GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI - LISTA ZADAC
NR 5
1. Obliczyć d wektorów:
lugości
-
a) = [1, 2, 3] ,
a
-
-
b)AB, gdzie A = (1, 2, 1) , B = (4, 6, 13) ,
-

c) b = [r cos Õ, r sin Õ, h] , gdzie r e" 0, oraz Õ, h " R.
-

-

2. Wektory a , b s¸ przek¸ równoleg
a atnymi loboku. Wyrazić boki tego
-

-

równoleg za pomoc¸ wektorów a , b .
loboku a
-

-
-
3. Wektory a , b , c sa bokami trójk¸
¸ ata.
-

-
-
a) Wyrazić Å›rodkowe tego trójk¸ za pomoc¸ wektorów a , b , c .
ata a
b) Wykazać, że ze Å›rodkowych trójk¸ można zbudować trójk¸
ata at.
-

- -
-
Wsk. b) Z wektorów a , b , c można zbudować trójk¸ jeżeli a +
at
- -

-

- - -

b + c = 0 oraz a , b , c s¸ niewspóliniowe.
a
4. Dane sa trzy wierzcho równoleg A = (1, -2, 3) , B = (3, 2, 1) ,
¸ lki loboku
C = (6, 4, 4) . Znalez
ć wspó edne wierzcho D.
lrz¸ lka
-

5. Znalez
ć wektor u d 1, który tworzy jednakowe k¸ z wek-
lugości aty
-

-

torami a = [0, 3, -4] , b = [8, 6, 0] i jest po w p
lożony laszczyz
nie
wyznaczonej przez te wektory.
-

-

6. Obliczyć iloczyny skalarne wektorów a i b , jeżeli:
-

-
a) = [0, 3, -4] , b = [8, 6, 0] ;
a
- - - -
- - -

b)- = 2 i + 3 j - k , b = 13 i - 6 j + 8 k ;
a

- -
Ä„
-
-
c)|| = 5, | b | = 6, !" a , b = ;
a
6
-

- - | - -
- -
d)- = 3 - 2- , b = p - 5, gdzie |- = 2, || = 1, p Ä„" q .
a p q q p q
7. Obliczyć k¸ mi¸
at edzy:
- - - -
- - -
-

a) wektorami a = 2 i + 3 j - k , b = 13 i - 6 j + 8 k ;
-

b) przek¸ równoleg etego
atnymi loÅ›cianu rozpi¸ na wektorach a = [1, 2, 3] ,
-

-

b = [-1, 0, 2] , c = [3, 1, 5] .
8. Wykazać, że czworok¸ o wierzcho A = (-3, 5, 6) , B = (1, -5, 7) ,
at lkach
C = (8, -3, -1) , D = (4, 7, -2) jest kwadratem.
9. Obliczyć d rzutu prostopad wektora:
lego
"
"lugość "
- " "

-

a) a = 2, 3, - 5 na wektor b = - 8, 0, 5 ;
-

b) a = [-1, 0, 2] na prost¸ tworz¸ a jednakowe k¸ z dodatnimi
a ac¸ aty
osiami uk wspó ednych.
ladu lrz¸
1
-

-

10. Obliczyć iloczyny wektorowe wektorów a i b , jeżeli:
-

-

a) a = [1, 2, -1] , b = [2, 3, 4] ;
- - -
- - -
-

b) a = 2 i - 3 k , b = i + j - 4 k .
11. Obliczyć pole:
- - -

-

a) równoleg rozpi¸ na wektorach a = 3 i + 2 j + k ,
loboku etego
- -
- -
b = i - j + 2 k ;
b) trójk¸ o wierzcho A = (3, 4, -3), B = (6, 2, 3), C = (0, -1, 5) .
ata lkach
- -
-
12. Wektory AC = [3, 2, 1] , AB = [1, -1, 2] rozpinaja trójk¸ ABC. Obliczyć
¸ at
wysokość tego trójk¸ opuszczon¸ z wierzcho C.
ata a lka
-

-
-
13. Obliczyć iloczyny mieszane wektorów a , b , c jeżeli:
-

-
-
a) a = [-2, 1, 3] , b = [4, 3, -1] , c = [1, 0, -2] ;
- - - -
- - - -
- -

b) a = 2 i - 3 k , b = i + j - 4 k , c = 5 i - 3 j .
14. Obliczyć obj¸
etość:
-

-

a) równoleg etego
loÅ›cianu rozpi¸ na wektorach a = [0, 1, -1] , b =
-

[1, -2, -3] , c = [1, 5, 0] ;
b) czworościanu o wierzcho A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C =
lkach
(-1, 1, 0) , D = (0, 0, 1).
15. Sprawdzić, czy
-

