WYKAD
W
R
OKU
AKADEMICKIM
2005/2006
POLA
I
F
ALE
ELEKTR
OMA
GNETYCZNE
Andrzej
Karw
o
wski
P
olite
hnik
a
l¡sk
a
gliwi e
2006
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
I
F
ALE
ELEKTR
OMA
GNETYCZNE
W
ykªad
Andrzej
Karw
o
wski,
dr
hab.
in».,
profesor
P
olite
hniki
l¡skiej
Inst
ytut
Elektroniki
Zakªad
P
o
dsta
w
Elektroniki
p.
917
(IX
pitro)
tel.
237
15
94
e-mail:
andrzej.k
arw
o
wskigmail. om
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ELEKTR
OMA
GNETYZM
•
Elektromagnet
yzm
nauk
a
o
zja
wisk
a
h
wyw
oªyw
an
y
h
istnieniem
i
o
ddziaªyw
aniem
ªadunk
ó
w
elektry zn
y
h
nieru
hom
y
h
lub
p
orusza
j¡ y
h
si,
które
jak
wiadomo
s¡
¹ró
dªem
p
ól
elektry znego
i
magnet
y znego
•
P
ole
przestrzenn
y
rozkªad
jakiej±
wielk
o± i,
która
mo»e
b
y¢
ró
wnie»
funk
j¡
zasu
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ELEKTR
OMA
GNETYZM
Zastoso
w
ania
i
zna zenie
•
wyt
w
arzanie
elektry zno± i
(generatory)
•
radiofonia,
radiok
om
unik
a ja,
telewizja,
telefonia
k
omórk
o
w
a,
k
omputero
w
e
sie i
b
ezprzew
o
do
w
e,
b
ezprzew
o
do
wy
dostep
do
in
ternetu
•
zastoso
w
ania
przem
ysªo
w
e,
domo
w
e
(ku
hnie
mikrofalo
w
e)
i
medy zne
(diatermia)
•
radiolok
a ja,
radiona
wiga ja,
geo
dezja
i
lok
aliza ja
(GPS)
•
telewizja
satelitarna
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
OR
GANIZA
CJA
ZAJ
ZALICZENIE
•
W
ykªado
wi
to
w
arzysz¡
¢wi zenia
tabli o
w
e/ra
h
unk
o
w
e
(bardzo
dobrze,
b
o
przedmiot
jest
ra zej
trudn
y(!)).
Ob
e no±¢
na
¢wi zenia
h
jest
ob
o
wi¡zk
o
w
a!
•
Przedmiot
wymaga
zali zenia.
T
ryb
zali zania
zgo
dnie
z
regulaminem
studió
w.
•
Zali zenie
b
dzie
mie¢
form
pisemn¡,
a
spra
wdzana
b
dzie
na
nim
wyª¡ znie
umiejtno±¢
rozwi¡zyw
ania
zada«
ra
h
unk
o
wy
h.
List
y
przykªado
wy
h
zada«
b
d¡
systemat
y znie
dostar zane
sªu
ha zom
w
i¡
gu
semestru.
•
O en
y
z
ubiegªy
h
lat
nie
b
d¡
przepisyw
ane!
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
LITERA
TURA
1.
H.
H.
Skilling,
F
ale
elektromagnet
y zne,
PWN,
W
arsza
w
a,
1961
2.
M.
Zahn,
P
ole
elektromagnet
y zne,
PWN,
W
arsza
w
a,
1989
3.
J.
Szóstk
a,
F
ale
i
an
ten
y
,
WKi,
W
arsza
w
a,
2000
4.
T.
Mora
wski,
W.
Gw
arek,
P
ola
i
fale
elektromagnet
y zne,
WNT
W
arsza
w
a,
1998
5.
J.
L.
Stew
art,
Linie
przesyªo
w
e,
WNT,
W
arsza
w
a,
1962
6.
J.
D.
Kraus,
Ele tromagneti s,
M Gra
w-Hill,
1984
7.
do
w
olne
zbiory
zada«
z
teorii
p
ola
elektromagnet
y znego
i
zyki
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ELEKTR
OMA
GNETYZM
Niezb
dne
p
o
dsta
wy
matemat
y zne
•
Ortogonalne
ukªady
wsp
óªrzdn
y
h
k
artezja«ski,
ylindry zn
y
i
sfery zn
y
•
Algebra
w
ektoro
w
a
do
da
w
anie,
o
dejmo
w
anie
i
mno»enie
w
ektoró
w
•
Analiza
w
ektoro
w
a
ró»ni zk
o
w
anie
i
aªk
o
w
anie
funk
ji
w
ektoro
wy
h;
aªki
krzyw
olinio
w
e,
p
o
wierz
hnio
w
e
i
ob
jto± io
w
e
funk
ji
w
ektoro
wy
h;
op
eratory
ró»ni zk
o
w
e
gradien
t,
dyw
ergen ja
i
rota ja
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
REPETYTORIUM
MA
TEMA
TYCZNE
W
ektory
A
,
B
,
E
,
H
, . . .
A
= 1
A
A
gdzie
A = |A|
ozna za
mo
duª
(miar
dªugo±¢)
w
ektora
,
natomiast
1
A
=
A
|A|
=
A
A
jest
w
ektorem
jednostk
o
wym
(w
ersorem)
wyzna za
j¡ ym
kierunek
A
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
REPETYTORIUM
MA
TEMA
TYCZNE
Ortogonalne
ukªady
wsp
óªrzdn
y
h
•
k
artezja«ski
ukªad
wsp
óªrzdn
y
h
prostok
¡tn
y
h
(x, y, z)
•
ukªad
wsp
óªrzdn
y
h
ylindry zn
y
h
(w
al o
wy
h)
(r, φ, z)
•
ukªad
wsp
óªrzdn
y
h
sfery zn
y
h
(kulist
y
h)
(r, θ, φ)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
WSPÓRZDNE
PR
OSTOKTNE
(x, y, z)
P
oªo»enie
punktu
w
ukªadzie
wsp
óªrzdn
y
h
prostok
¡tn
y
h
wyzna za
miejs e
prze i ia
si
trze
h
wza
jemnie
prostopadªy
h
pªasz zyzn.
Ukªad
pra
w
oskrtn
y
okre±la
tró
jk
a
w
ektoró
w
jednostk
o
wy
h
p
o
wi¡zan
y
h
zale»no± iami
1
x
×
1
y
= 1
z
1
y
×
1
z
= 1
x
1
z
×
1
x
= 1
y
W
ektor
w
o
dz¡ y
(w
ektor
miejs a)
punktu
P (x, y, z)
w
ukªadzie
prostok
¡tn
ym
r
= 1
x
x + 1
y
y + 1
z
z
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
WSPÓRZDNE
PR
OSTOKTNE
(x, y, z)
Reprezen
ta ja
w
ektora
W
ektor
A
w
ukªadzie
k
artezja«skim
mo»na
zapisa¢
jak
o
A
= A
x
+ A
y
+ A
z
= 1
x
A
x
+ 1
y
A
y
+ 1
z
A
z
gdzie
A
x
, A
x
, A
x
skªado
w
e
w
ektora
A
A
x
, A
y
, A
z
skªado
w
e
sk
alarne
(wsp
óªrzdne)
w
ektora
A
W
ogóln
ym
przypadku
k
a»da
ze
skªado
wy
h
w
ektora
A
mo»e
b
y¢
funk
j¡
wszystki
h
trze
h
wsp
óªrzdn
y
h,
tzn.
A
≡ 1
x
A
x
(x, y, z) + 1
y
A
y
(x, y, z) + 1
z
A
z
(x, y, z)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
SINUSOID
ALNIE
PRZEMIENNE
Nota ja
sym
b
oli zna
W
e¹m
y
p
ole
elektry zne
E
= E
x
+ E
y
= 1
x
E
1
cos(ωt + ϕ
x
) + 1
y
E
2
cos(ωt + ϕ
y
)
= 1
x
Re
E
1
e
jφ
x
e
jωt
+ 1
y
Re
E
2
e
jϕ
y
e
jωt
= Re
(1
x
E
1
e
jϕ
x
+ 1
y
E
2
e
jφ
y
)e
jωt
= Re
E
0
e
jωt
gdzie
E
0
= 1
x
E
1
e
jϕ
x
+ 1
y
E
2
e
jϕ
y
jest
zesp
olon¡
amplitud¡
p
ola
E
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
WSPÓRZDNE
PR
OSTOKTNE
(x, y, z)
Ró»ni zki
dªugo± i,
p
o
wierz
hni
i
ob
jto± i
Ró»ni zk
a
dªugo± i
dl = 1
x
dx + 1
y
dy + 1
z
dz
Ró»ni zki
p
o
wierz
hni
ds
x
= 1
x
dydz
ds
y
= 1
y
dxdz
ds
z
= 1
z
dxdy
Ró»ni zk
a
ob
jto± i
dV = dxdydz
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
WSPÓRZDNE
CYLINDR
YCZNE
(r, φ, z)
P
oªo»enie
punktu
w
ukªadzie
wsp
óªrzdn
y
h
w
al o
wy
h
wyzna za
miejs e
prze i ia
si
p
o
wierz
hni
w
al o
w
ej
r
=
onst
z
p
óªpªasz zyzn¡
za
wiera
j¡ ¡
o±
z,
t
w
orz¡ ¡
k
¡t
φ
z
pªasz zyzn¡
xz
,
i
pªasz zyzn¡
z
= onst
ró
wnolegªa
do
pª.
xy
.
T
ró
jk
w
ektoró
w
jednostk
o
wy
h
wi¡»¡
zale»no± i
1
r
×
1
φ
= 1
z
1
φ
×
1
z
= 1
r
1
z
×
1
r
= 1
φ
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
WSPÓRZDNE
CYLINDR
YCZNE
(r, φ, z)
Reprezen
ta ja
w
ektora
W
ektor
A
w
ukªadzie
wsp
óªrzdn
y
h
ylindry zn
y
h
mo»na
zapisa¢
jak
o
A
= A
r
+ A
φ
+ A
z
= 1
r
A
r
+ 1
φ
A
φ
+ 1
z
A
z
W
ogóln
ym
przypadku
k
a»da
ze
skªado
wy
h
w
ektora
A
mo»e
b
y¢
funk
j¡
wszystki
h
trze
h
wsp
óªrzdn
y
h,
tzn.
A
≡ 1
r
A
r
(r, φ, z) + 1
φ
A
φ
(r, φ, , z) + 1
z
A
z
(r, φ, z)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
WSPÓRZDNE
CYLINDR
YCZNE
(r, φ, z)
Ró»ni zki
dªugo± i,
p
o
wierz
hni
i
ob
jto± i
Ró»ni zk
a
dªugo± i
dl = 1
r
dr + 1
φ
rdφ + 1
z
dz
Ró»ni zki
p
o
wierz
hni
ds
r
= 1
r
rdφdz
ds
φ
= 1
φ
drdz
ds
z
= 1
z
rdrdφ
Ró»ni zk
a
ob
jto± i
dV = rdrdφdz
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
WSPÓRZDNE
SFER
YCZNE
(r, θ, φ)
P
oªo»enie
punktu
w
ukªadzie
wsp
óªrzdn
y
h
sfery zn
y
h
wyzna za
miejs e
prze i ia
si
trze
h
p
o
wierz
hni:
sfery
o
promieniu
r
=
onst
o
±ro
dku
w
p
o
z¡tku
ukªadu,
p
o
wierz
hni
sto»k
a
o
wierz
hoªku
w
p
o
z¡tku
ukªadu,
osi
p
okryw
a
j¡ ej
si
z
osi¡
z
i
rozw
arto± i
2θ
oraz
p
óªpªasz zyzn
y
za
wiera
j¡ ej
o±
z
i
t
w
orz¡ ej
k
¡t
φ
z
pª.
xz
.
T
ró
jk
w
ektoró
w
jednostk
o
wy
h
wi¡»¡
zale»no± i
1
r
×
1
θ
= 1
φ
1
θ
×
1
φ
= 1
r
1
φ
×
1
r
= 1
θ
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
WSPÓRZDNE
SFER
YCZNE
(r, θ, φ)
Reprezen
ta ja
w
ektora
W
ektor
A
w
ukªadzie
wsp
óªrzdn
y
h
ylindry zn
y
h
mo»na
zapisa¢
jak
o
A
= A
r
+ A
θ
+ A
φ
= 1
r
A
r
+ 1
θ
A
θ
+ 1
φ
A
φ
W
ogóln
ym
przypadku
k
a»da
ze
skªado
wy
h
w
ektora
A
mo»e
b
y¢
funk
j¡
wszystki
h
trze
h
wsp
óªrzdn
y
h,
tzn.
