1
OGÓLNOTECHNICZNE
PODSTAWY BIOTECHNOLOGII
Z GRAFIKĄ INŻYNIERSKĄ
Wykład VI
Zastosowania statyki - belki i podpory
Rozwiązywanie belek
1
OGÓLNOTECHNICZNE
PODSTAWY BIOTECHNOLOGII
Z GRAFIKĄ INŻYNIERSKĄ
Wykład VI
Zastosowania statyki - belki i podpory
Rozwiązywanie belek
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
2
BELKI I PODPORY
Belkami nazywamy podłużne elementy, których długość jest znacznie większa
od grubości i szerokości.
Na belkę działa układ sił, które na ogół nie są zbieżna. Zaniedbanie szerokości
i grubości belki pozwala na założenie że siły te działają w jednej płaszczyźnie.
W związku z tym że układ sił jest płaski, momenty wszystkich sił mają
ten sam kierunek i można je traktować jak skalary.
Ruch belki jest ograniczony za pomocą więzów, które nazywamy podporami.
Zgodnie z VI aksjomatem statyki w punkcie styku belki i podpory powstają
siły reakcji. Wyznaczanie tych sił jest najważniejszym celem
tzw. rozwiązywania belek.
F
1
F
2
F
n-1
F
n
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
3
RODZAJE PODPÓR
Różnego rodzaju podpory mogą w różnym stopniu ograniczać ruch belki.
Jeżeli liczba stopni swobody dla ruchu belki w danej podporze wynosi „s”,
to siła reakcji pojawiająca się w tym miejscu jest określona przez liczbę
niewiadomych „n”. Liczby „s” i „n” pozostają w prostej relacji:
3
n
s
W przypadku belki, maksymalna liczba stopni swobody to 3: ruch w pionie,
ruch w poziomie i obrót.
Każda podpora będzie zmniejszała liczbę stopni swobody.
Zatem może ona wynosić 2, 1 lub 0.
W związku z tym rozróżniamy 3 rodzaje podpór.
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
4
RODZAJE PODPÓR
1. Podpory o jednej niewiadomej.
Podpora taka uniemożliwia ruch belki w kierunku pionowym ale pozwala
na jej ruch poziomy wzdłuż jej długości oraz na obrót. Mamy zatem dwa
stopnie swobody. Zgodnie z relacją n=3-2=1. Zatem siła reakcji jest
określona przez 1 niewiadomą. W podporze takiej pojawia się siła
reakcji o kierunku pionowym. Niewiadomą jest wartość tej reakcji oraz
jej zwrot, co możemy określić za pomocą jednej liczby rzeczywistej
(zwrot określa znak liczby).
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
5
RODZAJE PODPÓR
2. Podpory o dwóch niewiadomych.
Podpora uniemożliwia ruch belki w kierunku pionowym oraz poziomym,
natomiast dopuszcza ruch wahadłowy (obrotowy). Mamy zatem tylko
1 stopień swobody, więc n=3-1=2.
W związku z tym siła reakcji pojawiająca się w podporze będzie określona
za pomocą dwu niewiadomych, którymi będą jej wartość i kierunek
(w płaszczyźnie belki). Niewiadome te można określić albo za pomocą
długości reakcji i kąta między pionem a kierunkiem wektora reakcji
albo też za pomocą składowych R
x
i R
y
.
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
6
RODZAJE PODPÓR cd.
3. Podpory o trzech niewiadomych.
Jest to podpora nazywana utwierdzeniem, która nie daje żadnego stopnia swobody.
Zatem liczba stopni swobody wynosi 0 a liczba niewiadomych n=3-0=3.
W takiej podporze pojawiająca się siła reakcji ma niewiadomą wartość, kierunek
oraz tzw. moment utwierdzenia w związku z brakiem możliwości obrotu.
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
7
ROZWIĄZYWANIE BELEK
Rozwiązywanie belki polega na wyznaczeniu wszystkich niewiadomych
sił reakcji pojawiających się we wszystkich podporach. Podstawą do tego
rozwiązania jest układ równań wynikający z podstawowego twierdzenia
statyki o równowadze ciała sztywnego. W przypadku belki układ ten
składa się z dwu równań określających bilans sił i jednego równania
określającego bilans momentów. W sumie mamy zatem 3 równania.
