72

BankowoÊç Komercyjna

B A N K I K R E DY T c z e r w i e c 2 0 0 3

W poni˝szej cz´Êci artyku∏u zostanà szczegó∏owo za-
prezentowane podstawowe podejÊcia do zarzàdzania
ryzykiem portfela kredytowego – zarówno te o charak-
terze czysto naukowym, jak i te, które przybra∏y form´
powszechnie znanych produktów komercyjnych

1

.

PodejÊcia oparte na wykorzystaniu klasycznej
teorii Markowitza

Ten typ modelowania ryzyka portfela kredytowego
znalaz∏ odbicie w pracach Altmana [4], [5], [6], Gollin-
gera i Morgana [31] oraz Stevansona i Fadila [24]. Ró˝-
nià si´ one przede wszystkim metodà szacowania stóp
zwrotu z poszczególnych klas kredytów i estymowania
ich macierzy kowariancji, a tak˝e wykorzystywanà mia-
rà ryzyka.

Poni˝ej zostanà zaprezentowane metody opracowa-

ne przez Altmana oraz Gollingera i Morgana. Praca Ste-
vansona i Fadila ma charakter raczej intuicyjny. Ponie-
wa˝ zbyt ma∏o jest w niej konkretów, zostanie pomini´ta.

PodejÊcie Altmana

Praca Altmana opiera si´ na klasyfikowaniu kredytów
ze wzgl´du na poziom ryzyka, podobnie jak w przypad-
ku obligacji (tj. Aaa, Aa, A, Bbb, Bb, B, Ccc...). B´dzie-
my zak∏adaç, ˝e istnieje K takich klas, a K-ta klasa ozna-
cza niewyp∏acalnoÊç. Do klasyfikacji mo˝na wykorzy-
stywaç analiz´ dyskryminacyjnà, model logitowy lub
probitowy. Autor sugeruje jednak wykorzystanie w tym
celu opracowanego przez siebie modelu ZETA. Altman
zak∏ada ponadto, ˝e dla ka˝dej klasy kredytów mo˝emy
obliczyç na podstawie danych historycznych Êrednià
stop´ zwrotu w stosunku rocznym w podokresie t (gdzie
t = 1, 2, 3...,T), którà oznacza przez YTM

t

i

. Oczekiwanà rocz-

nà stop´ zwrotu skorygowanà o straty na okres t dla i-tej kla-
sy definiujemy jako

, gdzie EAL

t

i

oznacza oczekiwanà rocznà strat´ obliczonà dla rozpa-
trywanej próby. Przyjmujàc, ˝e

oraz

Êrednià historycznà stop´ zwrotu

skorygowanà o oczekiwane straty dla okresu z∏o˝onego
z podokresów a˝ do T w∏àcznie, otrzymujemy

. Aby obliczyç oczekiwanà strat´

dla i-tej klasy, tj. EAL

t

i

, musimy najpierw oszacowaç

macierz przejÊcia mi´dzy poszczególnymi klasami

. Prawdopodobieƒstwo przejÊcia z i-tej do

j-tej klasy estymujemy za pomocà cz´stoÊci przejÊç mi´-
dzyokresowych mi´dzy tymi klasami w rozpatrywanej

P

p

ij i j

K

=

( )

=

,

,...

1

EAR

YTM

EAL

i

i

i

=

−

EAL

EAL

i

T

i

t

t

T

=

=

∑

1

1

YTM

YTM

i

T

i

t

t

T

=

=

∑

1

1

EAR

YTM

EAL

i

t

i

t

i

t

=

−

Modelowanie ryzyka portfela
kredytowego

Cz´Êç II*

Wo j c i e c h Ku r y ∏ e k

* Prace nad powy˝szà publikacjà zosta∏y cz´Êciowo sfinansowane z grantu
KBN PBZ-016/P03/99. Pierwszà jej cz´Êç opublikowaliÊmy w nr. 5/2003 „Ban-
ku i Kredytu”.

1

Prace, na których bazujà te modele, sà niestety z regu∏y wysoce nieprecyzyj-

ne i ma∏o sformalizowane.

próbie. Dodatkowo zak∏adamy, ˝e umiemy oszacowaç
dla i-tej klasy przeci´tny czas trwania umowy – d

i

, sto-

p´ odzyskania nale˝noÊci w przypadku migracji do kla-
sy nieÊciàgalnoÊci – rec

i

oraz zmian´ ró˝nicy mi´dzy

stopà zysku a stopà bez ryzyka (tzw. spread) w wyniku
migracji do dowolnej z klas mi´dzy okresami t – 1 a t ,
którà oznaczamy przez

∆

s

ij

. Majàc powy˝sze dane,

oczekiwanà rocznà strat´ obliczamy jako

. Kolejnym

krokiem jest przyj´cie miary ryzyka oraz oszacowanie
macierzy kowariancji. Altman proponuje tutaj dwa po-
dejÊcia.

Pierwsze z nich polega na uwzgl´dnieniu jako

miary ryzyka portfela kredytowego odchylenia stan-
dardowego okreÊlonych w powy˝szy sposób stóp
zwrotu portfela kredytowego. W tym celu za pomocà
danych historycznych nale˝y oszacowaç macierz ko-
wariancji

. Jako estymatory kowariancji

przyjmujemy wówczas kowariancje próbkowe

.

Drugie podejÊcie jest nieco bardziej zawi∏e i zak∏a-

da, ˝e ryzyko portfela powinno byç mierzone jako wa-
riancja tzw. nieoczekiwanych strat. Zak∏adajàc, ˝e

– wariancja oczekiwanych strat – jest niezmienni-

cza ze wzgl´du na okres oraz ˝e oczekiwane straty
EAL

t

i

ka˝dej klasy i i podokresu t pochodzà z rozk∏adu

normalnego o parametrach

, nieoczeki-

wanà strat´ w podokresie t dla i-tej klasy

definiuje-

my jako wartoÊç krytycznà

2

. Jak ∏a-

two zauwa˝yç

gdzie ,

oznacza odwrotnoÊç dystrybuanty wystandaryzowa-
nego rozk∏adu normalnego. Altman proponuje w ce-
lu uzyskania oszacowania

podstawiç za

wy-

estymowane odchylenia standardowe próby

. Przyjmujàc

,

kowariancje stóp zwrotu mo˝na estymowaç przy u˝yciu
kowariancji próbkowych

.

Majàc oszacowane w powy˝szy sposób parametry mo-
delu Markowitza, mo˝na przystàpiç do wyznaczania
optymalnego portfela kredytowego.

PodejÊcie Gollingera i Morgana

Gollinger i Morgan [31] rozpatrujà natomiast podzia∏
kredytów ze wzgl´du na bran˝´, z której pochodzi kre-
dytobiorca. Zak∏adajà, ˝e oczekiwane stopy zwrotu dla
bran˝ mo˝na obliczyç przy u˝yciu Loan Pricing Matrix
– produktu dostarczanego przez firm´ Loan Pricing
Corporation. Za miar´ ryzyka postulujà przyj´cie wa-
riancji stóp zwrotu. Poniewa˝ brakuje powszechnie do-
st´pnych szeregów czasowych zrealizowanych w prze-
sz∏oÊci stóp zwrotu dla poszczególnych typów kredy-
tów, nie mo˝na przy ich u˝yciu oszacowaç macierzy
kowariancji. Autorzy proponujà wi´c, aby przybli˝yç jà

macierzà kowariancji wskaêników oceniajàcych jakoÊç
kredytobiorcy (np. wskaênik ZETA Altmana lub zmien-
na y* w modelu logitowym oraz probitowym). Zak∏ada-
jàc bowiem, ˝e dysponujemy danymi historycznymi
o takich wskaênikach – tj. próbà

, gdzie i oznacza typ

kredytu, a t rozpatrywany okres - kowariancje próbko-
we wynoszà odpowiednio

.