A
≡ 1
r
A
r
(r, θ, φ) + 1
θ
A
θ
(r, θ, φ) + 1
φ
A
φ
(r, θ, φ)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
WSPÓRZDNE
SFER
YCZNE
(r, θ, φ)
Ró»ni zki
dªugo± i,
p
o
wierz
hni
i
ob
jto± i
Ró»ni zk
a
dªugo± i
dl = 1
r
dr + 1
θ
rdθ + 1
φ
r sin θdφ
Ró»ni zki
p
o
wierz
hni
ds
r
= 1
r
r
2
sin θ dθ dφ
ds
θ
= 1
θ
r sin θ dr dφ
ds
φ
= 1
φ
r dr dθ
Ró»ni zk
a
ob
jto± i
dV = r
2
sin θ dr dθ dφ
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
REPETYTORIUM
MA
TEMA
TYCZNE
Algebra
w
ektoró
w
•
do
da
w
anie
i
o
dejmo
w
anie
w
ektoró
w
trywialne
•
mno»enie
w
ektoró
w
przez
li zb
(sk
alar)
trywialne
•
mno»enie
w
ektoró
w
ilo
zyn
sk
alarn
y
ilo
zyn
w
ektoro
wy
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
REPETYTORIUM
MA
TEMA
TYCZNE
Ilo
zyn
sk
alarn
y
A · B
= AB cos θ
AB
θ
AB
→
k
¡t
midzy
A
i
B
Z
de ni ji
ilo
zyn
u
sk
alarnego
wynik
a,
»e
A · A
= A
2
alb
o
A =
+
√
A · A
Ilo
zyn
sk
alarn
y
sp
eªnia
pra
w
a:
przemienno± i
A · B
= B · A
rozdzielno± i
A ·
(B + C) = A · B + A · C
Zero
w
anie
si
ilo
zyn
u
sk
alarnego
jest
w
arunkiem
prostopadªo± i
dw
ó
h
niezero
wy
h
w
ektoró
w
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
WSPÓRZDNE
PR
OSTOKTNE
(x, y, z)
Ilo
zyn
sk
alarn
y
Ilo
zyn
sk
alarn
y
w
ektoró
w
A
i
B
mo»na
wyrazi¢
przez
i
h
wsp
óªrzdne;
w
ukªadzie
k
artezja«skim
mam
y
A · B
= (1
x
A
x
+ 1
y
A
y
+ 1
z
A
z
) · (1
x
B
x
+ 1
y
B
y
+ 1
z
B
z
)
K
orzysta
j¡
z
pra
w
a
rozdzielno± i
mno»enia
sk
alarnego
wzgldem
do
da
w
ania
i
bior¡
p
o
d
u
w
ag,
»e
1
x
⊥1
y
⊥1
z
oraz
1
c
·
1
c
= 1
dla
c = x, y, z
otrzym
ujem
y
A · B
= A
x
B
x
+ A
y
B
y
+ A
z
B
z
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
WSPÓRZDNE
PR
OSTOKTNE
(x, y, z)
Dªugo±¢
w
ektora,
k
¡t
midzy
w
ektorami
Kªad¡
w
ilo
zynie
sk
alarn
ym
B
= A
otrzym
ujem
y
A · A
= A
2
= A
x
A
x
+ A
y
A
y
+ A
z
A
z
= A
2
x
+ A
2
y
+ A
2
z
zyli
A =
√
A · A
=
q
A
2
x
+ A
2
y
+ A
2
z
Zna
j¡
skªado
w
e
sk
alarne
dw
ó
h
w
ektoró
w
mo»na
ªat
w
o
obli zy¢
k
¡t,
jaki
t
w
orz¡
te
w
ektory
cos θ
AB
=
A · B
AB
=
A
x
B
x
+ A
y
B
y
+ A
z
B
z
q
A
2
x
+ A
2
y
+ A
2
z
q
B
2
x
+ B
2
y
+ B
2
z
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
REPETYTORIUM
MA
TEMA
TYCZNE
Ilo
zyn
w
ektoro
wy
A × B
= 1
n
|AB sin θ
AB
|
gdzie
1
n
ozna za
w
ektor
jednostk
o
wy
prostopadªy
do
pªasz zyzn
y
wyzna zonej
przez
w
ektory
A
i
B
,
zorien
to
w
an
y
tak,
b
y
A
,
B
i
1
n
t
w
orzyªy
ukªad
pra
w
oskrtn
y
.
Ilo
zyn
w
ektoro
wy
nie
sp
eªnia
pra
w
a
przemienno± i;
± i±lej
A × B
= −A × B
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
REPETYTORIUM
MA
TEMA
TYCZNE
Ilo
zyn
w
ektoro
wy
Ilo
zyn
w
ektoro
wy
sp
eªnia
pra
w
o
rozdzielno± i,
tzn.
A ×
(B + C) = A × B + A × C
ale,
o
zywi± ie,
nie
sp
eªnia
pra
w
a
ª¡ zno± i,
tj.
A ×
(B × C) 6= (A × B) × C
Zero
w
anie
si
ilo
zyn
u
w
ektoro
w
ego
jest
w
arunkiem
ró
wnolegªo± i
dw
ó
h
w
ektoró
w
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
WSPÓRZDNE
PR
OSTOKTNE
(x, y, z)
Ilo
zyn
w
ektoro
wy
Ilo
zyn
w
ektoro
wy
A
i
B
mo»na
wyrazi¢
przez
i
h
wsp
óªrzdne;
w
ukªadzie
k
artezja«skim
mam
y
A × B
=
1
x
1
y
1
z
A
x
A
y
A
z
B
x
B
y
B
z
Rozwija
j¡
wyzna znik
otrzym
ujem
y
A × B
= 1
x
(A
y
B
z
−A
z
B
y
)+1
y
(A
z
B
x
−A
x
B
z
)+1
z
(A
x
B
y
−A
y
B
x
)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
REPETYTORIUM
MA
TEMA
TYCZNE
Ilo
zyn
trze
h
w
ektoró
w
Ilo
zyn
mieszan
y
A ·
(B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
P
o
dw
ó
jn
y
ilo
zyn
w
ektoro
wy
A ×
(B × C) = B(A · C) − C(A · B)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
WEKTOR
O
WE
Przykªady
A
= 3 1
x
+ 3 1
y
+ 2 1
z
0
4
8
x
0
4
8
y
0
4
8
z
0
4
8
x
0
4
8
y
0
4
8
x
0
4
8
y
0
4
8
z
0
8
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
WEKTOR
O
WE
Przykªady
A
= x 1
x
+ y 1
y
+ z 1
z
0
4
8
x
0
4
8
y
0
4
8
z
0
4
8
x
0
4
8
y
0
4
8
x
0
4
8
y
0
4
8
z
0
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
WEKTOR
O
WE
Przykªady
A
= grad |r − r
0
| ; r = x 1
x
+ y 1
y
+ z 1
z
; r
0
= 4 1
x
+ 4 1
y
+ 4 1
z
0
4
8
x
0
4
8
y
0
4
8
z
0
4
8
x
0
4
8
y
0
4
8
x
0
4
8
y
0
4
8
z
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
WEKTOR
O
WE
Przykªady
A
=
y
z
1
x
−
x
z
1
y
-
1
0
1
x
-
1
0
1
y
1
2
3
z
-
1
0
1
x
-
1
0
1
y
-
1
0
1
x
-
1
0
1
y
1
2
3
z
-
1
1
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
CAKI
W
POLU
WEKTOR
O
WYM
Caªk
a
krzyw
olinio
w
a
(linio
w
a
sk
alarna)
A
A
L
1
l
dl
B
Z
L
(AB)
A ·
dl =
Z
L
(AB)
A · 1
l
dl
Cyrkula ja
( aªk
a
okr»na)
A
L
1
l
dl
I
L
A ·
dl =
I
L
A · 1
l
dl
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
CAKI
W
POLU
WEKTOR
O
WYM
Strumie«
Caªk
a
p
o
wierz
hnio
w
a
(strumie«
sk
alarn
y
p
ola
w
ektoro
w
ego)
Z
S
A ·
ds =
Z
S
A · 1
s
ds
Strumie«
przez
zamknit¡
p
o
wierz
hni
I
S
A ·
ds =
I
S
A · 1
s
ds
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
WEKTOR
O
WE
Pªat
p
o
wierz
hni
zan
urzon
y
w
p
olu
0
4
8
x
0
4
8
y
0
4
8
z
0
4
4
8
x
4
8
y
4
8
z
4
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
WEKTOR
O
WE
Zamknita
p
o
wierz
hnia
zan
urzona
w
p
olu
0
4
8
x
0
4
8
y
0
4
8
z
0
4
x
0
4
y
0
4
8
x
0
4
8
y
0
4
8
z
0
4
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POCHODNE
PRZESTRZENNE
POLA
Gradien
t,
dyw
ergen ja,
rota ja
Gradien
t
p
ola
sk
alarnego
U
⇒
gradU
Dyw
ergen ja
p
ola
w
ektoro
w
ego
A
⇒
divA
Rota ja
p
ola
w
ektoro
w
ego
A
⇒
rotA
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POCHODNE
PRZESTRZENNE
POLA
Gradien
t
p
ola
sk
alarnego
Gradien
tem
p
ola
sk
alarnego
U
nazyw
am
y
w
ektor
wsk
azuj¡ y
kierunek
na
jszybszego
lok
alnie
wzrostu
p
ola.
W
ukªadzie
wsp
óªrzdn
y
h
k
artezja«ski
h
gradU = 1
x
∂U
∂x
+ 1
y
∂U
∂y
+ 1
z
∂U
∂z
Gradien
t
mo»na
elegan
k
o
zapisa¢
wpro
w
adza
j¡
w
ektoro
wy
op
erator
ró»ni zk
o
wy
nabla
(del;
op
erator
Hamiltona)
∇ = 1
x
∂
∂x
+ 1
y
∂
∂y
+ 1
z
∂
∂z
Mam
y
gradU = ∇U
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POCHODNE
PRZESTRZENNE
POLA
Dyw
ergen ja
p
ola
w
ektoro
w
ego
Dyw
ergen j¡
p
ola
w
ektoro
w
ego
A
w
dan
ym
punk
ie
nazyw
am
y
sk
alar
stano
wi¡ y
p
o
ho
dn¡
przestrzenn¡
sk
alarn¡
p
ola
w
t
ym
punk
ie,
tj.
divA = lim
∆V→0
H
S
(V)
A ·
ds
∆V
W
ukªadzie
wsp
óªrzdn
y
h
k
artezja«ski
h
de ni ja
ta
pro
w
adzi
do
wyra»enia
divA = ∇ · A =
∂A
x
∂x
+
∂A
y
∂y
+
∂A
z
∂z
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POCHODNE
PRZESTRZENNE
POLA
Rota ja
p
ola
w
ektoro
w
ego
Rota j¡
p
ola
w
ektoro
w
ego
A
w
dan
ym
punk
ie
nazyw
am
y
w
ektor
stano
wi¡ y
p
o
ho
dn¡
przestrzenn¡
sk
alarn¡
p
ola
w
t
ym
punk
ie
(rotA)
n
= lim
∆S→0
H
L
(S)
A ·
dl
∆S
Indeks
n
sygnalizuje
skªado
w
¡
rota ji
prostopadª¡
(normaln¡)
do
p
o
wierz
hni
pªaskiego
elemen
tarnego
pªata
prze
ho
dz¡ ego
przez
dan
y
punkt.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POCHODNE
PRZESTRZENNE
POLA
Rota ja
p
ola
w
ektoro
w
ego
W
ukªadzie
wsp
óªrzdn
y
h
k
artezja«ski
h
de ni ja
ta
pro
w
adzi
do
wyra»enia
rotA = ∇ × A =
1
x
1
y
1
z
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
A
x
A
y
A
z
=
1
x
∂A
z
∂y
−
∂A
y
∂z
+ 1
y
∂A
x
∂z
−
∂A
z
∂x
+ 1
z
∂A
y
∂x
−
∂A
x
∂y
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POCHODNE
PRZESTRZENNE
POLA
P
o
dsumo
w
anie
Gradien
t
p
ola
sk
alarnego
U
⇒
gradU = ∇U
Dyw
ergen ja
p
ola
w
ektoro
w
ego
A
⇒
divA = ∇ · A
Rota ja
p
ola
w
ektoro
w
ego
A
⇒
rotA = ∇ × A
gdzie
V ≡ V (x, y, z)
A
≡ 1
x
A
x
(x, y, z) + 1
y
A
y
(x, y, z) + 1
z
A
z
(x, y, z)
a
∇
ozna za
w
ektoro
wy
ró»ni zk
o
wy
op
erator
nabla
(del)
∇ = 1
x
∂
∂x
+ 1
y
∂
∂y
+ 1
z
∂
∂z
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
TWIERDZENIA
CAKO
WE
T
wierdzenie
Gaussa-Ostrogradskiego
I
S
A ·
ds =
Z
V
(S)
divA dV =
Z
V
(S)
∇ · A dV
T
wierdzenie
Stok
esa
I
L
A ·
dl =
Z
S
(L)
(rotA) · ds =
Z
S
(L)
(∇ × A) · ds
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Pra
w
o
Coulom
ba
Dw
a
punkto
w
e
ªadunki
elektry zne
umiesz zone
w
pró»ni
o
ddziaªuj¡
na
siebie
z
siª¡
okre±lon¡
wzorem
F
12
=
1
4πǫ
0
Q
1
Q
2
R
2
12
1
R
12
=
1
4πǫ
0
Q
1
Q
2
R
3
12
R
12
w
którym
R
12
= r
1
− r
2
,
natomiast
ǫ
0
≈ 8.854 × 10
−
12
≈
1
36π
× 10
−
9
(F/m)
ozna za
przenik
alno±¢
elektry zn¡
pró»ni.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Pra
w
o
Coulom
ba
W
zór
wyra»a
j¡ y
pra
w
o
Coulom
ba
mo»na
przepisa¢
w
p
osta i
F
=
1
4πǫ
0
R
3
R
uªat
wia
j¡ ej
wpro
w
adzenie
k
on ep
ji
p
ola
elektry znego
i
jego
nat»enia,
to
zna zy
F
= qE
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Nat»enie
p
ola
Nat»enie
p
ola
elektry znego
o
d
ªadunku
punkto
w
ego
umiejs o
wionego
w
p
o
z¡tku
ukªadu
wsp
óªrzdn
y
h
E
=
1
4πǫ
0
Q
r
3
r
=
1
4πǫ
0
Q
r
2
1
r
(V/m)
|E| = E =
const
r
2
(V/m)
gdzie
r
= 1
x
x + 1
y
y + 1
z
z
ozna za
w
ektor
w
o
dz¡ y
(w
ektor
miejs a).