W przypadku ogólnym tych równań może być 6.
W zależności od relacji ogólnej liczby niewiadomych w układzie do liczby
równań mamy różne rodzaje układów ze względu na
tzw. statyczną wyznaczalność.
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
8
Rozwiązywanie belek
Jeżeli liczba niewiadomych jest dokładnie równa liczbie równań wyznaczających
równowagę wtedy taki układ nazywamy statycznie wyznaczalnym.
Rozpatrzmy teraz przykład belki tworzącej taki układ:
W przypadku gdy liczba niewiadomych jest mniejsza niż liczba równań, wtedy układ
taki nazywamy układem chwiejnym. Na gruncie statyki rozważa się tylko układy
statycznie wyznaczalne.
Jeżeli liczba niewiadomych jest większa niż liczba równań statycznych, wtedy
układ jest statycznie niewyznaczalny. Do rozwiązania takiego układu konieczne
są na ogół dodatkowe rozważania z zakresu wytrzymałości materiałów.
równań
liczba
ch
niewiadomy
liczba
równań
liczba
ch
niewiadomy
liczba
równań
liczba
ch
niewiadomy
liczba
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
9
Rozwiązywanie belek cd.
Rozpatrywana belka ma długość 15 m i jest na jednym końcu zamocowana na
stałym przegubie (podpora o dwóch niewiadomych), natomiast z drugiej strony
jest ona podparta na ruchomej podporze (o jednej niewiadomej) w odległości
5 m od końca.
Na belkę działa jedna siła czynna umocowana na jej końcu i skierowana ukośnie
w dół pod kątem 30 w stosunku do pionu. Wartość siły wynosi 100 N.
Należy rozwiązać belkę tzn. wyznaczyć wszystkie siły reakcji pojawiające się
w podporach.
l
1
=10 m
l
2
=5 m
30
|F|=100 N
A
B
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
10
Rozwiązywanie belek cd.
l
1
=10 m
l
2
=5 m
30
|F|=100 N
A
B
W celu rozwiązanie tego zagadnienia czyli wyznaczenia wszystkich sił reakcji
pojawiających się zgodnie z zasadami statyki w punktach działania więzów
czyli tam gdzie podpory stykają się z belką należy rozłożyć wszystkie siły czynne
na składowe poziome i pionowe (zgodnie z układem x – y).
Następnie zakładamy określony kierunek sił reakcji w punktach styku z podporami.
F
y
=-|F|cos30º=-50√(3) N
F
x
=|F|sin30º=50 N
Podpora B ma jedną niewiadomą a zatem kierunek reakcji musi być pionowy.
R
B
=R
By
Podpora A ma dwie niewiadome, więc siła reakcji będzie skierowana ukośnie.
R
A
R
Ay
R
Ax
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Rozwiązywanie belek cd.
l
1
=10 m
l
2
=5 m
30
|F|=100 N
A
B
F
y
=-|F|cos30º=-50√(3) N
F
x
=|F|sin30º=50 N
R
B
=R
By
R
A
R
Ay
R
Ax
Dane: F
x
=50 N, F
y
=-50√(3) N, R
Bx
=0
Niewiadome: R
Ax
, R
Ay
, R
By
W celu wyznaczenia tych niewiadomych należy skorzystać z twierdzenia
o równowadze statycznej niezbieżnego układu sił dla płaskiego układu sił.
W takim przypadku mamy do dyspozycji dwa równania dla składowych sił
i jedno równanie dla momentów.