Ten sam pomys∏ zawarty jest tak˝e w pracy Stevensona
i Fadila [24].

Scenariuszowe podejÊcie Benneta

Na poczàtku pragn´ podkreÊliç, ˝e model przedstawio-
ny w pracy Benneta [11] ma charakter bardzo nieformal-
ny. Jest to raczej jego szkic ni˝ precyzyjnie sformu∏owa-
ny model. Postaram si´ jednak – na ile to mo˝liwe –
przedstawiç go w nieco bardziej formalny sposób.

Za∏ó˝my, ˝e portfel kredytowy banku sk∏ada si´

z kredytów

3

i dla ka˝dego z nich mo˝emy okreÊliç pe-

wien rating

. Wy˝sza wartoÊç

odpo-

wiada gorszej jakoÊci kredytowej, czyli wi´kszemu ry-
zyku. Dla ka˝dej z rozpatrywanych umów kredytowych
jesteÊmy tak˝e w stanie okreÊliç wyra˝onà nominalnie
potencjalnà strat´ banku (tzw. pozycj´ ryzyka kredyto-
wego banku lub credit exposure), którà oznaczymy
przez CE

i

. Autor zak∏ada, ˝e w przysz∏oÊci mogà zajÊç

pewne zdarzenia ze zbioru mo˝liwych zda-
rzeƒ

(np.

s

1

– wzrost inflacji o 5%, a s

2

–

spadek wzrostu PKB o 3%). Podzbiór zbioru zdarzeƒ

, z∏o˝ony ze wzajemnie niewykluczajàcych si´

zdarzeƒ, opisuje pewien scenariusz rozwoju przysz∏o-
Êci. Dyskretny rozk∏ad ratingów kredytowych ze wzgl´-
du na potencjalnà strat´ mo˝emy zdefiniowaç jako

. Zak∏adamy ponadto, ˝e

zrealizowanie si´ w przysz∏oÊci scenariusza S mo˝e
zmieniç rating i-tego kredytu na

.

W podobny sposób, w jaki robiliÊmy to poprzednio,
mo˝na wyznaczyç rozk∏ad ratingów kredytowych ca-
∏ego portfela ze wzgl´du na potencjalnà strat´, pod
warunkiem pojawienia si´ scenariusza S, jako

. W ten sposób, dla

dowolnego mo˝liwego scenariusza S mo˝emy policzyç
zmian´ rozk∏adu w wyniku jego wydarzenia si´, czyli

. Do pomiaru ryzyka portfela kredytowe-

go, pod warunkiem pojawienia si´ scenariusza S, autor
u˝ywa nast´pujàcego indeksu:

,

gdzie

α

r

sà arbitralnie przyj´tymi wagami takimi, ˝e

α

r >

α

r-1

. Na podstawie tak skonstruowanego indeksu

mo˝na porównywaç wp∏yw poszczególnych scenariu-
szy na ryzyko kredytowe. Niech wi´c S’ oznacza naj-
gorszy z mo˝liwych scenariuszy, czyli taki, który mak-
symalizuje powy˝szy indeks. Dla ka˝dej umowy kredy-
towej mo˝emy zatem obliczyç wskaênik wp∏ywu poja-

Index S

S

r

n

( )

=

( )

=

∑

α

r

r

p

∆

1

∆

p S

p S

p

r

r

r

( )

=

( )

−

p S

CE

CE

r

i

i

Rat S

r

i

j

( )

= 





(

)

∈

( )

=

{

}

=

∑

∑

j

i

I

:

1

Rat S

n

i

( )

∈

{

}

1,...,

p

CE

CE

r

i

j Rat

i

i

j

= 





(

)

∈

=

{

}

=

∑

∑

i

r

I

:

1

S S

∈

S

s

s

k

=

{

}

1

,...,

Rat

i

Rat

n

i

∈

{

}

1,...,

ˆ

σ

ij

T

i

t

i

j

t

j

t

T

w

w

w

w

=

−

(

)

−

(

)

−

=

∑

1

1

1

w

i

t

ˆ

σ

ij

T

i

t

i

j

t

j

t

T

u

u u

u

=

−

(

)

−

(

)

−

=

∑

1

1

1

u

u

i

T

i

t

i

T

=

=

∑

1

1

σ

EAL

T

i

t

i

i

T

i

EAL

EAL

=

−

(

)

(

)

−

=

∑

1

1

2

1

1 2

σ

EAL

i

u

i

t

Φ

−

⋅

( )

1

u

EAL

i

t

i

t

EAL

i

=

+

−

(

)

−

Φ

1

1

α σ

u

i

t

N EAL

i

t

EAL

i

t

,

σ

(

)

σ

EAL

i

2

ˆ

σ

ij

T

i

t

i

j

t

j

t

T

EAR

EAR EAR

EAR

=

−

(

)

−

(

)

−

=

∑

1

1

1

C

ij i j

K

=

( )

=

σ

,

,...,

1

EAL

d

s

p

rec

s

p

i

t

j

j

K

ij

t

ij

i

iK

t

iK

=

( )

+ −

(

)

( )

=

−

−

−

∑

1

1

1

∆

∆

73

B A N K I K R E DY T c z e r w i e c 2 0 0 3

BankowoÊç Komercyjna

2

Powy˝sza koncepcja bezpoÊrednio nawiàzuje do sposobu mierzenia ryzyka

za pomocà Value at Risk.

3

Nie kategorii kredytów, lecz samych kredytów.

P EAL

u

i

t

i

t

≤

(

)

= −

1

σ

74

BankowoÊç Komercyjna

B A N K I K R E DY T c z e r w i e c 2 0 0 3

wienia si´ najgorszego scenariusza dla jej ratingu, czy-
li

. Zak∏ada si´ ponadto, ˝e z ka˝dà

umowà mo˝na zwiàzaç jej stop´ zwrotu R

i

(np. opro-

centowanie roczne kredytu). Majàc powy˝sze dane,
mo˝na stworzyç diagram

. Bennet suge-

ruje, ˝e preferencje banku wzgl´dem tego, ile jest on
sk∏onny zap∏aciç za zwi´kszenie stopy zwrotu (R) w
terminach ryzyka (Z), mo˝na zdefiniowaç przez par´
dodatnio nachylonych prostych

oraz

. Wyznaczajà one obszar pomi´dzy nimi

taki, ˝e znajdujàce si´ w Êrodku niego kombinacje ry-
zyka, a tak˝e stopy zwrotu sà akceptowalne przez
bank. Wspólne nachylenie linii wyznacza preferencje
banku w terminach ryzyko – zysk, a odst´p mi´dzy ni-
mi pewnoÊç banku co do prawid∏owego pomiaru ryzy-
ka i stopy zwrotu. Kombinacje znajdujàce si´ poni˝ej
dolnej linii charakteryzujà si´ tym, ˝e dodajà istotnà
porcj´ ryzyka i dlatego powinny przynosiç wi´kszà
stop´ zwrotu. Z kolei kombinacje znajdujàce si´ powy-
˝ej wyznaczonego przez linie obszaru sà bardzo atrak-
cyjne z punktu widzenia banku, gdy˝ nawet po znacz-
nym obni˝eniu ich rentownoÊci by∏yby nadal akcepto-
wane przez bank. Podzia∏ taki pozwala wskazaç, które
z umów kredytowych sà ma∏o atrakcyjne i powinny
byç usuni´te z portfela albo renegocjowane w kierun-
ku podwy˝szenia stopy ich rentownoÊci, a te, które sà
dla banku lukratywne.

