L

ABORATORIUM FIZYCZNE

Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej

ĆWICZENIE

1

Wyznaczanie wartości przyśpieszenia ziemskiego metodą
wahadła matematycznego

B.Oleś i J.Kurzyk

Ćwiczenie 1

2

R

ś

geoida

Rys.1. Przyśpieszenie ziemskie na szero-
kości geograficznej jest efektem dzia-
łania na ciała ciężaru . Siła ta jest wy-
padkową siły grawitacji

oraz siły od-

środkowej

ś

. Na wartość przyśpiesze-

nia ziemskiego w danym miejscu ma
również wpływ kształt Ziemi, spłaszczo-
nej przy biegunach.

ĆWICZENIE

1

Wyznaczanie wartości przyśpieszenia ziemskiego metodą
wahadła matematycznego

B.Oleś i J.Kurzyk

1.

Wprowadzenie

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości przyśpieszenia ziemskiego za po-

mocą wahadła matematycznego.

1.1

Przyśpieszenie ziemskie

Spadek ciał w polu grawitacyjnym dużego obiektu takiego jak np. Ziema, niezaburzony oddziały-

waniem z innymi ciałami, czyli m.in. bez oporów ruchu nazywamy

spadkiem swobodnym

. Wszystkie

ciała, niezależnie od ich mas i kształtu, spadając swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi, poruszają
się z tym samym przyśpieszeniem, które nazywamy

przyśpieszeniem ziemskim

. Taką cechę spadku

swobodnego odkrył włoski uczony, twórca podstaw nowożytnej fizyki, Galileusz żyjący w latach 1564-
1642.

Przyśpieszenie ziemskie jest wielkością wektorową, wyrażamy je w m/s

2

i oznaczamy symbolem

g.

Za spadek swobodny odpowiedzialny jest ciężar ciała

, który jest wypadkową siły grawitacji

i siły odśrodkowej

ś

(patrz: rys.1). Siła odśrodkowa nie jest wynikiem oddziaływania z innymi cia-

łami lecz jest siłą bezwładności. Jej uwzględnienie jest konieczne, gdy ruch ciała chcemy opisać w
układzie sztywno związanym z Ziemią, który w związku z ruchem obrotowym Ziemi jest układem nie-
inercjalnym

1

.

Gdyby uwzględnić tylko siłę grawitacyjnego przyciągania, to z prawa powszechnego ciążenia do-

stalibyśmy wartość przyśpieszenia ziemskiego daną wzorem:

1

W układzie tym pojawia się jeszcze jedna siła bezwładności – siła Coriolisa, której działanie, w przypadku

spadku swobodnego z małych, w porównaniu z promieniem Ziemi wysokości możemy pominąć ze względu na
niewielkie prędkości ciał.

Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego …

3

Grawimetria jest działem nauki zajmują-
cym się pomiarami przyśpieszenia ziem-
skiego i służącymi do badania pola gra-
witacyjnego Ziemi. Jest ona stosowana w
geofizyce i geologii do określania różnic
w budowie skorupy ziemskiej na podsta-
wie regionalnych anomalii przyśpieszenia

. Przyrządy zwane grawimetrami po-

zwalają na jego pomiar nawet z dokład-
nością do 0,5 m/s

2

. Grawimetria wyko-

rzystywana jest nie tylko do poszukiwa-
nia złóż ropy naftowej i minerałów, ale
również w badaniach archeologicznych.

Prawo powszechnego ciążenia mówi,
że siła oddziaływania między dwoma
ciałami jest wprost proporcjonalna do
iloczynu ich mas,

i

, a odwrotnie

proporcjonalna do kwadratu odległości

między środkami ich mas:

gdzie stała grawitacji

wynosi

6,67384(80) 10

−

11

m

3

s

−

2

kg.

= −

,

=

,

gdzie to stała grawitacyjna, - masa Ziemi, - jej
promień. Ponieważ nasza planeta nie jest idealną kulą,
lecz ma kształt geoidy i jest spłaszczona przy biegu-
nach, wartość przyśpieszenia jest w okolicy biegu-
nów większe niż na małych szerokościach geograficz-
nych, gdzie odległość od środka Ziemi jest większa.