- -

a) wektory a = [2, 0, -3] , b = [1, 1, -4] , c = [5, -3, 0] s¸ wspó
a l-
p
laszczyznowe;
b) punkty A = (1, 0, 2), B = (5, 1, 5), C = (3, -1, 2) , D = (1, 1, 1) leż¸
a
w jednej p
laszczyz
nie;
-

-
-
c) wektory a = [2, -1, 3] , b = [1, 2, 3] , c = [1, 1, 2] s¸ liniowo zależne.
a
16. Napisać równania ogólne, parametryczne i odcinkowe (o ile to jest
możliwe) p lniajacych
laszczyzn spe ¸ podane warunki:
a) p la
laszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, -2, 0) i jest prostopad
-

do wektora a = [0, -3, 2] ;
b) p la
laszczyzna przechodzi przez punkt P = (-2, 1, 4) i jest równoleg
-

-

do wektorów a = [-1, 3, 2] , b = [3, 2, 5] ;
c) p
laszczyzna przechodzi przez trzy punkty P1 = (0, 0, 0), P2 =
(1, 2, 3), P3 = (-1, -3, 5);
d) p
laszczyzna przechodzi przez dwa punkty P1 = (2, 0, -1), P2 =
(1, -3, 4) i jest prostopad do p
la laszczyzny xOz;
e) p la
laszczyzna przechodzi przez punkt P = (3, -2, 5) i jest równoleg
do p
laszczyzny yOz;
f) p
laszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, 3, -2) i przez oÅ› Oy;
g) p la
laszczyzna przechodzi przez punkt P = (2, -1, 1) i jest prostopad
do dwóch p
laszczyzn Ä„1 : 2x - z + 1 = 0, Ä„2 : y = 0;
h) p
laszczyzna przechodzi przez punkt P = (-1, 2, 4) i odcina na osi
2
Ox odcinek d 5, a na Oz odcinek d 3.
lugości lugości
Å„Å‚osi
x = 1 + s
òÅ‚
Odp.: a) 3y - 2z + 6 = 0, y = -2 + 2t , gdzie s, t " R; b) x + y -
ół
z = 3t
Å„Å‚
x =
òÅ‚ -2 - s + 3t
y
x z
z + 5 = 0, y = 1 + 3s + 2t , gdzie s, t " R, + + = 1; c)
-5 -5 5
ół
z = 4 2s + 5t
Å„Å‚+
x = s
òÅ‚ - t
19x - 8y - z = 0, y = 2s - 3t , gdzie s, t " R; d) 5x + z - 9 = 0,
ół
z = 3s + 5t
Å„Å‚ Å„Å‚
x = 1 + t x = 3
òÅ‚ òÅ‚
y = -3 + s + 3t , gdzie s, t " R; e) x - 3 = 0, y = -2 + s ,
ół ół
z = 4 - 5t z = 5 + t
Å„Å‚
x = 1 + t
òÅ‚
gdzie s, t " R; f) 2x + z = 0, y = 3 + s + 3t , gdzie s, t " R; g)
ół
z = -2 - 2t
Å„Å‚
x = 2 + 2s
òÅ‚
x + 2z - 4 = 0, y = -1 + t , gdzie s, t " R; h) 3x - y + 5z - 15 = 0,
ół
z = 1 - s
Å„Å‚
x =
òÅ‚ -1 + s
y
x z
y = 2 + 3s + 5t , gdzie s, t " R, + + = 1.
5 -15 3
ół
z = 4 + t
17. Dla jakiej wartości parametru p " R p
laszczyzny Ä„1 : 7x - 2y - z = 0,
Ä„2 : px + y - 3z - 1 = 0 sa prostopad ?
¸ le
18. Dla jakiej wartości parametrów p, q " R p
laszczyzny Ä„1 : 4x - 3y +
6pz - 8 = 0, Ą2 : 2qx + y - 4z + 4 = 0 sa równoleg ?
¸ le
19. Napisać równania kierunkowe i parametryczne prostych spe ¸
lniajacych
podane warunki:
a) prosta przechodzi przez punkt P = (2, -1, 3) i jest równoleg do
la
-

wektora a = [3, 2, -2] ;
b) prosta przechodzi przez punkt P = (1, -1, 1) i jest prostopad do
la
-