Ekonometryczny model Chirinko i Guilla

Model Chirinko i Guilla [16] jest ekonometrycznà pró-
bà uchwycenia zwiàzków mi´dzy zmiennymi makro-
ekonomicznymi a stratami z tytu∏u kredytów udziela-
nych w ró˝nych sektorach gospodarki. W zamierzeniu
autorów model ten powinien byç pomocny w okreÊle-
niu ryzyka portfela kredytowego dla instytucji gwaran-
tujàcej depozyty, by na jego podstawie ustanawiaç limi-
ty zaanga˝owania kredytowego oraz ustalaç op∏at´
ubezpieczeniowà, proporcjonalnà do rzeczywistego po-
ziomu ryzyka danego banku. Autorzy rozpatrujà po-
dzia∏ kredytów ze wzgl´du na bran˝´, z której pochodzi
kredytobiorca, i przyjmujà, ˝e istnieje I takich bran˝. Za-
k∏adajà ponadto, ˝e egzogeniczne i niezale˝ne zmienne
losowe

4

opisujà stan gospodarki, gdzie

Zrealizowanie si´ wszystkich tych zmiennych opi-

suje stan, w jakim znalaz∏a si´ gospodarka. Mo˝e si´ za-

tem znaleêç w S stanach, gdzie S = M

J

. W stanie

gospodarka mo˝e si´ znaleêç z prawdopo-

dobieƒstwem

. Dla ka˝dego ze stanów go-

spodarki s = 1,... , S mo˝emy zatem okreÊliç prawdopo-
dobieƒstwo jego pojawienia si´ jako

π

s

. Oznaczajàc z

i

przez wektor

oraz przez y

i,s

wektor zmien-

nych endogenicznych wp∏ywajàcych na sytuacj´ tej
bran˝y w stanie s, takich jak np. procentowy wzrost
sprzeda˝y, wzrost kosztów, czy zwi´kszenie si´ liczby
podmiotów dzia∏ajàcych w danej bran˝y, autorzy zak∏a-
dajà, ˝e istnieje deterministyczny zwiàzek pomi´dzy
wektorami a

wektorem

y

i,s

, opisywany przez

funkcj´

, tj.

. Postulujà, by po-

staç powy˝szej funkcji estymowaç za pomocà modelu
przep∏ywów mi´dzyga∏´ziowych Leontiefa

5

. Zak∏ada

si´ ponadto, ˝e strata z tytu∏u udzielonych kredytów
w i-tej bran˝y, gdy gospodarka znalaz∏a si´ w stanie s,
opisywana jest przez nast´pujàce równanie regresji

, gdzie

jest szokiem specyficz-

nym dla bran˝y. Autorzy przyjmujà, ˝e funkcja
jest funkcjà liniowà i mo˝e byç estymowana przy u˝y-
ciu metody najmniejszych kwadratów. Majàc wi´c
oszacowane obie funkcje oraz znajàc prognozy zmien-
nych makroekonomicznych

, mo˝emy okre-

Êliç przysz∏y rozk∏ad strat i-tej bran˝y, czyli zmiennà

W ∏atwy sposób mo˝emy teraz obliczyç oczekiwa-

nà strat´ dla ca∏ego portfela

. Do pomiaru

ryzyka autorzy sugerujà u˝ycie odchylenia standardo-
wego straty portfela, którà oznaczamy przez l(x), lub
prawdopodobieƒstwa tego, ˝e strata przekroczy ustalo-
nà wartoÊç l*, czyli

. Jak ∏atwo zauwa-

˝yç, zmienne

nie muszà byç niezale˝ne, czyli

model uwzgl´dnia pewne zale˝noÊci wyst´pujàce mi´-
dzy stratami z tytu∏u udzielonych kredytów w ró˝nych
sektorach gospodarki.

PodejÊcie Wilsona

Model Wilsona [58], [59], [60] jest wykorzystywany
przez firm´ McKinsey Co. w CreditPortfolioView – pro-
dukcie do oceny ryzyka portfeli kredytowych. Jest on
modelem ekonometrycznym wykorzystujàcym metody
Monte Carlo. Model zak∏ada, ˝e dla ka˝dego typu kre-
dytów istnieje pewien rodzaj ryzyka okreÊlany jako „ry-
zyko systematyczne”, które nie mo˝e byç dywersyfiko-
wane i ÊciÊle wià˝e si´ z czynnikami makroekonomicz-

˜ ,..., ˜

l

l

1

J

η

=

( )

≥ ∗

(

)

P l

l

˜ x

x

x

x

1

J

=

(

)

,...,

˜

l

,

,

l

i

=










i

1

i S

S

z prawd.

l

z prawd.

1

π

π

M

˜ ,..., ˜

Z

Z

J

1

Λ

i

⋅

[ ]

ε

i s

,

l

i s

i s

,

i,s

,

y

=

[ ]

+

Λ

i

ε

y

z

z

i s

i s

J

,

,

,...,

=

[

]

Ψ

1

Ψ

i

⋅

[ ]

z

z

1

i

M

i

,...,

(

)

′

π

=

=

∏

p

kj

j

j 1

J

z

z

k

kM

J

1

1

,...,

(

)

˜Z

i

=










z

z prawd.

p

z

z prawd. p

1

i

1

i

M

i

N

i

M

˜ ,..., ˜

Z

Z

J

1

l R

a

bZ

1

1

:

= +

l R

a

bZ

1

1

:

= +

Z R

i

i

i

r

,

,...,

(

)

{

}

=

1

Z

Rat S

Rat

i

i

i

=

( )

−

'

5

Model przep∏ywów mi´dzyga∏´ziowych ma postaç uk∏adu równaƒ linio-

wych Ax = d, gdzie wektor x przedstawia iloÊci poszczególnych dóbr produ-
kowanych w gospodarce, elementy macierzy oznaczajà liczb´ jednostek i-tego
nak∏adu potrzebnà do wyprodukowania jednostki j-tego produktu, a wektor d
oznacza egzogeniczny dodatkowy popyt na produkty (Chiang [15], s. 126-134).

4

Autorzy przyjmujà jako zmienne: inflacj´, poziom stóp procentowych, defi-

cyt bud˝etowy oraz wa˝ony obrotami w handlu zagranicznym kurs koszyka
walutowego. Mo˝na by si´ natomiast spieraç, czy takie zmienne wolno trakto-
waç jako niezale˝ne.

z

z

J

1

,...,

nymi. Przyjmujàc, ˝e istnieje I typów kredytów, zak∏a-
da si´, ˝e dla ka˝dego z nich prawdopodobieƒstwo nie-
sp∏acenia przez kredytobiorc´ kredytu opisywane jest
przez model logitowy:

oraz

(niewywiàzanie si´ ze zobowiàzaƒ), je˝eli

i

(wywiàzanie si´ z umowy), je˝eli

. Wskaênik i oznacza typ kredytu, t = 1,...,T opi-

suje podokres, z którego pochodzi obserwacja, a
j = 1,...,J to numer obserwacji w rozpatrywanym pod-
okresie

6

. Przyjmuje si´ ponadto, ˝e zmienne objaÊnia-

jàce

sà zmiennymi makroekonomicznymi, ta-

kimi jak bezrobocie, deficyt bud˝etowy, inflacja, wzrost
gospodarczy. Mo˝emy zatem interpretowaç zmiennà

jako wskaênik sytuacji gospodarczej. Oznaczajàc

, prawdopodobieƒstwo nie-

wywiàzania si´ i-tego kredytobiorcy z umowy kredyto-
wej w sytuacji, gdy gospodarka opisywana jest przez
zmienne

, okreÊlane jest jako

.

D∏ugookresowe prawdopodobieƒstwo niesp∏acenia kre-
dytu

dla i-tego typu okreÊlone jest jako Êrednia

. Ârednie prawdopodo-

bieƒstwo niewywiàzania si´ ze zobowiàzaƒ dla i-t-
ego typu w podokresie t definiuje si´ jako

.