Drugi czynnik, który ma wpływ na wartość i kierunek

to siła odśrodkowa

ś

. Siła ta nie tylko zmniejsza

wartość przyśpieszenia wywołanego grawitacją, ale

również zmienia nieco jego kierunek. Przyśpieszenie odśrodkowe

ś

=

cos , będące konse-

kwencją ruchu wirowego Ziemi, ma największą wartość na równiku (3,4 cm/s

2

) i

maleje wraz z szero-

kością geograficzną.

Oba wymienionej wyżej efekty sprawiają, że przy-
śpieszenie ziemskie zależy od położenia na naszej
planecie i zmienia się wraz z szerokością geograficzną
– największą wartość osiąga na biegunach, około
9,82 m/s

2

, a najmniejszą na równiku,

9,78 m/s

2

.

Również kierunek wektora nie jest dokładnie zwró-
cony do środka Ziemi, jakby to wynikało z prawa po-
wszechnego ciążenia, ale jest raczej prostopadły do
powierzchni geoidy.

Warto nadmienić, że zmiany gęstości skał w skorupie
ziemskiej, np. obecność złóż ropy naftowej, czy rud
mogą lokalnie zmienić wartość .

Ze względu na małą prędkość kątową Ziemi, siła odśrodkowa działająca na dane ciało jest mała w
porównaniu z siłą grawitacji i w naszych dalszych rozważaniach możemy z dobrym przybliżeniem

przyjąć, że

≅ =

"#$

%

&

=

.

1.2

Wahadło fizyczne i matematyczne

Każde ciało zawieszone na poziomej osi położonej ponad środkiem ciężkości tego ciała nazywamy

wahadłem fizycznym

lub po prostu

wahadłem

. Wahadło wyprowadzone z położenia równowagi wy-

konuje drgania wywołane ciężarem. Wyidealizowaną formą wahadła jest tzw.

wahadło matematycz-

ne

2

definiowane, jako punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Wahadło ma-

tematyczne jest modelem prostszym do opisu i analizy niż obiekt rzeczywisty. Wahadło złożone z
kulki zawieszonej na nitce, której drugi koniec jest unieruchomiony, a średnica kulki jest mała w po-
równaniu z długością nici, z dobrym przybliżeniem zachowuje się jak wahadło matematyczne. Kulka
takiego wahadła powinna być wykonana z materiału o dużej gęstości np. ze stali lub ołowiu. W takim

2

Wahadło matematyczne bywa również nazywane wahadłem prostym.

Ćwiczenie 1

4

Moment siły

względem punktu jest

zdefiniowany jako wektor, którego
wartość jest równa

kierunek jest prostopadły do płaszczy-
zny wyznaczonej przez wektor siły
oraz wektor wychodzący z punktu,
względem którego liczymy moment siły
i wskazujący punkt, w którym przyłożo-
na jest siła, a zwrot ustalony zgodnie z
regułą śruby prawoskrętnej.

' ' = | | ∙ ' ' sin ∡( , ),

przypadku opory ruchu będą małe w porównaniu z siłą ciężkości kulki i w wielu przypadkach będzie
można je zaniedbać.

1.3

Przybliżenie małych drgań wahadła matematycznego

Ruch wahadła matematycznego możemy opisać jak

ruch obrotowy pod wpływem zmieniającego się wraz z
kątem wychylenia wahadła momentu siły. Siłą odpowie-
dzialną za powstanie tego momentu siły jest składowa

/

ciężaru punktu materialnego, styczna do łuku, po

którym porusza się ten punkt (rys.2). Ponieważ

≅

=

, to wartość siły

/

jest równa

sin 0.

Pozostałe siły, czyli druga składowa siły ciężkości

1

, (o

wartości

cos 0) i siła napięcia sprężystego nici 2,

leżą na kierunku przechodzącym przez oś obrotu waha-
dła, więc nie wnoszą wkładu do momentu siły. Różnica
tych dwóch sił jest równa sile dośrodkowej towarzyszą-
cej ruchowi punktu materialnego. Jej wartość zmienia

się wraz z kątem

0. W skrajnych pozycjach waha-

dła (tam, gdzie prędkość wahadła jest zerowa),
wartość siły dośrodkowej jest równa zeru, a pod-
czas przechodzenia wahadła przez punkt równo-
wagi jest największa (wtedy również prędkość
wahadła oraz napięcie nici są największe).

