AM I ROK FIZYKI I ASTRONOMII
LISTA 5
1. Podaj definicje Heinego i Cauchy ego rozbieżności funkcji f do nieskoń-
czoności, gdy
a) x x-,
0
b) x ".
2. Niech f będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie punktu x0 = 0.
Wykaż, że
a) jeżeli f jest parzysta, to lim f(x) = g Ô! lim f(x) = g,
x0+ x0-
b) jeżeli f jest nieparzysta, to lim f(x) = g Ô! lim f(x) = -g,
x0+ x0-
3. Wykaż z definicji Heinego, że
x3 + 1 3
a) lim(x2 + x3) = 2 b) lim = -
x1 x-1
x4 - 1 4
4. Wykaż z definicji Cauchy ego, że
"
x2 + 1 - 1
a) lim xk = 1, k " N b) lim = 0
x1 x0
x
5. Udowodnij, że
sin x
a) lim = 1 b) lim ax = 1, a > 0
x0 x0
x
1 (1 + x)r - 1
c) lim x sin = 0 d)" lim = r, r " Q, r > 0
x0 x0
x x
6. Oblicz
sin(sin x) 1 - cos x tg x - sin x
a) lim b) lim c) lim
x0 x0 x0
x x2 x3
" "
3 3
1 - x - 1 + x arc tg x
d) lim e) lim
x0 x0
x x
7. Zbadaj istnienie granicy
1 b x
a) lim sin( ) b) lim [ ], a > 0, b > 0
x0 x0
x x a
1
8. Dla jakiej wartości parametru A istnieje granica limx0 f(x), jeżeli
Å„Å‚
sin Ax
ôÅ‚
+ cos(Ax) : x > 0
òÅ‚
x
f(x) =
ôÅ‚
(x+A)2-A2
ół
: x < 0
x
9. Wykaż z definicji Cauchy ego, że
x
lim = 0
x"
x2 + 1
10. Wykaż, że dla a > 1 zachodzi lim ax = " oraz lim ax = 0
x" x-"
11. Zbadaj istnienie granicy
1
sin x
1-x2
a) lim b) lim e
x0 x1
1 - cos x

"
12. Oblicz lim f(x) dla f(x) = x(x - x2 - 1).
x"
13. Wyznacz następujące granice
ln x 1
x
"
a) lim , k " N b) lim xsin x c)" lim(1 + sin x)
k
x"
x0
x x0+
14." Niech f : R \ {0} R będzie funkcją ograniczoną i taką, że
a
lim f( ) = 0
n"
n
dla "a = 0. Czy wynika stąd, że limx0 f(x) = 0?

Robert Olkiewicz
2