Marcin Błażejowski

Dwa dodatkowe testy niezbędne do wykonania projektu

nr 1

Pierwsze wydanie książki „Ekonomatria. Rozwiązywanie problemów z wykorzytaniem pro-

gramu GRETL” nie zawierało opisu dwóch poniższych testów z racji tego, że w 2004 roku
GRETL nie posiadał jeszcze możliwości ich wykonywania. Ponieważ aktualna wersja programu
daje możliwość realizowania w/w testów, a nowe wydanie podręcznika jeszcze się nie ukazało,
uzgodniłem z prof. Kuflem, że opis wspomnianych testów zamieszczę w Moodle, co niniejszym
czynię. Wszystkie zrzuty ekranu dotyczą modelu dla powiatów, który jest realizowany w roz-
dziale 4 podręcznika.

1. Weryfikacja współliniowości zmiennych objaśniających

Współliniowość zmiennych objaśniających jest cechą niepożądaną w oszacowanym modelu.

Jeżeli wystąpiła dokładna współliniowość, to model nie zostanie oszacowany, ponieważ wy-
znacznik macierzy X

T

X jest równy zero

1

. Wysokie skorelowanie zmiennych objaśniających po-

woduje, że wartość wyznacznika jest bliska zero, a przez to oszacowane błędy standardowe ocen
parametrów powstałe z macierzy wariancji i kowariancji są o relatywnie dużych wartościach,
co prowadzi do zaniżania wartości statystyki t-Studenta w ocenie istotności parametru.

Ocenę stopnia współliniowości zmiennych objaśniających można wykonać za pomocą miary

VIF (variance inflation factors) określanej jako czynnik inflacji wariancji. Miarę V IF

j

wyzna-

cza się z następującego wzoru:

V IF

j

=

1

1 − R

2

j

,

dla j = 1, 2, . . . , k, gdzie R

j

jest współczynnikiem korelacji wielorakiej pomiędzy zmienną x

j

a pozostałymi zmiennymi modelu.

Jeżeli wartość V IF

j

jest równa jeden, to oznacza, że zmienna x

j

jest ortogonalna (nieskore-

lowana) w stosunku do pozostałych zmiennych objaśniających modelu. „Uważa się, że wartość
V IF

j

> 10 jest oznaką współliniowości, która trwale zakłóca jakość skonstruowanego modelu

ekonometrycznego”, co oznacza, że współczynnik korelacji wielorakiej R

j

, tj. r

x

1

.x

2

x

3

...x

k

jest

większy co do modułu od 0.95.

Okno [1] przedstawia wyniki badania współliniowości uzyskane przez funkcję w oknie modelu

Testy/test współliniowości VIF , które wskazują, że w oszacowanym modelu skorelowanie
zmiennych objaśniających nie zakłóca jakości modelu.

2. Obserwacje nietypowe i wpływowe

„W danych wykorzystywanych do budowy modelu ekonometrycznego często występują ob-

serwacje odróżniające się pewnymi cechami od pozostałych. Wyróżnia się dwa rodzaje takich

1

Chodzi tutaj o formułę KMNK, tj. a = X

T

X

−1

X

T

y i brak możliwości odwrócenia macierzy.

[1]

[2]

obserwacji: nietypowe (ang. outliers) i wpływowe (influential observations). Kryterium wy-
różniającym te obserwacje są skutki ich oddziaływania na model ekonometryczny.

Obserwacja nietypowa charakteryzuje się dużą resztą, czyli różnicą miedzy wartością rze-

czywistą zmiennej objaśnianej a wartością teoretyczną tej zmiennej wynikającą z modelu ekono-
metrycznego (. . . ). Obserwację uważa się za wpływową, jeśli w wyniku nieznacznej zmiany jej
wartości (przesuwaniu jej) lub usunięciu z danych znacznie zmieniają się oszacowane parametry
modelu. Wartości reszt obserwacji wpływowych nie są duże.”

