1

Praktyczna umiej

ę

tno

ść

opracowywania wyników,

teoria niepewno

ś

ci pomiaru

Dost

ę

pna literatura:

1. http://physics.nist./gov/Uncertainty

2. Wyra

ż

anie Niepewno

ś

ci Pomiaru, Przewodnik, Warszawa, Główny Urz

ą

d

Miar, 1999

3. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa 1999

4. A. Zi

ę

ba, Post

ę

py Fizyki, tom 52, zeszyt 5, 2001, str.238-247

5. A. Zi

ę

ba, Pracownia Fizyczna, WFiTJ, Skrypt Uczelniany SU 1642, Kraków

2002

1. Istota pomiaru oraz jego rodzaje

Pomiar wielko

ś

ci fizycznej polega na porównaniu jej z wielko

ś

ci

ą

fizyczn

ą

tego

samego typu, któr

ą

przyj

ę

to za jedno

ść

. Rozró

ż

nia si

ę

dwa rodzaje pomiarów

wielko

ś

ci fizycznych: po

ś

rednie i bezpo

ś

rednie. Te drugie s

ą

wtedy, gdy warto

ść

danej wielko

ś

ci jest okre

ś

lana wprost za pomoc

ą

przyrz

ą

du, mierz

ą

cego t

ę

wła

ś

nie

wielko

ść

. Przykładowo: wymiary ciała mo

ż

na mierzy

ć

bezpo

ś

rednio za pomoc

ą

linijki,

suwmiarki, mikromierza; mas

ę

ciała za pomoc

ą

wagi; nat

ęż

enie pr

ą

du za pomoc

ą

amperomierza, itd. itp. Natomiast w przypadku pomiarów po

ś

rednich warto

ść

badanej wielko

ś

ci okre

ś

la si

ę

na podstawie rezultatów bezpo

ś

rednich pomiarów innej

wielko

ś

ci fizycznej, które z badan

ą

wielko

ś

ci

ą

s

ą

zwi

ą

zane okre

ś

lon

ą

zale

ż

no

ś

ci

ą

funkcjonaln

ą

. Przykładowo:

ś

redni

ą

g

ę

sto

ść

ciała mo

ż

na obliczy

ć

na podstawie

bezpo

ś

rednich pomiarów masy i obj

ę

to

ś

ci tego ciała; w przypadku, gdy znamy z

bezpo

ś

redniego pomiaru nat

ęż

enie pr

ą

du w przewodniku oraz napi

ę

cie na jego

ko

ń

cach, jego opór elektryczny mo

ż

na wyznaczy

ć

w oparciu o prawo Ohma.

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c te same kryteria, pomiary mo

ż

emy podzieli

ć

tak

ż

e na proste i zło

ż

one.

Wynik ka

ż

dego, pojedynczego pomiaru wielko

ś

ci fizycznej nie pokrywa si

ę

z

jej warto

ś

ci

ą

rzeczywist

ą

ze wzgl

ę

du na wpływ wielu zaburzaj

ą

cych czynników. T

ą

rozbie

ż

no

ść

mi

ę

dzy wynikiem pomiaru a rzeczywist

ą

warto

ś

ci

ą

mierzonej wielko

ś

ci

nazywa si

ę

bł

ę

dem pomiaru.

Ź

ródłem rozbie

ż

no

ś

ci miedzy warto

ś

ci

ą

mierzon

ą

a

rzeczywist

ą

s

ą

niedoskonało

ś

ci:

- osoby wykonuj

ą

cej pomiar

- przyrz

ą

dów pomiarowych

2

- obiektów mierzonych.

Gdy udoskonalamy do

ś

wiadczenie

→

malej

ą

rozbie

ż

no

ś

ci

→

maleje bł

ą

d pomiaru /

niepewno

ść

pomiaru.