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Nat»enie
p
ola
Je±li
ªadunek
nie
le»y
w
p
o
z¡tku
ukªadu
wsp
óªrzdn
y
h,
le z
w
punk
ie
okre±lon
ym
przez
w
ektor
r
′
,
to
E
=
1
4πǫ
0
Q
|r − r
′
|
3
(r − r
′
)
(V/m)
P
ole
o
d
ukªadu
N
ªadunk
ó
w
punkto
wy
h
E
=
1
4πǫ
0
N
X
i
=1
Q
i
|r − r
′
i
|
3
(r − r
′
i
)
(V/m)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Nat»enie
p
ola
P
ole
o
d
ªadunku
rozªo»onego
linio
w
o
z
gsto± i¡
q
l
(C/m)
wzdªu»
krzyw
ej
L
E
=
1
4πǫ
0
Z
L
q
l
(r
′
)
|r − r
′
|
3
(r − r
′
) dl
′
(V/m)
P
ole
o
d
ªadunku
rozªo»onego
na
p
o
wierz
hni
S
z
gsto± i¡
q
s
(C/m
2
)
E
=
1
4πǫ
0
Z
S
q
s
(r
′
)
|r − r
′
|
3
(r − r
′
) ds
′
(V/m)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Nat»enie
p
ola
P
ole
o
d
ªadunku
rozªo»onego
przestrzennie
w
obszarze
V
z
gsto± i¡
q
v
(C/m
3
)
E
=
1
4πǫ
0
Z
V
q
v
(r
′
)
|r − r
′
|
3
(r − r
′
) dv
′
(V/m)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
P
oten jaª
P
ole
elektrostat
y zne
jest
b
ezwiro
w
e
(za
ho
w
a
w
ze).
Ozna za
to,
»e
do
jego
opisu
mo»na
wpro
w
adzi¢
funk
j
sk
alarn¡
p
oten jaª
V
tak
¡,
»e
E
= −∇V
P
oten jaª
p
ola
elektry znego
o
d
ªadunku
punkto
w
ego
umiejs o
wionego
w
punk
ie
wyzna zon
ym
przez
w
ektor
w
o
dz¡ y
r
′
V =
q
4πǫ
0
|r − r
′
|
(V)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
P
oten jaª
P
oten jaª
p
ola
ukªadu
n
ªadunk
ó
w
punkto
wy
h
q
1
, q
2
, . . . , q
n
umiejs o
wion
y
h
w
punkta
h
r
′
1
, r
′
2
, . . . , r
′
n
jest
sum¡
p
oten jaªó
w
p
o
ho
dz¡ y
h
o
d
indywidualn
y
h
ªadunk
ó
w
V =
1
4πǫ
0
n
X
k
=1
q
k
|r − r
′
k
|
(V)
P
oten jaª
p
ola
p
o
ho
dz¡ ego
o
d
ªadunku
rozªo»onego
z
gsto± i¡
q
l
wzdªu»
krzyw
ej
L
V =
1
4πǫ
0
Z
L
q
l
|r − r
′
|
dl
(V)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
P
oten jaª
Je±li
ªadunek
jest
rozªo»on
y
z
gsto± i¡
q
s
na
p
o
wierz
hni
S
,
to
V =
1
4πǫ
0
Z
S
q
s
|r − r
′
|
ds
(V)
a
dla
ªadunku
o
gsto± i
przestrzennej
q
v
w
obszarze
V
V =
1
4πǫ
0
Z
V
q
v
|r − r
′
|
dv
(V)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Napi ie
Napi ie
midzy
dw
oma
punktami,
zyli
aªk
a
linio
w
a
sk
alarna
w
ektora
nat»enia
p
ola
elektry znego
wzdªu»
krzyw
ej
ª¡ z¡ ej
te
punkt
y
,
nie
zale»y
w
p
olu
elektrostat
y zn
ym
o
d
drogi
aªk
o
w
ania
i
jest
ró
wne
ró»ni y
p
oten jaªó
w
t
y
h
punktó
w
1
E
L
1
l
dl
2
U
12
=
Z
L
(12)
E ·
dl =
Z
L
(12)
E · 1
l
dl = V
1
− V
2
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Dip
ol
elektry zn
y
(1)
Dip
ol
elektry zn
y
para
jednak
o
wy
h
ªadunk
ó
w
prze iwnego
znaku,
umiesz zon
y
h
w
maªej
o
dlegªo± i
d
.
P
oten jaª
p
ola
wyt
w
orzonego
przez
dip
ol
mo»na
ªat
w
o
obli zy¢
jak
o
sum
p
oten jaªó
w
p
o
ho
dz¡ y
h
o
d
obu
ªadunk
ó
w.
W
rezulta ie
otrzym
ujem
y
V =
p · 1
r
4πǫ
0
r
2
(V)
gdzie
p
= qd
ozna za
momen
t
dip
ola
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Dip
ol
elektry zn
y
Nat»enie
p
ola
E
wyt
w
orzonego
przez
dip
ol
obli zam
y
jak
o
gradien
t
p
oten jaªu.
W
e
wsp
óªrzdn
y
h
sfery zn
y
h
otrzym
ujem
y
E
= −∇V = −1
r
∂V
∂r
− 1
θ
∂V
r∂θ
=
p
4πǫ
0
r
3
(1
r
2 cos θ + 1
θ
sin θ)
(V/m)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Przew
o
dniki
w
p
olu
elektrostat
y zn
ym
Z
punktu
widzenia
wªa± iw
o± i
elektry zn
y
h
dostpne
materiaªy
klasy kujem
y
z
grubsza
na
przew
o
dniki,
dielektryki
(izolatory)
i
p
óªprzew
o
dniki
.
Ce
h¡
harakteryst
y zn¡
przew
o
dnik
ó
w
jest
ob
e no±¢
w
ni
h
ªadunk
ó
w
elektry zn
y
h
sªab
o
zwi¡zan
y
h
z
sie i¡
krystali zn¡
materiaªu,
tzn.
mog¡ y
h
przemiesz za¢
si
na
makrosk
op
o
w
o
istotne
o
dlegªo± i.
Ob
e no±¢
zewntrznego
p
ola
elektry znego
wy i¡
ga
te
ªadunki
na
p
o
wierz
hni,
gdzie
rozkªada
j¡
si
one
w
taki
sp
osób,
b
y
wyt
w
orzone
przez
nie
p
ole
wtórne
aªk
o
wi ie
sk
omp
enso
w
aªo
p
ole
pierw
otne
w
e
wntrzu
przew
o
dnik
a.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Przew
o
dniki
w
p
olu
elektrostat
y zn
ym
W
stanie
ró
wno
w
agi
elektrostat
y znej
w
e
wntrzu
przew
o
dnik
a
m
usi
b
y¢
q
v
= 0
E
= 0
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Dielektryki
w
p
olu
elektrostat
y zn
ym
Idealne
dielektryki
nie
za
wiera
j¡
ªadunk
ó
w
sw
ob
o
dn
y
h,
ale
za
wiera
j¡
ªadunki
zwi¡zane.
Molekuªy
dielektryku
s¡
elektry znie
ob
o
jtne,
ale
p
o
d
wpªyw
em
zewntrznego
p
ola
elektry znego
nastpuje
w
ni
h
przesuni ie
±ro
dk
ó
w
i»k
o± i
ªadunk
ó
w
do
datni
h
i
ujemn
y
h,
o
p
o
w
o
duje
p
olaryza j
dielektryku,
tzn.
p
o
ja
wienie
si
w
nim
dip
oli
elektry zn
y
h.
Efekt
ten
harakteryzuje
w
ektor
p
olaryza ji
P
P
= lim
∆v→0
n
P
k
=1
∆v
p
k
∆v
(C/m
2
)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Dielektryki
w
p
olu
elektrostat
y zn
ym
Do
opisu
p
ola
w
dielektryk
a
h
wpro
w
adza
si
w
ektor
induk
ji
elektry znej
D
zde nio
w
an
y
jak
o
D
= ǫ
0
E
+ P
(C/m
2
)
Zwykle
przyjm
uje
si,
»e
P
= ǫ
0
χ
e
E
skutkiem
zego
D
= ǫ
0
E
+ ǫ
0
χ
e
E
= ǫ
0
(1 + χ
e
)E = ǫ
0
ǫ
r
E
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Dielektryki
w
p
olu
elektrostat
y zn
ym
Ina zej
D
= ǫE
przy
zym
ǫ = ǫ
0
ǫ
r
gdzie
ǫ
r
= 1 + χ
e
jest
wzgldn¡
(relat
ywn¡)
przenik
alno± i¡
elektry zn¡
materiaªu
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
Energia
p
ola
W
p
olu
elektrostat
y zn
ym
energia
jest
rozªo»ona
z
gsto± i¡
przestrzenn¡
w
e
=
1
2
D · E
(J/m
3
)
Sumary zna
energia
zgromadzona
w
obszarze
V
W
e
=
Z
V
w
e
dv =
Z
V
D · E
2
dv
(J)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
P
o
jemno±¢
elektry zna
P
o
jemno±¢
ukªadu
dw
ó
h
bryª
przew
o
dz¡ y
h
zan
urzon
y
h
w
dielektryku
C =
Q
U
=
H
S
D ·
ds
R
L
E ·
dl
=
H
S
ǫE · ds
R
L
E ·
dl
(C)
gdzie
aªk
o
w
anie
w
ektora
induk
ji
elektry znej
D
przebiega
p
o
p
o
wierz
hni
bryªy
naªado
w
anej
do
datnio,
a
aªk
o
w
anie
w
ektora
E
p
o
do
w
olnej
dro
dze
o
d
bryªy
naªado
w
anej
do
datnio
do
naªado
w
anej
ujemnie.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OST
A
TYCZNE
PODSUMO
W
ANIE
POSTULA
TY
ELEKTR
OST
A
TYKI
∇ × E = 0
⇒
I
L
E ·
dl = 0
∇ · D = q
v
⇒
I
S
D ·
ds = Q
V
(S)
Z
t
y
h
p
ostulató
w
b
ezp
o±rednio
wynik
a
j¡
w
arunki
brzego
w
e
dla
stat
y znego
p
ola
elektry znego,
opisuj¡ e
za
ho
w
anie
si
w
ektoró
w
p
ola
na
grani y
o±ro
dk
ó
w
o
ró»n
y
h
wªa± iw
o± ia
h
elektry zn
y
h
E
1t
= E
2t
D
2n
−D
1n
= q
s
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PRD
ELEKTR
YCZNY
Gsto±¢
pr¡du,
pra
w
o
Ohma
W
linio
wym,
izotrop
o
wym
o±ro
dku
przew
o
dz¡ ym,
p
o
ddan
ym
dziaªaniu
stat
y znego
p
ola
elektry znego
pªynie
pr¡d
o
gsto± i
J
= σE
(A/m
2
)
gdzie
σ
(S/m)
jest
k
ondukt
ywno± i¡
o±ro
dk
a.
Zale»no±¢
ta
jest
dobrze
znan
ym
pra
w
em
Ohma
(w
p
osta i
lok
alnej!)
Strumie«
w
ektora
gsto± i
pr¡du
przez
p
o
wierz
hni
S
de niuje
si
jak
o
nat»enie
pr¡du
I =
Z
S
J ·
ds
(A)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PRD
ELEKTR
YCZNY
Ró
wnanie
i¡
gªo± i
pr¡du
Z
fundamen
talnego
p
ostulatu
elektro
dynamiki
klasy znej,
jakim
jest
zasada
za
ho
w
ania
ªadunku
elektry znego
,
wynik
a,
»e
I =
I
S
J ·
ds = −
dQ
V
(S)
dt
= −
d
dt
Z
V
(S)
q
v
dv
Na
p
o
dsta
wie
pra
w
a
Gaussa
mam
y
I =
Z
V
(S)
∇ · Jdv = −
Z
V
(S)
∂q
v
∂t
dv
sk
¡d
otrzym
ujem
y
ró
wnanie
i¡
gªo± i
pr¡du
∇ · J = −
∂q
v
∂t
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PRD
ELEKTR
YCZNY
Ró
wnanie
i¡
gªo± i
pr¡du
Dla
pr¡du
staªego
∇ · J = 0
zyli
I =
I
S
J ·
ds = 0
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PRD
ELEKTR
YCZNY
Strat
y
mo
y
i
pra
w
o
Joule'a
Gsto±¢
mo
y
tra onej
lok
alnie
w
obszarze,
przez
który
przepªyw
a
pr¡d
staªy
p = E · J
(W/m
3
)
Sumary zna
mo
tra ona
na
iepªo
w
obszarze
V
P =
Z
V
p dv =
Z
V
E · J
dv
(W)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PRD
ELEKTR
YCZNY
Rezystan ja
Rezystan ja
ukªadu
dw
ó
h
bryª
przew
o
dz¡ y
h
zan
urzon
y
h
w
stratn
ym
(σ 6= 0)
dielektryku
R =
U
I
=
R
L
E ·
dl
H
S
J ·
ds
=
R
L
E ·
dl
H
S
σE · ds
(Ω)
gdzie
aªk
o
w
anie
przebiega
analogi znie
jak
przy
obli zaniu
p
o
jemno± i.
