Rachunek błędów
Podstawowe pojęcia, definicje i wzory.
Wstęp
Proces pomiarowy mający na celu poznanie
obiektu badań prowadzi często do określenia
wartości rzeczywistej badanej wielkości. Jednak
wynik pomiarów może różnić się od wartości
rzeczywistej wielkości mierzonej. Zatem ważną
częścią tego procesu jest analiza popełnionych w
trakcie pomiaru niedokładności. W tym celu
wprowadza się pojęcie błędu pomiaru
(nazywanego w przeszłości uchybem) oraz jego
niepewności. Spotykamy się też z innymi
pojęciami takimi jak: dokładność, klasa czy
tolerancja
2
Podstawowe definicje
Błąd pomiaru - niezgodność wyniku
pomiaru z wartością rzeczywistą wielkości
mierzonej
Błąd bezwzględny - jest to różnica
między wynikiem pomiaru x i wartością
rzeczywistą xR wielkości mierzonej i wyraża
"x = x - xR się w tych samych jednostkach, co wielkość
mierzona
Błąd względny - jest ilorazem błędu
bezwzględnego i wartości rzeczywistej
"x
� = 100%
(wyrażany głównie w procentach, dzięki
x
xR
temu jest przydatny przy porównywaniu
jakości pomiarów różnych wielkości
3
Wartość poprawna
W metrologii wartość rzeczywista jest pojęciem
teoretycznym, jej przybliżeniem jest wartość poprawna,
czyli taka która określona jest wystarczająco dokładnie.
Dlatego wprowadza się błąd poprawny
"Px = x - xP = - p
p  poprawka
Służy do poprawienia
p = -"Px = xP - x
wyniku pomiaru
xP = x + p
"P x "P x "P x
"x
� = H" H" H"
W praktyce :
x
xR xR xP x
4
Niepewność pomiaru
Graniczny błąd pomiaru (niepewność
pomiaru) jest to błąd bez znaku i określa
przedział taki, że:
x - "g x d" xR d" x + "g x
xR = x ą "g x
"g x "g x "g x
� = H" H"
x
xR xP x
g
Niepewność zwykle jest szacowana, czyli określana z pewnym
przybliżeniem co wynika z naszej niewiedzy na temat
dokładnych wartości xR, xP, czy też zjawisk.
5
Zapis wyników pomiarów
Ostateczny zapis wyników pomiarów musi mieć
odpowiednią formę. W tym celu dokonuje się zaokrągleń
w następujący sposób:
błędy (" i �) zaokrąglamy zawsze w górę, do jednej cyfry
znaczącej
liczbę przybliżoną (x) zaokrąglamy do tylu miejsc po
przecinku, ile występuje w błędzie.
Przykłady:
x=2,494 i "x=ą0,043 zapisujemy 2,49ą0,05
x=237,465 i "x=ą0,127 zapisujemy 237,5ą0,2
6
x=123375 i "x=ą678 zapisujemy 123400ą700 lub (123,4 ą0,7) 103
Podział błędów ze względu ma
ich charakter
błędy systematyczne
błędy przypadkowe
błędy grube (nadmierne, omyłki)
7
Podział błędów ze względu na
ich charakter
Błąd systematyczny - jest to błąd, który przy wielokrotnym
pomiarze danej wielkości w nie zmienionych praktycznie
warunkach, pozostaje stały co do wartości i co do znaku, albo
zmienia się według znanej zależności. Istotną cechą błędu
systematycznego jest to, iż można w wielu wypadkach usunąć go
z wyniku pomiaru wyznaczając poprawkę
Błąd przypadkowy - jest to błąd zmieniający się w sposób
przypadkowy zarówno co do wartości, jak i co do znaku przy
wielokrotnym powtarzaniu pomiaru danej wielkości w
praktycznie niezmiennych warunkach.
Błąd nadmierny - Zwany też błędem grubym lub omyłką. Jest to
rażąca odmienność wyniku pomiarowego od pozostałych. Jeśli
jest to faktycznie omyłka, wtedy pomiar taki odrzucamy w
przeciwnym razie wynik taki należy poddać wnikliwej analizie
8
Zmienne losowe
Wynik pomiaru i błąd przypadkowy można traktować jak zmienne
losowe. W dalszych rozważaniach zakładamy, że wynik pomiaru nie
jest obciążony błędem systematycznym.
Zmienna losowa X - jest to wielkość mierzalna, której wartości
(x) zależą od przypadku. W wyniku pomiaru zmienna losowa (X)
przyjmuje tylko jedną wartość (x) spośród wszystkich możliwych.
f(x) - funkcja gęstości
dF ( x)
f ( x) =
dx
prawdopodobieństwa (gęstość
prawdopodobieństwa)
F(x) - dystrybuanta zmiennej losowej
x
F ( x) = P( X ) = P(-" < X < x) = f (x)dx
+"
9
- "
Zmienne losowe c.d.