Moment siły pochodzący od składowej

/

jest

prostopadły do płaszczyzny ruchu wahadła, a jego

rzut na oś obrotu wahadła wynosi

–

5 sin 0.

Znak „

−

” w tym wzorze oznacza, że moment siły

jest skierowany przeciwnie do wychylenia kąto-
wego

3

.

Dla małych kątów

0 wychylenia wahadła z po-

łożenia równowagi funkcję

sin 0 można przybliżyć

przez kąt

0 wyrażony w mierze łukowej (w radia-

nach). Wówczas wyrażenie na moment siły

przyjmuje prostszą postać

– 50, typową dla

tzw. oscylatora harmonicznego, czyli układu, który wykonuje drgania nazywane

drganiami harmo-

nicznymi

. Drgania harmoniczne są szczególnym przypadkiem drgań okresowych. Podczas drgań har-

monicznych, wychylenie z położenia równowagi w funkcji czasu jest opisywane funkcją sinus

0(6) = 0

7

sin 89

2:

; < 6 + >?,

3

Wychylenie kątowe jest traktowane jak wektor o kierunku zgodnym z kierunkiem osi obrotu i zwrocie defi-

niowanym regułą prawej dłoni lub śruby prawoskrętnej.

Rys.2. Diagram przedstawiający siły działające na
wahadło proste (patrz opis w tekście).

0

5

2

/

1

Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego …

5

gdzie

0

7

jest maksymalnym wychyleniem (amplitudą ruchu), a

> – fazą początkową. Okres małych

drgań

; wahadła matematycznego wynosi

; = 2:@

5

.

(1.1)

Zwróćmy uwagę, że do powyższego wzoru na okres drgań wahadła nie wchodzi amplituda

0

7

.

Oznacza to, że

okres drgań wahadła nie zależy od amplitudy ruchu

. Tą niezwykłą własnością charak-

teryzują się wszystkie układy wykonujące drgania harmoniczne. Własność tę nazywamy

izochroni-

zmem

. Spośród wszystkich ruchów okresowych jedynie ruchy harmoniczne posiadają własność izo-

chronizmu.

2.

Metoda pomiaru

Metoda pomiaru przyśpieszenia ziemskiego zastosowana w tym ćwiczeniu wykorzystuje pra-

wa ruchu wahadła prostego. Okres wahadła prostego

; dla małych wychyleń zależy jedynie od jego

długości

5 oraz od lokalnej wartości przyśpieszenia i dany jest wzorem (2.1). Nie zależy natomiast

ani od masy kulki, ani od amplitudy ruchu.

Wyznaczając ze wzoru (1.1) przyśpieszenie ziemskie dostajemy

=

4: 5

; .

(2.1)

Z powyższej zależności widać, że znając długość wahadła

5 oraz jego okres ; możemy obliczyć przy-

śpieszenie .

3.

Wykonanie ćwiczenia

Wahadło stosowane w pomiarach to mała, metalowa kulka o średnicy ok. 2 cm zawieszona na

cienkiej, nici o długości ok. 100 cm (patrz: rys.4). Do pomiaru okresu wahadła, długości nici i średnicy

Pamiętaj

Ruch harmoniczny jest szczególnym przypadkiem ruchu okresowego.

Aby ciało poruszało się ruchem harmonicznym musi działać na nie siła proporcjonalna
do wychylenia z położenia równowagi i przeciwnie do tego wychylenia skierowana.

W ruchu harmonicznym zależność położenia ciała od czasu opisuje funkcja sinus.

Ruch harmoniczny, jako jedyny ruch okresowy, cechuje izochronizm, czyli niezależność
okresu drgań od amplitudy.

W przypadku małych wychyleń ruch wahadła możemy przybliżyć ruchem harmonicz-
nym. To przybliżenie jest tym lepsze im mniejsza jest amplituda tego ruchu, ale zawsze,
nawet dla bardzo małych kątów, jest to tylko przybliżenie.