Autor zak∏ada dalej, ˝e ka˝dy typ kredytu opisy-

wany jest przez jeden wspólny dla wszystkich typów
system ratingowy. Dla ka˝dego z typów mo˝e nast´po-
waç „migracja”, czyli zmiana w czasie ratingu przypo-
rzàdkowanego danemu typowi. Proces ten uzale˝niony
jest jednak od sytuacji gospodarki. W czasie recesji obni-
˝enie ratingu staje si´ wi´c bardziej prawdopodobne. Au-
tor modeluje proces migracji za pomocà niejednorodnego
∏aƒcucha Markowa. ¸aƒcuch ten zawiera ponadto jeden
stan absorbujàcy

7

, a mianowicie stan niewywiàzania si´

z umowy kredytowej. Przyjmuje si´, ˝e wskaênik

mierzy, czy bardziej prawdopodobna jest

zmiana ratingu „w gór´”, czy „w dó∏”. Zak∏ada si´, ˝e ma-
cierz przejÊcia ∏aƒcucha Markowa, opisujàcego ewolucj´
ratingów i-tego typu kredytów w podokresie t, zale˝y od
powy˝szego wskaênika. Mo˝e ona przyjàç trzy wartoÊci
w zale˝noÊci od tego, czy bardziej prawdopodobne jest
podwy˝szenie, bàdê obni˝enie ratingu, czyli je˝eli:

gdzie c

i

jest pewnà arbitralnie przyj´tà sta∏à, okreÊlajà-

cà poziom tolerancji.

Przyjmuje si´, ˝e zachowanie makroekonomicz-

nych zmiennych opisywane jest za pomocà procesu au-
toregresji AR(q), czyli równaniem:

gdzie

sà wspó∏czynnikami procesu,

a dla

t = 1 niezale˝nymi zmiennymi losowymi o rozk∏adzie
normalnym N (0, 1).

Rozk∏ad strat portfela kredytowego estymowany

jest przy u˝yciu metody Monte Carlo. Oznaczmy przez
(

υ,ε

)’ wektor

. B´dziemy zak∏adaç, ˝e

, gdzie:

Macierz t´ mo˝emy wyestymowaç na podstawie

danych historycznych.

Procedura estymacji strat zawiera nast´pujàce kroki:
1. Generowanie realizacji wektorów

,

gdzie

, a macierz identycznoÊci Id ma wymiar

równy N + 1.

2. Wykorzystujàc rozk∏ad Choleskiego

8

macierzy

, w ∏atwy sposób mo˝emy wygenerowaç

zmienne o rozk∏adzie

, przyjmu-

jàc

. Majàc je, a tak˝e oszacowania wspó∏-

czynników równaƒ (1) i (2), nale˝y obliczyç wartoÊci
zmiennych oraz dla

i = 1,...,T oraz t = 1,...,T. Za

ich pomocà mo˝na wyznaczyç ciàgi prawdopodo-
bieƒstw

niewywiàzania si´ z umowy kredy-

towej.

3. Powtarzajàc powy˝sze kroki 10.000 tysi´cy razy,

mo˝emy otrzymaç rozk∏ad prawdopodobieƒstw nie-
sp∏acenia kredytów dla ka˝dego typu kredytu oraz do-
wolnego podokresu. Stàd mo˝na otrzymaç rozk∏ad
prawdopodobieƒstw straty ca∏ego portfela.

4. Majàc wyznaczony ciàg prawdopodobieƒstw

niesp∏acenia kredytu, mo˝emy okreÊliç wskaêniki

i na ich podstawie dla ka˝dego typu kredy-

tu okreÊliç ciàg macierzy przejÊcia

,...,

. W ten sposób dla ka˝dego ratingu kre-

dytowego (np. Aaa) ∏atwo mo˝emy znaleêç prawdopo-
dobieƒstwo przejÊcia do dowolnego ratingu (np. Bb)
oraz prawdopodobieƒstwo niewywiàzania si´ z umowy
(czyli przejÊcia do stanu odpowiadajàcego temu wyda-
rzeniu) w najbli˝szych t podokresach.

Jako miar´ ryzyka dla ka˝dego typu kredytu Wil-

son proponuje najmniejszy

α

– kwantyl z wylosowanej

metodami Monte Carlo próby opisujàcej rozk∏ad praw-
dopodobieƒstw niesp∏acenia kredytu dla tego typu.

Jak mo˝na zauwa˝yç, model ten jest dosyç skom-

plikowany, gdy˝ wymaga umiej´tnoÊci estymacji, na
podstawie danych historycznych, parametrów modelu
logitowego, procesu autoregresji i macierzy kowariancji
oraz zastosowania metod Monte Carlo.

M DR

LDR

i

iT

i

(

)

M DR

LDR

i

i

i

1

(

)

DR

LDR

iT

i

P y

it

=

(

)

1

z

it

y

it

*

Y

AX

t

t

=

Y

N

Id

t

~

,

0

(

)

Y

Y

T

1

,...,

∑ = ′

A A

X

N

Id

t

~

,

0

(

)

X

X

T

1

,...,

∑ =

∑

∑

∑

∑











υ

ε

ευ

ε

v

υ ε

,

~

,

( )

′

∑

( )

N 0

υ

υ ε

ε

1

1

,...,

, ,...,

I

N

(

)

′

ε

jt

a

a

j0

jn

,...,

z

a

a z

jt

j0

jn jt n

jt

n

=

+

+

−

=

∑

ε

1

q

M DR

LDR

je˝eli

DR

LDR

c

je˝eli

DR

LDR

c

je˝eli

DR

LDR

c

i

it

i

it

i

i

it

i

i

it

i

i

(

)

=

≥

+

−

<

≤

−










M

M

M

i

i

i

1

2

3

|

|

DR

LDR

it

i

DR

P y

it

J

itj

j

J

=

=

(

)

=

∑

1

1

1

LDR

P y

i

itj

j

J

t

T

=

=

(

)

=

=

∑

∑

1

1

1

1

JT

P y

itj

=

(

)

=

+

( )

1

1

1 exp ˆy

itj

z

z

t

nt

1

,...,

ˆ

...

y

z

z

itj

i0

i1 1t

in nt

=

+

+ +

β

β

β

y

itj

*

z

z

1t

nt

,...,

y

itj

*

>

0

y

itj

=

0

y

itj

*

≤

0

y

it

=

1

y

z

itj

i

itj

*

in

nt

...

z

=

+

+ +

+

β

β

β

ν

i

t

0

1 1

75

B A N K I K R E DY T c z e r w i e c 2 0 0 3

BankowoÊç Komercyjna

6

Implicite zak∏ada si´, ˝e powy˝sza funkcja nie zmienia si´ w czasie.

7

Tj. taki stan, ˝e ∏aƒcuch w nim pozostaje, pod warunkiem, ˝e uprzednio si´ w nim znalaz∏.

8

Rozk∏adem Choleskiego nieujemnie okreÊlonej oraz symetrycznej macierzy

Σ

nazywamy rozk∏ad macierzy

Σ =

Α

'

Α

, gdzie A jest macierzà trójkàtnà gór-

nà (tj. macierzà o zerowych elementach poni˝ej przekàtnej).