2. Niepewno

ść

a bł

ą

d pomiaru, podział bł

ę

dów

Analiza bł

ę

dów obejmuje dyskusje zasadno

ś

ci stosowanych metod

pomiarowych, dyskusje ich dokładno

ś

ci i powtarzalno

ś

ci oraz wła

ś

ciw

ą

analiz

ę

wielko

ś

ci bł

ę

dów, czyli wła

ś

nie rachunek bł

ę

dów. Wszelkie wyniki pomiarów

pozbawione dyskusji bł

ę

dów, a zwłaszcza okre

ś

lenia bł

ę

du pomiarowego, s

ą

w

istocie wył

ą

cznie wskazaniami. Je

ś

li na przykład kto

ś

stwierdza,

ż

e jest wzrostu 4 m,

to w zasadzie mo

ż

e by

ć

to prawda, bo sedno sprawy tkwi w tym: w jaki sposób

dokonano pomiaru.

Analizuj

ą

c mo

ż

liwe bł

ę

dy pomiarowe oraz prezentuj

ą

c wyniki pomiarów,

u

ż

ywamy nast

ę

puj

ą

cych okre

ś

le

ń

:

- warto

ść

prawdziwa czyli rzeczywista warto

ść

mierzonej wielko

ś

ci, która zazwyczaj

pozostaje nieznana, ale mo

ż

e by

ć

przybli

ż

ona za pomoc

ą

estymatora, którym

zwykle jest

ś

rednia, o ile zjawisko jest opisywane rozkładem Gaussa lub

pokrewnym, w innych przypadkach sprawy wymagaj

ą

gł

ę

bszej analizy;

- bł

ą

d pomiaru: odst

ę

pstwo wyniku jednostkowego pomiaru od warto

ś

ci prawdziwej,

której na ogół nie znamy;

- bł

ą

d statystyczny: bł

ą

d pomiaru wynikaj

ą

cy z ogółu wpływów

ś

rodowiska, których

cz

ę

sto

nie

mo

ż

na

zidentyfikowa

ć

czy

wyeliminowa

ć

,

np.

wła

ś

ciwo

ś

ci

zastosowanego przyrz

ą

du pomiarowego i innych przyczyn;

- bł

ą

d systematyczny (metodyczny lub aparaturowy): bł

ą

d, który przy wielokrotnych

pomiarach jednej i tej samej wielko

ś

ci pozostaje stały lub zmienia si

ę

według

okre

ś

lonej reguły. Jest to bł

ą

d najcz

ęś

ciej wynikaj

ą

cy z zastosowanej metody

pomiaru, zwykle zmieniaj

ą

cy wyniki pomiaru "w jedna stron

ę

".

Ź

ródłem bł

ę

du

systematycznego s

ą

: skale mierników, nieu

ś

wiadomiony wpływ czynników

zewn

ę

trznych na warto

ś

ci wielko

ś

ci mierzonej (np. lepko

ść

), niewła

ś

ciwy sposób

odczytu lub pomiaru, przybli

ż

ony charakter wzorów stosowanych do wyznaczania

wielko

ś

ci zło

ż

onej;

- bł

ą

d metody: bł

ą

d wynikaj

ą

cy z zastosowanej metody pomiaru, cz

ę

sto maj

ą

cy

charakter bł

ę

du systematycznego;

3

- warto

ść

bł

ę

du statystycznego (cz

ę

sto po prostu bł

ą

d statystyczny): warto

ść

bł

ę

du

wynikaj

ą

ca z analizy statystycznej bł

ę

du. Aby warto

ść

ta charakteryzowała

faktycznie przebieg pomiaru, musi by

ć

ona wi

ę

ksza ni

ż

bł

ą

d maksymalny. Innymi

słowy, pomiar musi dawa

ć

ró

ż

ne wyniki – je

ś

li ka

ż

dy pomiar daje w granicach bł

ę

du

maksymalnego ten sam wynik, nie ma sensu stosowanie analizy statystycznej,

szczegóły zjawiska s

ą

przed nami ukryte przez bezwładno

ść

układu pomiarowego,

podobnie zwi

ę

kszanie liczby pomiarów nie poprawi sytuacji. Zwykle jako warto

ść

bł

ę

du statystycznego przyjmuje si

ę

odchylenie standardowe, co jest uzasadnione

wył

ą

cznie, je

ś

li wyniki pomiarów maj

ą

statystyczny rozkład normalny (Gaussa) lub

inny, mo

ż

liwy do zastosowania (np. rozkład Studenta);

