Rachunek niepew.pom.

Praktyczna umiej

tno

ść

opracowywania wyników,

teoria niepewno

ci pomiaru

Dost

pna literatura:

1. http://physics.nist./gov/Uncertainty

2. Wyra

anie Niepewno

ci Pomiaru, Przewodnik, Warszawa, Główny Urz

Miar, 1999

3. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa 1999

4. A. Zi

ba, Post

py Fizyki, tom 52, zeszyt 5, 2001, str.238-247

5. A. Zi

ba, Pracownia Fizyczna, WFiTJ, Skrypt Uczelniany SU 1642, Kraków

2002

1. Istota pomiaru oraz jego rodzaje

Pomiar wielko

ci fizycznej polega na porównaniu jej z wielko

fizyczn

tego

samego typu, któr

przyj

to za jedno

ść

. Rozró

nia si

dwa rodzaje pomiarów

wielko

ci fizycznych: po

rednie i bezpo

rednie. Te drugie s

wtedy, gdy warto

ść

danej wielko

ci jest okre

lana wprost za pomoc

przyrz

du, mierz

cego t

wła

nie

wielko

ść

. Przykładowo: wymiary ciała mo

na mierzy

bezpo

rednio za pomoc

linijki,

suwmiarki, mikromierza; mas

ciała za pomoc

wagi; nat

ęż

enie pr

du za pomoc

amperomierza, itd. itp. Natomiast w przypadku pomiarów po

rednich warto

ść

badanej wielko

ci okre

la si

na podstawie rezultatów bezpo

rednich pomiarów innej

wielko

ci fizycznej, które z badan

wielko

zwi

zane okre

lon

zale

funkcjonaln

. Przykładowo:

redni

sto

ść

ciała mo

na obliczy

na podstawie

bezpo

rednich pomiarów masy i obj

ci tego ciała; w przypadku, gdy znamy z

bezpo

redniego pomiaru nat

ęż

enie pr

du w przewodniku oraz napi

cie na jego

cach, jego opór elektryczny mo

na wyznaczy

w oparciu o prawo Ohma.

Uwzgl

dniaj

c te same kryteria, pomiary mo

emy podzieli

tak

e na proste i zło

one.

Wynik ka

dego, pojedynczego pomiaru wielko

ci fizycznej nie pokrywa si

jej warto

rzeczywist

ze wzgl

du na wpływ wielu zaburzaj

cych czynników. T

rozbie

ść

dzy wynikiem pomiaru a rzeczywist

warto

mierzonej wielko

nazywa si

bł

dem pomiaru.

ródłem rozbie

ci miedzy warto

mierzon

rzeczywist

niedoskonało

ci:

- osoby wykonuj

cej pomiar

- przyrz

dów pomiarowych

- obiektów mierzonych.

Gdy udoskonalamy do

wiadczenie

→

malej

rozbie

→

maleje bł

d pomiaru /

niepewno

ść

pomiaru.

2. Niepewno

ść

a bł

d pomiaru, podział bł

dów

Analiza bł

dów obejmuje dyskusje zasadno

ci stosowanych metod

pomiarowych, dyskusje ich dokładno

ci i powtarzalno

ci oraz wła

ciw

analiz

wielko

ci bł

dów, czyli wła

nie rachunek bł

dów. Wszelkie wyniki pomiarów

pozbawione dyskusji bł

dów, a zwłaszcza okre

lenia bł

du pomiarowego, s

istocie wył

cznie wskazaniami. Je

li na przykład kto

stwierdza,

e jest wzrostu 4 m,

to w zasadzie mo

e by

to prawda, bo sedno sprawy tkwi w tym: w jaki sposób

dokonano pomiaru.

