o masie m zadany jest przez trzy równania:

( )

( )

( )

cos

,

( )

sin

,

( )

,

x t

a

t

y t

a

t

z t

ct

ω

ω

=
=
=

gdzie a, c i s dodatnimi stałymi o odpowiednim wymiarze (jakim?).

•

Opisa , po jakim torze porusza si cz stka.

•

Znale szybko , przyspieszenie normalne i styczne tej cz stki.

•

Wyznaczy składowe wektora momentu p du L tej cz stki wzgl dem punktu [0,0,0]
oraz składowe momentu siły, działaj cego na t cz stk wzgl dem pocz tku układu
współrz dnych.

15. Dynamika – ruch dwuwymiarowy.

Ruch cz stki o masie m zadany jest przez dwa równania:

( )

( )

( )

cos

,

( )

sin

,

x t

ct

bt

y t

ct

bt

=
=

gdzie a i b s dodatnimi stałymi o odpowiednim wymiarze (jakim?).

•

Znale równanie toru cz stki.

•

Znale szybko , przyspieszenie normalne i styczne tej cz stki.

Wyznaczy składowe wektora momentu p du L tej cz stki wzgl dem punktu [0,0,0] oraz
składowe momentu siły, działaj cego na t cz stk wzgl dem pocz tku układu
współrz dnych.

Wskazówka do zadań z całkowaniem numerycznym.
Procedur całkowania numerycznego dla przypadku jednowymiarowego nast puj co. Kolejne
chwile czasu definiujemy jako t

0

=0, t

1

= t

0

+ t = t, t

2

= t

1

+ t = 2· t, t

3

= t

2

+ t = 3· t, itd.

Nast pnie stosujemy przybli on relacj :

(

)

( )

( ,

,

)

( )

.

def

def

n

n

n

n

n

n

n

n

v t

t

v t

F t x v

F

v

a

a t

t

t

m

m

+ ∆ −

∆

=

=

=

=

=

∆

∆

.

Otrzymujemy st d:

1

( ,

,

)

(

)

( )

.

def

n

n

n

n

n

n

n

n

F t x v

F

v

v t

t

v t

t

v

t

m

m

+

=

+ ∆ =

+

∆ = +

∆

.

(1)

Mamy równie :

1

,

1

,

1

(

)

( )

,

def

n

n

n

n n

n

n n

x

x t

t

x t

v

t

x

v

t

+

+

+

=

+ ∆ =

+

∆ = +

∆

gdzie

,

1

n n

v

+

to przybli ona pr dko rednia w przedziale czasu [n· t, (n+1)· t]:

,

1

(

)

( )

2

n

n

n n

v t

t

v t

v

+

+ ∆ +

=

.

Nale y sprawdzi , e:

2

2

1

( ,

,

)

1

1

(

)

( )

( )

.

2

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

F t x v

F

x

x t

t

x t

v t

t

t

x

v

t

t

m

m

+

=

+ ∆ =

+

∆ +

∆ = + ∆ +

∆

.

(2)

Jak wida , je li podane s warunki pocz tkowe w chwili t

0

= 0, tj. warto ci x

0

= x(0) i v

0

=

v(0), a tak e znaj c posta F, mo na iteracyjnie wyliczy x i v w kolejnych chwilach czasu,
korzystaj c z równa (1) i (2). Wygodnie jest na przykład skorzysta z arkusza
kalkulacyjnego i skonstruowa tabel , w której b d wyliczane x(t

n

) i v(t

n

), dla kolejnych

chwil t

n

. W zadaniach tego typu należy zwrócić szczególną uwagę na znaki przy

prędkości, sile oraz przyspieszeniu!

Zadania 13, 14 i 15 s przeznaczone dla wszystkich grup. Pozostałe zadania s przydzielone
dla poszczególnych grup według nast puj cego klucza:

•

Grupy poniedziałkowe – zadania 1, 4, 7,10.

•

Grupy czwartkowe – zadania 2, 5, 8, 11.

•

Grupy pi tkowe – zadania 3, 6, 9, 12.

Prof. dr hab. Jerzy Konior
Dr Bartłomiej Głowacz
Dr Andrzej Odrzywołek
Dr Jakub Prauzner-Bechcicki
Dr Aleksandra Wro ska