- odchylenie standardowe: estymator przybli

ż

aj

ą

cy warto

ść

bł

ę

du statystycznego

adekwatny w przypadku odpowiedniej liczno

ś

ci próby pomiarowej (np. odchylenie

standardowe dla rozkładu Gaussa mo

ż

na na ogół stosowa

ć

, o ile liczno

ść

próby

jest wi

ę

ksza lub równa 10)

- bł

ą

d bezwzgl

ę

dny: warto

ść

bł

ę

du liczona adekwatn

ą

do danej sytuacji metod

ą

(jako

bł

ą

d maksymalny lub jako bł

ą

d statystyczny)

0

x

x

x

i

i

−

=

∆

(1), gdzie x

i

to warto

ść

zmierzona a x

0

to warto

ść

rzeczywista;

- bł

ą

d wzgl

ę

dny: warto

ść

bł

ę

du podana jako procent mierzonej wielko

ś

ci

0

x

x

i

∆

=

δ

(2 ).

W niektórych przypadkach działanie przyrz

ą

du pomiarowego (np. pomiar energii

elektrycznej) wymusza takie okre

ś

lenie bł

ę

du maksymalnego, to znaczy, dla tych

metod pomiaru bł

ą

d maksymalny pomiaru jest podawany jako bł

ą

d wzgl

ę

dny. Bł

ą

d

wzgl

ę

dny charakteryzuje u

ż

yt

ą

metod

ę

pomiaru, a w mniejszym stopniu sam wynik

pomiaru;

- bł

ą

d gruby, pomyłka: ma miejsce, gdy który

ś

z wyników pomiaru odbiega znacznie

od pozostałych, mo

ż

emy przypuszcza

ć

,

ż

e zaszło jakie

ś

zdarzenie, które

spowodowało zaburzenia eksperymentu. Wyniki takie cz

ę

sto s

ą

odrzucane

podczas analizy statystycznej. Bł

ę

dy grube wynikaj

ą

najcz

ęś

ciej z jakiego

ś

powa

ż

nego przeoczenia, pomyłki – np. złego odczytania skali miernika,

z pomylenia miejsca zapisu przecinka podczas przetwarzania pomiarów,

zmierzenie nie tego obiektu itp.

- bł

ą

d maksymalny: warto

ść

maksymalnego odst

ę

pstwa wyniku pomiaru od wielko

ś

ci

poprawnej, gwarantowana przez zastosowanie okre

ś

lonej metody pomiarowej: np.

4

miernik mierzy napi

ę

cie z bł

ę

dem maksymalnym 1 mV, co oznacza,

ż

e warto

ść

prawdziwa od pokazywanej przez miernik mo

ż

e si

ę

ró

ż

ni

ć

co najwy

ż

ej o ±1 mV;

- maksymalny bł

ą

d: najwi

ę

ksza warto

ść

bł

ę

du pomiarowego jaka mo

ż

e wyst

ą

pi

ć

w

danym do

ś

wiadczeniu, wielko

ść

nieograniczona i nieokre

ś

lona w

ż

aden sposób,

ulubiony zwrot dziennikarzy telewizyjnych i polonistów, uznaj

ą

cych,

ż

e zasady

gramatyki j

ę

zyka polskiego s

ą

wa

ż

niejsze od znaczenia i tre

ś

ci niesionych przez

zwroty u

ż

ywane przez ludzi kompetentnych w danej dziedzinie.

Uwaga: u

ż

ywanie w telewizji i innych mediach zwrotu "maksymalny bł

ą

d" zamiast

"bł

ą

d maksymalny" jest niepoprawne. Maksymalny bł

ą

d pomiaru mo

ż

e by

ć

dowolnie

wielki! Nawet za pomoc

ą

10 cm linijki szkolnej mo

ż

na dokona

ć

pomiaru z bł

ę

dem 1

km. Natomiast jej bł

ą

d maksymalny faktycznie wynosi ok. 0,5 mm.