P
o
jemno±¢
i
rezystan j¡
tego
samego
ukªadu
s¡
p
o
wi¡zane
in
teresuj¡ ¡
zale»no± i¡
RC =
C
G
=
ǫ
σ
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
PRZEP
YW
O
WE
PRDU
ST
AEGO
PODSUMO
W
ANIE
POSTULA
TY
∇ · J = 0
⇒
I
S
J ·
ds = 0
∇ ×
J
σ
= 0
⇒
I
L
1
σ
J ·
dl = 0
Z
t
y
h
p
ostulató
w
b
ezp
o±rednio
wynik
a
j¡
w
arunki
brzego
w
e
dla
p
ola
przepªyw
o
w
ego
pr¡du
staªego,
opisuj¡ e
za
ho
w
anie
si
w
ektoró
w
p
ola
na
grani y
o±ro
dk
ó
w
o
ró»n
y
h
k
ondukt
ywno± ia
h
J
2n
= J
1n
J
2t
J
1t
=
σ
2
σ
1
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETYCZNE
PRDU
ST
AEGO
Siªa
Loren
tza
Na
ªadunek
q
umiesz zon
y
w
p
olu
elektry zn
ym
dziaªa
siªa
F
= F
e
= qE
(N)
Na
p
orusza
j¡ y
si
ªadunek
q
umiesz zon
y
w
p
olu
magnet
y zn
ym
dziaªa
siªa
okre±lona
wzorem
F
m
= qv × B
(N)
w
którym
v
ozna za
w
ektor
prdk
o± i
ªadunku,
a
B
jest
w
ektorem
induk
ji
magnet
y znej
(alb
o
gsto± i¡
strumienia
magnet
y znego).
Jednostk
¡
induk
ji
jest
T
esla
(T)
alb
o
W
eb
er
(V
s)
na
metr
kw
adrato
wy
(Wb/m
2
).
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETYCZNE
PRDU
ST
AEGO
Siªa
Loren
tza
Sumary zn¡
(wypadk
o
w
¡)
siª
dziaªa
j¡ ¡
na
ªadunek
w
p
olu
elektromagnetostat
y zn
ym
nazyw
am
y
siª¡
Loren
tza
F
= F
e
+ F
m
= q(E + v × B)
(N)
Iloraz
F
m
/q = v × B
mo»na
przyj¡¢
jak
o
de ni j
w
ektora
induk
ji
magnet
y znej.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
W
PR
ÓNI
FUND
AMENT
ALNE
POSTULA
TY
∇ · B = 0
⇒
I
S
B ·
ds = 0
∇ × B = µ
0
J
⇒
I
L
B ·
dl = µ
0
I
gdzie
µ
0
= 4π × 10
−
7
(H/m)
ozna za
przenik
alno±¢
magnet
y zn¡
pró»ni
,
a
J
jest
gsto± i¡
pr¡du.
P
oniew
a»
dyw
ergen ja
p
ola
rota ji
jest
to»samo± io
w
o
ró
wna
zeru,
wi
∇ · J = 0
o
jest
sp
ó
jne
z
ró
wnaniem
i¡
gªo± i
pr¡du
staªego.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
W
PR
ÓNI
Pra
w
o
Amp
ere'a
Drugi
z
p
o
dan
y
h
wy»ej
p
ostulató
w
to
pra
w
o
Amp
ere'a
I
L
B ·
dl = µ
0
I
orzek
a
j¡ e,
»e
yrkula ja
w
ektora
induk
ji
magnet
y znej
w
pró»ni
wzdªu»
do
w
olnego
k
on
turu
L
jest
ró
wna
ilo
zyno
wi
µ
0
i
nat»enia
pr¡du
przepªyw
a
j¡ ego
przez
do
w
oln¡
p
o
wierz
hni,
której
brzegiem
jest
ten
k
on
tur.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
W
PR
ÓNI
Pra
w
o
Biota-Sa
v
arta
Induk
j
magnet
y zn¡
dB
o
d
elemen
tu
dl
zamknitego
k
on
turu
(ob
w
o
du)
z
pr¡dem
I
okre±la
wzór
dB =
µ
0
I
4π
dl × 1
R
R
2
=
µ
0
I
4π
dl × R
R
3
(T)
w
którym
R
= r − r
′
Induk
ja
magnet
y zna
o
d
aªego
k
on
turu
B
=
I
L
dB =
µ
0
I
4π
I
L
dl × 1
R
R
2
=
µ
0
I
4π
I
L
dl × R
R
3
(T)
Ostatni
wzór
to
pra
w
o
Biota-Sa
v
arta
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
W
PR
ÓNI
Magnet
y zn
y
p
oten jaª
w
ektoro
wy
P
oniew
a»
k
a»de
p
ole
rota ji
jest
b
ez¹ró
dªo
w
e,
wi
w
ob
e
∇ · B = 0
mo»na
przyj¡¢
B
= rot A = ∇ × A
Zde nio
w
ane
w
ten
sp
osób
p
ole
w
ektoro
w
e
A
jest
nazyw
ane
magnet
y zn
ym
p
oten jaªem
w
ektoro
wym
.
Przy
zaªo»eniu
b
ez¹ró
dªo
w
o± i
p
oten jaªu,
tzn.
∇ · A = 0
,
sp
eªnia
on
w
ektoro
w
e
ró
wnanie
P
oissona
∇
2
A
= −µ
0
J
gdzie
∇
2
A
= ∇(∇ · A) − ∇ × ∇ × A
ozna za
Laplasjan
A
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
W
PR
ÓNI
Magnet
y zn
y
p
oten jaª
w
ektoro
wy
Ogólne
rozwi¡zanie
ró
wnania
P
oissona
ma
p
osta¢
A
=
µ
0
4π
Z
V
J
R
dv
(Wb/m)
Dla
zamknitego
k
on
turu
L
,
wzdªu»
którego
pªynie
pr¡d
I
mam
y
A
=
µ
0
I
4π
I
L
dl
R
(Wb/m)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
W
PR
ÓNI
Dip
ol
magnet
y zn
y
Maª¡
pªask
¡
p
tl
pr¡do
w
¡
nazyw
am
y
dip
olem
magnet
y zn
ym
.
P
oten jaª
w
ektoro
wy
p
ola
magnet
y znego
wyt
w
arzanego
w
du»ej
o
dlegªo± i
o
d
takiej
p
tli
okre±la
wzór
A
=
µ
0
4π
m
× R
R
3
dv
(Wb/m)
w
którym
m
= 1
n
IS = 1
n
m
(Am
2
)
gdzie
S
ozna za
p
ole
p
o
wierz
hni
dip
ola,
a
1
n
w
ektor
jednostk
o
wy
prostopadªy
do
p
o
wierz
hni
dip
ola,
nazyw
am
y
momen
tem
dip
ola
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
W
PR
ÓNI
Dip
ol
magnet
y zn
y
Induk
j
B
p
ola
magnet
y znego
wyt
w
orzonego
przez
dip
ol
wyzna zam
y
obli za
j¡
rota je
p
oten jaªu
A
.
Dla
dip
ola
o
momen ie
m
= 1
z
m
umiejs o
wionego
w
p
o
z¡tku
ukªadu
wsp
óªrzdn
y
h
sfery zn
y
h
mam
y
B
=
µ
0
m
4πr
3
1
r
2 cos θ + 1
θ
sin θ
(T)
Na
dip
ol
umiesz zon
y
w
jednoro
dn
ym
p
olu
magnet
y zn
ym
o
induk
ji
B
dziaªa
momen
t
skr a
j¡ y
T
= m × B
(Nm)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
O±ro
dki
materialne
w
p
olu
Ob
e no±¢
mikropr¡dó
w
w
iaªa
h
materialn
y
h
spra
wia,
»e
nie
s¡
one
ob
o
jtne
na
dziaªanie
p
ola
magnet
y znego.
P
ole
to
dziaªa
p
orz¡dkuj¡ o
na
dip
ole
magnet
y zne
istniej¡ e
w
iaªa
h
materialn
y
h.
Efekt
ten
harakteryzuje
w
ektor
namagneso
w
ania
(magnet
yza ji)
M
M
= lim
∆v→0
P
n
∆v
k
=1
M
k
∆v
(A/m)
W
ektor
ten
ma
sens
przestrzennej
gsto± i
momen
tó
w
magnet
y zn
y
h.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
O±ro
dki
materialne
w
p
olu
Do
opisu
p
ola
magnet
y znego
w
o±ro
dk
a
h
materialn
y
h
wpro
w
adza
si
w
ektor
nat»enia
p
ola
H
zde nio
w
an
y
jak
o
H
=
B
µ
0
− M
(A/m)
taki,
»e
∇ × H = J
Zwykle
przyjm
uje
si,
»e
M
= µ
0
χ
m
H
skutkiem
zego
B
= µ
0
(1 + χ
m
)H = µ
0
µ
r
H
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
O±ro
dki
materialne
w
p
olu
Ina zej
B
= µH
przy
zym
µ = µ
0
µ
r
gdzie
µ
r
= 1 + χ
m
jest
wzgldn¡
(relat
ywn¡)
przenik
alno± i¡
magnet
y zn¡
materiaªu
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
O±ro
dki
materialne
w
p
olu
W
zale»no± i
o
d
w
arto± i
przenik
alno± i
wzgldnej
rozró»nia
si
trzy
grup
y
o±ro
dk
ó
w
materialn
y
h
diamagnet
yki
µ
r
≤ 1
(p
o
datno±¢
χ
m
jest
bardzo
maªa
li zb¡
ujemn¡)
paramagnet
yki
µ
r
≥ 1
(p
o
datno±¢
χ
m
jest
bardzo
maªa
li zb¡
do
datni¡)
ferromagnet
yki
µ
r
>> 1
(p
o
datno±¢
χ
m
jest
du»¡
li zb¡
do
datni¡)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
Energia
p
ola
W
p
olu
magnetostat
y zn
ym
energia
jest
rozªo»ona
z
gsto± i¡
przestrzenn¡
w
m
=
1
2
H · B
(J/m
3
)
Sumary zna
energia
zgromadzona
w
obszarze
V
W
m
=
Z
V
w
m
dv =
Z
V
H · B
2
dv
(J)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
Induk
yjno±¢
Stosunek
strumienia
magnet
y znego
sk
o
jarzonego
z
ob
w
o
dem
do
pr¡du
w
t
ym
ob
w
o
dzie
nazyw
am
y
induk
yjno± i¡
wªasn¡
L =
Ψ
I
=
zΦ
I
=
1
I
Z
S
B ·
ds
(H)
Stosunek
strumienia
magnet
y znego
sk
o
jarzonego
z
jedn
ym
ob
w
o
dem
do
pr¡du
w
inn
ym
ob
w
o
dzie
nazyw
am
y
induk
yjno± i¡
wza
jemn¡
L
21
=
Ψ
2
I
1
=
zΦ
2
I
1
=
1
I
1
Z
S
2
B
1
·
ds
2
(H)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
MA
GNETOST
A
TYCZNE
PODSUMO
W
ANIE
POSTULA
TY
∇ · B = 0
⇒
I
S
B ·
ds = 0
∇ × H = J
⇒
I
L
H ·
dl = I
Z
p
ostulató
w
t
y
h
b
ezp
o±rednio
wynik
a
j¡
w
arunki
brzego
w
e
dla
p
ola
magnetostat
y znego
na
grani y
dw
ó
h
o±ro
dk
ó
w
B
2n
= B
1n
1
n
× (H
2
− H
1
) = J
s
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLE
ELEKTR
OMA
GNETOST
A
TYCZNE
FUND
AMENT
ALNE
POSTULA
TY
Elektrostat
yk
a
∇ × E = 0
⇒
I
L
E ·
dl = 0
∇ · D = q
v
⇒
I
S
D ·
ds = Q
V
(S)
D
= ǫE
Magnetostat
yk
a
∇ × H = J
⇒
I
L
H ·
dl = I
S
(L)
∇ · B = 0
⇒
I
S
B ·
ds = 0
B
= µH
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
PRA
W
O
INDUK
CJI
ELEKTR
OMA
GNETYCZNEJ
F
arada
y
(1831)
Pra
w
o
induk
ji
elektromagnet
y znej
∇ × E = −
∂B
∂t
P
ole
elektry zne
to
w
arzysz¡ e
zmiennem
u
p
olu
magnet
y znem
u
jest
wiro
w
e,
zyli
nie
jest
za
ho
w
a
w
ze
i
nie
mo»na
go
wyrazi¢
jak
o
gradien
t
p
oten jaªu
sk
alarnego.