Do identyfikacji czy y

i

jest wpływowe na tle pozostałych wartości y używa się statysty-

ki h

i

określanej jako dźwignia (ang. leverage), szacowanej na podstawie elementów diagonal-

nych macierzy rzutowania H (ang. hat matrix ), H = X



X

T

X



−1

X

T

. Elementy diagonalne

h

ii

= h

i

(i = 1, 2, . . . , n) określają wpływ i-tej obserwacji na oceny parametrów modelu i przyj-

mują wartości z przedziału 0 ¬ h

i

¬ 1. Obserwację i -tą można traktować jako dźwigniową

- wpływową, jeśli h

i

> h

∗

= 2(k + 1)/n, co w oknie gretla: leverage and influence (okno 2)

wartości kolumny leverage są zaznaczone (∗).

Okno wyników [2] uzyskuje się za pomocą funkcji menu modelu Testy/test wpływowych

obserwacji . Dla analizowanego przykładu: (k + 1) = (8 + 1) = 9, n = 380, a wyznaczona
wartość krytyczna wynosi h

∗

= 2 · 9/380 = 0.0474.

W literaturze wskazuje się, że DF F IT S

i

(different of fits) jest kryterium wykrywania ob-

serwacji nietypowych a także wpływowych. „DF F IT S

i

jest bowiem wystandaryzowaną miarą

przyrostu teoretycznej wartości y

i

wynikającą z pominięcia konkretnej obserwacji”. Wartość

miernika DF F IT S

i

jest wyznaczana ze wzoru:

DF F IT S

i

= ˜

u

i

v
u

u

t

h

i

1 − h

i

!

gdzie ˜

u

i

jest i-tą resztą studentyzowaną. Jeżeli wartość DF F IT S

i

co do modułu jest większa

od 2

q

(k + 1) /n, to i-ta obserwacja może być nietypowa lub/i wpływowa. Dla opisywanego

przykładu wartość krytyczna wynosi 2 ·

q

9/380 = 0.3078.

Wyniki zawarte w oknie [2] można zapisać do bazy danych za pomocą ikony

i przeana-

lizować występowanie wartości nietypowych i wpływowych.

Dodatkowo, prostymi sposobami wyszukania obserwacji odstających - nietypowych jest tak-

że wskazanie reszt większych co do modułu od dwu i pół krotnego błędu standardowego reszt, to
jest |e

i

| > 2.5 · S

e

. Wyniki wskazania takich odstających obserwacji uzyskujemy poprzez menu

modelu Analiza/Pokaż empiryczne, wyrównane i reszty , które są oznaczone symbolem
gwiazdką (∗).

Innym sposobem identyfikowania obserwacji odstających w zbiorze wartości zmiennych ob-

jaśniających X

ij

jest wyznaczenie odległości Mahalanobisa M D

i

dla poszczególnych obserwacji

od ich środka ciężkości (wektora średnich).

Elementy diagonalne macierzy rzutowania h

i

można przekształcić w miarę odległości Ma-

halanobisa M D

i

według następującej formuły:

M D

i

=

q

(n − 1) (h

i

− 1/n),

oznacza to, że przed oszacowaniem modelu wykorzystując tylko M D

i

można zidentyfikować

obserwacje odstające. Wyselekcjonowanie zmiennych w oknie gretla i wywołanie funkcji Wi-
dok/Odległość Mahalanobisa szacuje miary M D

i

. Okno [3] prezentuje posortowane wyniki

oszacowanej miary h

i

(lever ) i M D

i

(mdist), gdzie maksymalne wyniki wskazują nietypowe

i odstające obserwacje.

[3]

Ocenę przydatności modelu dla danych przekrojowych program gretl realizuje za pomo-

cą wielu funkcji, ale dodatkowo można wykorzystać także polecenia związane z nakładaniem
restrykcji na parametry.