"
F ( " ) = P ( -" < X < " ) = f (x )dx = 1
+"
- "
x1
P ( x1 < X < x ) = f (x )dx
2
+"
x
2
"
E ( X ) = xf (x )dx
+"
- "
"
2 2 2
� = E [ X - E ( X )] = [ X - E ( X )] f (x )dx
+"
- "
P(x1wartości pomiędzy x1 a x2.
E(X) - wartość oczekiwana, jest miarą skupienia rozkładu
�2 - wariancja, jest miarą rozproszenia rozkładu. Wielkość � jest
odchyleniem standardowym (odchyleniem średnim
10
kwadratowym)
Rozkład normalny
Przy dużej liczbie pomiarów przyjmuje się że pomiary jako
zmienne losowe mają rozkład normalny (rozkład Gaussa).
2
( x - E ( X )) ( x - xR )2
-. -.
1 1
2 2
2� 2�
f ( x) = e = e
� 2Ą � 2Ą
f(x)
E ( X ) = xR
�1 < �2
Wartości prawdopodobieństwa dla
szczególnych przedziałów:
�2
P(xR-�x
P(xR-2�xR
P(xR-3�xR-� xR+�
11
Rozkład normalny c.d.
takiej postaci wyniku
xR ą " x �! E ( X ) ą 3�
g
oczekiwaliśmy, szukaliśmy
graniczna niepewność wyniku
" x = 3�
g
pomiaru ( reguła trzech sigm ).
Jest to przedział ufności określony
na wybranym poziomie ufności
(istotności).
12
Praktyczna ocena błędów
przypadkowych
n
1
oszacowanie wartości rzeczywistej. Tak
E ( X ) = x = xi H" xR
"
n
liczona wartość jest też zmienną losową
i =1
Ponowne
E ( X ) = xR �! E ( x ) = xR
2 oszacowanie
� �
2
� = �! � =
x x
wartości
n
n
rzeczywistej i jej
n n
( xi - x )2 ( xi - x )2
" " odchylenia
2 2
i =1 i =1
s = �! sx =
standardowego
n - 1 n(n - 1)
dla n >30 ostateczny wynik to
xR ą " x �! E ( X ) ą 3� �! x ą 3sx
g
13
Praktyczna ocena błędów
przypadkowych c.d.
dla n <30 korzysta się z rozkładu t-Studenta
xR ą " x �! x ą tą sx
g
Z tablic, dla określonej liczby stopni
swobody k=n-1 i dla wybranego poziomu
ufności ą odczytuje się współczynnik tą.
14
Błędy w pomiarach pośrednich
Pomiar bezpośredni - pomiar, którego wynik
odczytuje się bezpośrednio ze wskazań przyrządu
pomiarowego
Pomiar pośredni - pomiar, którego wynik oblicza się,
podstawiając do równania pomiaru wyniki pomiarów
pośrednich
" x1, x2, ... ,xn wielkości mierzone bezpośrednio
" y wielkość mierzona pośrednio, przy czym:
y = f ( x1, x2 ,...., xn )
Ponadto:
"sx1, "sx2, ... , "sxn błędy systematyczne
"gx1, "gx2, ... , "gxn błędy graniczne 15
Błędy w pomiarach pośrednich c.d
Wypadkowy błąd systematyczny, jakim obciążona
będzie wielkość y, oblicza się metodami:
Przyrostów
" y = y + " y - y = f ( x1 + " x1, x2 + " x2 ,...., xn + " xn ) - f ( x1, x2 ,...., xn )
s s s s s
Różniczki zupełnej
"y "y "y
" y H" " x1 + " x2 + �" �"�" + " xn
s
"x1 s "x2 s "xn s
Błąd względny dla obu metod liczy się:
" y
s
� =
s
y
y
16
Błędy w pomiarach pośrednich c.d
Błąd bezwzględny maksymalny (graniczny), z jakim mierzona jest
wielkość y, oblicza się metodą różniczki zupełnej :
"y "y "y
" y = " x1 + " x2 + �" �"�" + " xn
g
"x1 g "x2 g "xn g
| " y |
wtedy błąd względny: g
� =
g
y
| y |
Jeśli zależność na y jest postaci:
a1 a2 an
y = Ax1 x2 �".... �" xn
wtedy błąd ten można liczyć metodą różniczki logarytmicznej
� =| a1� | + | a2� | +...+ | an� |
g g g g
y x1 x 2 xn
17