W
p
osta i
aªk
o
w
ej
I
L
E ·
dl = −
Z
S
(L)
∂B
∂t
·
ds
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
PRA
W
O
INDUK
CJI
ELEKTR
OMA
GNETYCZNEJ
De niuj¡
E =
I
L
E ·
dl
jak
o
siª
elektromotory zn¡
induk
o
w
an¡
wzdªu»
k
on
turu
L
oraz
Φ =
Z
S
(L)
B ·
ds
jak
o
strumie«
magnet
y zn
y
przez
p
o
wierz
hni
rozpit¡
na
k
on
turze
L
mo»em
y
napisa¢
E = −
dΦ
dt
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
PRA
W
O
INDUK
CJI
ELEKTR
OMA
GNETYCZNEJ
Pra
w
o
induk
ji
elektromagnet
y znej:
W
zamknit
ym
ob
w
o
dzie
indukuje
si
siªa
elektromotory zna
E
za
wsze
ilekro
¢
ulega
zmianie
w
zasie
strumie«
magnet
y zn
y
ob
jt
y
przez
ob
w
ó
d.
Jest
przy
t
ym
ob
o
jtne
jakie
przy zyn
y
wyw
oªuj¡
zmian
strumienia.
W
arto±¢
induk
o
w
anej
siªy
jest
ró
wna,
z
dokªadno± i¡
do
znaku,
p
o
ho
dnej
zaso
w
ej
strumienia
magnet
y znego
ob
jtego
przez
ob
w
ó
d.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
P
ostulat
y
p
ola
elektromagnetostat
y znegu
uzup
eªnione
pra
w
em
induk
ji
elektromagnet
y znej
pro
w
adz¡
do
ukªadu
ró
wna«
∇ × E = −
∂B
∂t
∇ × H = J
∇ · D = q
v
∇ · B = 0
Dla
p
ól
zmienn
y
h
w
zasie
ukªad
ten
jest
sprze zn
y
z
zasad¡
za
ho
w
ania
ªadunku
elektry znego,
zyli
ró
wnaniem
i¡
gªo± i
∇ · J = −
∂q
v
∂t
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
at
w
o
to
spra
wdzi¢
obli za
j¡
dyw
ergen j
drugiego
z
ró
wna«
"rota yjn
y
h"
∇ · (∇ × H) = 0 = ∇ · J
Ró
wnanie
i¡
gªo± i
b
dzie
sp
eªnione
gdy
p
o
pra
w
ej
stronie
dopiszem
y
∂q
v
/∂t
∇ · (∇ × H) = 0 = ∇ · J +
∂q
v
∂t
= ∇ ·
J
+
∂D
∂t
sk
¡d
wynik
a,
»e
∇ × H = J +
∂D
∂t
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
¡ z¡
to
ró
wnanie
z
p
ozostaªymi
do
ho
dzim
y
do
ró
wna«
Maxw
ella
∇ × E = −
∂B
∂t
∇ × H = J +
∂D
∂t
∇ · D = q
v
∇ · B = 0
Ró
wnania
te,
uzup
eªnione
zwi¡zk
ami
materiaªo
wymi,
opisuj¡
wszystkie
makrosk
op
o
w
e
zja
wisk
a
elektromagnet
y zne.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
Odp
o
wiedniki
aªk
o
w
e
ró
wna«
Maxw
ella
ma
j¡
p
osta¢
I
L
E ·
dl = −
Z
S
(L)
∂B
∂t
·
ds
I
L
H ·
dl =
Z
S
(L)
J
+
∂D
∂t
·
ds
I
S
D ·
ds = Q
V
(S)
I
S
B ·
ds = 0
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
Pr¡d
przesuni ia
Skªadnik
∂D/∂t
p
o
pra
w
ej
stronie
drugiego,
"rota yjnego"
ró
wnania
Maxw
ella
nazyw
a
si
pr¡dem
przesuni ia
J
przes
=
∂D
∂t
=
∂
∂t
(ǫ
0
E
+ P) = ǫ
0
∂E
∂t
+
∂P
∂t
(A/m
2
)
Drugi
skªadnik
de niuje
si
jak
o
pr¡d
p
olaryza yjn
y
J
pol
=
∂P
∂t
(A/m
2
)
Pierwszy
skªadnik,
nieznik
a
j¡ y
na
w
et
w
pró»ni,
wsk
azuj¡ y
,
»e
zmienne
p
ole
elektry zne
jest
¹ró
dªem
p
ola
magnet
y znego,
stano
wi
rdze«
hip
otezy
Maxw
ella!
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
Pr¡d
aªk
o
wit
y
Sum
skªadnik
ó
w
p
o
pra
w
ej
stronie
drugiego,
"rota yjnego"
ró
wnania
Maxw
ella
zsto
nazyw
a
si
pr¡dem
aªk
o
wit
ym
J
calk
= J
przew
+ J
przes
= J
przew
+ J
pol
+ ǫ
0
∂E
∂t
= σE +
∂P
∂t
+ ǫ
0
∂E
∂t
(A/m
2
)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
Bezp
o±rednio
z
ró
wna«
Maxw
ella
wynik
a
j¡
w
arunki
brzego
w
e
okre±la
j¡ e
za
ho
w
anie
si
skªado
wy
h
p
ola
elektromagnet
y znego
na
grani y
dw
ó
h
o±ro
dk
ó
w
E
1t
= E
2t
1
n
× (H
2
− H
1
) = J
s
D
2n
−D
1n
= q
s
B
2n
= B
1n
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
POTENCJA
Y
Z
b
ez¹ró
dªo
w
o± i
p
ola
B
wynik
a,
»e
B
= ∇ × A
P
o
dsta
wia
j¡
wyra»one
w
ten
sp
osób
B
do
pierwszego
ró
wnania
Maxw
ella
mam
y
∇ × E = −
∂
∂t
(∇ × A)
⇒
∇ ×
E
+
∂A
∂t
= 0
sk
¡d
wynik
a,
»e
E
mo»na
przedsta
wi¢
jak
o
E
= −∇V −
∂A
∂t
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
POTENCJA
Y
Jakie
ró
wnania
sp
eªnia
j¡
p
oten jaªy?
Na
p
o
dsta
wie
ró
wnania
∇ × H = J
calk
przy
wyk
orzystaniu
zwi¡zk
ó
w
materiaªo
wy
h
otrzym
ujem
y
∇ × ∇ × A = µJ + µǫ
∂
∂t
−∇V −
∂A
∂t
zyli
∇(∇ · A) − ∇
2
A
= µJ − ∇
µǫ
∂V
∂t
− µǫ
∂
2
A
∂t
2
alb
o
∇
2
A
− µǫ
∂
2
A
∂t
2
= −µJ + ∇
∇ · A + µǫ
∂V
∂t
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
POTENCJA
Y
Przyjm
uj¡
tzw.
e
ho
w
anie
Loren
tza
dla
p
oten jaªo
w
∇ · A + µǫ
∂V
∂t
= 0
otrzym
ujem
y
∇
2
A
− µǫ
∂
2
A
∂t
2
= −µJ
zyli
niejednoro
dne
ró
wnanie
falo
w
e
dla
magnet
y znego
p
oten jaªu
w
ektoro
w
ego
A
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
POTENCJA
Y
Ró
wnanie
dla
p
oten jaªu
sk
alarnego
otrzymam
y
wy
ho
dz¡
z
∇ · D = q
v
.
Mam
y
−∇ · ǫ
∇V +
∂A
∂t
= q
v
sk
¡d,
przy
zaªo»eniu
staªego
ǫ
,
otrzym
ujem
y
∇
2
V +
∂
∂t
(∇ · A) = −
q
v
ǫ
W
yk
orzystuj¡
w
arunek
Loren
tza
otrzym
ujem
y
ostate znie
∇
2
V − µǫ
∂
2
V
∂t
2
= −
q
v
ǫ
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
POTENCJA
Y
Rozwi¡zania
ró
wna«
falo
wy
h
dla
p
oten jaªó
w
ma
j¡
p
osta¢
V (R, t) =
1
4πǫ
Z
V
q
v
(t − R/u)
R
dv
(V)
A
(R, t) =
µ
4π
Z
V
J
(t − R/u)
R
dv
(Wb/m)
gdzie
u = 1/
√
ǫµ
jest
prdk
o± i¡
roz
ho
dzenia
si
zaburzenia
elektromagne-
t
y znego.
Jak
wida¢
oba
rozwi¡zania
ma
j¡
harakter
p
oten jaªó
w
op
ó¹nion
y
h.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
Obszar
b
ez
¹ró
deª
(
q
v
= 0, J = 0
)
Ró
wnania
Maxw
ella
w
"prost
ym"
o±ro
dku
b
ez
¹ró
deª
p
ola
przyjm
uj¡
p
osta¢
∇ × E = −µ
∂H
∂t
∇ × H = ǫ
∂E
∂t
∇ · D = 0
∇ · B = 0
Bior¡
rota j
obu
stron
pierwszego
ró
wnania
i
wyk
orzystuj¡
drugie
otrzym
ujem
y
∇ × ∇ × E = −µ
∂
∂t
(∇ × H) = −µǫ
∂
2
E
∂t
2
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
ZMIENNE
W
CZASIE
Obszar
b
ez
¹ró
deª
(
q
v
= 0, J = 0
)
Uwzgldnia
j¡ ,
»e
w
rozw
a»an
ym
przypadku
∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∇
2
E
= −∇
2
E
i
ozna za
j¡
u = 1/√µǫ
otrzym
ujem
y
∇
2
E
−
1
u
2
∂
2
E
∂t
2
= 0
W
analogi zn
y
sp
osób
do
ho
dzim
y
do
ró
wnania
dla
p
ola
H
∇
2
H
−
1
u
2
∂
2
H
∂t
2
= 0
S¡
to
jednoro
dne
w
ektoro
w
e
ró
wnania
falo
w
e.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
SINUSOID
ALNIE
PRZEMIENNE
Nota ja
sym
b
oli zna
W
e¹m
y
p
ole
elektry zne
E
= E
x
+ E
y
= 1
x
E
0x
cos(ωt + φ
x
) + 1
y
E
0y
cos(ωt + φ
y
)
= 1
x
Re{E
0x
e
jφ
x
e
jωt
} + 1
y
Re{E
0y
e
jφ
y
e
jωt
}
= Re{(1
x
E
0x
e
jφ
x
+ 1
y
E
0y
e
jφ
y
)e
jωt
}
= Re{E
0
e
jωt
}
gdzie
E
0
= 1
x
E
0x
e
jφ
x
+ 1
y
E
0y
e
jφ
y
jest
zesp
olon¡
amplitud¡
p
ola
E
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
DLA
PÓL
SINUSOID
ALNIE
PRZEMIENNYCH
W
e¹m
y
pierwsze
ró
wnanie
"rota yjne"
∇ × E = −µ
∂H
∂t
Dla
p
ól
sin
usoidalnie
przemienn
y
h
mam
y
∇ × Re{E
0
e
jωt
} = −µ
∂
∂t
Re{H
0
e
jωt
}
zyli
∇ × E
0
= −jωµH
0
gdzie
E
0
i
H
0
ozna za
j¡
amplitudy
zesp
olone
p
ól
E
i
H
,
o
dp
o
wiednio.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
DLA
PÓL
SINUSOID
ALNIE
PRZEMIENNYCH
∇ × E = −jωµH
∇ × H = J + jωǫE
∇ · D = q
v
∇ · B = 0
gdzie
E
,
H
,
D
,
B
i
q
v
ozna za
j¡
zesp
olone
amplitudy
o
dp
o
wiedni
h
wielk
o± i.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
O±ro
dek
nieprzew
o
dz¡ y
b
ez
¹ró
deª
W
"prost
ym"
o±ro
dku
nieprzew
o
dz¡ ym
b
ez
ªadunku
przestrzennego
(
σ = 0, J = 0, q
v
= 0
)
ró
wnania
Maxw
ella
redukuj¡
si
do
p
osta i
∇ × E = −jωµH
∇ × H = jωǫE
∇ · E = 0
∇ · H = 0
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
O±ro
dek
nieprzew
o
dz¡ y
b
ez
¹ró
deª
W
"prost
ym"
o±ro
dku
nieprzew
o
dz¡ ym
b
ez
ªadunku
przestrzennego
ró
wnania
falo
w
e
dla
p
ól
E
i
H
przyjm
uj¡
p
osta¢
jednoro
dn
y
h
ró
wna«
Helmholtza
∇
2
E
+ k
2
E
= 0
∇
2
H
+ k
2
H
= 0
w
który
h
k = ω
√
ǫµ =
ω
u
=
2π
λ
ozna za
li zb
falo
w
¡
o±ro
dk
a.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
O±ro
dek
przew
o
dz¡ y
b
ez
ªadunku
przestrzennego
W
o±ro
dku
przew
o
dz¡ ym
(σ 6= 0)
gsto±¢
pr¡du
J
= σE
jest
niezero
w
a,
skutkiem
zego
∇ × H = J + jωǫE = (σ + jωǫ)E = jω(ǫ − j
σ
ω
)E = jωǫE
gdzie
ǫ = ǫ − j
σ
ω
jest
zastp
z¡
zesp
olon¡
przenik
alno± i¡
elektry zn¡
o±ro
dk
a.
