Matematyka PR3 2010

Zadanie 1
Wielomian

b

x

x

ax

x

x

W

+

−

−

+

=

7

2

3

)

(

2

3

4

jest podzielny przez

2

−

x

i przy dzieleniu przez

1

−

x

daje resztę 3. Wyznacz a i b.

Matematyka PR3 2010

Zadanie 2.
Rozwiąż nierówność

|

2

|

3

1

+

≥

−

−

x

x

x

Matematyka PR3 2010

Zadanie 3.
Wyznacz wszystkie

R

k

∈

, dla których równanie

(

)

(

)

0

5

2

2

2

2

=

+

+

+

−

−

k

x

k

x

k

ma dwa różne

pierwiastki dodatnie.

Matematyka PR3 2010

Zadanie 4.
Rozwiąż równanie

x

x

x

tg

cos

cos

1

2

=

+

dla

π

2

,

0

∈

x

.

Matematyka PR3 2010

Zadanie 5.
W trójkącie dane są kąty

γ

β

α ,

,

leżące odpowiednio naprzeciwko boków o długościach a, b, c.

Uzasadnij, że jeżeli ciąg

(

)

γ

β

α ,

,

jest arytmetyczny oraz ciąg

(

)

c

b

a ,

,

jest geometryczny, to

trójkąt jest równoboczny.

Matematyka PR3 2010

Zadanie 6.

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o ramionach długości b. Pole
podstawy jest równa sumie pól dwóch przystających ścian bocznych graniastosłupa. Uzasadnij, że

wysokość graniastosłupa jest nie większa niż b

4

1 .

Matematyka PR3 2010

Zadanie 7.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. Pole trójkąta
równoramiennego ASC jest równa 120, a stosunek długości podstawy do długości ramienia jest

równy |AC|:|AS|=10:13. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Matematyka PR3 2010

Zadanie 8.

Rzucamy cztery razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że
suma kwadratów wyrzuconych oczek będzie liczbą podzielną przez 5.

Matematyka PR3 2010

Zadanie 9.

Uzasadnij, że jeżeli

a

b

≤

<

0

, to

(

)

2

8

2

b

a

ab

a

b

a

+

≤

+

−

.

Matematyka PR3 2010

Zadanie 10.
Wyznacz współrzędne punktu P leżącego na prostej o równaniu

3

2

−

=

x

y

, którego suma

kwadratów odległości od punktów

( )

1

,

1

=

A

,

( )

0

,

0

=

B

jest najmniejsza.