1

OGÓLNOTECHNICZNE

PODSTAWY BIOTECHNOLOGII

Z GRAFIKĄ INŻYNIERSKĄ

Wykład VI

Zastosowania statyki - belki i podpory

Rozwiązywanie belek

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

2

BELKI I PODPORY

Belkami nazywamy podłużne elementy, których długość jest znacznie większa

od grubości i szerokości.

Na belkę działa układ sił, które na ogół nie są zbieżna. Zaniedbanie szerokości

i grubości belki pozwala na założenie że siły te działają w jednej płaszczyźnie.

W związku z tym że układ sił jest płaski, momenty wszystkich sił mają

ten sam kierunek i można je traktować jak skalary.

Ruch belki jest ograniczony za pomocą więzów, które nazywamy podporami.

Zgodnie z VI aksjomatem statyki w punkcie styku belki i podpory powstają

siły reakcji. Wyznaczanie tych sił jest najważniejszym celem

tzw. rozwiązywania belek.

F

1

F

2

F

n-1

F

n

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

3

RODZAJE PODPÓR

Różnego rodzaju podpory mogą w różnym stopniu ograniczać ruch belki.

Jeżeli liczba stopni swobody dla ruchu belki w danej podporze wynosi „s”,

to siła reakcji pojawiająca się w tym miejscu jest określona przez liczbę

niewiadomych „n”. Liczby „s” i „n” pozostają w prostej relacji:

3

n

s

W przypadku belki, maksymalna liczba stopni swobody to 3: ruch w pionie,

ruch w poziomie i obrót.

Każda podpora będzie zmniejszała liczbę stopni swobody.

Zatem może ona wynosić 2, 1 lub 0.

W związku z tym rozróżniamy 3 rodzaje podpór.

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

4

RODZAJE PODPÓR

1. Podpory o jednej niewiadomej.

Podpora taka uniemożliwia ruch belki w kierunku pionowym ale pozwala

na jej ruch poziomy wzdłuż jej długości oraz na obrót. Mamy zatem dwa

stopnie swobody. Zgodnie z relacją n=3-2=1. Zatem siła reakcji jest

określona przez 1 niewiadomą. W podporze takiej pojawia się siła

reakcji o kierunku pionowym. Niewiadomą jest wartość tej reakcji oraz

jej zwrot, co możemy określić za pomocą jednej liczby rzeczywistej

(zwrot określa znak liczby).

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

5

RODZAJE PODPÓR

2. Podpory o dwóch niewiadomych.

Podpora uniemożliwia ruch belki w kierunku pionowym oraz poziomym,

natomiast dopuszcza ruch wahadłowy (obrotowy). Mamy zatem tylko

1 stopień swobody, więc n=3-1=2.

W związku z tym siła reakcji pojawiająca się w podporze będzie określona

za pomocą dwu niewiadomych, którymi będą jej wartość i kierunek

(w płaszczyźnie belki). Niewiadome te można określić albo za pomocą

długości reakcji i kąta między pionem a kierunkiem wektora reakcji

albo też za pomocą składowych R

x

i R

y

.

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

6

RODZAJE PODPÓR cd.

3. Podpory o trzech niewiadomych.

Jest to podpora nazywana utwierdzeniem, która nie daje żadnego stopnia swobody.

Zatem liczba stopni swobody wynosi 0 a liczba niewiadomych n=3-0=3.

W takiej podporze pojawiająca się siła reakcji ma niewiadomą wartość, kierunek

oraz tzw. moment utwierdzenia w związku z brakiem możliwości obrotu.

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

7

ROZWIĄZYWANIE BELEK

Rozwiązywanie belki polega na wyznaczeniu wszystkich niewiadomych

sił reakcji pojawiających się we wszystkich podporach. Podstawą do tego

rozwiązania jest układ równań wynikający z podstawowego twierdzenia

statyki o równowadze ciała sztywnego. W przypadku belki układ ten

składa się z dwu równań określających bilans sił i jednego równania

określającego bilans momentów. W sumie mamy zatem 3 równania.