K
onsekw
en
tnie
mo»em
y
te»
zde nio
w
a¢
wzgldn¡
zastp
z¡
zesp
olon¡
przenik
alno± i¡
elektry zn¡
ǫ
r
=
ǫ
ǫ
0
= ǫ
r
− j
σ
ωǫ
0
≈ ǫ
r
− j60λ
0
σ
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
O±ro
dek
przew
o
dz¡ y
W
analizo
w
an
ym
o±ro
dku
przew
o
dz¡ ym
ró
wnania
Maxw
ella
przyjm
uj¡
wi
p
osta¢
∇ × E = −jωµH
∇ × H = jωǫE
∇ · E = 0
∇ · H = 0
formalnie
iden
t
y zn¡
z
ró
wnaniami
opisuj¡ ymi
p
ole
w
o±ro
dku
nieprzew
o
dz¡ ym.
Jedyna
ró»ni a
p
olega
na
p
o
ja
wieniu
si
w
drugim
ró
wnaniu
przenik
alno± i
zesp
olonej.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
R
Ó
WNANIA
MAXWELLA
O±ro
dek
przew
o
dz¡ y
Stosunek
z± i
uro
jonej
zastp
zej
przenik
alno± i
elektry znej
do
z± i
rze zywistej
tej
przenik
alno± i
jest
ró
wn
y
stosunk
o
wi
pr¡du
przew
o
dzenia
do
pr¡du
przesuni ia
w
o±ro
dku
i
de niuje
si
go
jak
o
jak
o
tangens
k
¡ta
stratno± i
o±ro
dk
a
tg δ =
σ/ω
ǫ
=
σ
ωǫ
=
σ/(ωǫ
0
)
ǫ
r
≈
60λ
0
σ
ǫ
r
O±ro
dek,
dla
którego
σ >> ωǫ
jest
dobrym
przew
o
dnikiem.
Gdy
σ << ωǫ
,
to
o±ro
dek
kw
ali kuje
si
jak
o
dobry
izolator
(dielektryk).
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
SINUSOID
ALNIE
PRZEMIENNE
POTENCJA
Y
Ró
wnania
falo
w
e
dla
p
oten jaªó
w
elektro
dynami zn
y
h
p
ól
sin
usoidalnie
przemienn
y
h
przyjm
uj¡
p
osta¢
niejednoro
dn
y
h
ró
wna«
Helmholtza
∇
2
A
+ k
2
A
= −µJ
∇
2
V + k
2
V = −
q
v
ǫ
gdzie
k
ozna za
li zb
falo
w
¡
o±ro
dk
a.
W
arunek
Loren
tza
∇ · A + jωµǫV = 0
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
POLA
SINUSOID
ALNIE
PRZEMIENNE
POTENCJA
Y
Rozwi¡zania
ró
wna«
Helmholtza
dla
p
oten jaªó
w
ma
j¡
p
osta¢
V (R) =
1
4πǫ
Z
V
q
v
e
−
jkR
R
dv
(V)
A
(R) =
µ
4π
Z
V
J
e
−
jkR
R
dv
(Wb/m)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
F
ala
w
w
olnej
przestrzeni
Rozwi¡zanie
ró
wnania
Helmholtza
∇
2
E
+ k
2
0
E
= 0
dla
zesp
olonej
amplitudy
w
ektora
nat»enia
p
ola
elektry znego
w
w
olnej
przestrzeni
(tj.
w
nieograni zon
ym,
nieprzew
o
dz¡ ym
(
σ = 0
)
o±ro
dku
o
parametra
h
ǫ
0
,
µ
0
)
ma
p
osta¢
E
x
(z) = 1
x
E
x
(z) = 1
x
(E
+
x
(z)+E
−
x
(z)) = 1
x
(E
+
0
e
−
jk
0
z
+E
−
0
e
jk
0
z
)
gdzie
k
0
= ω
√
ǫ
0
µ
0
=
ω
c
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
F
ala
w
w
olnej
przestrzeni
W
e¹m
y
p
o
d
u
w
ag
pierwszy
skªadnik
rozwi¡zania,
tzn.
E
+
x
(z) = 1
x
E
+
x
(z) = 1
x
E
+
0
e
−
jk
0
z
i
o
dp
o
wiada
j¡ y
m
u
rze zywist
y
przebieg
zaso
w
o-przestrzenn
y
E
+
x
(z, t) = 1
x
Re{E
+
0
e
−
jk
0
z
e
jωt
} = 1
x
E
+
0
cos(ωt − k
o
z)
Przebieg
ten
reprezen
tuje
fal
przemiesz za
j¡ ¡
si
w
kierunku
wzrasta
j¡ ej
wsp
óªrzdnej
z
z
prdk
o± i¡
fazo
w
¡
u =
ω
k
0
= c
⇒
k
0
=
ω
c
=
2π
λ
0
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
F
ala
w
w
olnej
przestrzeni
Sk
o
jarzone
z
E
+
x
(z)
p
ole
magnet
y zne
nietrudno
wyzna zy¢
z
pierwszego
"rota yjnego"
ró
wnania
Maxw
ella;
w
ten
sp
osób
otrzym
ujem
y
H
+
y
(z) =
k
0
ωµ
0
E
+
x
(z) =
1
η
0
E
+
x
(z)
gdzie
η
0
=
r µ
0
ǫ
0
≈ 120π ≈ 377
ozna za
imp
edan j
wªa± iw
¡
w
olnej
przestrzeni
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
F
ala
w
w
olnej
przestrzeni
Przebieg
zaso
w
o-przestrzenn
y
p
ola
magnet
y znego
H
+
y
(z, t) = 1
y
Re{H
+
y
(z)e
jωt
} = 1
y
E
+
0
η
0
cos(ωt − k
o
z)
Przebieg
ten,
p
o
dobnie
jak
przebieg
p
ola
elektry znego,
reprezen
tuje
fal
przemiesz za
j¡ ¡
si
w
kierunku
wzrasta
j¡ ej
wsp
óªrzdnej
z
z
prdk
o± i¡
fazo
w
¡
ró
wn¡
prdk
o± i
±wiatªa.
Oba
przebiegi
razem
wzite
reprezen
tuj¡
fal
TEM,
tzn.
pªask
¡
jednoro
dn¡
fal
elektromagnet
y zn¡
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
Wªa± iw
o± i
•
w
ektory
E
i
H
,
reprezen
tuj¡ e
skªado
w
e
elektry zn¡
i
magnet
y zn¡
fali,
o
dp
o
wiednio,
s¡
wza
jemnie
prostopadªe
i
razem
s¡
prostopadªe
do
kierunku
roz
ho
dzenia
si
fali,
•
amplitudy
skªado
wy
h
elektry znej
i
magnet
y znej
s¡
p
o
wi¡zane
imp
edan j¡
falo
w
¡
o±ro
dk
a,
•
p
o
wierz
hnie
jednak
o
w
ej
amplitudy
i
jednak
o
w
ej
fazy
fali
s¡
pªasz zyznami
dlatego
rozw
a»an¡
fal
nazyw
am
y
fal¡
pªask
¡.
P
oniew
a»
pªasz zyzn
y
te
s¡
ró
wnolegªe,
fal
nazyw
am
y
jednoro
dn¡.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
F
ala
w
o±ro
dku
stratn
ym
Ró
wnanie
Helmholtza
dla
zesp
olonej
amplitudy
w
ektora
nat»enia
p
ola
elektry znego
w
o±ro
dku
stratn
ym
ma
p
osta¢
∇
2
E
+ k
2
E
= 0
w
której
k = ω
√
ǫµ
Kªad¡
γ = jk = jω
√
ǫµ = α + jβ
przeksztaªa am
y
ró
wnanie
Helmholtza
do
p
osta i
∇
2
E
− γ
2
E
= 0
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
F
ala
w
o±ro
dku
stratn
ym
Rozwi¡zanie
o
dp
o
wiada
j¡ e
zesp
olonej
amplitudzie
fali
roz
ho
dz¡ ej
si
w
kierunku
osi
z
ma
p
osta¢
E
+
x
(z) = 1
x
E
+
x
(z) = 1
x
E
+
0
e
−
γz
= 1
x
E
+
0
e
−
αz
e
−
jβz
a
o
dp
o
wiada
j¡ y
m
u
przebieg
zaso
w
o-przestrzenn
y
E
+
x
(z, t) = 1
x
Re{E
+
0
e
−
γz
e
jωt
} = 1
x
E
+
0
e
−
αz
cos(ωt − βz)
Przebieg
ten
reprezen
tuje
fal
tªumion¡,
przemiesz za
j¡ ¡
si
w
kierunku
wzrasta
j¡ ej
wsp
óªrzdnej
z
z
prdk
o± i¡
fazo
w
¡
u =
ω
β
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
F
ala
w
o±ro
dku
stratn
ym
Zesp
olona
amplituda
skªado
w
ej
magnet
y znej
tej
fali
H
+
y
(z) =
1
η
E
+
x
(z)
a
o
dp
o
wiada
j¡ y
jej
przebieg
zaso
w
o-przestrzenn
y
H
+
y
(z, t) = 1
y
Re{H
+
y
(z)e
jωt
} = 1
y
E
+
0
η
cos(ωt − k
o
z)
gdzie
η =
r
µ
ǫ
ozna za
imp
edan j
wªa± iw
¡
o±ro
dk
a
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
P
arametry
falo
w
e
W
sp
óª zynnik
propaga ji
γ = α + jβ = jk = jk
0
√
ǫ
r
α
wsp
óª zynnik
tªumienia
β
wsp
óª zynnik
fazy
Gªb
ok
o±¢
wnik
ania
δ =
1
α
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
P
arametry
falo
w
e
Prdk
o±¢
fazo
w
a
fali
w
o±ro
dku
u =
ω
β
Dªugo±¢
fali
w
o±ro
dku
λ =
u
f
=
2π
β
Imp
edan ja
falo
w
a
(wªa± iw
a)
o±ro
dk
a
η =
r
µ
ǫ
=
µ
=µ
0
−−−→ =
r
µ
0
ǫ
0
ǫ
r
=
η
0
√
ǫ
r
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
Obli zanie
parametró
w
falo
wy
h
W
sp
óª zynnik
propaga ji
γ = α + jβ = jk = jk
0
√
ǫ
r
Ozna zm
y
√
ǫ
r
=
pǫ
r
− j60λ
0
σ = n − jp
Przyró
wn
uj¡ ,
o
dp
o
wiednio,
z± i
rze zywiste
i
uro
jone
li zb
zesp
olon
y
h
p
o
obu
strona
h
ro
wnania
otrzym
ujem
y
ǫ
r
= n
2
− p
2
60λ
0
σ = 2np
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
Obli zanie
parametró
w
falo
wy
h
sk
¡d
n
p
=
r 1
2
h
±ǫ
r
+
pǫ
2
r
+ (60λ
0
σ)
2
i
przy
zym
znak
plus
bierzem
y
przy
obli zaniu
n
,
natomiast
znak
min
us
przy
obli zaniu
p
.
Ostate znie
wpro
w
adzam
y
n
i
p
do
wzoru
na
wsp
óª zynnik
propaga ji
i
otrzym
ujem
y
α = k
0
p
β = k
0
n
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
Obli zanie
parametró
w
falo
wy
h
Nietrudno
tak»e
wyrazi¢
przez
n
i
p
wszystkie
inne
parametry
falo
w
e.
Dla
prakt
yki
obli zenio
w
ej
zwykle
wygo
dnie
jest
wyró»ni¢
dw
a
przypadki
sz zególne,
tzn.
przypadek
o±ro
dk
a
o
maªy
h
strata
h
(sªab
o
przew
o
dz¡ ego)
i
przypadek
o±ro
dk
a
o
du»y
h
strata
h
(dobrze
przew
o
dz¡ ego).
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
Obli zanie
parametró
w
falo
wy
h
O±ro
dek
sªab
o
przew
o
dz¡ y
(ǫ
r
>> 60λ
0
σ)
n ≈
√
ǫ
r
1 +
1
8
60λ
0
σ
ǫ
r
2
!
≈
√
ǫ
r
p ≈
30λ
0
σ
√
ǫ
r
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
Obli zanie
parametró
w
falo
wy
h
W
rezulta ie
•
wsp
óª zynnik
tªumienia
α = k
0
p ≈
2π
λ
0
30λ
0
σ
√
ǫ
r
=
60πσ
√
ǫ
r
•
wsp
óª zynnik
fazy
β = k
0
n ≈
2π
λ
0
√
ǫ
r
•
prdk
o±¢
fazo
w
a
u
roz
ho
dzenia
si
fali
w
o±ro
dku
u =
ω
β
=
ω
k
0
n
=
ω
ω√ǫ
0
µ
0
√
ǫ
r
=
c
√
ǫ
r
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
Obli zanie
parametró
w
falo
wy
h
•
dªugo±¢
fali
w
o±ro
dku
λ =
u
f
=
c
√
ǫ
r
T =
λ
0
√
ǫ
r
•
imp
edan ja
falo
w
a
(
harakteryst
y zna)
o±ro
dk
a
η =
r
µ
0
ǫ
r
ǫ
0
=
η
0
√
ǫ
r
=
η
0
n − jp
≈
η
0
√
ǫ
r
1 + j
30λ
0
σ
ǫ
r
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
Obli zanie
parametró
w
falo
wy
h
O±ro
dek
dobrze
przew
o
dz¡ y
(ǫ
r
<< 60λ
0
σ)
W
t
ym
przypadku
mam
y
n ≈ p ≈
p30λ
0
σ
(1)
i
w
rezulta ie
•
wsp
óª zynniki
tªumienia
i
fazy
α ≈ β ≈ k
0
p30λ
0
σ = 2π
r 30σ
λ
0
= 2π
r 30σf
c
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
Obli zanie
parametró
w
falo
wy
h
•
prdk
o±¢
fazo
w
a
fali
w
o±ro
dku
u =
ω
β
=
c
√
30λ
0
σ
•
dªugo±¢
fali
w
o±ro
dku
λ =
u
f
=
λ
0
√
30λ
0
σ
•
imp
edan ja
falo
w
a
(wªa± iw
a)
o±ro
dk
a
η =
η
0
√
ǫ
r
=
η
0
2
√
30λ
0
σ
(1 + j)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
P
olaryza ja
fali
P
olaryza ja
jest
wªa± iw
o± i¡
harakteryzuj¡ ¡
za
ho
w
anie
si
w
zasie
w
ektora
nat»enia
p
ola
elektry znego
fali
elektromagnet
y znej.
