RACHUNEK_BA

DÓW
RACHUNEK BA

DÓW W GEODEZJI
(na podstawie ksią\
ki Wilhelma Chojnickiego:
 Geodezyjny rachunek wyrównania w zadaniach
TEORIA BA

DÓW
Rodzaje błędów
1. Błędy grube (omyłki, przeoczenia) mają zwykle du\
ą wartość liczbową
i popełniane są wskutek braku nale\
ytej uwagi i staranności w czasie pracy. Błędne
odczytanie 9 zamiast 6, zapisanie 162 zamiast 126, błędy dwustugradowe przy odczytywaniu
limbusa, błędy wielkości całych metrów lub dziesiątek gradów itp. Po stwierdzeniu takiego
błędu nale\
y go usunąć przez powtórny pomiar kontrolny i to przed zastosowaniem metod
rachunku wyrównania do wykonywanych spostrze\
eń.
2. Błędy systematyczne są to błędy mające swe z
ródło w otoczeniu (temperatura,
refrakcja, oświetlenie), w fizycznie upośledzonym oku obserwatora lub w niedostatecznie
sprawdzonym przyrządzie geodezyjnym (nominalna długość taśmy lub łaty nie jest zgodna z
długością rzeczywistą, błędy w podziale limbusów). Mają one zatem w szczególnych
przypadkach charakter stały i równie\
powinny być przed wyrównaniem spostrze\
eń
wyeliminowane przez wprowadzenie odpowiednio obliczonych poprawek do wyników
pomiaru.
3. Błędy przypadkowe są to błędy małe, popełniane stale przy ka\
dym spostrze\
eniu
pomimo nale\
ytych starań i sumienności w pracy, z przyczyn nie dających się ustalić i mające
z równym prawdopodobieństwem znak plus lub minus. Zadaniem rachunku wyrównania jest
obliczenie takich poprawek do wykonanych spostrze\
eń, aby ich wielkości poprawione nie
dawały odchyłek.
4. Błędy prawdziwe i błędy pozorne.
Błąd prawdziwy � jest to ró\
nica między wartością pomierzoną i wartością prawdziwą
�
�
�
spostrze\
enia:
� = L-Lp,
El\
bieta Kokocińska-Pakiet Strona 1 2007-03-02
RACHUNEK_BA

DÓW
gdzie: Lp  wartość prawdziwa,
L  wartość pomierzona.
W równaniu tym znana jest tylko wartość pomierzona L, a poniewa\
wartość prawdziwa
wielkości mierzonej bezpośrednio jest z reguły nie znana, zatem nie jest tak\
e znany błąd
prawdziwy pojedynczego spostrze\
enia.
Błąd pozorny spostrze\
enia -v jest to ró\
nica między pomierzoną i wyrównaną wartością
spostrze\
enia:
-v= L LW, -v = l  x; - zapis na planszy
natomiast poprawka wyrównawcza v jest to wielkość równa błędowi pozornemu, lecz z
przeciwnym znakiem, czyli wartość, którą nale\
y dodać do spostrze\
enia, aby otrzymać jego
wartość wyrównaną:
v= LW L, v = x  l; - zapis na planszy
gdzie: Lw  wartość wyrównana,
L  wartość pomierzona.
Błędy, za pomocą których charakteryzuje się dokładność spostrze\
eń
lub funkcji spostrze\
eń
1. Błąd absolutny jest to błąd przypadający na całą nieznaną wielkość.
2. Błąd względny jest to błąd przypadający na jednostkę mierzonej wielkości, czyli
stosunek błędu absolutnego do mierzonej wielkości. Wyra\
amy ten błąd zwykle za pomocą
ułamka z jednością w liczniku lub za pomocą procentu i stosujemy tylko przy
charakteryzowaniu dokładności pomiaru długości lub powierzchni, nie ma on natomiast
zastosowania do charakterystyki pomiaru kąta lub ró\
nic wysokości, poniewa\
tu dokładność
pomiaru nie zale\
y od wielkości mierzonych elementów.
3. Błąd średni pojedynczego spostrze\
enia Obliczony na podstawie błędów
prawdziwych �. Wynosi on:
n
2
"�
i
[�� ]
i=1
m = ą Wzór ten mo\
e być zapisany równie\
: m = ą
(1)
n n
gdzie: n  jest liczbą błędów prawdziwych, a więc i liczbą spostrze\
eń.
Wobec braku mo\
liwości określenia błędów prawdziwych pojedynczych spostrze\
eń
wzór ten jest rzadko stosowany. Niekiedy mo\
na określić błąd prawdziwy funkcji, np. ró\
nica
El\
bieta Kokocińska-Pakiet Strona 2 2007-03-02
RACHUNEK_BA

