Zadanie 4.1.

Wyznaczy´c naturaln ¾

a przestrze´n parametrów w p (x; ) = exp

s

P

i=1

i

T

i

(x)

A ( ) h (x)

, gdy

s = 1

, T

1

(x) = x

,

jest miar ¾

a Lebesgue’a oraz h (x) jest równe

(i) e

jxj

(ii)

e

jxj

1+x

2

.

Zadanie 4.2.

Przypu´s´cmy, ·

ze w p (x; ) = exp

s

P

i=1

i

T

i

(x)

A ( ) h (x)

mamy s = 2 i T

2

(x) = T

1

(x)

.

Wyja´sni´c, dlaczego estymacja parametru

nie jest mo·

zliwa.

(Wskazówka: Porówna´c rozwa·

zany model z modelem, który otrzymuje si ¾

e, gdy

0

1

=

1

+ c

,

0

2

=

2

c

).

Zadanie 4.3.

Dowie´s´c, ·

ze rozk÷

ady próby z p-wymiarowego rozk÷

adu normalnego tworz ¾

a s-parametrow ¾

a

rodzin ¾

e wyk÷

adnicz ¾

a. Wyznaczy´c s oraz funkcje

i

,T

i

i B we wzorze

p = exp

s

P

i=1

i

T

i

(x)

A ( ) h (x)

.

Zadanie 4.5.

Sprawdzi´c wzory

1

=

1

,

2

=

2

+

2

1

,

3

=

3

+ 3

1 2

+

3

1

,

4

=

4

+ 3

2

2

+ 4

1 3

+ 6

2

1 2

+

4

1

.

Zadanie 4.6.

Sprawdzi´c, ·

ze w rozk÷

adzie dwumianowym P (X = x) =

n
x

p

x

q

n x

, 0 < p < 1, x = 0; 1; :::; n,

q = 1

p

(i) funkcja generuj ¾

aca momenty wyra·

za si ¾

e wzorem M

X

(u) = (q + pe

u

)

n

.

(ii) momenty wyra·

zaj ¾

a si ¾

e wzorami E (X) = np, V ar (X) = npq, E (X

np)

3

= npq (q

p)

,

E (X

np)

4

= 3 (npq)

2

+ npq (1

6pq)

.

Zadanie 4.7.

Sprawdzi´c, ·

ze momenty rozk÷

adu Poissona P (X = x) =

x

x!

e

x

, x = 0; 1; :::;

> 0

wyra·

zaj ¾

a si ¾

e

wzorami E (X) = , V ar (X) = , E (X

)

3

=

, E (X

)

4

=

+ 3

3

.

1

Zadanie 4.11.

Wykaza´c, ·

ze rozk÷

ady dwumianowy, ujemny dwumianowy i Poissona s ¾

a szczególnymi

przypadkami rozk÷

adu P (X = x) =

(x)

x

C( )

, x = 0; 1; :::,

(x)

0

,

> 0

. Wyznaczy´c

i C ( ).

Zadanie 4.12.

Rozk÷

ad P (X = x) =

(x)

x

C( )

, x = 0; 1; :::,

(x)

0

,

> 0

dla

(x) =

1

x

i C ( ) =

ln (1

)

, x = 1; 2; :::, 0 <

< 1

nazywa si ¾

e dyskretnym rozk÷

adem

logarytmicznym. Wykaza´c, ·

ze funkcja tworz ¾

aca momenty jest równa

ln(1

e

u

)

ln(1

)

i wyznaczy´c

E (X)

oraz V ar (X).

Zadanie 4.15.

Rozwa·

zmy rozk÷

ad gamma

1

( )b

x

1

e

x

b

, x > 0,

> 0

, b > 0.

(i) Sprawdzi´c wzory M

X

(u)

=

(1

bu)

, K

X

(u)

=

ln (1

bu)

dla u

<

1

b

,

E (X

r

) =

( + 1) ::: ( + r

1) b

r

=

( +r)

( )

b

r

, E (X) = b, V ar (X) = b

2

,

E (X

b)

3

= 2 b

3

, E (X

b)

4

= (3

2

+ 6 ) b

4

.

Zadanie 4.16.

Dowie´s´c, ·

ze

(i)

2

1

jest rozk÷

adem zmiennej losowej Y

2

, gdy Y ma rozk÷

ad normalny N (0; 1).