P
olaryza j
okre±la
si
obserwuj¡
krzyw
¡,
jak
¡
kre±li
w
zasie
k
onie
w
ektora
nat»enia
p
ola
E
fali
o
ddala
j¡ ej
si
o
d
obserw
atora.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
P
olaryza ja
fali
W
e¹m
y
p
o
d
u
w
ag
pªask
¡,
jednoro
dn¡
fal
elektromagnet
y zn¡,
roz
ho
dz¡ ¡
si
w
kierunku
osi
z
k
artezja«skiego
ukªadu
wsp
óªrzdn
y
h.
Przyjmijm
y
,
»e
w
ektor
E
tej
fali
ma
dwie
ortogonalne
skªado
w
e,
tzn.
E
= 1
x
E
x
+ 1
y
E
y
o
dp
o
wiada
j¡ e
przebiegom
zaso
w
o-przestrzenn
ym
E
x
= E
x
(z, t) = E
1
cos(ωt − βz)
E
y
= E
y
(z, t) = E
2
cos(ωt − βz + ϕ)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
P
olaryza ja
fali
W
pªasz zy¹nie
z = 0
mam
y
E
x
(0, t) = E
1
cos ωt
E
y
(0, t) = E
2
cos(ωt + ϕ)
Z
ró
wna«
t
y
h
otrzym
ujem
y
cos ωt =
E
x
(0, t)
E
1
oraz
cos ωt cos ϕ − sin ωt sin ϕ =
E
y
(0, t)
E
2
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
P
olaryza ja
fali
Z
jedynki
trygonometry znej
otrzym
ujem
y
E
x
(0, t)
E
1
2
−
2E
x
(0, t)E
y
(0, t) cos ϕ
E
1
E
2
+
E
y
(0, t)
E
2
2
= sin
2
ϕ
o
nietrudno
ziden
t
y k
o
w
a¢
jak
o
ró
wnanie
elipsy
w
e
wsp
óªrzdn
y
h
E
x
(0, t), E
y
(0, t)
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
P
olaryza ja
fali
elipsa
p
olaryza ji
Ey(0,t)
Ex(0,t)
E
1
E
2
O
A
B
t
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
P
olaryza ja
fali
Do
ho
dzim
y
zatem
do
wniosku,
»e
k
onie
w
ektora
E
obserw
o
w
anego
w
pªasz zy¹nie
z = 0
kre±li
w
zasie
elips.
Do
iden
t
y znego
wniosku
pro
w
adzi
obserw
a ja
w
ektora
E
w
jakiejk
olwiek
innej
pªasz zy¹nie
prostopadªej
do
kierunku
propaga ji
fali.
Mó
wim
y
,
»e
fala
ma
p
olaryza j
elipt
y zn¡
.
Kierunek
wiro
w
ania
w
ektora
E
okre±la
tzw.
skrtno±¢
p
olaryza ji
;
gdy
w
ektor
E
wiruje
w
kierunku
zgo
dn
ym
z
ru
hem
wsk
azó
w
ek
zegara
mó
wim
y
o
p
olaryza ji
pr
awoskr
tnej,
a
gdy
w
kierunku
prze iwn
ym
o
p
olaryza ji
lewoskr
tnej.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
P
olaryza ja
fali
elipsa
p
olaryza ji
Dªugo± i
p
óªosi
OA
i
OB
elipsy
p
olaryza ji
okre±la
wzór
OA
OB
=
s
1
2
E
2
1
+ E
2
2
±
q
E
4
1
+ E
4
2
+ 2E
2
1
E
2
2
cos 2ϕ
(2)
natomiast
k
¡t
τ
na
h
ylenia
du»ej
osi
elipsy
wzgldem
osi
piono
w
ej
ukªadu
wsp
óªrzdn
y
h
τ =
π
2
−
1
2
arctg
2E
1
E
2
E
2
1
− E
2
2
cos ϕ
(3)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
P
olaryza ja
fali
elipsa
p
olaryza ji
W
a»n
ym
parametrem
elipsy
p
olaryza ji
jest
jej
wsp
óª zynnik
osio
wy
AR
(ang.
Axial
Ratio),
zde nio
w
an
y
jak
o
stosunek
dªugo± i
du»ej
p
óªosi
do
dªugo± i
maªej
p
óªosi,
zyli
AR =
OA
OB
1 ≤ AR ≤ ∞
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
P
olaryza ja
fali
W
ogóln
ym
przypadku,
tzn.
wtedy
,
gdy
w
ektor
nat»enia
p
ola
elektry znego
fali
ma
dwie
ortogonalne
skªado
w
e
przesunite
wzgldem
siebie
w
e
fazie,
fala
ma
p
olaryza j
elipt
y zn¡
.
Sz zególn
ymi
przypadk
ami
p
olaryza ji
elipt
y znej
s¡
p
olaryza ja
k
oªo
w
a
i
p
olaryza ja
linio
w
a
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
PASKA
F
ALA
ELEKTR
OMA
GNETYCZNA
P
olaryza ja
fali
F
ala
ma
p
olaryza j
k
oªo
w
¡
wtedy
,
gdy
w
ektor
E
ma
dwie
ortogonalne
skªado
w
e
o
takiej
samej
amplitudzie
przesunite
w
fazie
o
k
¡t
ϕ = ±90
◦
.
Znak
k
¡ta
przesuni ia
fazo
w
ego
determin
uje
skrtno±¢
p
olaryza ji
(lew
o-
alb
o
pra
w
oskrtna).
W
stanie
p
olaryza ji
k
oªo
w
ej
k
onie
w
ektora
E
kre±li
w
zasie
okr¡
g.
Z
p
olaryza j¡
linio
w
¡
mam
y
do
zynienia
wtedy
,
gdy
w
ektor
E
ma
t
ylk
o
jedn¡
skªado
w
¡,
a
wi
jest
za
wsze
skiero
w
an
y
wzdªu»
tej
samej
prostej.
Mo»na
te»
p
o
wiedzie¢,
»e
stan
p
olaryza ji
linio
w
ej
osi¡
ga
si
wtedy
,
gdy
E
ma
dwie
wza
jemnie
ortogonalne
skªado
w
e
w
fazie
lub
w
prze iwfazie.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
W
pro
w
adzenie
F
ala
elektromagnet
y zna
pada
j¡
na
grani
rozdziela
j¡ ¡
dw
a
o±ro
dki
o
ró»n
y
h
parametra
h
elektry zn
y
h
z± io
w
o
o
dbija
si,
z± io
w
o
za±
prze
ho
dzi
przez
t
grani .
Zja
wisk
o
to
opiszem
y
ilo± io
w
o.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
W
pro
w
adzenie
θ
r
θ
t
1
r
1
t
E
r
H
r
E
t
H
t
z
x
ε
1,
µ
1
ε
2,
µ
2
E
i
H
i
1
i
θ
i
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
W
pro
w
adzenie
Wielk
o± i
sk
o
jarzone
z
fal¡
pada
j¡ ¡
b
d¡
opatrzone
indeksem
i
(o
d
ang.
in ident),
sk
o
jarzone
z
fal¡
o
dbit¡
indeksem
r
(o
d
ang.
r
e e
te
d),
sk
o
jarzone
za±
z
fal¡
prze
ho
dz¡ ¡
indeksem
t
(o
d
ang.
tr
ansmitte
d).
Kierunek,
z
którego
pada
fala
okre±la
w
ektor
jednostk
o
wy
1
i
.
W
ektor
ten
i
prosta
lok
alnie
prostopadªa
do
pªasz zyn
y
grani znej
w
punk
ie
padania
wyzna za
j¡
pªasz zyzn
p
adania.
Mo»na
udo
w
o
dni¢,
»e
w
pªasz zy¹nie
tej
le»¡
tak»e
w
ektory
okre±la
j¡ e,
o
dp
o
wiednio,
kierunek
fali
o
dbitej
o
d
p
o
wierz
hni
grani znej
i
kierunek
fali
prze
ho
dz¡ ej
do
drugiego
o±ro
dk
a.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
W
pro
w
adzenie
Charakter
zja
wisk
a
o
dbi ia/zaªamania
fali
na
grani y
o±ro
dk
ó
w
zale»y
o
d
p
olaryza ji
fali.
Klu zo
w
e
zna zenie
ma
w
t
ym
k
on
tek± ie
st
wierdzenie,
»e
jednoro
dn¡
fal
pªask
¡
sp
olaryzo
w
an¡
w
do
w
oln
ym
kierunku
za
wsze
mo»na
rozªo»y¢
na
dwie
skªado
w
e
jedn¡
sp
olaryzo
w
an¡
prostopadle
i
drug¡
sp
olaryzo
w
an¡
ró
wnolegle
do
pªasz zyzn
y
padania.
W
ynik
a
st¡d,
»e
przypadki
p
olaryza ji
prostopadªej
i
ró
wnolegªej
(alb
o
p
oziomej
i
piono
w
ej)
mog¡
b
y¢
analizo
w
ane
o
ddzielnie,
a
rozwi¡zanie
ogólne
mo»na
zªo»y¢
z
otrzyman
y
h
w
ten
sp
osób
rozwi¡za«
z¡stk
o
wy
h.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
Pra
w
a
o
dbi ia
i
zaªamania
W
sp
óln¡
wªa± iw
o± i¡
fal
o
p
olaryza ji
p
oziomej
i
piono
w
ej
jest
to,
»e
na
grani y
o±ro
dk
ó
w
sp
eªnia
j¡
one
te
same,
znane
z
opt
yki
pra
w
a
o
dbi ia
i
zaªamania,
tzn.
θ
r
= θ
i
sin θ
t
sin θ
i
=
u
2
u
1
=
n
1
n
2
Pierwsze
z
t
y
h
pra
w
orzek
a,
»e
k
¡t
o
dbi ia
fali
jest
ró
wn
y
k
¡to
wi
padania.
Drugie
natomiast
mó
wi,
»e
stosunek
sin
usa
k
¡ta
zaªamania
fali
do
sin
usa
k
¡ta
padania
jest
ró
wn
y
stosunk
o
wi
u
2
/u
1
prdk
o± i
fazo
wy
h
roz
ho
dzenia
si
fali
w
o±ro
dk
a
h.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
Pra
w
a
o
dbi ia
i
zaªamania
Wi¡»¡
prdk
o± i
fazo
w
e
z
przenik
alno± iami
o±ro
dk
ó
w
otrzym
ujem
y
sin θ
t
sin θ
i
=
r
ǫ
1
µ
1
ǫ
2
µ
2
=
µ
1
=µ
2
=µ
0
−−−−−−−→ =
r ǫ
1
ǫ
2
=
r ǫ
r
1
ǫ
r
2
Gdy
fala
pada
z
p
o
wietrza,
to
ǫ
r
1
= 1
,
n
1
= 1
i
w
rezulta ie
sin θ
t
sin θ
i
=
1
√
ǫ
r
2
=
1
n
2
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
Caªk
o
wite
o
dbi ie
Z
in
teresuj¡ ¡
sytua j¡
mam
y
do
zynienia
wtedy
,
gdy
ǫ
1
> ǫ
2
,
tzn.
gdy
fala
pada
na
grani
o±ro
dk
a
rzadszego.
Wtedy
przy
p
ewnej
w
arto± i
k
¡ta
padania
k
¡t
zaªamania
przyjm
uje
w
arto±¢
π/2
i
mam
y
do
zynienia
z
aªk
o
wit
ym
o
dbi iem
.
W
arto±¢
k
¡ta
kryt
y znego
θ
c
okre±la
ró
wnanie
sin θ
c
=
r ǫ
2
ǫ
1
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
W
sp
óª zynniki
F
resnela
Odbi ie
i
zaªamanie
fali
na
grani y
o±ro
dk
ó
w
harakteryzuj¡
ilo± io
w
o
tzw.
wsp
óª zynniki
F
resnela
o
dbi ia
R
i
transmisji
T
.
Wi¡»¡
one
zesp
olone
amplitudy
fal
o
dbitej
(E
r
)
i
zaªamanej,
zyli
prze
ho
dz¡ ej
do
drugiego
o±ro
dk
a,
(E
t
)
,
z
zesp
olon¡
amplitud¡
E
i
fali
pada
j¡ ej.