DÓW
między sumą teoretyczną kątów w poligonie zamkniętym a sumą pomierzonych kątów jest
błędem prawdziwym sumy pomierzonych kątów. Podobnie odchyłka zamknięcia ró\
nic
wysokości w zamkniętym ciągu niwelacyjnym jest błędem prawdziwym tego zamknięcia.
a) Błąd średni pojedynczego spostrze\
enia przy wielokrotnych spostrze\
eniach jednej
wielkości w przypadku, gdy błędy prawdziwe nie są znane, obliczamy na podstawie błędów
pozornych z wzoru:
n
2
"v
i
i=1
(2)
m = ą
n -1
4. Błąd średni błędu średniego. Wzór (1) na błąd średni jest słuszny dla n zdą\
ającego
do nieskończoności, natomiast przy skończonej liczbie n spostrze\
eń otrzymujemy tylko
przybli\
oną wartość błędu średniego. Obliczony zatem z tego wzoru błąd średni będzie tym
bli\
szy swej wartości prawdziwej, im większej liczby spostrze\
eń u\
yjemy do jego
wyznaczenia, tj. im większe będzie n.
Mo\
na udowodnić, \
e błąd średni błędu średniego wyra\
a się wzorem:
n
2
"v
i
i=1 (3)
mm = ą
n(n -1)
je\
eli błąd średni m został obliczony na podstawie błędów pozornych. We wzorze (3) mm jest
błędem średnim błędu średniego, n jest liczbą spostrze\
eń.
W praktyce do oceny dokładności pomiarów lub wyznaczanych niewiadomych u\
ywamy
zwykle błędów średnich.
5. Błąd graniczny g = 3m jest to błąd, którego prawdopodobieństwo przekroczenia jest
praktycznie równe zeru. W praktyce przyjmuje się, \
e g znajduje się w przedziale
2 m d" g d" 3 m
lub innymi słowy
gmax = 3m
(4)
5. Błąd przeciętny jest to średnia arytmetyczna bezwzględnych wartości błędów
prawdziwych
n
�i
"
i=1 (5)
t =
n
gdzie n jest liczbą błędów prawdziwych.
El\
bieta Kokocińska-Pakiet Strona 3 2007-03-02
RACHUNEK_BA

DÓW
PRZYKA
AD
Ustalić błąd średni i błąd średni błędu średniego z następujących pomiarów:
Lp. l [m] v = x  l [cm] v2 [cm2]
A B C
1. 100,00
2. 100,01
3. 101,00
4. 99,99
5. 100,02
6. 99,98
"
Co nale\
y wykonać w pierwszym podejściu?
Lp. l [m] v = x  l [cm] v2 [cm2]
A B C
1. 100,00 0 0
2. 100,01 -1 1
3. 101,00 Błąd gruby
4. 99,99 1 1
5. 100,02 -2 4
6. 99,98 2 4
" 500,00 0 10
n
"li
500,00
i=1
x = = =100,00 m
n 5
n
2
"vi
10
i=1
m = ą = ą = ą 2,5 = ą1,6 cm
n -1 5 -1
n
2
"vi
10 1
i=1
mm = ą = ą = ą = ą0,707 cm
n(n -1) 5(5 -1)
2
x =100,00 ą 0,007 m
El\
bieta Kokocińska-Pakiet Strona 4 2007-03-02
RACHUNEK_BA

