LISTA 5
UKA
ADY RÓWNAC
RÓŻNICZKOWYCH
1. Korzystając z metody podstawiania rozwiązać podane zagadnienia początkowe:

x = x + 3y x(0) = 3
a) , ;
y = -x + 5y y(0) = 1

x = -x + 2y x(0) = 0
b) , ;
y = -2x - 5y y(0) = 1

x = -x + y + et x(0) = 1
c) , ;
y = x - y + et y(0) = 1

x = -2x - 4y + 4t + 1 x(0) = 0
d) , .
3
y = -x + y + t2 y(0) = 0
2
2. Dwa połączone zbiorniki zawierają po 1000 litrów wody każdy. Do każdego zbiornika miało
być dodane 150 kilogramów pewnej substancji chemicznej, ale przez pomyłkę dodano 300
kilogramów tej substancji do zbiornika A. Włączono pompy, które przepompowują 20
litrów roztworu na minutę z każdego zbiornika do drugiego. Po jakim czasie w zbiorniku
A będzie 200 kilogramów tej substancji chemicznej? Czy teoretycznie jest możliwe, by po
pewnym czasie w każdym zbiorniku było po 150 kilogramów tej substancji.
3. Korzystając z metody Eulera (wartości własnych) rozwiązać następujące zagadnienia
poczÄ…tkowe:

x = 3x + 2y x(0) = 0
a) , ;
y = x + 2y y(0) = 1

x = -5x + y x(0) = -1
b) , ;
y = -3x - y y(0) = 2
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ x = 4y + z x(0) = 5
ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
c) y = z , y(0) = 0 ;
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
z = 4y z(0) = 4

x = 2x + 5y x(0) = -1
d) , ;
y = -x + 4y y(0) = 0

x = 2x - y x(0) = 0
e) , ;
y = -x + 2y y(0) = 1

x = 3x + 4y x(0) = 0
f) , ;
y = -5x - 5y y(0) = -1
4. Korzystając z metody uzmienniania stałych znalez
ć rozwiązania ogólne podanych układów:

x = -5x + 2y + et
a) ;
y = x - 6y + e-2t

x = y + cos t
b) .
y = -x + 1
5. Zbadać stabilność punktów równowagi podanych układów o stałych współczynnikach:

x = 2x - y
a) ;
y = -x + 2y

x = -2x - 5y
b) ;
y = 2x + 2y
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 2x - y + 2z
òÅ‚
c) y = 5x - 3y + 3z ;
ôÅ‚
ół
z = -x - 2z
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 3x + 2y - 3z
òÅ‚
d) y = x + y + z .
ôÅ‚
ół
z = -y - 4z
6. Rozwiązać poniższe układy równań metodą Eulera. Naszkicować portrety fazowe.Określić
typy punktów równowagi (nazwa, stabilność):

x = -x + 6y
a) ;
y = x - 2y

x = 2x + y
b) ;
y = -4x + 2y

x = 2x - y
c) ;
y = 5x - 2y

x = 7x + 6y
d) ;
y = 2x + 6y

x = x + y
e) ;
y = -x + 3y

x = -2x - 3y
f) ;
y = x + y

x = -0, 75x + 0, 5y
g) .
y = 0, 125x - 0, 75y
7. Wyznaczyć wszystkie punkty równowagi podanych układów i na podstawie linearyzacji
zbadać ich stabilność:

x = 2x + 3y - 1
a) ;
y = -x - 2y + 1

x = x2 - 10x + 16
b) ;
y = y + 1

x = 1 - xy
c) ;
y = y - x2

x = 4y2 - 3x + 2
d) ;
y = 4x2 - 4

x = x2 - xy + x
e) ;
y = y2 + 2xy + y

x = x - y - ex
f) .
y = x - y - 1
8. Równanie ruchu Newtona dla swobodnego układu bezwładnego ma postać
d2y dy
m + b = 0,
dt2 dt
przy czym m jest masą, a b współczynnikiem tłumienia. Kładąc y1 = y oraz y2 = y ,
zamienić to równanie na liniowy układ równań. Rozwiązać ten układ metodą Eulera oraz
metodą operatorową. Naszkicować trajektorie na płaszczyz
nie fazowej.
9. Równanie ruchu beztarciowego wahadła ma postać
d2¸ g
+ sin ¸ = 0,
dt2 l
gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim, l dÅ‚ugoÅ›ciÄ… nici, a ¸ kÄ…tem mierzonym od poÅ‚ożenia
równowagi. Zamienić to równanie na układ równań analogicznie jak w poprzednim przykładzie,
dokonać linearyzacji i wyznaczyć portret fazowy układu zlinearyzowanego.
Odpowiedzi
1 1
1. a) x(t) = 3e2t, y(t) = e2t; b) x(t) = 2te-3t, y(t) = (1 - 2t)e-3t; c) x(t) = - e-2t + et, y(t) =
2 2
1 1
+ e-2t;
2 2
2. x(t) = 150(1 + e-t/25), y(t) = 150(1 - e-t/25).
7 7 1 1
4. a) x(t) = 2C1e-4t + C2e-7t + et - e-2t, y(t) = C1e-4t - C2e-7t + et - e-2t; b)
40 15 40 30
1 1 1
x(t) = C1 cos t + C2 sin t + t cos t + sin t + 1, y(t) = -C1 sin t + C2 cos t - t sin t.
2 2 2