- bł

ą

d przypadkowy: bł

ą

d, którego warto

ść

bezwzgl

ę

dna i znak zmieniaj

ą

si

ę

przy

wielokrotnych pomiarach jednej i tej samej wielko

ś

ci fizycznej. S

ą

one wywołane

przez wiele czynników, których uwzgl

ę

dnienie jest niemo

ż

liwe. Przykładowo na

wskazania czułej analitycznej wagi szalkowej mog

ą

wpływa

ć

pyłki osiadaj

ą

ce na

szalce podczas wa

ż

enia, jedno z ramion wagi mo

ż

e ulec wydłu

ż

eniu na wskutek

nagrzania od r

ę

ki eksperymentatora, konwekcyjne ruchy powietrza w pobli

ż

u

szalek mog

ą

zaburzy

ć

ich równowag

ę

, itp. Ten rodzaj bł

ę

dów mo

ż

na zredukowa

ć

drog

ą

wielokrotnego powtarzania pomiaru, jednak

ż

e nie jest mo

ż

liwe całkowite

wyeliminowanie tego bł

ę

du. Przy obliczaniu bł

ę

dów przypadkowych wykorzystuje

si

ę

metody rachunku prawdopodobie

ń

stwa i statystyki matematycznej.

Niepewno

ść

pomiaru jest parametrem zwi

ą

zanym z rezultatem pomiaru.

Charakteryzuje rozrzut wyników, który mo

ż

na w uzasadniony sposób przypisa

ć

warto

ś

ci mierzonej. Niepewno

ść

u (ang. uncertainty) posiada wymiar, taki sam jak

wielko

ść

mierzona.

Symbolika: u lub u(x) lub u(st

ęż

enie NaCl).

Niepewno

ść

wzgl

ę

dna u

r

(x) to stosunek niepewno

ś

ci (bezwzgl

ę

dnej) do wielko

ś

ci

mierzonej i mo

ż

e by

ć

wyra

ż

ona w % (bezwymiarowa):

x

x

u

x

u

r

)

(

)

(

=

Istniej

ą

dwie miary niepewno

ś

ci pomiaru:

- standardowa u(x)

- maksymalna

∆∆∆∆

x

5

Najpowszechniej stosowan

ą

miar

ą

dokładno

ś

ci pomiaru, uznawan

ą

obecnie

za podstawow

ą

jest niepewno

ść

standardowa. Rezultat pomiaru jest zmienn

ą

losow

ą

x

i

, której rozrzut wokół warto

ś

ci

ś

redniej

x

charakteryzuje parametr zwany

odchyleniem standardowym:

n

x

x

i

n

)

(

lim

−

∑

=

∞

→

σ

Niepewno

ść

standardowa jest niezbyt dokładnym oszacowaniem / przybli

ż

eniem

odchylenia standardowego (estymatorem, ocen

ą

), gdy

ż

jego dokładnej warto

ś

ci nie

znamy. Mo

ż

emy wyznaczy

ć

niepewno

ść

maksymaln

ą

, która te

ż

nie b

ę

dzie

konkretn

ą

warto

ś

ci

ą

, tylko przedziałem, w którym mieszcz

ą

si

ę

wszystkie wyniki

pomiaru x

i

, aktualnie wykonane i przyszłe:

x

x

x

x

x

i

∆

+

<

<

∆

−

0

0

Niepewno

ść

maksymaln

ą

specyfikowan

ą

przez producenta, zaleca si

ę

obecnie

zamienia

ć

na niepewno

ść

standardow

ą

wg wzoru:

3

)

(

x

x

u

∆

=

(3)

Krzywe rozkładu bł

ę

du:

Bł

ą

d systematyczny

Bł

ą

d przypadkowy – rozkład Gaussa

6

3. Typy oceny niepewno

ś

ci wg nowej NORMY

TYP A

Dotyczy sytuacji gdy niepewno

ś

ci przypadkowe s

ą

du

ż

e w porównaniu

z systematycznymi. Konieczna jest odpowiednio du

ż

a liczba powtórze

ń

pomiaru. Do

tego typu zaliczaj

ą

si

ę

metody wykorzystuj

ą

ce statystyczn

ą

analiz

ę

serii pomiarów

i ma zastosowanie do bł

ę

dów przypadkowych.

