8.2. Równanie rzędu pierwszego o rozdzielonych zmiennych

Definicja

Równanie różniczkowe rzędu pierwszego, które można zapisać w postaci

)

(

)

(

y

h

x

g

dx

dy

=

lub

)

(

)

(

x

g

dx

dy

y

h

=

nazywamy równaniem o

rozdzielonych zmiennych.

Praktyczna reguła

Równanie o rozdzielonych zmiennych wygodnie zapisać w postaci

dx

x

g

dy

y

h

)

(

)

(

=

.

Twierdzenie

Jeżeli funkcje h , g są ciągłe, to rozwiązanie ogólne równania

dx

x

g

dy

y

h

)

(

)

(

=

o

rozdzielonych zmiennych ma postać

∫

∫

=

dx

x

g

dy

y

h

)

(

)

(

.

Przykład 1.

Rozwiąż równanie

:

xy

y

x

dx

dy

+

+

+

=

1

. Wyznacz tę całkę szczególną, której wykres

przechodzi przez punkt A = (0, - 3).

Równanie to zapisujemy następująco:

)

1

)(

1

(

y

x

dx

dy

+

+

=

,

dx

x

y

dy

)

1

(

1

+

=

+

. Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.

Zgodnie z podanym twierdzeniem całkujemy „obustronnie” dane równanie:

dx

x

y

dy

)

1

(

1

+

=

+

∫

∫

Otrzymujemy:

c

x

x

y

+

+

=

+

2

5

,

0

1

ln

,

R

c

∈

.

Stąd mamy rozwiązanie ogólne y(x) = c

⋅⋅⋅⋅

2

5

,

0 x

x

e

+

−

1 , c

∈

R.

Skoro całka szczególna ma przechodzić przez punkt A = (0, - 3), więc musi być spełniony

warunek -3 = c

⋅⋅⋅⋅

0

e

−

1. Stąd c = -2.

Poszukiwana całka ma postać: y(x) = -2

⋅⋅⋅⋅

2

5

,

0 x

x

e

+

−

1

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1.

Sprawdź ,że dla każdej liczby

R

c

∈

podane funkcje są rozwiązaniami ogólnymi równań

różniczkowych ; wskaż rozwiązanie spełniające zadane warunki początkowe:

a )

.

1

)

1

(

,

,

)

(

'

=

=

=

y

y

y

ce

x

y

x

b )

.

0

)

0

(

,

1

1

,

1

)

(

2

'

2

=

+

+

=

+

+

=

y

x

xy

y

x

c

x

x

y

c )

.

1

)

1

(

,

3

,

2

'

2

=

=

+

=

y

x

y

xy

cx

y

Zadanie 2.

Rozwiąż równania o rozdzielonych zmiennych.

a)

0

4

=

+

x

dx

dy

y

; d)

;

x

tgy

dx

dy

=

b)

;

2

2

xy

dx

dy

=

e )

y

dx

dy

x

=

2

2

;

c)

;

2

)

1

(

2

y

dx

dy

x

=

−

f )

.

0

)

1

(

)

(

2

2

2

=

−

+

+

dx

dy

y

x

y

xy

Odpowiedzi

Zad. 2.: a )

;

4

2

2

c

x

y

=

+

b )

;

1

)

(

2

c

x

x

y

+

−

=

c )

;

1

1

x

x

c

y

−

+

=

d )

0

sin

=

+

cx

y

; e )

;

5

,

0

x

ce

y

−

=

f )

.

ln

c

xy

y

x

y

x

=

+

−