DÓW
Wagi spostrze\
eń
Pomiary określonej wielkości wykonywane w ró\
nych warunkach, ró\
nymi
przyrządami przez ró\
nych obserwatorów nazywamy spostrze\
eniami niejednakowo
dokładnymi.
Porównanie niejednakowo dokładnych obserwacji mo\
na przeprowadzić za pomocą ich
średnich błędów lub za pomocą charakterystyk względnych, tj. wag spostrze\
eń. Je\
eli
średnie błędy dwóch spostrze\
eń są jednakowe, to obserwacje te są jednakowo dokładne, a
wagi ich są sobie równe. Je\
eli przy pomiarach jednego dnia dla określenia dowolnej
ą
wielkości ze średnim błędem m nale\
ało wykonać obserwacje jeden raz, a innego dnia dla
osiągnięcia tej samej dokładności nale\
ało powtórzyć obserwacje czterokrotnie, to
pojedyncza obserwacja wykonana pierwszego dnia ma wagę czterokrotnie większą od
pojedynczej obserwacji wykonanej drugiego dnia.
Przy pomiarach długości przyjmuje się wagi odwrotnie proporcjonalne do długości
boku. Przy pomiarach niwelacyjnych przyjmuje się wagi odwrotnie proporcjonalne:
a) do długości ciągu, je\
eli zachowuje się stałą odległość między niwelatorem a łatami,
b) do liczby stanowisk niwelatora, gdy długości celowych są zmienne.
Wagi spostrze\
eń są to liczby odwrotnie proporcjonalne do kwadratów błędów średnich tych
spostrze\
eń:
1 1 1
p1 � p2 � p3 �K = � � �K
(6)
m12 m2 2 m32
Spostrze\
enie, dla którego przyjęto wagę p = 1, nazywane jest spostrze\
eniem jednostkowym
albo typowym.
Prawo przenoszenia się błędów
Prawo przenoszenia się błędów w przypadku ogólnym określamy z wzoru:
2 2 2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"F "F "F "F
2 2 2 2
(7)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
mF = �" m1 + �" m2 + K + �" mi2 + K + �" mn
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
"x1 "x2 "xi "xn
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
Wzór ten pozwala na obliczenie błędu średniego mF funkcji
F = f (x1, x2,K, xi ,K, xn )
niezale\
nych n spostrze\
eń x1, x2,. . ., xn, o znanych błędach średnich m1, m2, . . ., mn.
El\
bieta Kokocińska-Pakiet Strona 5 2007-03-02
RACHUNEK_BA

DÓW
Je\
eli błędy średnie wszystkich spostrze\
eń są sobie równe, tj. je\
eli m1 = m2 = mn = m, to
wówczas:
�ł�ł "F �ł2 łł
2
mF = m2
�ł �ł
�ł śł.
(8)
�ł�ł "x łł śł
�ł �ł
Na podstawie wzoru (6) prawo przenoszenia się wag określamy wzorem ogólnym:
2 2 2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 "F 1 "F 1 "F 1 "F 1
(9)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
= �" + �" + K+ �" + K + �"
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
pF "x1 p1 "x2 p2 "xi pi "xn pn
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
ZADANIA
Zadanie 1.
Piramida Cheopsa
Z jakim błędem średnim nale\
y pomierzyć:
" długość boku podstawy (a),
" wysokość (h)
piramidy Cheopsa, aby błąd obliczenia kubatury nie przekroczył:
" 100, 200, 500, 1000, 25000, 100000 m3.
Zakładamy, \
e piramida Cheopsa jest ostrosłupem prawidłowym o podstawie
kwadratu o boku 230,35 m i wysokości 146,59 m. Zbudowaną z 2 300 000
bloków skalnych o masie 2,5 tony ka\
dy.
El\
bieta Kokocińska-Pakiet Strona 6 2007-03-02
RACHUNEK_BA

DÓW
Objętość ostrosłupa:
1
V = a2h
3
1
V = �" 230,352 �"146,59 = 2592743,32 m3
3
V 2592743,32 m3
= =1,13
IB 2300000 blok
Wzór na błąd obliczenia objętości:
2 2
"V "V
�ł �ł �ł �ł
2
mV = ma + m2
�ł �ł �ł �ł
h
"a "h
�ł łł �ł łł
Pochodne cząstkowe:
"V 2 2
= ah = �" 230,35 �"146,59 = 22511,34 m2
"a 3 3
"V 1
= a2 =17687,04 m2
"h 3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zad.1. Zakładamy, \
e błąd pomiaru a i h jest taki sam, ma= mh
i mV = 100 m3
100 m3 = 0,000038 % objętości piramidy.
Podnosimy obustronnie równanie do kwadratu i przekształcamy:
2 2
"V "V
�ł �ł �ł �ł
2
mV = ma + m2 /2
�ł �ł �ł �ł
h
"a "h
�ł łł �ł łł
2 2
"V "V
�ł �ł �ł �ł
2 2
m2 = ma + ma =>
�ł �ł �ł �ł
V
"a "h
�ł łł �ł łł
El\
bieta Kokocińska-Pakiet Strona 7 2007-03-02
RACHUNEK_BA