Ćwiczenie 1

6

kulki używane są odpowiednio: stoper, taśma miernicza oraz suwmiarka. Przyrządy te pokazane są na
rys.4.

Rys.4. Wahadło proste oraz przyrządy używane w pomiarach: stoper, suwmiarka, taśma miernicza

3.1

Przebieg pomiarów

1.

Wychyl wahadło z położenia równowagi o kilka stopni i upewnij się, że jego ruch odbywa się
w jednej płaszczyźnie.

2.

Zmierz stoperem czas trwania 10 okresów,

6 = 10;. Wykonaj serię D = 10 pomiarów 6.

3.

Taśmą mierniczą zmierz trzykrotnie długość nici

ℎ, licząc od punktu zawieszenia do punktu

styku nitki z powierzchnią kulki. Jeśli rozrzut wyników pomiarów, tj. różnica między najwięk-
szą i najmniejszą zmierzoną wartością, będzie większy niż 3 mm, należy zwiększyć liczbę po-
miarów do minimum

D = 5.

4.

Oszacuj niepewność graniczną

Gℎ pomiaru długości nitki. Weź pod uwagę, że ze względu na

trudność odczytania na taśmie mierniczej położenia punktu zaczepienia kulki do nici, ta gra-
niczna niepewność będzie większa niż 1 mm, jak by to wynikało z działki taśmy mierniczej.
Stąd

∆ℎ = 2 mm jest realistycznym oszacowaniem tej niepewności.

5.

Suwmiarką zmierz trzykrotnie średnicę kulki

I = 2 , zmieniając za każdym razem położenie

suwmiarki.

Pamiętaj

Niepewność pomiarowa jest ilościową miarą wszystkich czynników, które ogra-
niczają dokładne wyznaczenie mierzonej wielkości. Dlatego wykonując pomiary
należy notować każdy przyczynek do całkowitej niepewności mierzonej wielko-
ści.

Wyniki pomiarów należy starannie zapisywać w tabelach, których wzory poda-
ne są w instrukcji.

Nie wolno zapominać o jednostkach.

Należy pamiętać, że „0” na końcu liczby jest cyfrą znaczącą i odczytu „12,0 cm”
nie wolno zapisać jako „12 cm”, bo oznaczałoby to, że pomiar został przepro-
wadzony z dokładnością do 1 cm, a nie 0,1 cm.

Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego …

7

6.

Każdy wynik pomiaru od razu wprowadź do tabeli danych 1, której wzór podany jest na koń-
cu niniejszego paragrafu.

Uwagi dodatkowe

W przypadku wahadła o długości ok. 1 m, wychylenie o

5° otrzymamy, gdy kulkę odsuniemy

od położenia równowagi o ok. 9 cm, a wychylenie o

10° przy przesunięciu kulki o ok. 17 cm.

Nie należy rozpoczynać liczenia okresów jednocześnie z rozpoczęciem ruchu kuleczki. Wpraw
wahadło w ruch i w wygodnym dla siebie momencie rozpocznij pomiar czasu.

Najdokładniej zmierzysz okres biorąc jako moment charakterystyczny przejście kuleczki przez
punkt równowagi (najniżej położony punkt), gdyż w okolicy tego punktu kuleczka znajduje się
najkrócej. W tym celu wybierz sobie jakiś charakterystyczny element otoczenia, który będzie
zasłaniany przez kuleczkę w momencie przechodzenia przez punkt równowagi. Rozpocznij
pomiar czasu w momencie, gdy kuleczka przechodzi przez ten punkt, a następnie licz kolejne
przejścia przez ten punkt podczas ruchu w tym samym kierunku co w chwili włączenia stope-
ra.

Nie pomyl się licząc liczbę wahnięć. Zwróć uwagę, że liczenie zaczynamy od 0 (w momencie
uruchomienia stopera mówimy 0, a nie 1).

Pomiar czasu dziesięciu wahnięć powtarzamy dziesięciokrotnie.