W przypadku ogólnym tych równań może być 6.

W zależności od relacji ogólnej liczby niewiadomych w układzie do liczby

równań mamy różne rodzaje układów ze względu na

tzw. statyczną wyznaczalność.

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

8

Rozwiązywanie belek

Jeżeli liczba niewiadomych jest dokładnie równa liczbie równań wyznaczających

równowagę wtedy taki układ nazywamy statycznie wyznaczalnym.

Rozpatrzmy teraz przykład belki tworzącej taki układ:

W przypadku gdy liczba niewiadomych jest mniejsza niż liczba równań, wtedy układ

taki nazywamy układem chwiejnym. Na gruncie statyki rozważa się tylko układy

statycznie wyznaczalne.

Jeżeli liczba niewiadomych jest większa niż liczba równań statycznych, wtedy

układ jest statycznie niewyznaczalny. Do rozwiązania takiego układu konieczne

są na ogół dodatkowe rozważania z zakresu wytrzymałości materiałów.

równań

liczba

ch

niewiadomy

liczba

równań

liczba

ch

niewiadomy

liczba

równań

liczba

ch

niewiadomy

liczba

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

9

Rozwiązywanie belek cd.

Rozpatrywana belka ma długość 15 m i jest na jednym końcu zamocowana na

stałym przegubie (podpora o dwóch niewiadomych), natomiast z drugiej strony

jest ona podparta na ruchomej podporze (o jednej niewiadomej) w odległości

5 m od końca.

Na belkę działa jedna siła czynna umocowana na jej końcu i skierowana ukośnie

w dół pod kątem 30 w stosunku do pionu. Wartość siły wynosi 100 N.

Należy rozwiązać belkę tzn. wyznaczyć wszystkie siły reakcji pojawiające się

w podporach.

l

1

=10 m

l

2

=5 m

30

|F|=100 N

A

B

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

10

Rozwiązywanie belek cd.

l

1

=10 m

l

2

=5 m

30

|F|=100 N

A

B

W celu rozwiązanie tego zagadnienia czyli wyznaczenia wszystkich sił reakcji

pojawiających się zgodnie z zasadami statyki w punktach działania więzów

czyli tam gdzie podpory stykają się z belką należy rozłożyć wszystkie siły czynne

na składowe poziome i pionowe (zgodnie z układem x – y).

Następnie zakładamy określony kierunek sił reakcji w punktach styku z podporami.

F

y

=-|F|cos30º=-50√(3) N

F

x

=|F|sin30º=50 N

Podpora B ma jedną niewiadomą a zatem kierunek reakcji musi być pionowy.

R

B

=R

By

Podpora A ma dwie niewiadome, więc siła reakcji będzie skierowana ukośnie.

R

A

R

Ay

R

Ax

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

Rozwiązywanie belek cd.

l

1

=10 m

l

2

=5 m

30

|F|=100 N

A

B

F

y

=-|F|cos30º=-50√(3) N

F

x

=|F|sin30º=50 N

R

B

=R

By

R

A

R

Ay

R

Ax

Dane: F

x

=50 N, F

y

=-50√(3) N, R

Bx

=0

Niewiadome: R

Ax

, R

Ay

, R

By

W celu wyznaczenia tych niewiadomych należy skorzystać z twierdzenia

o równowadze statycznej niezbieżnego układu sił dla płaskiego układu sił.

W takim przypadku mamy do dyspozycji dwa równania dla składowych sił

i jedno równanie dla momentów.