76

BankowoÊç Komercyjna

B A N K I K R E DY T c z e r w i e c 2 0 0 3

Model Credit Metrics

Model Credit Metrics jest produktem komercyjnym fir-
my J.P. Morgan. Zosta∏ opracowany przez G.M. Gupto-
na, Ch.C. Fingera i M. Bhatia [12] w 1997 r. Jest to mo-
del jednookresowy, tzn. zmiany sytuacji kredytobior-
ców mogà nast´powaç tylko jeden raz w ustalonym
okresie, za który najcz´Êciej przyjmuje si´ jeden rok.
Utrzymuje si´, ˝e kredytobiorcy sà podmiotami gospo-
darczymi, a ka˝dà umow´ kredytowà mo˝na zakwalifi-
kowaç do jednej z klas ratingowych, nale˝àcych do
{1,...,K}. Im wy˝szy numer ratingowy, tym wi´ksze
prawdopodobieƒstwo niewywiàzania si´ z umowy, a
najwy˝sza K-ta klasa oznacza niewyp∏acalnoÊç kredyto-
biorcy. Znana jest ponadto macierz przejÊcia

mi´dzy powy˝szymi klasami oraz termi-

nowa struktura stóp procentowych dla ka˝dej z tych
klas. Model zak∏ada, ˝e ka˝da umowa kredytowa mo˝e
w ciàgu roku zmieniç swojà klas´ ratingowà zgodnie z
prawdopodobieƒstwami zawartymi w macierzy przej-
Êcia. Migracja ta zmienia terminowà struktur´ stóp pro-
centowych dla danego kredytu, gdy˝ za∏o˝yliÊmy, ˝e
struktura ta zale˝y od klasy ryzyka wyznaczonej przez
rating. Ka˝da po˝yczka dla i-tego kredytobiorcy, gdzie
i = 1,...,N traktowana jest jako ciàg p∏atnoÊci

zapadalnych w chwilach

, gdzie t

j

oznacza lata od chwili obecnej

9

. Zak∏adajàc, ˝e w ciàgu

roku nastàpi zmiana klasy ratingowej z
na klas´

, tj. nie zdarzy si´ w ciàgu ro-

ku niewywiàzanie kredytobiorcy z umowy, wartoÊç
obecna takiego strumienia wyniesie:

gdzie

oraz

oznaczajà odpowiednio stopy zwro-

tu dla m-tej oraz n-tej klasy ratingowej od chwili 0 do

ti

, ustalone na podstawie terminowej struktury stóp

procentowych. W przypadku migracji z klasy m do kla-
sy K, tj. w sytuacji, gdy kredytobiorca w ciàgu roku sta-
nie si´ niewyp∏acalny, przyjmujemy, ˝e wartoÊç obec-
na wyra˝a si´ jako

gdzie rec

i

oznacza stop´ odzyskania nale˝noÊci. Auto-

rzy – w zale˝noÊci od tego, czy sà zainteresowani obli-
czeniem jako miary ryzyka odchylenia standardowego
wartoÊci portfela za rok, czy te˝ przybli˝eniem na pod-
stawie symulacji Monte Carlo rozk∏adu wartoÊci portfe-
la na koniec roku w celu obliczenia Value at Risk –
przyjmujà dwa za∏o˝enia co do powy˝szej stopy.
W przypadku obliczania odchylenia standardowego
przyjmuje si´, ˝e jest ona sta∏à równà Êredniej histo-
rycznej stopie odzyskania straconych nale˝noÊci, zale˝-

nà od tego, czy dana umowa jest po˝yczkà podporzàd-
kowanà oraz czy jest obj´ta gwarancjami lub ubezpie-
czeniem. Próbujàc wyznaczyç na podstawie metod
Monte Carlo rozk∏ad wartoÊci portfela, przyjmuje si´,
˝e dla ka˝dej umowy kredytowej stopa ta jest zmiennà
losowà o rozk∏adzie Beta B(

α, β

), którego parametry za-

le˝à z kolei wy∏àcznie od tego, czy dana umowa jest po-
˝yczkà podporzàdkowanà oraz czy jest obj´ta gwaran-
cjami lub ubezpieczeniem

10

. Stopy te sà ∏àcznie nieza-

le˝ne dla ró˝nych umów kredytowych oraz sà niezale˝-
ne od przysz∏ych ratingów kredytobiorców.

Mo˝emy wi´c wartoÊç obecnà i-tego kredytu, któ-

rego poczàtkowy rating wynosi m

i

, traktowaç jako na-

st´pujàcà zmiennà losowà:

gdzie prawdopodobieƒstwa p

mj

sà elementami macie-

rzy przejÊcia

Π

.

W omawianym opracowaniu zaproponowano spo-

sób wyznaczania ∏àcznych rozk∏adów przejÊç dla
dwóch dowolnych kredytobiorców i, j = 1,...,N oraz i

≠

j,

których ratingi wynoszà obecnie odpowiednio m1 oraz
m2. Oznaczmy przez

∏àczne prawdopodo-

bieƒstwo zdarzenia polegajàcego na tym, ˝e rating i-tego
oraz j-tego kredytobiorcy wyniesie za rok odpowiednio
k

1

oraz k

2

. Podstawà jego oszacowania jest za∏o˝enie,

˝e zmiany w ratingu i-tego kredytobiorcy zale˝à wy-
∏àcznie od zmian wartoÊci aktywów kredytobiorcy ma-
jàcych rozk∏ad normalny wartoÊciach parametrach

. Znajàc prawdopodobieƒstwa przejÊcia

b´dàce elementami macierzy

Π

, mo˝emy

wyznaczyç wartoÊci progowe

takie, ˝e je-

˝eli

, to ,

oraz .

Autorzy zak∏adajà ponadto,

˝e wektor zmiennych

ma ∏àczny rozk∏ad nor-

malny o wektorze oczekiwanych stóp zwrotu

i macierzy kowariancji

gdzie r

ij

jest korelacjà mi´dzy zmianami wartoÊci akty-

wów i-tego oraz j-tego kredytobiorcy. WartoÊç ta obli-
czana jest na bazie historycznych korelacji mi´dzy
zwrotu skonstruowanymi dla firm indeksami stóp zwro-
tu na podstawie danych na temat udzia∏u sprzeda˝y w
poszczególnych bran˝ach ró˝nych krajów oraz charak-
terystycznych dla nich indeksów bran˝owych

11

.

∑ =

















=

1

1

1

ρ

ρ

ij

ji

i j

N

O

,

,...,

µ

µ

m

m

N

1

,...,

(

)

′

P

l

p

m j

m j

m j

i

i

i

l

X

< <

(

)

=

−

1

P

p

m K

m K

i

i

X

l

<

(

)

=

−

1

P X

l

p

m

m

i

i

>

(

)

=

1

1

X

N

i

m

i

~

,

µ

1

( )

l

l

m

m K

i

i

1

1

> >

−

...

p

p

m

m K

i

i

1

,...,

p

k k m m

ij

i

j

1

2

,

|

,

PV

PV

z prawd. p

PV

z prawd. p

m

m

i

m

m K

i

mK

i

i

i

=










1

1

M

PV

CF

y

rec

CF

mK

i

t

m

t

i

t

j

i

j

=

+

(

)

+

−

≥

<

∑

∑

1

1

1

1

t

t

j

j

y

n

t

i

y

m

t

i

PV

CF

y

CF

y

mn

i

t

m

t

t

n

t

t

j

i

j

i

=

+

(

)

+

+

(

)

−

−

≥

<

∑

∑

1

1

1

1

1

1

j

j

t

n

K

∈

−

{

}

1

1

,...,

m

K

∈

−

{

}

1

1

,...,

t

t

1

n

,...,

CF

CF

t1

i

tn

i

,...,

∏ =

( )

=

p

ij i j

K

,

,...,

1

9

Autorzy przewidujà mo˝liwoÊç zastosowania Credit Metrics tak˝e w odnie-

sieniu do linii kredytowych. Wymaga to jednak oszacowania Êrednich termi-
nów wp∏at i wyp∏at oraz ich wysokoÊci.

10

Rozk∏ad beta B(

α, β

) okreÊlony jest przez funkcj´ g´stoÊci:

gdzie

α > β

> 0.