W wi

ę

kszo

ś

ci do

ś

wiadcze

ń

stwierdza si

ę

,

ż

e rozkład cz

ę

sto

ś

ci wyst

ę

powania

niepewno

ś

ci przypadkowych mo

ż

na opisa

ć

funkcj

ą

ϕϕϕϕ

(x) w postaci:













−

−

=

2

2

0

2

)

(

exp

2

1

)

(

σ

π

σ

ϕ

x

x

x

(4 )

gdzie x

0

jest warto

ś

ci

ą

najbardziej prawdopodobn

ą

(np.

ś

rednia arytmetyczna),

σσσσ

jest

odchyleniem standardowym,

σσσσ

2

jest wariancj

ą

rozkładu.

Funkcja rozkładu

ϕϕϕϕ

(x), wyra

ż

ona wzorem (4), opisuje rozkład normalny, zwany

rozkładem Gaussa.

w przedziale

σ

σ

+

<

<

−

0

0

x

x

x

zawiera si

ę

68,2% (2/3)

w przedziale

σ

σ

2

2

0

0

+

<

<

−

x

x

x

zawiera si

ę

95,4%

w przedziale

σ

σ

3

3

0

0

+

<

<

−

x

x

x

zawiera si

ę

99,7% wszystkich wyników

Funkcja

ϕϕϕϕ

(x) zale

ż

y od dwóch parametrów x

0

i

σσσσ

a tak

ż

e spełnia warunek

normalizacyjny:

1

)

(

=

∫

+∞

∞

−

dx

x

ϕ

7

Warunek ten wynika z wła

ś

ciwo

ś

ci funkcji i okre

ś

la,

ż

e prawdopodobie

ń

stwo

znalezienia dowolnego wyniku pomiaru x w przedziale od -

∞

do +

∞

jest równe

pewno

ś

ci, czyli 1.

Niepewno

ść

standardowa

ś

redniej jest równa:

)

1

(

)

(

)

(

2

−

−

∑

=

n

n

x

x

x

u

i

(5 )

Pomiar o wi

ę

kszym

σσσσ

charakteryzuje si

ę

wi

ę

kszym rozrzutem wyników wokół

warto

ś

ci

ś

redniej czyli mniejsz

ą

precyzj

ą

.

Przykład 1:

Wykonano 10 pomiarów wałka stalowego przy u

ż

yciu suwmiarki, której

najmniejsza działka wynosi 0,1 mm. Uzyskano nast

ę

puj

ą

ce wyniki: 35,6; 35,8; 35,7;

35,5; 35,6; 35,9; 35,7; 35,8; 35,4 (mm). Zgodnie ze wzorem

i

n

i

x

n

x

1

1

=

∑

=

warto

ść

ś

rednia długo

ś

ci

69

,

35

=

l

mm, natomiast niepewno

ść

standardowa u(l) zgodnie ze

wzorem (5) ma warto

ść

u(l)=0,053 mm. Wynik ko

ń

cowy nale

ż

y wpisa

ć

w postaci:

)

5

(

69

,

35

=

l

mm lub

)

05

,

0

69

,

35

(

±

=

l

mm oraz

δ

1

[%]=0,1%. Warto

ść

u(l) jest

porównywalna z

∆∆∆∆

l.

TYP B

Dotyczy sytuacji, gdy mamy do czynienia z niepewno

ś

ci

ą

systematyczn

ą

(maksymaln

ą

). Bazuje na naukowym os

ą

dzie badacza wzgl

ę

dem wszystkich

informacji o pomiarze i

ź

ródłach jego niepewno

ś

ci. Typ B stosowany jest, gdy

statystyczna analiza jest niemo

ż

liwa. Mo

ż

e odnosi

ć

si

ę

do bł

ę

du systematycznego

lub do jednego wyniku pomiaru.