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

Rozwiązywanie belek cd.

l

1

=10 m

l

2

=5 m

30

|F|=100 N

A

B

F

y

=-|F|cos30º=-50√(3) N

F

x

=|F|sin30º=50 N

R

B

=R

By

R

A

R

Ay

R

Ax

Dane: F

x

=50 N, F

y

=-50√(3) N, R

Bx

=0

Niewiadome: R

Ax

, R

Ay

, R

By

Równanie 1 określa bilans składowych x wszystkich sił:

N

R

R

R

F

F

Ax

Ax

Ax

i

x

xi

50

0

50

0

0

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

13

Rozwiązywanie belek cd.

l

1

=10 m

l

2

=5 m

30

|F|=100 N

A

B

R

B

=R

By

R

A

R

Ay

R

Ax

F

x

=|F|sin30 =50 N

F

y

= -|F|cos30 =

-50√(3) N

Dane: F

x

=50 N, F

y

=-50√(3) N, R

Bx

=0

Niewiadome: R

Ax

,R

Ay

,R

By

Równanie 2 określa bilans składowych y wszystkich sił:

i

By

Ay

By

Ay

By

Ay

y

yi

R

R

R

R

R

R

F

F

3

50

0

3

50

0

0

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

14

Rozwiązywanie belek cd.

l

1

=10 m

l

2

=5 m

30

|F|=100 N

A

B

R

B

=R

By

R

A

R

Ay

R

Ax

F

x

=|F|sin30 =50 N

F

y

= -|F|cos30 =

-50√(3) N

Dane: F

x

=50 N, F

y

=-50√(3) N, R

Bx

=0

Niewiadome: R

Ax

,R

Ay

,R

By

Równanie 3 określa bilans momentów wszystkich sił względem dowolnego punktu.

Wybierzmy do tego bilansu punkt A. Musimy jeszcze przyjąć umowę co do znaków

poszczególnych momentów. Założymy, że dodatnie są momenty obracające układ

zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Wyrażenia określające momenty

poszczególnych sił będą następujące:

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

15

Rozwiązywanie belek cd.

3

50

15

)

(

)

(

10

)

(

0

)

(

)

(

)

(

2

1

1

y

y

A

By

By

By

A

x

A

Ay

A

Ax

A

F

l

l

F

M

R

R

l

R

M

F

M

R

M

R

M

l

1

=10 m

l

2

=5 m

30

|F|=100 N

A

B

R

B

=R

By

R

A

R

Ay

R

Ax

F

x

=|F|sin30 =50 N

F

y

= -|F|cos30 =

-50√(3) N

Dane: F

x

=50 N, F

y

=-50√(3) N, R

Bx

=0

Niewiadome: R

Ax

,R

Ay

,R

By

Bilans momentów daje równanie:

i

By

By

i

A

N

R

R

F

M

3

75

0

3

750

10

0

)

(

Podstawiając otrzymaną wartość do

równania 2 otrzymujemy ostatnią niewiadomą:

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

16

Rozwiązywanie belek cd.

N

R

R

R

R

Ay

Ay

By

Ay

3

25

3

50

3

75

3

50

l

1

=10 m

l

2

=5 m

30

|F|=100 N

A

B

R

B

=R

By

R

A

R

Ay

R

Ax

F

x

=|F|sin30 =50 N

F

y

= -|F|cos30 =

-50√(3) N

Dane: F

x

=50 N, F

y

=-50√(3) N, R

Bx

=0

Niewiadome: R

Ax

,R

Ay

,R

By

Reasumując, wartości niewiadomych składowych sił reakcji wynoszą:

N

R

N

R

N

R

N

R

A

By

Ay

Ax

7

25

)

3

25

(

50

3

75

3

25

50

2

2

©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

17

Rozwiązywanie belek cd.

l

1

=10 m

l

2

=5 m

30

|F|=100 N

A

B

R

B

=R

By

R

A

R

Ay

R

Ax

F

x

=|F|sin30 =50 N

F

y

= -|F|cos30 =

-50√(3) N

50

25 3

75 3

25 7

Ax

Ay

By

A

R

N

R

N

R

N

R

N

Możemy jeszcze obliczyć kąt α pod którym jest odchylona od pionu reakcja R

A

:

α

50

sin( )

0.75593

49.1

25 7

Ax

A

R

R



©

Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

18

To tyle na dzisiaj

Dziękuję bardzo Państwu

za uwagę