Analizuj

c mo

liwe bł

dy pomiarowe oraz prezentuj

c wyniki pomiarów,

ywamy nast

puj

cych okre

- warto

ść

prawdziwa czyli rzeczywista warto

ść

mierzonej wielko

ci, która zazwyczaj

pozostaje nieznana, ale mo

e by

przybli

ona za pomoc

estymatora, którym

zwykle jest

rednia, o ile zjawisko jest opisywane rozkładem Gaussa lub

pokrewnym, w innych przypadkach sprawy wymagaj

gł

bszej analizy;

- bł

d pomiaru: odst

pstwo wyniku jednostkowego pomiaru od warto

ci prawdziwej,

której na ogół nie znamy;

- bł

d statystyczny: bł

d pomiaru wynikaj

cy z ogółu wpływów

rodowiska, których

sto

nie

zidentyfikowa

czy

wyeliminowa

np.

wła

ciwo

zastosowanego przyrz

du pomiarowego i innych przyczyn;

- bł

d systematyczny (metodyczny lub aparaturowy): bł

d, który przy wielokrotnych

pomiarach jednej i tej samej wielko

ci pozostaje stały lub zmienia si

według

okre

lonej reguły. Jest to bł

d najcz

ęś

ciej wynikaj

cy z zastosowanej metody

pomiaru, zwykle zmieniaj

cy wyniki pomiaru "w jedna stron

ródłem bł

systematycznego s

: skale mierników, nieu

wiadomiony wpływ czynników

zewn

trznych na warto

ci wielko

ci mierzonej (np. lepko

ść

), niewła

ciwy sposób

odczytu lub pomiaru, przybli

ony charakter wzorów stosowanych do wyznaczania

wielko

ci zło

onej;

- bł

d metody: bł

d wynikaj

cy z zastosowanej metody pomiaru, cz

sto maj

charakter bł

du systematycznego;

- warto

ść

bł

du statystycznego (cz

sto po prostu bł

d statystyczny): warto

ść

bł

wynikaj

ca z analizy statystycznej bł

du. Aby warto

ść

ta charakteryzowała

faktycznie przebieg pomiaru, musi by

ona wi

ksza ni

bł

d maksymalny. Innymi

słowy, pomiar musi dawa

ró

ne wyniki – je

li ka

dy pomiar daje w granicach bł

maksymalnego ten sam wynik, nie ma sensu stosowanie analizy statystycznej,

szczegóły zjawiska s

przed nami ukryte przez bezwładno

ść

układu pomiarowego,

podobnie zwi

kszanie liczby pomiarów nie poprawi sytuacji. Zwykle jako warto

ść

bł

du statystycznego przyjmuje si

odchylenie standardowe, co jest uzasadnione

wył

cznie, je

li wyniki pomiarów maj

statystyczny rozkład normalny (Gaussa) lub

inny, mo

liwy do zastosowania (np. rozkład Studenta);

- odchylenie standardowe: estymator przybli

cy warto

ść

bł

du statystycznego

adekwatny w przypadku odpowiedniej liczno

ci próby pomiarowej (np. odchylenie

standardowe dla rozkładu Gaussa mo

na na ogół stosowa

, o ile liczno

ść

próby

jest wi

ksza lub równa 10)

- bł

d bezwzgl

dny: warto

ść

bł

du liczona adekwatn

do danej sytuacji metod

(jako

bł

d maksymalny lub jako bł

d statystyczny)

−

∆

(1), gdzie x

to warto

ść

zmierzona a x

to warto

ść

rzeczywista;

- bł

d wzgl

dny: warto

ść

bł

du podana jako procent mierzonej wielko

∆

(2 ).