11

Procedura ta jest dosyç d∏uga i nieco skomplikowana i dlatego nie zostanie

szczegó∏owo omówiona.

f x

x

x

I

x

( )

=

+

(

)

( )

( )

−

(

)

( )

−

−

[ ]

Γ

Γ

Γ

α β

α

β

α

β

1

1

0 1

1

,

X

X

N

1

,...,

(

)

′

N

µ

m

i

,1

( )

Mo˝emy wi´c zapisaç:

Na tej podstawie jesteÊmy w stanie obliczyç kowa-

riancje mi´dzy wartoÊciami obecnymi kredytów udzie-
lonych i-temu oraz j-temu kredytobiorcy

Znajàc kowariancje mi´dzy wartoÊciami obecnymi

kredytów dla dowolnych dwóch kredytobiorców, mo-
˝emy wyznaczyç macierz kowariancji wartoÊci obec-
nych umów kredytowych i na tej podstawie wariancj´
ca∏ego portfela równà:

.

Oprócz brania pod uwag´ odchylenia standardo-

wego jako miary ryzyka, rozwa˝ane jest tak˝e wykorzy-
stanie Value at Risk, którà definiujemy jako

, gdzie V jest zmiennà loso-

wà, opisujàcà obecnà wartoÊç portfela,

α

zaÊ arbitralnie

przyj´tym poziomem tolerancji. W tym celu autorzy zale-
cajà przybli˝enie metodà Monte Carlo rozk∏adu zmiennej
V. Polega ona na wygenerowaniu próby oko∏o 20.000 ty-
si´cy wektorów zmiennych

.

oraz zmiennych

. Na tej podstawie mo-

˝emy nast´pnie dla ka˝dego wygenerowanego wektora
X

(i)

oraz zmiennej rec

i

wyznaczyç ∏àczne zmiany

ratingów dla wszystkich N sk∏adników portfela, a za-
tem tak˝e wartoÊci obecne poszczególnych sk∏adników
portfela, pod warunkiem zrealizowania zmian ich ra-
tingów. Sumujàc wartoÊci obecne wszystkich sk∏ado-
wych portfela, otrzymujemy wartoÊç ca∏ego portfela,
którà oznaczymy przez V

(i)

. W ten sposób mo˝emy

otrzymaç rozk∏ad wartoÊci ca∏ego portfela. Oznaczajàc

oraz

, jako estymator Value

at Risk przyjmujemy

12

.

Autorzy argumentujà, ˝e model mo˝e znaleêç zasto-

sowanie w ustanawianiu regu∏ post´powania ogranicza-
jàcych ryzyko kredytowe, w ocenie efektywnoÊci pracy
zarzàdu, okreÊlaniu limitów kredytowych oraz adekwat-
noÊci kapita∏owej (na podstawie Value at Risk) potrzeb-
nej, by bank móg∏ si´ wywiàzaç ze swoich zobowiàzaƒ
w przypadku, gdy wydarzy si´ niekorzystny, lecz ma∏o
prawdopodobny scenariusz rozwoju przysz∏oÊci.

PodejÊcie aktuarialne - CreditRisk+

CreditRisk+ jest powsta∏ym w 1996 r. produktem firmy
Credit Suisse s∏u˝àcym do zarzàdzania ryzykiem port-
fela kredytowego [19]. Jego konstrukcja opiera si´ na

zastosowaniu pewnych rozwiàzaƒ znanych w matema-
tyce aktuarialnej. Kredytobiorcy sà dzieleni na roz∏àcz-
ne zbiory („pasma”), z których ka˝dy charakteryzowa-
ny jest przez pewnà sta∏à wartoÊç potencjalnej straty.
Jednostk´ rozrachunkowà dobiera si´ w ten sposób, aby
potencjalna strata by∏a liczbà ca∏kowità. Dla ka˝dego
z pasm przeprowadza si´ nast´pujàce rozumowanie.

Przyjmuje si´, ˝e istnieje K sektorów gospodarki

oraz ˝e dane pasmo sk∏ada si´ z N kredytobiorców,
z których ka˝dy mo˝e mieç udzia∏ w wybranych sekto-
rach. Zak∏ada si´, ˝e kredytobiorców jest bardzo du˝o,
a prawdopodobieƒstwo niewyp∏acalnoÊci pojedyncze-
go kredytobiorcy jest niewielkie

13

.

Udzia∏ n

-

tego kredytobiorcy w j

-

tym sektorze

oznaczmy przez

θ

k

n

i dla ka˝dego n = 1,...,N zachodzi

. Zak∏ada si´ równie˝, ˝e na podstawie ratin-

gu przypisanego ka˝demu kredytobiorcy mo˝na odpo-
wiednio okreÊliç Êrednià cz´stoÊç niewywiàzania si´
przez niego z warunków umowy P

n

oraz odchylenie

standardowe tej cz´stoÊci

σ

n

. Niech zmienne losowe

X

1

,...,X

K

oznaczajà Êrednià liczb´ przypadków niewy-

p∏acalnoÊci w ciàgu roku w odpowiednich sektorach.
Zak∏ada si´, ˝e zmienne te sà niezale˝ne, a rozk∏ad
prawdopodobieƒstwa ka˝dej z nich jest rozk∏adem
Gamma

14

. Oznaczmy

µ

k

przez

σ

k

oraz odpo-

wiednio wartoÊç oczekiwanà i wariancj´ zmiennej X

k

.

Wiadomo, ˝e

i

. Przyjmuje si´

oraz

. Zak∏adajàc, ˝e Êred-

nia liczba przypadków niewyp∏acalnoÊci w k-tym sek-
torze wynios∏a x

k

, tj.

, faktyczna liczba przy-

padków niewyp∏acalnoÊci w tym sektorze ma rozk∏ad
Poissona

15

. Twórcy produktu, wykorzystujàc

narz´dzia stosowane w matematyce aktuarialnej, uzy-
skujà formu∏y na ∏àczny rozk∏ad liczby przypadków
niewyp∏acalnoÊci dla danego pasma. Poniewa˝ przyj´-
liÊmy, ˝e potencjalna wielkoÊç straty dla wszystkich
kredytobiorców z danego pasma jest taka sama, w ∏a-
twy sposób, majàc rozk∏ad liczby przypadków niewy-
p∏acalnoÊci, mo˝emy otrzymaç dla danego pasma roz-
k∏ad wielkoÊci strat. Znajàc mechanizm powstawania
strat dla poszczególnych pasm, mo˝na okreÊliç rozk∏ad
strat ca∏ego portfela kredytowego banku. Jako miar´ ry-
zyka portfela kredytowego przyjmuje si´

α

–kwantyl

rozk∏adu strat portfela.