8

O wielko

ść

niepewno

ś

ci systematycznej decyduj

ą

dwie składowe: u

ż

yty w pomiarach

przyrz

ą

d – jego klasa, działka elementarna, dokładno

ść

odczytu oraz obserwator –

niepewno

ść

eksperymentatora zwi

ą

zana z czynno

ś

ciami pomiarowymi. Najcz

ęś

ciej

ocena typu B dotyczy okre

ś

lenia niepewno

ś

ci wynikaj

ą

cej ze sko

ń

czonej dokładno

ś

ci

przyrz

ą

du.

W przypadku niepewno

ś

ci systematycznych zawsze zakładamy,

ż

e przyczynki

pochodz

ą

ce od przyrz

ą

dów i obserwatora nie kompensuj

ą

si

ę

, ale dodaj

ą

do siebie

z jednakowymi znakami. Wobec tego całkowita niepewno

ść

systematyczna pomiaru

mo

ż

e by

ć

wyra

ż

ona w postaci sumy:

x

x

x

x

x

e

o

k

d

∆

+

∆

+

∆

+

∆

=

∆

(6 )

gdzie indeksy okre

ś

laj

ą

odpowiednie przyczynki od niepewno

ś

ci pomiaru (d – działka

elementarna, k – klasa przyrz

ą

du, o – odczyt, e – eksperymentator). Wyznaczona w

ten sposób sumaryczna niepewno

ść

∆∆∆∆

x nazywa si

ę

maksymaln

ą

niepewno

ś

ci

ą

systematyczn

ą

. Nale

ż

y j

ą

interpretowa

ć

jako połow

ę

szeroko

ś

ci przedziału od x-

∆∆∆∆

x

do x+

∆∆∆∆

x, który na pewno zawiera warto

ść

rzeczywist

ą

. Dla prostok

ą

tnego rozkładu

funkcji

ϕϕϕϕ

(x), niepewno

ść

standardowa u(x) zwi

ą

zana jest z maksymaln

ą

niepewno

ś

ci

ą

systematyczn

ą

∆∆∆∆

x, oszacowan

ą

metod

ą

typu B, wzorem (3):

3

)

(

x

x

u

∆

=

Przykład 2:

Wykonano pomiary nat

ęż

enia pr

ą

du płyn

ą

cego przez uzwojenie busoli

stycznych. Pomiary próbne wykazały nieznaczny rozrzut wyników: I

1

≈

I

2

≈

I

3

≈

…

≈

0,80

A. Oznacza to przewag

ę

niepewno

ś

ci systematycznych pomiaru nad niepewno

ś

ciami

przypadkowymi. U

ż

yty amperomierz był klasy 0,5 o zakresie 1 A i najmniejszej

działce 0,01 A. Według oceny eksperymentatora wahania wskazówki mie

ś

ciły si

ę

w

granicach jednej działki. Sumaryczna maksymalna niepewno

ść

systematyczna

pomiary wynosi (wzór 6):

∆

l=0,005A+0,01A+0,005A=0,02 A. Wzgl

ę

dna niepewno

ść

systematyczna pomiaru:

δ

1

[%]=3%, a wynik ko

ń

cowy zgodnie z Norm

ą

zapisujemy

w postaci: I=(0,80

±

0,02) A lub I=0,80(2) A.

9

4. Niepewno

ść

wielko

ś

ci zło

ż

onej – prawo przenoszenia bł

ę

du

)

(

)

(

x

u

dx

dy

y

u

=

Metoda ró

ż

niczki zupełnej

Dla

wielko

ś

ci

zło

ż

onej

)

,...

,

(

2

1

n

x

x

x

f

y

=

gdy

niepewno

ś

ci

maksymalne

n

x

x

x

∆

∆

∆

,...

,

2

1

s

ą

małe w porównaniu z warto

ś

ciami zmiennych

n

x

x

x

,...

,

2

1

niepewno

ść

maksymaln

ą

wielko

ś

ci y wyliczamy praw rachunku ró

ż

niczkowego:

n

n

x

x

y

x

x

y

x

x

y

y

∆

∂

∂

+

+

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

=

∆

...