W niektórych przypadkach działanie przyrz

du pomiarowego (np. pomiar energii

elektrycznej) wymusza takie okre

lenie bł

du maksymalnego, to znaczy, dla tych

metod pomiaru bł

d maksymalny pomiaru jest podawany jako bł

d wzgl

dny. Bł

wzgl

dny charakteryzuje u

metod

pomiaru, a w mniejszym stopniu sam wynik

pomiaru;

- bł

d gruby, pomyłka: ma miejsce, gdy który

z wyników pomiaru odbiega znacznie

od pozostałych, mo

emy przypuszcza

e zaszło jakie

zdarzenie, które

spowodowało zaburzenia eksperymentu. Wyniki takie cz

sto s

odrzucane

podczas analizy statystycznej. Bł

dy grube wynikaj

najcz

ęś

ciej z jakiego

powa

nego przeoczenia, pomyłki – np. złego odczytania skali miernika,

z pomylenia miejsca zapisu przecinka podczas przetwarzania pomiarów,

zmierzenie nie tego obiektu itp.

- bł

d maksymalny: warto

ść

maksymalnego odst

pstwa wyniku pomiaru od wielko

poprawnej, gwarantowana przez zastosowanie okre

lonej metody pomiarowej: np.

miernik mierzy napi

cie z bł

dem maksymalnym 1 mV, co oznacza,

e warto

ść

prawdziwa od pokazywanej przez miernik mo

e si

ró

co najwy

ej o ±1 mV;

- maksymalny bł

d: najwi

ksza warto

ść

bł

du pomiarowego jaka mo

e wyst

danym do

wiadczeniu, wielko

ść

nieograniczona i nieokre

lona w

aden sposób,

ulubiony zwrot dziennikarzy telewizyjnych i polonistów, uznaj

cych,

e zasady

gramatyki j

zyka polskiego s

niejsze od znaczenia i tre

ci niesionych przez

zwroty u

ywane przez ludzi kompetentnych w danej dziedzinie.

Uwaga: u

ywanie w telewizji i innych mediach zwrotu "maksymalny bł

d" zamiast

"bł

d maksymalny" jest niepoprawne. Maksymalny bł

d pomiaru mo

e by

dowolnie

wielki! Nawet za pomoc

10 cm linijki szkolnej mo

na dokona

pomiaru z bł

dem 1

km. Natomiast jej bł

d maksymalny faktycznie wynosi ok. 0,5 mm.

- bł

d przypadkowy: bł

d, którego warto

ść

bezwzgl

dna i znak zmieniaj

przy

wielokrotnych pomiarach jednej i tej samej wielko

ci fizycznej. S

one wywołane

przez wiele czynników, których uwzgl

dnienie jest niemo

liwe. Przykładowo na

wskazania czułej analitycznej wagi szalkowej mog

wpływa

pyłki osiadaj

ce na

szalce podczas wa

enia, jedno z ramion wagi mo

e ulec wydłu

eniu na wskutek

nagrzania od r

ki eksperymentatora, konwekcyjne ruchy powietrza w pobli

szalek mog

zaburzy

ich równowag

, itp. Ten rodzaj bł

dów mo

na zredukowa

drog

wielokrotnego powtarzania pomiaru, jednak

e nie jest mo

liwe całkowite

wyeliminowanie tego bł

du. Przy obliczaniu bł

dów przypadkowych wykorzystuje

metody rachunku prawdopodobie

stwa i statystyki matematycznej.

Niepewno

ść

pomiaru jest parametrem zwi

zanym z rezultatem pomiaru.

Charakteryzuje rozrzut wyników, który mo

na w uzasadniony sposób przypisa

warto

ci mierzonej. Niepewno

ść

u (ang. uncertainty) posiada wymiar, taki sam jak

wielko

ść

mierzona.

Symbolika: u lub u(x) lub u(st

ęż

enie NaCl).

