Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Zadanie 1.
Oblicz podaną granicę ciągu

(a) lim

n→∞

2

n

4

+ 4n

2

+

4

n

4

+ 4n

2

+

6

n

4

+ 4n

2

+ . . . +

2n

2

− 4n

n

4

+ 4n

2

!

3 sin n−2n

; n > 3

(b) lim

n→∞

√

9n + 2

1 −

ln n

2

n

!

2

n−1

(c) lim

n→∞

2

n+2



n − 2

2n + 4



n−2

(d) lim

n→∞

16

n+13



n

2n + 333



4n

(e) lim

n→∞

(

√

n −

√

n − n

k

) w zależności od k < 1

(f) lim

n→∞



tg

π

4

+ tg

π
n



sin 2

n

sin2 1

n

(g) lim

n→∞



3n −

q

9n

2

+ narctg(n!)



(h) lim

n→∞

n + arctgn

n − arctgn

!

ln 2

n

(i) lim

n→∞



1

2

−3n

+ 3

−2n+3



2

3n+4

(j) lim

n→∞

(1 + log

n

2)

log

4

(2n)

(k) lim

n→∞



1 − sin

2

n



1+ctg

1

n

(l) lim

n→∞



√

n

2

+ n

α

+ αn − n



w zależności od α ∈

R

1

Analiza

Matematyczna

(ł) lim

n→∞








n−1

n



n

2

+ 3

2−n

(sin n)

2n

+ (arctg(n!))

n−1






2

n

(m) lim

n→∞

2

n−13



n

2n − 13



n+1

(n) lim

n→∞

log

2

8

n

+ 2

n

(tg

1

n

)

n

+ (log

8

2)

n

!

2

n

Zadanie 2.

Dla jakich wartości α ∈

R

zachodzi lim

n→∞



log

n

n

3



ln n

α

< 9?

Zadanie

3.

Dla jakich wartości x > 0 mamy lim

n→∞

n−1

√

2

n

+ x

1−n

∈ (2, 22)?

Zadanie 4.

Dla jakich wartości a > 0 zachodzi lim

n→∞

n+1

s

2

2n

+ (arctg(−n))

n

3

n

+ a

n

2

< 1?

Zadanie 5.

Wyznacz zbiór tych wartości β ∈

R

, dla których lim

n→∞

n

2

− β

n

2

− βn

!

(1−n) ln(−β)

< 4.

Zadanie

6.

Oblicz granicę lim

n→∞



n − A

n + A



An

w zależności od A ∈

R

. Wyznacz zbiór możliwych wartości liczbowych

tej granicy.

Zadanie 7.

Dla jakich wartości α ∈

R

mamy lim

n→∞



3

√

n

3

+ n

α

−

3

√

n

3

− αn



∈

R

, a dla jakich ∈

R

\ {0}?

Zadanie 8.

Naszkicuj wykres funkcji f (x) = lim

n→∞

n

q

2

−n

+ (sin

2

2x)

n

; x ∈ [0, π].

Zadanie 9.
Wyznacz wszystkie wartości β ∈

R

, dla których istnieje granica właściwa

lim

n→∞



β



n

n

2

+ 1

+

n + 1

n

2

+ 1

+

n + 2

n

2

+ 1

+ . . . +

3n

n

2

+ 1



n

.

Jakie wartości może przyjąć wtedy ta granica?

Zadanie 10.

Oblicz granicę lim

n→∞

(n + 2)

3

− (n + 1)

3

2(2 + 5 + 8 + . . . + (3n − 4))

!

n

. Następnie bez obliczania wskaż, ile wyniosłaby

taka granica, gdyby ostatni składnik mianownika wyniósł (3n + 2), a ile gdyby wyniósł on (6n − 1).

2

Zadanie 11.
Oblicz (bez wykorzystywania reguły de l’Hospitala) podane granice funkcji

(a) lim

x→1



3x − 4

1 − 2x



x

x−1

(b) lim

x→π

cos(x −

π

2

)

tg

nx

2

w zależności od n ∈

N

(c) lim

x→∞

log

1−

5
x



x + 1

x



(d) lim

x→1

(1 − ln x)

log

x

e

(e) lim

x→1

x

log

2−x

2

(f) lim

x→∞

log

x

ln x

(g) lim

x→0

x cos x + sin x

e

4x

− 1

(h) lim

x→1

2 · 4

x

− 2

x+2

1 − x

(i) lim

x→0−

e

1
x

− cos(2x)

e

1
x

+ ctg x

(j) lim

x→0



1 + sin

2

x



1

1−cos x

(k) lim

x→

π

2

(1 + cos x)

x

2x−π

(l) lim

x→0

3

x

− 6

x

cos

6x−3π

2

(m) lim

x→3



2x − 1

8 − x



4

3−x

(n) lim

x→−1

1 + x

3

sin(πx) + log

2

(x + 2)

Zadanie 12.
Znajdź asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji

(a) f (x) =

√

4x − x

3

√

2 − x

(b) g(x) =

|1 + x|

√

x

2

− 1

(c) h(x) =

x

2

+ 4x + 3

√

x

2

+ 2x − 3

Zadanie 13.

W jakim punkcie i pod jakim kątem przetną się asymptoty funkcji f (x) =

8 + x

3

4 − x

2

?

Zadanie 14.
Wyznacz A z równania lim

x→1

(ln(ex))

log

x

(2A)

= A

2

− 7.

Zadanie 15.

Wyznacz wszystkie pary (A, B), dla których funkcja f (x) =

(

(1 − 2

2x

) ctg

x
2

dla 0 < x < π

x

2

− Ax + B

dla x ∈

R

\ (0, π)

jest ciągła w dokładnie jednym z dwóch punktów: 0 albo π.

3