(ii)

2

n

jest rozk÷

adem zmiennej losowej Y

2

1

+:::+Y

2

n

gdy Y

i

s ¾

a niezale·

znymi zmiennymi losowymi

o jednakowym rozk÷

adzie N (0; 1).

Zadanie 4.17.

Wyznaczy´c warto´s´c

, dla której g ¾

esto´s´c

1

( )

x

1

e

x

, x > 0,

> 0

,

> 0

jest

(a) malej ¾

ac ¾

a funkcj ¾

a argumentu x na przedziale (0; 1).

(b) funkcj ¾

a rosn ¾

ac ¾

a dla x < x

0

i malej ¾

ac ¾

a dla x > x

0

(0 < x

0

). W przypadku (b) wyznaczy´c

mod ¾

e rozk÷

adu.

Zadanie 4.22.

Udowodni´c, ·

ze je·

zeli X

i

s ¾

a niezale·

znymi zmiennymi losowymi o rozk÷

adach gamma

(

i

; b)

, to

n

P

i=1

X

i

ma rozk÷

ad gamma

n

P

i=1

i

; b

.

Zadanie 4.23.

Wyznaczy´c rozk÷

ad sumy

n

P

i=1

X

i

, gdy zmienne losowe X

i

s ¾

a niezale·

zne i maj ¾

a rozk÷

ady Poissona

P (

i

)

.

2

Zadanie 4.24.

Niech X

1

; :::; X

n

b ¾

ed ¾

a niezale·

znymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk÷

adzie gamma

( ; b)

. Wykaza´c, ·

ze ÷¾

aczne rozk÷

ady tych zmiennych losowych tworz ¾

a dwuparametrow ¾

a rodzin ¾

e

wyk÷

adnicz ¾

a p = exp

s

P

i=1

i

T

i

(x)

A ( ) h (x)

i wyznaczy´c funkcje

i

, T

i

oraz B.

Zadanie 4.26.

Udowodni´c, ·

ze w rozk÷

adzie beta E (X) =

a

a+b

oraz V ar (X) =

ab

(a+b)

2

(a+b+1)

.

Zadanie 5.1.

Uogólni´c wyniki z przyk÷

adu 5.1 na przypadek niezale·

znych zmiennych losowych X

1

; :::; X

r

o rozk÷

adach Poissona P (

i

)

, gdzie

i

=

i

, przy czym

i

> 0

s ¾

a znane.

Zadanie 5.3.

Niech f b ¾

edzie dodatni ¾

a funkcj ¾

a ca÷

kowaln ¾

a, okre´slon ¾

a na przedziale (0; 1) i niech p (x) b ¾

edzie

g ¾

esto´sci ¾

a prawdopodobie´nstwa na przedziale (0; ), okre´slon ¾

a wzorem

p (x) =

(

c ( ) f (x) 0 < x <

0

w p.p.

.

Niech X

1

; :::; X

n

b ¾

ed ¾

a niezale·

znymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk÷

adzie z g ¾

esto´sci ¾

a

p

. Dowie´s´c, ·

ze X

(n)

jest statystyk ¾

a dostateczn ¾

a dla .

Zadanie 5.4.

Niech f b ¾

edzie dodatni ¾

a funkcj ¾

a ca÷

kowaln ¾

a, okre´slon ¾

a na ( 1; 1) i niech p

;

(x)

b ¾

edzie

g ¾

esto´sci ¾

a prawdopodobie´nstwa okre´slon ¾

a wzorem

p

;

(x) =

(

c ( ; ) f (x)

< x <

0

w p.p.

.

Niech X

1

; :::; X

n

b ¾

ed ¾

a niezale·

znymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk÷

adzie z g ¾

esto´sci ¾

a

p

;

. Dowie´s´c, ·

ze X

(1)

; X

(n)

jest statystyk ¾

a dostateczn ¾

a dla ( ; ).

Zadanie 5.5.

Udowodni´c, ·

ze ka·

zda ze statystyk T

1

T

4

w przyk÷

adzie 5.7 jest dostateczna.

Zadanie 5.6.