Jak ∏atwo mo˝na zauwa˝yç, trzy z omówionych po-

wy˝ej modeli bazujà na zwiàzaniu ryzyka kredytowego
ze zmiennymi makroekonomicznymi. Nale˝à do nich:

π

x

x

( )

X

x

k

k

=

σ

σ θ

k

n n

k

n

N

=

=

∑

1

µ

θ

k

n n

k

n

N

p

=

=

∑

1

β

σ µ

k

k

k

=

2

α

µ σ

k

k

k

=

2

2

Γ

α β

k

k

,

(

)

θ

n

k

k

K

=

=

∑

1

1

ˆ

:

Z

Y

α

α

=

−

(

)

[

]

+

1

20000

1 20000

Y

V

V

i

i

=

−

(

)

( )

−

V

V

i

i

N

=

( )

=

∑

1

20000

1

rec

B

i

k

k

i

i

~

,

α β

(

)

X

X

X

N

i

1

i

N

i

( )

( )

( )

=

(

)

∑

(

)

,...,

~

,

1

µ

Z

z P V

EV

α

α

=

−

(

)

≥

(

)

≤

{

}

−

inf

:

z

σ

2

1

= ∑

(

)

=

i j

N

m

i

m

j

i

j

,

,...,

cov

,

PV

PV

cov PV

PV

PV

PV

p

PV

p

PV

p

m

i

m

j

m k

i

m k

j

k k m m

ij

k k

m k

i

m k

1

K

m k

j

m k

i

j

i 1

j

2

1

1

i

j

i 1

i 1

j

2

j

2

,

,

|

,

,

,..,

,...,

,...,

(

)

=

−













∈

{

}

∈

{

}

∈

{

}

∑

∑

∑

1

2

1

2

1

1

K

k

k

K

p

P l

l

l

l

k k m m

ij

m k

m k

m k

m k

1

2

i

j

i 1

i 1

j

j

2

,

|

,

,

=

< <

< <

(

)

−

−

X

X

1

1

2

77

B A N K I K R E DY T c z e r w i e c 2 0 0 3

BankowoÊç Komercyjna

12

Przez Yk:n oznaczamy k-tà statystyk´ pozycyjnà z próby n-elementowej.

13

PodejÊcie takie jest cz´sto spotykane w modelach ubezpieczeniowych.

Przyjmuje si´ wówczas, ˝e firma ubezpieczeniowa ma do czynienia z du˝à
liczbà szkód, z których ka˝da mo˝e si´ pojawiç z bardzo ma∏ym prawdopodo-
bieƒstwem.

14

Rozk∏ad Gamma

.

jest okreÊlony przez funkcj´ g´stoÊci

gdzie

jest funkcjà Gamma. Jego wartoÊç

oczekiwana i wariancja wyra˝a si´ odpowiednio jako

i

.

15

Rozk∏ad Poissona

jest rozk∏adem dyskretnym okreÊlonym w nast´pujà-

cy sposób:

dla n = 0, 1... . Jego wartoÊç oczekiwana i wariancja sà

sobie równe i wynoszà x.

P n

e

x

n

x

n

( )

=

−

!

π

x

( )

σ

αβ

2

2

=

µ αβ

=

Γ

α β

,

( )

f x

e x

x

( )

=

( )

−

−

1

1

β

α

α

α

β

Γ

Γ

α

( )

=

−

−

∞

∫

e x

dx

x

1

α

0

78

BankowoÊç Komercyjna

B A N K I K R E DY T c z e r w i e c 2 0 0 3

model Benneta, model Chirinko i Guilla oraz model Wil-
sona. Warto równie˝ zauwa˝yç, ˝e podejÊcie Altmana,
Wilsona oraz Credit Metrics zak∏adajà istnienie ratingów
dzielàcych kredyty na poszczególne klasy ryzyka oraz
mo˝liwoÊç oszacowania macierzy prawdopodobieƒstw
przejÊcia mi´dzy nimi. Nale˝y dodaç, ˝e spoÊród powy˝-
szych modeli w sposób komercyjny wykorzystuje si´ je-
dynie trzy: model Wilsona wykorzystywany w opraco-
wanym przez McKinsey Company CreditPortfolioView,
produkt Credit Metrics oferowany przez J.P. Morgan
oraz CreditRisk+ stworzony przez Credit Suisse. Wynika
to zapewne z faktu, ˝e modele te zosta∏y stworzone w od-
powiedzi na faktyczne potrzeby powy˝szych firm. Jed-
nak nawet te modele znajdujà si´ jeszcze w fazie wst´p-
nej i b´dà w przysz∏oÊci systematycznie wzbogacane
(Komitet Bazylejski [10], s. 16). Ponadto wi´kszoÊç z za-
prezentowanych modeli nie s∏u˝y do optymalizacji port-
fela kredytowego banku, lecz do wyznaczania rozk∏adu
jego przysz∏ych wartoÊci lub Value at Risk.

Istniejàce rozwiàzania, jeÊli chodzi o pomiar ryzy-

ka kredytowego oraz problemy z tym zwiàzane, sà
w ogólny sposób przedstawione w jednym z dokumen-
tów opracowanych przez Komitet Bazylejski [10]. Za-
wiera on analiz´ metod stosowanych w 20 bankach po-
chodzàcych z 10 krajów. Inny interesujàcy przeglàd
praktycznie wykorzystywanych modeli zawarty jest
w ksià˝ce Saundersa [53].

Na koniec warto podkreÊliç, ˝e nie sà znane po-

równania wartoÊci prognostycznych powy˝szych mo-

deli ani nie zosta∏a jeszcze opracowana powszech-
nie akceptowana metoda weryfikacji dawanych
przez nie prognoz (Komitet Bazylejski [10], s. 16).
Wynika to m.in. z ma∏ej dost´pnoÊci d∏ugookreso-
wych danych na temat zrealizowanych umów kredy-
towych oraz przypadków niewyp∏acalnoÊci d∏u˝ni-
ków. Ponadto banki pos∏ugujà si´ ró˝nymi definicja-
mi pewnych wielkoÊci (np. strat) oraz ró˝nymi we-
wn´trznymi ratingami kredytobiorców. Równie˝ da-
ne potrzebne do estymacji modeli sà zbierane nieko-
niecznie w ten sam sposób. W koƒcu, banki u˝ywa-
jà z regu∏y tylko jednego modelu, którego parametry
estymujà na podstawie jedynie sobie znanych da-
nych. Nie jest równie˝ jasne, czy proponowane po-
dejÊcia dajà lepsze wyniki od prostego podejÊcia
bayesowskiego, w którym zmiana prawdopodo-
bieƒstw przejÊcia opiera si´ na ekspertyzie departa-
mentu ryzyka kredytowego m.in. na podstawie ob-
serwowanej fazy cyklu koniunkturalnego. W tej sy-
tuacji mo˝liwoÊci porównywania poszczególnych
modeli sà niezwykle ograniczone. Powoli pojawiajà
si´ jednak pierwsze próby analizy porównawczej
modeli na podstawie tych samych zbiorów danych
historycznych (Crouhy [18], Saunders [51], s. 105-
106). Sà one jeszcze bardzo niedoskona∏e i s∏abo
rozwini´te. Nale˝y przypuszczaç, ˝e kolejnym kro-
kiem w konstrukcji modeli s∏u˝àcych do zarzàdza-
nia ryzykiem b´dzie próba integracji ryzyka kredy-
towego oraz rynkowego.

Bibliografia

1. E.I. Altman, A. Saunders (1998): Credit risk measurement: Development over the last 20 years. „Journal of Ban-

king and Finance” 21, s. 1721-1742.

2. E.I. Altman, J.B. Caouette, P. Narayanan (1998): Managing Credit Risk. John Wiley.
3. E.I. Altman, J.B. Caouette, P. Narayanan (1998): Credit-risk measurement and management: The ironic challen-

ge in the next decade. „Financial Analysts Journal”, January-February, s. 7-11.

4. E.I. Altman (1997): Corporate Bond and Commercial Loan portfolio Analysis. New York University Salomon

Brothers Center, S-97-12.

5. E.I. Altman (1997): Rating Migration of Corporate Bonds: Comparative Results and Investor/Lender Implications.

New York University Salomon Brothers Center, S-97-3.

6. E.I. Altman (1997): Default Rates in The Syndicated Loan Market: A Mortality Analysis, S-97-39.
7. G.F. Angel, J.M. Diez-Canedo, E.P. Gorbea (1998): A discrete Markov chain model for valuing loan portfolios.

The case of Mexican loan sales. „Journal of Banking and Finance” 22, s. 1457-1480.