DÓW
m2 1002
2
V
ma = = = 0,0000122 m2
2 2 2 2
(22511,34) + (17687,04)
"V "V
�ł �ł �ł �ł
+
�ł �ł �ł �ł
"a "h
�ł łł �ł łł
ma = mh = 0,0035 m
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zad.2. Zakładamy, \
e błąd pomiaru a i h jest ró\
ny, ma= 2mh
i mV = 500 m3
500 m3 = 0,00019 % objętości piramidy.
2 2 2 2
"V "V "V "V
�ł �ł �ł �ł �ł �ł 2 �ł �ł
2 2
m2 = ma + m2 = (2mh) + ma =>
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
V h
"a "h "a "h
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
m2 5002
V
m2 = = = 0,000107 m2
h
2 2 2 2
4�"(22511,34) + (17687,04)
"V "V
�ł �ł
4�ł �ł +
�ł �ł �ł �ł
"a "h
�ł łł �ł łł
mh = 0,0103 m
ma = 0,021 m
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 2. (do domu)
Wie\
a  kukurydziana w Chicago
Wie\
a ma kształt walca o podstawie koła. Przybli\
one wymiary wie\
y: obwód
S=200m; wysokość h=200m.
Z jakim błędem średnim nale\
y pomierzyć te dwa elementy aby uzyskać średni
błąd kubatury budynku mV = ą100 m3, 250000 m3?
El\
bieta Kokocińska-Pakiet Strona 8 2007-03-02
RACHUNEK_BA

DÓW
REGUA
Y RACHUNKOWE ZGODNE
Z ZASADAMI BRADIS  KRYA
OWA
1. Wyniki pomiarów i obliczeń wyra\
one liczbami przybli\
onymi powinny
być tak obliczane i zapisywane, aby charakteryzowały rząd wielkości
liczby i jej dokładność.
Na przykład:
Je\
eli obliczono długość odcinka:
a) z błędem nie przekraczającym 1 m prawidłowym zapisem jest:
1614 m
b) z błędem nie przekraczającym 0,1 m prawidłowym zapisem jest:
1613,8 m
c) z błędem nie przekraczającym 0,01 m prawidłowym zapisem jest:
1613,83 m
2. Cyfry znaczące i zera występujące na końcu liczby powinny mieć
znaczenie dwojakie - wskazywać rząd wielkości liczby oraz jej dokładność.
3. Przy dodawaniu i odejmowaniu liczb przybli\
onych nale\
y w wyniku
zachować tyle znaków dziesiętnych ile zawiera ich liczba przybli\
ona
o najmniejszej ilości znaków dziesiętnych.
4. Przy mno\
eniu i dzieleniu nale\
y w wyniku zachowywać tyle cyfr
znaczących, ile zawiera ich liczba przybli\
ona o najmniejszej ilości cyfr
znaczących.
5. Przy podnoszeniu do kwadratu i sześcianu nale\
y w wyniku zachowywać
tyle cyfr znaczących, ile ich zawiera potęgowana liczba przybli\
ona.
6. Przy wyciąganiu pierwiastka kwadratowego nale\
y w wyniku zachowywać
tyle cyfr znaczących, ile ich zawiera liczba pierwiastkowana
El\
bieta Kokocińska-Pakiet Strona 9 2007-03-02
RACHUNEK_BA

DÓW
7. Przy obliczaniu wyników pośrednich stadiów rachunku nale\
y brać zawsze
o jedna cyfrę więcej, ni\
to wskazują zasady podane w ust. 2-6.
8. Je\
eli niektóre dane zawierają więcej znaków dziesiętnych w działaniach
pierwszego stopnia lub więcej cyfr znaczących w działaniach drugiego
i trzeciego stopnia ni\
pozostałe, nale\
y je przede wszystkim zaokrąglić
zachowując przy tym jedna dodatkowa według reguł cyfrę.
9. Je\
eli dane wyjściowe do rachunku mo\
na brać z dowolna dokładnością,
wówczas aby otrzymać wynik o k - cyfrach, nale\
y brać dane z liczba cyfr,
która zgodnie z regułami 2-6 daje k + 1 cyfr wyniku.
Na przykład:
1
1,1
1,11
1,111
1,1111
1,11111
El\
bieta Kokocińska-Pakiet Strona 10 2007-03-02