Udowodni´c nast ¾

epuj ¾

acy wniosek:

Przy za÷

o·

zeniach kryterium faktoryzacji, warunkiem koniecznym i dostatecznym tego, aby

statystyka U by÷

a dostateczna jest, ·

zeby dla ka·

zdych ustalonych

i

0

iloraz

p (x)

p

0

(x)

by÷funkcj ¾

a

wielko´sci U (x).

Zadanie 5.8.

Niech X

1

; :::; X

n

b ¾

ed ¾

a niezale·

znymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozk÷

adzie normalnym

N ( ;

2

)

. Wyznaczy´c minimaln ¾

a statystyk¾

e dostateczn ¾

a.

3

Zadanie 5.18.

Statystyki X

(1)

i

n

P

i=1

X

i

X

(1)

dla rodziny } = fE (a; b) : 1 < a < 1; 0 < bg s ¾

a niezale·

zne

i maj ¾

a, odpowiednio, rozk÷

ady E a;

b

n

i

1
2

2

2n 2

.

Zadanie 5.23.

Je·

zeli Y ma rozk÷

ad E ( ; 1), to X = e

Y

ma rozk÷

ad U (0; e

)

.

Zadanie 6.1.

Dowie´s´c wypuk÷

o´s´c funkcji:

(i) jxj, 1 < x < 1
(ii) x

2

,

1 < x < 1

(iii) x

p

, p

1

, 0 < x

(iv)

1

x

p

, p > 0, 0 < x

(v) e

x

,

1 < x < 1

(vi)

ln x

, 0 < x < 1.

Zadanie 6.2.

Dowie´s´c, ·

ze je·

zeli 0 < p < 1, to funkcja x

p

jest wkl ¾

es÷

a na przedziale (0; 1).

Zadanie 6.3.

Poda´c przyk÷

ad funkcji wypuk÷

ej, która na przedziale domkni ¾

etym nie jest ci ¾

ag÷

a.

Zadanie 6.4.

Dowie´s´c, ·

ze je·

zeli funkcja ' jest wypuk÷

a na przedziale (a; b) i funkcja jest wypuk÷

a

i niemalej ¾

aca na obrazie funkcji ', to funkcja [' (x)] jest wypuk÷

a na (a; b).

Zadanie 6.5.

Udowodni´c prawdziwo´s´c lub, za pomoc ¾

a kontrzprzyk÷

adów, nieprawdziwo´s´c nast ¾

epuj ¾

acych

twierdze´n: je·

zeli funkcja ' jest wypuk÷

a na przedziale (a; b), to wypuk÷

e s ¾

a równie·

z funkcje

(i) e

'(x)

(ii) ln ' (x), gdy ' > 0.

Zadanie 6.7.

Bezpo´srednio na podstawie wzoru ' [ x + (1

) y]

' (x) + (1

) ' (y)

, przez indukcj ¾

e

wzgl ¾

edem n, udowodni´c nierówno´s´c Jensena dla zmiennej losowej X przyjmuj ¾

acej warto´sci

x

1

; :::; x

n

z prawdopodobie´nstwami

1

; :::;

n

, gdzie

n

P

i=1

i

= 1

.

Zadanie 6.9.

Wykaza´c, ·

ze k-wymiarowa kula

k

P

i=1

x

2

i

c

jest wypuk÷

a.

4

Zadanie 6.10.

Dowie´s´c, ·

ze funkcja f (a) =

p

jx

a

j +

p

jy

a

j osi ¾

aga minimum dla a = x i dla a = y.

Zadanie 6.12.

Wykorzysta´c wypuk÷

o´s´c funkcji ' z zadania 6.11.

dla dowodu, ·

ze naturalna przestrze´n

parametrów rodziny wyk÷

adniczej p (x; ) = exp

s

P

i=1

i

T

i

(x)

A ( ) h (x)

jest wypuk÷

a.

Zadanie 6.14.

Wykaza´c, ·

ze funkcja ' (x; y) =

p

xy

jest wypuk÷

a dla x > 0, y > 0.

Zadanie 6.19.

Niech ' b ¾

edzie funkcj ¾

a ´sci´sle wypuk÷¾

a, okre´slon ¾

a na pewnym przedziale I (sko´nczonym lub

nie). Je·

zeli istnieje punkt a

0

w I, minimalizuj ¾

acy ' (a), to jest to jedyny punkt o tej w÷

asno´sci.

5