W
sp
óª zynniki
F
resnela
dla
fali
o
p
olaryza ji
p
oziomej
i
fali
o
p
olaryza ji
piono
w
ej
s¡
ró»ne.
Ina zej
mó
wi¡
fale
te
ina zej
za
ho
wuj¡
si
na
grani y
o±ro
dk
ó
w.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
P
olaryza ja
p
ozioma
O
p
olaryza ji
p
oziomej
mó
wim
y
wtedy
,
gdy
w
ektor
nat»enia
p
ola
elektry znego
jest
prostopadªy
do
pªasz zyzn
y
padania,
a
wi
ró
wnolegªy
do
pªasz zyzn
y
rozdziela
j¡ ej
oba
o±ro
dki.
P
olaryza j
p
oziom¡
zsto
okre±la
si
jak
o
p
olaryza j
TE
(ang.
T
r
ansverse
Ele
tri ).
P
oniew
a»
trady yjnie
stoso
w
ana
terminologia
jest
tuta
j
nie o
za
wikªana,
p
o
dkre±lm
y
wyra¹nie,
»e
okre±lenia
p
olaryza ja
p
ozioma,
p
olaryza ja
TE
i
p
olaryza ja
prostopadªa
o
dnosz¡
si
do
tego
samego
stan
u
p
olaryza ji
fali
i
jak
o
takie
s¡
u»yw
ane
zamiennie!
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
P
olaryza ja
p
ozioma
wsp
óª zynniki
F
resnela
R
H
=
E
r
E
i
=
η
2
cos θ
i
− η
1
cos θ
t
η
2
cos θ
i
+ η
1
cos θ
t
T
H
=
E
t
E
i
=
2η
2
cos θ
i
η
2
cos θ
i
+ η
1
cos θ
t
Indeks
H
w
t
y
h
wzora
h
sygnalizuje,
»e
o
dnosz¡
si
one
do
fali
o
p
olaryza ji
p
oziomej.
W
sp
óª zynniki
R
H
i
T
H
sp
eªnia
j¡
nastpuj¡ y
zwi¡zek:
1 + R
H
= T
H
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
P
olaryza ja
p
ozioma
wsp
óª zynniki
F
resnela
Je±li
θ
i
= 0
,
tzn.
fala
pada
prostopadle
na
grani
o±ro
dk
ó
w,
to
na
p
o
dsta
wie
pra
w
o
dbi ia
i
zaªamania
mam
y
θ
r
= θ
t
= 0
i
wzory
na
wsp
óª zynniki
F
resnela
uprasz za
j¡
si
do
p
osta i
R
H
=
E
r
E
i
=
η
2
− η
1
η
2
+ η
1
T
H
=
E
t
E
i
=
2η
2
η
2
+ η
1
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
P
olaryza ja
p
ozioma
wsp
óª zynniki
F
resnela
Je±li
o±ro
dek
2
jest
dosk
onaªym
przew
o
dnikiem,
to
η
2
= 0
i
w
rezulta ie
R
H
= −1
T
H
= 0
o
ozna za,
»e
E
r
= −E
i
i
E
t
= 0
.
Jak
nale»aªo
o
zekiw
a¢,
p
ole
elektry zne
w
przew
o
dniku
i
skªado
w
a
st
y zna
tego
p
ola
przy
p
o
wierz
hni
przew
o
dnik
a
zeruj¡
si
(znik
a
j¡),
skutkiem
zego
nie
ma
transp
ortu
energii
elektromagnet
y znej
w
gª¡b
przew
o
dnik
a.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
P
olaryza ja
piono
w
a
O
p
olaryza ji
piono
w
ej
mó
wim
y
wtedy
,
gdy
w
ektor
nat»enia
p
ola
elektry znego
le»y
w
pªasz zy¹nie
padania
zyli
jest
do
niej
ró
wnolegªy.
Z
tego
p
o
w
o
du
p
olaryza j
p
oziom¡
zsto
okre±la
si
zamiennie
jak
o
p
olaryza j
r
ównole
gª¡
alb
o
p
olaryza j
TM
(ang.
T
r
ansverse
Magneti ),
b
o
w
ektor
nat»enia
p
ola
magnet
y znego
jest
w
rozw
a»anej
sytua ji
prostopadªy
(transw
ersaln
y)
do
pªasz zyzn
y
padania.
Zatem
okre±lenia
p
olaryza ja
piono
w
a,
p
olaryza ja
TM
i
p
olaryza ja
ró
wnolegªa
o
dnosz¡
si
do
tego
samego
stan
u
p
olaryza ji
fali
i
jak
o
takie
mog¡
b
y¢
i
s¡
u»yw
ane
zamiennie.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
P
olaryza ja
piono
w
a
θ
r
θ
t
1
r
1
t
E
r
H
r
E
t
H
t
z
x
ε
1,
µ
1
ε
2,
µ
2
E
i
H
i
1
i
θ
i
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
P
olaryza ja
piono
w
a
wsp
óª zynniki
F
resnela
W
sp
óª zynniki
o
dbi ia
R
V
i
transmisji
T
V
dla
p
olaryza ji
piono
w
ej
okre±la
j¡,
o
dp
o
wiednio,
wzory
R
V
=
E
r
E
i
=
η
2
cos θ
t
− η
1
cos θ
i
η
2
cos θ
t
+ η
1
cos θ
i
T
V
=
E
t
E
i
=
2η
2
cos θ
i
η
2
cos θ
t
+ η
1
cos θ
i
Nietrudno
spra
wdzi¢,
»e
wsp
óª zynniki
te
sp
eªnia
j¡
zwi¡zek
1 + R
V
= T
V
cos θ
t
cos θ
i
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
P
olaryza ja
piono
w
a
k
¡t
Brewstera
W
sp
óª zynnik
o
dbi ia
R
V
zeruje
si
dla
k
¡ta
padania
θ
i
ró
wnego
k
¡to
wi
θ
BV
sp
eªnia
j¡ em
u
w
arunek
cos θ
BV
=
η
2
η
1
cos θ
t
z
którego
p
o
u
wzgldnieniu
pra
w
a
zaªamania
i
niesk
omplik
o
w
an
y
h
przeksztaª enia
h
otrzym
ujem
y
sin
2
θ
BV
=
1 − µ
2
ǫ
1
/µ
1
ǫ
2
1 − (ǫ
1
/ǫ
2
)
2
K¡t
θ
BV
nazyw
am
y
k
¡tem
Brewstera
(k
¡tem
zero
w
ego
o
dbi ia)
dla
p
olaryza ji
piono
w
ej.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
P
olaryza ja
piono
w
a
k
¡t
Brewstera
Gdy
w
ho
dz¡ e
w
gr
o±ro
dki
s¡
niemagnet
y zne,
tzn.
µ
1
= µ
2
= µ
0
,
to
sin θ
BV
=
1
p1 + (ǫ
1
/ǫ
2
)
sk
¡d
nietrudno
otrzyma¢
θ
BV
= arctg
r ǫ
2
ǫ
1
at
w
o
tak»e
spra
wdzi¢,
»e
θ
BV
+ θ
t
= π/2
K¡t
Brewstera
jest
nazyw
an
y
k
¡tem
p
olaryza ji
.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
P
olaryza ja
p
ozioma
k
¡t
Brewstera
Dla
fali
o
p
olaryza ji
p
oziomej
k
¡t
Brewstera
nie
istnieje
na
grani y
rozdziela
j¡ ej
dw
a
o±ro
dki
niemagnet
y zne
(µ
1
= µ
2
= µ
0
)
;
istnieje
on
natomiast
w
niet
yp
o
w
ej
sytua ji,
gdy
ǫ
1
= ǫ
2
i
µ
1
6= µ
2
,
i
jest
okre±lon
y
wzorem
sin θ
BH
=
1
p1 + (µ
1
/µ
2
)
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
ODBICIE
I
ZAAMANIE
F
ALI
PASKIEJ
W
sp
óª zynniki
F
resnela
W
szystkie
w
ze±niej
p
o
dane
wyra»enia
na
wsp
óª zynniki
F
resnela
s¡
sªuszne
tak»e
w
przypadku,
gdy
fala
elektromagnet
y zna
o
dbija
si
(zaªam
uje)
na
grani y
o±ro
dk
ó
w
stratn
y
h
(
σ
1
6= 0
i
σ
2
6= 0
).
Wtedy
imp
edan je
η
1
i
η
2
wystpuj¡ e
w
o
dp
o
wiedni
h
wzora
h
s¡
zesp
olone.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
BILANS
ENER
GI
I
W
POLU
EM
W
ektor
P
o
yn
tinga,
t
wierdzenie
P
o
yn
tinga
Punktem
wyj± ia
s¡
dw
a
rota yjne
ró
wnania
Maxw
ella
dla
p
ól
rze zywist
y
h
do
w
olnie
zmienia
j¡ y
h
si
w
zasie
∇ × E = −
∂B
∂t
∇ × H = J +
∂D
∂t
Bior¡
p
o
d
u
w
ag
to»samo±¢
∇ · (E × H) = H · (∇ × E) − E · (∇ × H)
i
p
o
dsta
wia
j¡
do
niej
rota je
p
ól
E
i
H
wzite
z
ró
wna«
Maxw
ella
otrzym
ujem
y
∇ · (E × H) = −H ·
∂B
∂t
− E ·
∂D
∂t
− E · J
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
BILANS
ENER
GI
I
W
POLU
EM
W
ektor
P
o
yn
tinga,
t
wierdzenie
P
o
yn
tinga
W
prost
ym
o±ro
dku,
którego
parametry
elektry zne
nie
zale»¡
o
d
zasu,
mam
y
H ·
∂B
∂t
= H ·
∂(µH)
∂t
=
1
2
∂(µH · H)
∂t
=
∂
∂t
1
2
µH
2
E ·
∂D
∂t
= E ·
∂(ǫE)
∂t
=
1
2
∂(ǫE · E)
∂t
=
∂
∂t
1
2
ǫE
2
E · J
= E · (σE) = σE
2
i
w
rezulta ie
∇ · (E × H) = −
∂
∂t
1
2
ǫE
2
+
1
2
µH
2
− σE
2
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
BILANS
ENER
GI
I
W
POLU
EM
W
ektor
P
o
yn
tinga,
t
wierdzenie
P
o
yn
tinga
Caªk
o
wy
o
dp
o
wiednik
ostatniej
zale»no± i
ma
p
osta¢
I
S
(E × H) · ds = −
∂
∂t
Z
V
1
2
ǫE
2
+
1
2
µH
2
dv −
Z
V
σE
2
dv
alb
o
I
S
(E × H) · ds = −
∂
∂t
Z
V
(w
e
+ w
m
)dv −
Z
V
p
σ
dv
gdzie
w
e
=
1
2
ǫE
2
w
m
=
1
2
µH
2
p
σ
= σE
2
= J
2
/σ
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
pola
i
f
ale
elektr
oma
gnety zne
BILANS
ENER
GI
I
W
POLU
EM
W
ektor
P
o
yn
tinga,
t
wierdzenie
P
o
yn
tinga
Do
ho
dzim
y
zatem
do
t
wierdzenia
P
o
yn
tinga
−
I
S
S ·
ds =
∂
∂t
Z
V
(w
e
+ w
m
)dv +
Z
V
p
σ
dv
gdzie
S
= E × H
(
W/m
2
)
nosi
nazw
w
ektora
P
o
yn
tinga
.
Szybk
o±¢
zmian
energii
magazyno
w
anej
w
p
ewn
ym
obszarze
p
o
wikszona
o
strat
y
mo
y
w
t
ym
obszarze
jest
ró
wna
strumienio
wi
gsto± i
mo
y
dopªyw
a
j¡ ej
do
tego
obszaru
przez
p
o
wierz
hni
go
ograni za
j¡ ¡.
andrzej
kar
w
o
wski
polite hnika
±l¡ska
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
H.Kotwicka-Śladem Mistrzów Czasu, CAŁE MNÓSTWO TEKSTU
06-02 PAM - Połączenie z Waszą Radą Światła, CAŁE MNÓSTWO TEKSTU
02.1.notatki całe do emocje-pamiec, Zniekształcenia, iluzje i niezwykłe zjawiska pamięciowe
13 tonów, CAŁE MNÓSTWO TEKSTU
~$I CALE POPRAWIONE
zagadnienia Grupy (całe B i C)
cale nieskonczone
interna CALE, Ratownicto Medyczne, choroby wewnętrzne, INTERNA SEMESTR I
fizyka alfabetycznie, aaa, studia 22.10.2014, całe sttudia, cruzer, fizyka
sprawko oczkowawezlowa, aaa, studia 22.10.2014, całe sttudia, III semestr, metody numeryczne lab
H.Kotwicka-Proroctwa Majów, CAŁE MNÓSTWO TEKSTU
wykład 09 zeszły rok uczenie sie przez cale życie, studia, andragogika
27.04.08 Nie ten znak, CAŁE MNÓSTWO TEKSTU
05-08 PAM - Samodoskonalenie się w nowum wieku, CAŁE MNÓSTWO TEKSTU
05-09 PAM - Korzystanie z siły życiowej stworzenia, CAŁE MNÓSTWO TEKSTU
H. Kotwicka-Przeznaczenie, CAŁE MNÓSTWO TEKSTU
więcej podobnych podstron