Niepewno

ść

wzgl

dna u

(x) to stosunek niepewno

ci (bezwzgl

dnej) do wielko

mierzonej i mo

e by

wyra

ona w % (bezwymiarowa):

)

(

)

(

Istniej

dwie miary niepewno

ci pomiaru:

- standardowa u(x)

- maksymalna

∆∆∆∆

Najpowszechniej stosowan

miar

dokładno

ci pomiaru, uznawan

obecnie

za podstawow

jest niepewno

ść

standardowa. Rezultat pomiaru jest zmienn

losow

, której rozrzut wokół warto

redniej

charakteryzuje parametr zwany

odchyleniem standardowym:

)

(

lim

−

∑

∞

→

Niepewno

ść

standardowa jest niezbyt dokładnym oszacowaniem / przybli

eniem

odchylenia standardowego (estymatorem, ocen

), gdy

jego dokładnej warto

ci nie

znamy. Mo

emy wyznaczy

niepewno

ść

maksymaln

, która te

nie b

dzie

konkretn

warto

, tylko przedziałem, w którym mieszcz

wszystkie wyniki

pomiaru x

, aktualnie wykonane i przyszłe:

∆

−

Niepewno

ść

maksymaln

specyfikowan

przez producenta, zaleca si

obecnie

zamienia

na niepewno

ść

standardow

wg wzoru:

)

(

∆

(3)

Krzywe rozkładu bł

du:

Bł

d systematyczny

Bł

d przypadkowy – rozkład Gaussa

3. Typy oceny niepewno

ci wg nowej NORMY

TYP A

Dotyczy sytuacji gdy niepewno

ci przypadkowe s

e w porównaniu

z systematycznymi. Konieczna jest odpowiednio du

a liczba powtórze

pomiaru. Do

tego typu zaliczaj

metody wykorzystuj

ce statystyczn

analiz

serii pomiarów

i ma zastosowanie do bł

dów przypadkowych.

W wi

kszo

ci do

wiadcze

stwierdza si

e rozkład cz

sto

ci wyst

powania

niepewno

ci przypadkowych mo

na opisa

funkcj

ϕϕϕϕ

(x) w postaci:













−

)

(

exp

)

(

(4 )

gdzie x

jest warto

najbardziej prawdopodobn

(np.

rednia arytmetyczna),

σσσσ

jest

odchyleniem standardowym,

σσσσ

jest wariancj

rozkładu.

Funkcja rozkładu

ϕϕϕϕ

(x), wyra

ona wzorem (4), opisuje rozkład normalny, zwany

rozkładem Gaussa.

w przedziale

−

zawiera si

68,2% (2/3)

w przedziale

−

zawiera si

95,4%

w przedziale

−

zawiera si

99,7% wszystkich wyników

Funkcja

ϕϕϕϕ

(x) zale

y od dwóch parametrów x

σσσσ

a tak

e spełnia warunek

normalizacyjny:

)

(

∫

+∞

∞

−

Warunek ten wynika z wła

ciwo

ci funkcji i okre

la,

e prawdopodobie

stwo

znalezienia dowolnego wyniku pomiaru x w przedziale od -

∞

do +

∞

jest równe

pewno

ci, czyli 1.

Niepewno

ść

standardowa

redniej jest równa:

)

(

)

(

)

(

−

∑

(5 )

Pomiar o wi

kszym

σσσσ

charakteryzuje si

kszym rozrzutem wyników wokół

warto

redniej czyli mniejsz

precyzj

Przykład 1:

Wykonano 10 pomiarów wałka stalowego przy u

yciu suwmiarki, której

najmniejsza działka wynosi 0,1 mm. Uzyskano nast

puj

ce wyniki: 35,6; 35,8; 35,7;

35,5; 35,6; 35,9; 35,7; 35,8; 35,4 (mm). Zgodnie ze wzorem

∑

warto

ść

rednia długo

mm, natomiast niepewno

ść

standardowa u(l) zgodnie ze

wzorem (5) ma warto

ść

u(l)=0,053 mm. Wynik ko

cowy nale

y wpisa

w postaci:

)

(

mm lub

)

(

mm oraz

[%]=0,1%. Warto

ść

u(l) jest

porównywalna z

∆∆∆∆

TYP B

Dotyczy sytuacji, gdy mamy do czynienia z niepewno

systematyczn

(maksymaln

). Bazuje na naukowym os

dzie badacza wzgl

dem wszystkich

informacji o pomiarze i

ródłach jego niepewno

ci. Typ B stosowany jest, gdy

statystyczna analiza jest niemo

liwa. Mo

e odnosi

do bł

du systematycznego

lub do jednego wyniku pomiaru.