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Rozwiązywanie belek cd.
l
1
=10 m
l
2
=5 m
30
|F|=100 N
A
B
F
y
=-|F|cos30º=-50√(3) N
F
x
=|F|sin30º=50 N
R
B
=R
By
R
A
R
Ay
R
Ax
Dane: F
x
=50 N, F
y
=-50√(3) N, R
Bx
=0
Niewiadome: R
Ax
, R
Ay
, R
By
Równanie 1 określa bilans składowych x wszystkich sił:
N
R
R
R
F
F
Ax
Ax
Ax
i
x
xi
50
0
50
0
0
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
13
Rozwiązywanie belek cd.
l
1
=10 m
l
2
=5 m
30
|F|=100 N
A
B
R
B
=R
By
R
A
R
Ay
R
Ax
F
x
=|F|sin30 =50 N
F
y
= -|F|cos30 =
-50√(3) N
Dane: F
x
=50 N, F
y
=-50√(3) N, R
Bx
=0
Niewiadome: R
Ax
,R
Ay
,R
By
Równanie 2 określa bilans składowych y wszystkich sił:
i
By
Ay
By
Ay
By
Ay
y
yi
R
R
R
R
R
R
F
F
3
50
0
3
50
0
0
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
14
Rozwiązywanie belek cd.
l
1
=10 m
l
2
=5 m
30
|F|=100 N
A
B
R
B
=R
By
R
A
R
Ay
R
Ax
F
x
=|F|sin30 =50 N
F
y
= -|F|cos30 =
-50√(3) N
Dane: F
x
=50 N, F
y
=-50√(3) N, R
Bx
=0
Niewiadome: R
Ax
,R
Ay
,R
By
Równanie 3 określa bilans momentów wszystkich sił względem dowolnego punktu.
Wybierzmy do tego bilansu punkt A. Musimy jeszcze przyjąć umowę co do znaków
poszczególnych momentów. Założymy, że dodatnie są momenty obracające układ
zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Wyrażenia określające momenty
poszczególnych sił będą następujące:
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
15
Rozwiązywanie belek cd.
3
50
15
)
(
)
(
10
)
(
0
)
(
)
(
)
(
2
1
1
y
y
A
By
By
By
A
x
A
Ay
A
Ax
A
F
l
l
F
M
R
R
l
R
M
F
M
R
M
R
M
l
1
=10 m
l
2
=5 m
30
|F|=100 N
A
B
R
B
=R
By
R
A
R
Ay
R
Ax
F
x
=|F|sin30 =50 N
F
y
= -|F|cos30 =
-50√(3) N
Dane: F
x
=50 N, F
y
=-50√(3) N, R
Bx
=0
Niewiadome: R
Ax
,R
Ay
,R
By
Bilans momentów daje równanie:
i
By
By
i
A
N
R
R
F
M
3
75
0
3
750
10
0
)
(
Podstawiając otrzymaną wartość do
równania 2 otrzymujemy ostatnią niewiadomą:
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
16
Rozwiązywanie belek cd.
N
R
R
R
R
Ay
Ay
By
Ay
3
25
3
50
3
75
3
50
l
1
=10 m
l
2
=5 m
30
|F|=100 N
A
B
R
B
=R
By
R
A
R
Ay
R
Ax
F
x
=|F|sin30 =50 N
F
y
= -|F|cos30 =
-50√(3) N
Dane: F
x
=50 N, F
y
=-50√(3) N, R
Bx
=0
Niewiadome: R
Ax
,R
Ay
,R
By
Reasumując, wartości niewiadomych składowych sił reakcji wynoszą:
N
R
N
R
N
R
N
R
A
By
Ay
Ax
7
25
)
3
25
(
50
3
75
3
25
50
2
2
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
17
Rozwiązywanie belek cd.
l
1
=10 m
l
2
=5 m
30
|F|=100 N
A
B
R
B
=R
By
R
A
R
Ay
R
Ax
F
x
=|F|sin30 =50 N
F
y
= -|F|cos30 =
-50√(3) N
50
25 3
75 3
25 7
Ax
Ay
By
A
R
N
R
N
R
N
R
N
Możemy jeszcze obliczyć kąt α pod którym jest odchylona od pionu reakcja R
A
:
α
50
sin( )
0.75593
49.1
25 7
Ax
A
R
R
©
Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
18
To tyle na dzisiaj
Dziękuję bardzo Państwu
za uwagę