-

wektorów a = [-1, 3, 2] , b = [3, 2, 5] ;
c) prosta przechodzi przez dwa punkty P1 = (1, 0, 1), P2 = (1, 2, 3);
d) prosta przechodzi przez punkt P = (0, -2, 3) i jest prostopad do
la
p
laszczyzny 3x - y + 2z - 6 = 0;
e) prosta jest cz¸Å›cia wspóln¸ p
e ¸ a laszczyzn Ä„1 : 2x - z + 1 = 0, Ä„2 :
y + z = 0.
Å„Å‚
x = 2 + 3t
òÅ‚
y-3
z+1
Odp: a).x-2 = = , y = 3 - 2t , gdzie t " R; b).x-1 =
3 -2 3 1
ół
z = -1 + 3t
3
Å„Å‚ Å„Å‚
x = 1 + t x = 1
òÅ‚ òÅ‚
y+1 y
z-1 z-1
= , y = -1 + t , gdzie t " R; c).x-1 = = , y = 2t ,
1 -1 0 2 2
ół ół
z = 1 - t z = 1 + 2t
Å„Å‚
x = 3t
òÅ‚
y+2
z-3
gdzie t " R; d).x = = , y = -2 - t , gdzie t " R; e).x =
3 -1 2 1
ół
z = 3 + 2t
Å„Å‚
x = t
òÅ‚
y+1
z-1
= , y = -1 + 2t , gdzie t " R.
2 -2
ół
z = 1 - 2t
20. Napisać równania prostych przechodz¸ przez punkty przeci¸
acych ecia
p ladu lrz¸
laszczyzny 3x - 2y + 6z - 6 = 0 z osiami uk wspó ednych.
y y+3 y
x-2 z x z x z-1
Odp: = = , = = , = = .
2 3 0 0 3 1 2 0 -1
21. Obliczyć k¸ mi¸
at edzy:
" "
a) p
laszczyznami Ä„1 : x - 2y + z - 1 = 0, Ä„2 : x + 2y - z + 3 = 0;
b) prostymi przechodz¸ przez punkty A = (2, 0, -1), B = (1, -2, 3)
acymi
oraz C = (-1, 2, 1), D = (3, 1, 3);
y
x-2 z
c) prost¸ = = i p a
a laszczyzn¸ 3x - 2y + 5z - 1 = 0.
2 3 0
22. Obliczyć odleg
lość
y-1
x+1 z
a) punktu P = (2, -1, 1) od prostej = = ;
1 -1 2
b) punktu P = (1, 1, 1) od p
laszczyzny x + 2y - z + 1 = 0;
y-3 y
x-1 z+1 x
c) mi¸ prostymi równoleg l1 : = = , l2 : = =
edzy lymi
4 -2 3 4 -2
z
;
3
d) mi¸ p lymi
edzy laszczyznami równoleg Ą1 : x - 2y + z - 1 = 0, Ą2 :
2x - 4y + 2z = 0;
y+2 y+7
x-9 z x z-2
e) mi¸ prostymi skoÅ›nymi l1 : = = , l2 : = = .
edzy
4 -3 1 -2 9 2
23. Znalez
ć rzut prostopad
ly
y-1
x+1 z-2
a) punktu P = (1, -2, 1) na prost¸ = = ;
a
1 -1 2
b) punktu P = (2, 3, -6) na p e
laszczyzn¸ x + 2y + z + 4;
c) prostej l : x = y = z na p e
laszczyzn¸ x + 2y + 3z - 6 = 0.
24. Znalez
ć punkt symetryczny do punktu P = (0, 1, 3) wzgl¸
edem:
a) punktu S = (1, 0, -1);
y
x+1 z-5
b) prostej = = ;
-2 1 3
c) p
laszczyzny x + y + z = 0.
25. Znalez
ć punkt P dzielacy odcinek AB w stosunku 1 : 2 gdy A =
¸
(1, 1, 1), B = (-3, 2, -1).
26. W wierzcho trójk¸ prostok¸ o przyprostok¸ a = 3 i
lkach ata atnego atnych
b = 4 rozmieszczono jednakowe masy. Znalez
ć po środka masy
lożenie
tego uk
ladu.
4
27. Uzasadnij, że punkt przeci¸ odcinków lacz¸ Å›rodki przeciw-
ecia ¸ acych
leg boków czworok¸ wypuk dzieli na po e odcinek lacz¸
lych ata lego low¸ ¸ acy
Å›rodki przek¸ tego czworok¸ Wsk.: szukajac Å›rodek masy
atnych ata. ¸
uk (P1, m1), . . . , (Pn, mn) możemy zast¸ uk (Pi1, mi1), . . . ,
ladu apić lad
(Pik, mik) (k d" n) punktem b¸ acym Å›rodkiem masy tego uk z
ed¸ ladu
masa mi1 + . . . + mik.
¸
5