8. T.R. Bielecki, M. Rutkowski (2002): Credit Risk: Modelling, Valuation and Hedging. Springer Verlag.
9. Basle Committee on Banking Supervision (2001): The standarised approach to credit risk, consultative document.
10. Basle Committee on Banking Supervision (1999): Credit risk modelling: current practices and applications.
11. P. Bennet (1984): Applying portfolio theory to global bank lending. „Journal of Banking and Finance” 8, s. 153 -169.
12. M. Bhatia, Ch.C. Finger, G.M. Gupton (1997): Credit Metrics – Technical Document. Morgan Guaranty Trust

Co., New York.

13. G. Borys (1996): Zarzàdzanie ryzykiem kredytowym w banku. PWN.

79

B A N K I K R E DY T c z e r w i e c 2 0 0 3

BankowoÊç Komercyjna

14. S.A. Buser, E.J. Kane (1979): Portfolio diversification at commercial banks. „Journal of Finance” 34, s. 19-34.
15. A.C. Chiang (1994): Podstawy ekonomii matematycznej. PWN.
16. R.S. Chirinko, D.G. Guill (1991): A framework for assessing credit risk in depository institution: Toward regu-

latory reform. „Journal of Banking and Finance” 15, s. 785-804.

17. T.E. Copeland, J.F. Weston (1992): Financial Theory and Corporate Policy. Addison-Wesley Publishing Company.
18. M. Crouhy, D. Galai, R. Mark (2000): Comperative analysis of current credit risk models. „Journal of Banking &

Finance” 24, s. 59-117.

19. Credit Suisse (1996): CreditRisk+, http://www.csfp.co.uk, 11.11.1999.
20. K. Cuthbertson (1996): Quantitative Financial Economics: Stocks, Bonds and Foreign Exchange. John Wiley.
21. The Economist (1998): Model behaviour. February 28.
22. Euromoney (1996): The launch of a new market: Credit Derivatives. March, s. 28-34.
23. M.W. Fadil (1997): Problems with weighted-average risk ratings: a portfolio management view. „Commercial

Lending Review” 12, s. 23-27.

24. M.W. Fadil, B.G. Stevenson (1995): Modern portfolio theory: can it work for commercial loans? „Commercial

Lending Review” 10, s. 4-12.

25. Federal Deposit Insurance Corporation (1983): Deposit Insurance in a Changing Enviroment, Washington.
26. E.R. Fiedler, M.R. Pech (1971): Measures of Credit Risk and Experience. Columbia University Press.
27. J.K. Ford (1997/98): How to benchmark portfolio risk. „Commercial Lending Rewiev”, Winter, s. 60 - 62.
28 J.K. Ford (1997): How to assess the concentration profile of your loan portfolio. „Commercial Lending Rewiev”,

Spring, s. 57-59.

29. J.K. Ford (1995): Credit analysis using a concentration ratio to measure credit risk. „Commercial Lending Re-

wiev”, Summer, s. 92-94.

30. X. Freixas, J.C. Rochet (1998): Microeconomics of Banking. MIT Press.
31. T.L. Gollinger, J.B. Morgan (1993): Calculation of an Efficient Frontier for a Commercial Loan Portfolio. „The

Journal of Portfolio Management”, Winter.

32. R. Jagie∏∏o, J. Nowakowski (1997): Zysk i ryzyko inwestycji kredytowej. „Bank i Kredyt„ nr 7-8, s. 104-107.
33. R. Jagie∏∏o, J. Nowakowski (1998): Optymalny portfel kredytowy jako czynnik gwarantujàcy bezpieczeƒstwo

banku komercyjnego. „Bank i Kredyt nr 5, s. 65-72.

34. K. Jajuga (1998): Ryzyko kredytowe w finansach - pomiar i zarzàdzanie za pomocà instrumentów pochodnych.

W: Modelowanie preferencji instrumentów ryzyko ’98. Praca zbiorowa pod red. T. Trzaskalika. Wydawnictwo
Akademii Ekonomicznej w Katowicach, s. 155-162.

35. R. Jarrow, S. Turnbull (1996): Credit Risk, The Handbook of Risk Management and Analysis. Edited by Carol

Alexander, John Wiley.

36. E.J. Kane, S.A. Buser (1979): Portfolio diversification at commercial banks. „Journal of Finance 34, s. 19-34.
37. J.G. Kemeny, J.L. Snell (1960): Finite Markov Chains. D Van Nostrand Company, Princeton.
38. KMV Corporation (1995): Introducing Credit Monitor. San Francisco, KMV Corporation.
39. W. Kury∏ek (2000): Credit scoring – podejÊcie statystyczne.

„

Bank i Kredyt” nr 6, s. 72-77.

40. W. Kury∏ek (2000): Modele migracji kredytów

. „

Bank i Kredyt” nr 10, s. 18-23.

41. E.C. Lawrence, L.D. Smith (1995): Forecasting losses on a liquidating long-term loan portfolio. “Journal of Ban-

king and Finance” 19, s. 959-985.

42. H.M. Markowitz (1952): Portfolio selection. „Journal of Finance”, 7, s. 77-91.
43. H.M. Markowitz (1959): Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment. New York John Wiley &

Sons.

44. H.M. Markowitz, A.F. Perold (1981): Portfolio analysis with scenarios and factors. „Journal of Finance” 36, s.

871-877.

45. H.M. Markowitz, A.F. Perold (1981): Sparsity and piecewise linearity in large portfolio optimization problems,

Sparse Matrices and Their Uses. Edited by I.S. Du., Academic Press.

46. H.M. Markowitz (1990): Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Blackwell.
47. M. Matczak, J. Nowakowski (1998): Optymalizacja portfela kredytowego du˝ego banku w relacji: struktura -

zysk – ryzyko. Studia i Prace Kolegium Zarzàdzania i Finansów Szko∏y G∏ównej Handlowej, zeszyt 9, s. 22 - 44.

48. R.C. Merton (1974): On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates. „Journal o Finance”

29, s. 449-470.

49. W. Ogryczak, A. Ruszczyƒski (1999): From stochastic dominance to mean-risk models: semideviations as risk

measures. „European Journal of Operational Research” 116, s. 33-50.

50. Prawo bankowe. Ustawa z dnia 29 sierpnia 1997 r. po nowelizacji z dnia 23 sierpnia 2001 r. Dz.U. z 2002 r. nr

72, poz. 665.

80

BankowoÊç Komercyjna

B A N K I K R E DY T c z e r w i e c 2 0 0 3

80

51. M. Purchia, L. Stern (1992): Applying theory to loan portfolio management. Financial Managers Statement, Ja-

nuary/February.

52. P. Rose (1997): Commercial bank management. IRWIN.
53. A. Saunders (1999): Credit Risk Measurement: New Approaches to Value at Risk and Other Paradigms. J. Wiley.
54. J.F. Sinkey (1975): A multivariate statistical analysis of the characteristics of problem banks. „Journal of Finan-

ce” 30, s. 21-36.

55. M. Dewatripont, J. Tirole (1994): The Prudential Regulation of Banks. MIT Press.
56. L. Wakeman (1998): Credit enhancement, Risk Management and Analysis. Vol. 1: Measuring and Modelling

Financial Risk. Edited by Carol Alexander, John Wiley.

57. A. Weron, R. Weron (1998): In˝ynieria finansowa. WNT.
58. T.C. Wilson (1998): Portfolio credit risk. „Economic Policy Review”, October , s. 71 - 82.
59. T.C. Wilson (1997): Portfolio credit risk (I). „Risk Magazine”, September, s. 111-117.
60. T.C. Wilson (1997): Portfolio credit risk (II). „Risk Magazine”, October, s. 56-61.
61. A. Woêniak (1999): Jak Êwiat radzi sobie z ryzykiem kredytowym. „Rynek Terminowy” nr 3/5/99, s. 71-76