2

2

1

1

(7)

Prawo przenoszenia niepewno

ś

ci

Niepewno

ść

standardow

ą

wielko

ś

ci zło

ż

onej

)

,...

,

(

2

1

n

x

x

x

f

y

=

obliczamy z tzw.

Prawa przenoszenia niepewno

ś

ci jako sum

ę

geometryczn

ą

ró

ż

niczek cz

ą

stkowych:

2

2

2

2

2

1

1

...

)

(













∂

∂

+

+













∂

∂

+













∂

∂

=

n

n

c

ux

x

y

ux

x

y

ux

x

y

y

u

(8)

y

y

u

y

u

c

cr

)

(

)

(

=

Przykład 3 (wi

ąż

e si

ę

z przykładem 1):

Wykonano 10 pomiarów długo

ś

ci wałka stalowego przy u

ż

yciu suwmiarki,

której najmniejsza działka wynosi 0,1 mm. Uzyskano wyniki 35,6; 35,8; 35,7; 35,5;

35,6; 35,9; 35,7; 35,8; 35,4 (mm). Warto

ść

ś

rednia wynosi

69

,

35

=

l

mm; u(l)=0,053

mm gdzie

)

1

(

)

(

)

(

2

−

−

∑

=

n

n

l

l

l

u

i

. Wyznaczamy obj

ę

to

ść

wałka. Jego

ś

rednic

ę

mierzono

20 razy i uzyskano wynik

)

2

(

89

,

4

=

d

mm oraz

δ

d

=0,4%. Obj

ę

to

ść

wyznaczamy z

10

wzoru:

93

,

669

4

)

(

2

=

=

l

d

V

π

mm

3

.

Niepewno

ść

standardowa

b

ę

dzie

równa:

3

2

2

2

2

2

6

57

,

5

99075

,

0

06149

,

30

)

(

4

)

(

2

)

(

)

(

)

(

mm

l

u

d

d

u

l

d

l

u

l

V

d

u

d

V

V

u

c

≈

=

+

=

=













⋅

+









⋅

⋅

=









∂

∂

+









∂

∂

=

π

π

3

3

)

6

670

(

)

6

(

670

93

,

669

mm

mm

V

±

≈

≈

=

;

δ

V

=0,9%

Metoda najmniejszych kwadratów

b

ax

y

+

=

(suma kwadratów ró

ż

nic warto

ś

ci eksperymentalnych y

i

i obliczonych ax

i

+b

ma by

ć

jak najmniejsza)

Funkcja parametrów prostej ma posta

ć

:

min

)]

(

[

)

,

(

2

1

=

+

−

∑

=

−

b

ax

y

b

a

S

i

i

n

i

, przy

zachowaniu warunków:

0

=

∂

∂

a

S

oraz

0

=

∂

∂

b

S

Mamy układ równa

ń

:











∑

=

−

∑

∑

=

∑

−

∑

=

=

−

=

=

−

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

y

nb

x

a

y

x

x

b

x

a

b

a

S

1

1

1

1

2

1

)

,

(

Rozwi

ą

zuj

ą

c ten układ otrzymamy nast

ę

puj

ą

ce zale

ż

no

ś

ci:

2

1

2

1

1

1

1

)

(

)

(

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

x

x

n

y

x

y

x

n

a

=

−

=

=

−

∑

−

∑

∑

∑

−

∑

=

,

2

1

2

1

1

1

1

2

1

)

(

)

(

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

x

x

n

y

x

x

y

x

b

=

−

=

=

=

−

∑

−

∑

∑

∑

−

∑

∑

=

Niepewno

ś

ci pomiarowe dla parametrów prostej a i b wynosz

ą

odpowiednio:

[

]

2

1

2

1

2

1

)

(

)

(

)

(

2

)

(

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

x

x

n

b

ax

y

n

n

a

u

=

−

−

∑

−

∑

+

−

∑

−

=

,

n

x

a

u

b

u

i

n

i

2

1

)

(

)