O wielko

ść

niepewno

ci systematycznej decyduj

dwie składowe: u

yty w pomiarach

przyrz

d – jego klasa, działka elementarna, dokładno

ść

odczytu oraz obserwator –

niepewno

ść

eksperymentatora zwi

zana z czynno

ciami pomiarowymi. Najcz

ęś

ciej

ocena typu B dotyczy okre

lenia niepewno

ci wynikaj

cej ze sko

czonej dokładno

przyrz

du.

W przypadku niepewno

ci systematycznych zawsze zakładamy,

e przyczynki

pochodz

ce od przyrz

dów i obserwatora nie kompensuj

, ale dodaj

do siebie

z jednakowymi znakami. Wobec tego całkowita niepewno

ść

systematyczna pomiaru

e by

wyra

ona w postaci sumy:

∆

(6 )

gdzie indeksy okre

laj

odpowiednie przyczynki od niepewno

ci pomiaru (d – działka

elementarna, k – klasa przyrz

du, o – odczyt, e – eksperymentator). Wyznaczona w

ten sposób sumaryczna niepewno

ść

∆∆∆∆

x nazywa si

maksymaln

niepewno

systematyczn

. Nale

y j

interpretowa

jako połow

szeroko

ci przedziału od x-

∆∆∆∆

do x+

∆∆∆∆

x, który na pewno zawiera warto

ść

rzeczywist

. Dla prostok

tnego rozkładu

funkcji

ϕϕϕϕ

(x), niepewno

ść

standardowa u(x) zwi

zana jest z maksymaln

niepewno

systematyczn

∆∆∆∆

x, oszacowan

metod

typu B, wzorem (3):

)

(

∆

Przykład 2:

Wykonano pomiary nat

ęż

enia pr

du płyn

cego przez uzwojenie busoli

stycznych. Pomiary próbne wykazały nieznaczny rozrzut wyników: I

≈

…

≈

0,80

A. Oznacza to przewag

niepewno

ci systematycznych pomiaru nad niepewno

ciami

przypadkowymi. U

yty amperomierz był klasy 0,5 o zakresie 1 A i najmniejszej

działce 0,01 A. Według oceny eksperymentatora wahania wskazówki mie

ciły si

granicach jednej działki. Sumaryczna maksymalna niepewno

ść

systematyczna

pomiary wynosi (wzór 6):

∆

l=0,005A+0,01A+0,005A=0,02 A. Wzgl

dna niepewno

ść

systematyczna pomiaru:

[%]=3%, a wynik ko

cowy zgodnie z Norm

zapisujemy

w postaci: I=(0,80

0,02) A lub I=0,80(2) A.

4. Niepewno

ść

wielko

ci zło

onej – prawo przenoszenia bł

)

(

)

(

Metoda ró

niczki zupełnej

Dla

wielko

zło

onej

)

,...

(

gdy

niepewno

maksymalne

∆

,...

małe w porównaniu z warto

ciami zmiennych

,...

niepewno

ść

maksymaln

wielko

ci y wyliczamy praw rachunku ró

niczkowego:

∆

∂

∆

∂

∆

∂

∆

...

(7)

Prawo przenoszenia niepewno

Niepewno

ść

standardow

wielko

ci zło

onej

)

,...

(

obliczamy z tzw.

Prawa przenoszenia niepewno

ci jako sum

geometryczn

ró

niczek cz

stkowych:

...