Staraj się wykonać pomiar czasu jak najdokładniej potrafisz. We wzorze (2.1)

; występuje w

drugiej potędze i dlatego dokładność jego pomiaru będzie miała istotny wpływ na dokładność
wyznaczenia przyśpieszenia ziemskiego. Zwykle wyniki pomiarów czasu cechuje spory rozrzut
wynikający z refleksu osoby mierzącej za pomocą stopera. Na podstawie tej serii pomiarów
będzie można oszacować niepewność Typu A.

Pomiar czasu wykonuj przyrządem jednego typu i o tej samej dokładności. Nie mieszaj po-
miarów wykonanych np. stoperem mechanicznym i stoperem w swojej komórce. Wymiesza-
nie takich pomiarów nie pozwoli na sensowne oszacowanie niepewności.

Stoper mechaniczny w zależności od wersji ma dokładność

0,1 s lub 0,2 s. W obu przypad-

kach wyniki musisz zapisywać z dokładnością do dziesiątych części sekundy, nawet wówczas,
gdy na tym miejscu dziesiętnym znajduje się

0, np. 16,0 s

Staraj się nie popełniać błędów podczas odczytu czasu ze stopera. Często zdarza się, że stu-
denci podają czas odczytany ze stopera o dokładności

0,2 s z nieparzystą cyfrą po przecinku.

Zauważ, że odczyt czasu z takiego stopera może mieć po przecinku tylko parzyste cyfry 0, 2,
4, 6 lub 8.

Pomiar długości nitki wykonujemy parami. Jedna z osób przykłada początek taśmy mierniczej
do punktu zawieszenia nitki, a druga wykonuje pomiar. Wykonując pomiar długości nitki mo-
żesz pomóc sobie małą karteczką. Przyłóż ją do kulki w punkcie styku nitki z powierzchnią
kulki tak, aby jej krawędź była prostopadła do nitki i odczytaj z taśmy mierniczej położenie
krawędzi tej karteczki.

Pomiar średnicy

I kulki jest znacznie dokładniejszy od pomiaru długości ℎ nitki (przynajmniej

o rząd wielkości). Dlatego możemy przy obliczaniu niepewności zaniedbać niepewność po-
chodzącą od pomiaru

I.

Ćwiczenie 1

8

Tabela 1. Dane doświadczalne do wyznaczenia

Ćwiczenie 1. Dane pomiarowe

Okres drgań

wahadła

Długość nici

Średnica kulki

L.p.

Czas t=10T

[s]

L.p.

długość nitki

h [cm]

L.p.

średnica kulki

d [mm]

1.

1.

1.

2.

2.

2.

3.

3.

3.

4.

4.

4.

5.

5.

5.

6.

6.

6.

7.

7.

7.

8.

8.

8.

9.

9.

9.

10.

10.

10.

Δ6 [s]

Δℎ[cm]

ΔI [mm]

Δ6, Δℎ, ΔI w powyższej tabeli oznaczają wartości połowy szerokości granicznych od-

powiednio dla zmiennych

6, ℎ, I. W przypadku, gdy liczba pomiarów danej wielkości

jest większa niż 4, można przyjąć szerokość przedziału granicznego na poziomie naj-
mniejszej działki przyrządu, gdyż rozrzut statystyczny uwzględnimy licząc niepewność
metodą A. W przeciwnym wypadku za połowę szerokości przedziału granicznego nale-
ży przyjąć wartość co najmniej równą połowie różnicy pomiędzy skrajnymi wartościami
serii pomiarów. Przykład oszacowania wartości

Δ6, Δℎ, ΔI można znaleźć w [5] Nie-

pewności pomiarowe - wersja rozszerzona. Dodatek C lub w [6]

Przykładowe opracowanie

danych pomiarowych ćwiczenia nr. 1.

Pamiętaj

Podstawiając dane liczbowe do wzorów pamiętaj o jednostkach.

Kolejne kroki obliczeń powinny być opisane, aby wiadomo było, czego dotyczą.

Wszystkie końcowe wyniki obliczeń powinny być odpowiednio zaokrąglone –
zaczynamy od zaokrąglania niepewności do dwóch cyfr znaczących, a potem za-
okrąglamy wynik do tego samego miejsca dziesiętnego, co niepewność.