(

−

∑

=

Wykorzystuj

ą

c definicj

ę

warto

ś

ci

ś

rednich otrzymujemy:

2

2

)

(x

x

y

x

xy

a

−

⋅

−

=

oraz

x

a

y

b

−

=

2

2

2

)

(

2

1

)

(

x

x

y

b

xy

a

y

n

a

u

−

−

−

−

=

oraz

2

)

(

)

(

x

a

u

b

u

=

11

Wynik pomiaru jest zawsze obarczony bł

ę

dem i podajemy go w jednej z

poni

ż

szych postaci:

2

3

/

)

28

(

866

,

9

10

)

3

98

(

s

m

g

C

F

=

⋅

±

=

PODSUMOWANIE

•

Ka

ż

dy pomiar laboratoryjny jest obarczony niepewno

ś

ci

ą

pomiarow

ą

, któr

ą

eksperymentator musi okre

ś

li

ć

zgodnie z pewnymi zasadami.

•

W pierwszej kolejno

ś

ci nale

ż

y przeanalizowa

ć

ź

ródła bł

ę

dów, pami

ę

taj

ą

c, aby

wyeliminowa

ć

wyniki obarczone bł

ę

dem grubym. W laboratorium studenckim

bł

ę

dy systematyczne z reguły przewy

ż

szaj

ą

bł

ę

dy przypadkowe.

•

Wielokrotne powtarzanie pomiarów, gdy dominuje bł

ą

d systematyczny, nie ma

sensu. W takim przypadku dokonujemy tylko 3-5 pomiarów w tych samych

warunkach w celu sprawdzenia powtarzalno

ś

ci.

•

Gdy bł

ą

d przypadkowy dominuje w eksperymencie, nale

ż

y sprawdzi

ć

czy rozkład

wyników mo

ż

e by

ć

opisany funkcj

ą

Gaussa czy te

ż

nale

ż

y spodziewa

ć

si

ę

innego

rozkładu. W tym celu dokonujemy wielokrotnego (np. 100 razy) pomiaru w tych

samych warunkach, obliczamy

ś

redni

ą

i wariancj

ę

rozkładu, rysujemy histogram,

etc..

•

Jako miar

ę

niepewno

ś

ci stosujemy raczej niepewno

ść

standardow

ą

, rzadziej

niepewno

ść

maksymaln

ą

.

•

W przypadku wielko

ś

ci zło

ż

onej, stosujemy prawo przenoszenia bł

ę

du. Staramy

si

ę

przeprowadzi

ć

analiz

ę

niepewno

ś

ci wielko

ś

ci zło

ż

onej tak, aby uzyska

ć

informacje dotycz

ą

ce wagi przyczynków, jakie wnosz

ą

do całkowitej niepewno

ś

ci

pomiary poszczególnych wielko

ś

ci prostych. W tym celu nale

ż

y analizowa

ć

niepewno

ś

ci wzgl

ę

dne.

•

Wa

ż

nym elementem sprawozdania z przebiegu eksperymentu (i to nie tylko w

laboratorium studenckim) jest wykres. Wykresy sporz

ą

dzamy zgodnie z dobrymi

zasadami, pami

ę

taj

ą

c o jednoznacznym opisie.

•

Je

ż

eli znane s

ą

podstawy teoretyczne badanego zjawiska, na wykresie

zamieszczamy krzyw

ą

teoretyczn

ą

(linia ci

ą

gła) na tle wyra

ź

nych punktów

12

eksperymentalnych (dobieramy odpowiednie symbole i nanosimy niepewno

ś

ci

eksperymentalne). Mo

ż

emy wcze

ś

niej dokona

ć

dopasowania parametrów

przebiegu teoretycznego w oparciu o znane metody „fitowania”.

•

Zawsze, gdy to mo

ż

liwe, dokonujemy linearyzacji danych eksperymentalnych, np.

rysuj

ą

c y vs. ln (x), lub log y vs. log x, lub y vs. 1/x itp. Do tak przygotowanych

danych mo

ż

na zastosowa

ć

metod

ę

regresji liniowej.