)

(













∂













∂













∂

(8)

)

(

)

(

Przykład 3 (wi

ąż

e si

z przykładem 1):

Wykonano 10 pomiarów długo

ci wałka stalowego przy u

yciu suwmiarki,

której najmniejsza działka wynosi 0,1 mm. Uzyskano wyniki 35,6; 35,8; 35,7; 35,5;

35,6; 35,9; 35,7; 35,8; 35,4 (mm). Warto

ść

rednia wynosi

mm; u(l)=0,053

mm gdzie

)

(

)

(

)

(

−

∑

. Wyznaczamy obj

ść

wałka. Jego

rednic

mierzono

20 razy i uzyskano wynik

)

(

mm oraz

=0,4%. Obj

ść

wyznaczamy z

wzoru:

669

)

(

Niepewno

ść

standardowa

dzie

równa:

99075

06149

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

≈













⋅









⋅









∂









∂

)

670

(

)

(

670

669

≈

;

=0,9%

Metoda najmniejszych kwadratów

(suma kwadratów ró

nic warto

ci eksperymentalnych y

i obliczonych ax

ma by

jak najmniejsza)

Funkcja parametrów prostej ma posta

min

)]

(

[

)

(

−

∑

−

, przy

zachowaniu warunków:

∂

oraz

∂

Mamy układ równa











∑

−

∑

−

∑

−

)

(

Rozwi

zuj

c ten układ otrzymamy nast

puj

ce zale

ci:

)

(

)

(

−

∑

−

∑

−

∑

)

(

)

(

−

∑

−

∑

−

∑

Niepewno

ci pomiarowe dla parametrów prostej a i b wynosz

odpowiednio:

[

]

)

(

)

(

)

(

)

(

−

∑

−

∑

−

∑

−

)

(

)

(

−

∑

Wykorzystuj

c definicj

warto

rednich otrzymujemy:

)

−

⋅

−

oraz

−

)

(

)

(

−

oraz

)

(

)

(

Wynik pomiaru jest zawsze obarczony bł

dem i podajemy go w jednej z

poni

szych postaci:

)

(

866

)

(

⋅

PODSUMOWANIE

•

dy pomiar laboratoryjny jest obarczony niepewno

pomiarow

, któr

eksperymentator musi okre

zgodnie z pewnymi zasadami.

•

W pierwszej kolejno

ci nale

y przeanalizowa

ródła bł

dów, pami

taj

c, aby

wyeliminowa

wyniki obarczone bł

dem grubym. W laboratorium studenckim

bł

dy systematyczne z reguły przewy

szaj

bł

dy przypadkowe.

•

Wielokrotne powtarzanie pomiarów, gdy dominuje bł

d systematyczny, nie ma

sensu. W takim przypadku dokonujemy tylko 3-5 pomiarów w tych samych

warunkach w celu sprawdzenia powtarzalno

ci.

•

Gdy bł

d przypadkowy dominuje w eksperymencie, nale

y sprawdzi

czy rozkład

wyników mo

e by

opisany funkcj

Gaussa czy te

nale

y spodziewa

innego

rozkładu. W tym celu dokonujemy wielokrotnego (np. 100 razy) pomiaru w tych

samych warunkach, obliczamy

redni

i wariancj

rozkładu, rysujemy histogram,

etc..

•

Jako miar

niepewno

ci stosujemy raczej niepewno

ść

standardow

, rzadziej

niepewno

ść

maksymaln

•

W przypadku wielko

ci zło

onej, stosujemy prawo przenoszenia bł

du. Staramy

przeprowadzi

analiz

niepewno

ci wielko

ci zło

onej tak, aby uzyska

informacje dotycz

ce wagi przyczynków, jakie wnosz

do całkowitej niepewno

pomiary poszczególnych wielko

ci prostych. W tym celu nale

y analizowa

niepewno

ci wzgl

dne.

•

nym elementem sprawozdania z przebiegu eksperymentu (i to nie tylko w

laboratorium studenckim) jest wykres. Wykresy sporz

dzamy zgodnie z dobrymi

zasadami, pami

taj

c o jednoznacznym opisie.

•

eli znane s

podstawy teoretyczne badanego zjawiska, na wykresie

zamieszczamy krzyw

teoretyczn

(linia ci

gła) na tle wyra

nych punktów