Do dalszych obliczeń należy wziąć wyniki z przynajmniej jedną cyfrą znaczącą
więcej, niż wynika to z reguły zaokrąglania wyników. Unika się wówczas błędu
zaokrąglenia.

Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego …

9

4.

Obliczenia

1.

Oblicz wartość średniej arytmetycznej okresu

;M. Nie zapomnij o przeliczeniu mierzonych

wielkości związanych z okresem na

1;.

2.

Oszacuj niepewność Typu A pomiaru okresu wahadła,

N

O

(;). W tym celu oblicz odchylenie

standardowe średniej arytmetycznej okresu

N

O

(;) = @

∑ (;

Q

− ;M)

1

QR

D(D − 1) .

3.

Oszacuj niepewność Typu B pomiaru okresu,

N

S

(;).

N

S

(T) =

∆;
√3

.

4.

Oblicz niepewność złożoną pomiaru okresu drgań

N

W

(;) = XN

O

(;) + N

S

(;) .

5.

Oblicz średnią arytmetyczną długość nici

ℎM oraz średnicy kulki I̅.

6.

Oblicz długość wahadła

5̅ = ℎM + I̅ 2

⁄ .

7.

Oszacuj niepewność Typu B pomiaru długości wahadła

5. Z dobrym przybliżeniem jest ona

równa niepewności długości nici

N

S

(ℎ), ponieważ pomiar promienia kuleczki jest przepro-

wadzony za pomocą bardziej precyzyjnej suwmiarki elektronicznej (z dokładnością do 0,01
mm) i stąd niepewność związana z promieniem kulki jest na tyle mała, że można ją zanie-
dbać

N

S

(5) ≅ N

S

(ℎ) =

∆ℎ
√6

.

8.

Oblicz zmierzoną (pośrednio) wartość przyśpieszenia ziemskiego.

̅ = 4:

5̅

;M .

9.

Oblicz niepewność standardową (złożoną) przyśpieszenia ziemskiego,

N( )

N( ) = ∙ @8−2

N

W

(;)

;M ? + 8

N

W

(5)

5̅

? .

Wzór ten musisz umieć wyprowadzić (patrz wzory 7.7 i 7.8 w [4], Niepewności pomiarowe -
wersja podstawowa)!

10.

Oblicz niepewność rozszerzoną pomiaru przyśpieszenia ziemskiego

[( ).

Ćwiczenie 1

10

5.

Dyskusja wyników

1.

Podaj poprawnie zapisane wyniki pomiarów (łącznie z niepewnościami).

2.

Porównaj otrzymaną wartość przyśpieszenia ziemskiego z wartością tablicową dla Krako-
wa. Oceń zgodność obu wartości, tzn. sprawdź czy wartość tablicowa mieści się w przedzia-
le

\ ̅ − N( ), ̅ + N( )]? Jeśli wartość tablicowa nie mieści się w tym przedziale, to wylicz

niepewność rozszerzoną

[( ) i sprawdź, czy wartość tablicowa mieści się w przedziale

\ ̅ − [( ), ̅ + [( )]. Jeśli odpowiedź na to pytanie jest negatywna, to spróbuj znaleźć
błędy, które do tego doprowadziły. W szczególności sprawdź dwie hipotezy:

a.

błąd pomiaru wynika z błędnego pomiaru długości wahadła.

b.

błąd pomiaru wynika z błędnego pomiaru okresu wahadła.

W pierwszym przypadku policz błąd

Δ5, jaki musiałby być popełniony podczas pomiaru dłu-

gości wahadła jeśli okres

;M zmierzony był dokładnie:

Δ5 = 5

^_ `.

− 5̅ =

^abc

;M

4:

− 5̅.

W drugim przypadku policz błąd

Δ;, jaki musiałby być popełniony podczas pomiaru okresu

wahadła jeśli długość

5̅ zmierzona była dokładnie:

Δ; = ;

^_ `.

− ;M = 2:@

5̅

^abc.

− ;M.

Oceń, która z tych hipotez jest bardziej prawdopodobna (patrz [5] Obliczanie niepewności i
wyrażanie niepewności pomiaru – wersja rozszerzona. Dodatek C lub [6] Przykładowe
opracowanie danych pomiarowych ćwiczenia nr. 1.).

3.

Na podstawie wartości niepewności względnych związanych z pomiarami okresu i długości
wahadła oceń, który pomiar w największym stopniu wpływa na niepewność przyśpieszenia

82

N

W

(;)

;M ?, 8

N

W

(5)

5̅

?.

Zaproponuj zmiany w przebiegu pomiarów, które zmniejszyłyby niepewności.

Na zakończenie analizy błędów systematycznych w naszej metodzie pomiarowej zwróćmy jesz-

cze uwagę na występująca we wzorze (2.1) liczbę

:. Stosowanie przybliżonych wartości stałych fi-

zycznych lub matematycznych jest również źródłem błędów systematycznych. Jeśli satysfakcjonuje
nas błąd procentowy rzędu 0,01%, wówczas musi być spełniona nierówność

2∆:

: ∙ 100 < 0,01% ,

gdzie

∆: jest różnicą między wartością dokładną a naszym przybliżeniem liczby :. Dostajemy stąd, że

nie wystarczy użyć popularnego przybliżenia 3,14, ale przybliżenia z dokładnością do czwartego miej-
sca po przecinku lub lepszego.

Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego …

11

6.

Uzupełnienia

Tabela 5. Wartości przyśpieszenia ziemskiego dla różnych miejsc na kuli ziemskiej

Na biegunach

9,833 321 m/s

2

Gdańsk

9,814 5 m/s

2

Na szerokości geograficznej

45° i poziomie morza

9,806 65 m/s

2

Warszawa

9,812 3 m/s

2

Na równiku

9,78 03 m/s

2

Kraków

9,810 5 m/s

2

7.

Literatura

[1]

Praca pod red. B.Oleś i M. Duraj: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, cz.I. wyd.4, Wydawnictwo
PK, Kraków 2008.

[2]

A. Januszajtis: Fizyka dla politechnik, t.I. PWN, Warszawa 1977.

[3]

T.Dryński: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki. PWN, Warszawa 1967.

[4]

J. Kurzyk, Obliczanie niepewności i wyrażanie niepewności pomiaru – wersja podstawowa.
Dokument wewnętrzny IFPK, 2014.

[5]

J. Kurzyk, Obliczanie niepewności i wyrażanie niepewności pomiaru – wersja rozszerzona. Do-
kument wewnętrzny IFPK, 2014.

[6]

J. Kurzyk, Przykładowe opracowanie danych pomiarowych ćwiczenia nr. 1. Dokument we-
wnętrzny IFPK, 2014.

8.

Jeśli chcesz wiedzieć więcej

1.

Obszerną analizę błędów występujących w metodzie wyznaczania przyśpieszenia ziemskiego
przy użyciu wahadła matematycznego znajdziesz w materiałach uzupełniających do tego
ćwiczenia do tego ćwiczenia:

Uzupełnienie do wyznaczania przyśpieszenia ziemskiego meto-

dą wahadła matematycznego

.

2.

Jeśli zainteresowała cię grawimetria, zajrzyj na stronę:

www.ift.uni.wroc.pl/~ciechano/Geofizyka/W-GeoZ_III_05.pdf

Ćwiczenie 1

12

1.

WPROWADZENIE ..................................................................................................................................... 2

1.1

P

RZYŚPIESZENIE ZIEMSKIE

............................................................................................................................. 2

1.2

W

AHADŁO FIZYCZNE I MATEMATYCZNE

........................................................................................................... 3

1.3

P

RZYBLIŻENIE MAŁYCH DRGAŃ WAHADŁA MATEMATYCZNEGO

............................................................................. 4

2.

METODA POMIARU ................................................................................................................................. 5

3.

WYKONANIE ĆWICZENIA ......................................................................................................................... 5

3.1

P

RZEBIEG POMIARÓW

.................................................................................................................................. 6

4.

OBLICZENIA .............................................................................................................................................. 9

5.

DYSKUSJA WYNIKÓW............................................................................................................................. 10

6.

UZUPEŁNIENIA ....................................................................................................................................... 11

7.

LITERATURA ........................................................................................................................................... 11

8.

JEŚLI CHCESZ WIEDZIEĆ WIĘCEJ .............................................................................................................. 11