RACHUNEK BA

DÓW
1. WST
P
Fizyka bada obiektywne właściwości otaczającego nas świata materialnego.
Uogólnianie danych doświadczalnych pozwala na formułowanie praw fizycznych, które
wyrażają obiektywny związek między zjawiskami, oraz określają rzeczywiście istniejące
zależności między wielkościami fizycznymi. Treść praw fizycznych wyraża się na ogół w
formie matematycznej jako funkcję określoną na wartościach liczbowych x1, x2 , . . . danych
wielkości fizycznych X1, X2 , . . ..Widać stąd jasno, że bardzo ważną sprawą dla ustalenia
praw fizycznych jest pomiar tych wielkości.
Mierząc jakąś wielkość fizyczną porównujemy ją w określony sposób z inną
wielkością tego samego rodzaju przyjętą za jednostkę. Na przykład pomiar długości jakiegoś
ciała przeprowadzamy przykładając doń kolejno inne ciało, którego długość obraliśmy za
jednostkę.
Z wykonywaniem pomiarów spotykamy się bardzo często w życiu codziennym;
np. kupując jakiś towar wymagający ważenia, mierząc temperaturę ludzkiego ciała lub
odczytując czas na tarczy zegarka. Pomiary te nigdy nie są dokładne. Spowodowane jest to
niedoskonałością naszych zmysłów lub niedoskonałością użytych przyrządów pomiarowych.
W przykładach podanych powyżej łatwo domyślimy się, że wystarczającą dokładnością
będzie 1 g przy ważeniu, 0,1�C przy pomiarze temperatury czy 1 s w przypadku odczytu
czasu na zegarku. Przy pomiarze wielkości fizycznych w laboratorium nie wystarcza nam
intuicyjna ocena niedokładności. Wartość tych błędów może mieć zasadnicze znaczenie dla
oceny prawdziwości jakiegoś prawa fizycznego. Wynikiem jakiegokolwiek pomiaru nie
będzie więc sama wartość mierzonej wielkości ale również wartość błędu popełnianego
podczas pomiarów.
Poznanie wartości wielkości fizycznej może odbywać się na drodze pomiaru
bezpośredniego lub pośredniego. W pomiarach bezpośrednich dysponujemy przyrządem
mierzącym interesującą nas wielkość. W pomiarach pośrednich badana wielkość jest funkcją
wielu zmiennych mierzonych bezpośrednio:
F = f (x1, x2 ,K, xn ) (1.1)
Jeżeli znamy tę funkcję, wówczas mierząc bezpośrednio x1, x2, ... , xn , możemy po
wykonaniu odpowiednich działań matematycznych wyliczyć F. W tym przypadku jednak o
ile sam pomiar i obliczenie tej wielkości nie sprawia nam specjalnych kłopotów, to ocena
błędu popełnionego przy takim pomiarze wymaga zastosowania odpowiednich metod
obliczeniowych.
2. ANALIZA BA

DÓW
2.1. Błąd bezwzględny
Jak wspomnieliśmy we wstępie wykonywane przez nas pomiary są obarczone błędami
wynikającymi z niedoskonałości przyrządów pomiarowych i naszych zmysłów, czyli każdy
pomiar może być wykonany tylko z pewną dokładnością.
Otrzymane przez nas wyniki pomiarów nie dają nam prawdziwych wartości mierzonej
wielkości lecz tylko przybliżoną. Te przybliżone wartości różnią się od rzeczywistych o
pewną wielkość, którą nazywamy błędem bezwzględnym i oznaczamy literą ";
"x = X - A (2.1)
X - rzeczywista wartość mierzonej wielkości
A - wartość przybliżona otrzymana z pomiaru
Tak więc błędem bezwzględnym "x jakiegoś pomiaru nazywamy różnicę między
rzeczywistą wartością mierzonej wielkości, a wartością przybliżoną otrzymaną na drodze
pomiarowej.
Równanie (2.1) pozwala nam na zdefiniowanie błędu bezwzględnego nie jest jednak
przydatne w praktyce. Celem zadania pomiarowego jest jak najdokładniejsze poznanie
wartości rzeczywistej X. Równanie po przekształceniu ma postać:
X = A + "x (2.2)
Ponieważ wynik pomiaru na skutek wystąpienia niedokładności pomiarowych może
być zawyżony albo zaniżony, wprowadzamy symbol  ą . Równanie (1.3) zapisujemy:
X = A ą "x (2.3)
Wartość błędu bezwzględnego "x będziemy określać różnymi metodami. W
pomiarach bezpośrednich przyjmujemy za obowiązujące dane podane przez producenta
przyrządu pomiarowego. Kiedy nie mamy do nich dostępu musimy przyjąć jednostkę
najmniejszego rzędu wskazywanego przez przyrząd, a w wypadku przyrządów ze
wskaz
nikami wychyłowymi, dwukrotną wartość podziałki.
Oprócz przyrządu, na wartość błędu bezwzględnego wielkości mierzonej
bezpośrednio wpływa też metoda pomiaru. Najprostszym przykładem takiego wpływu jest
pomiar linijką. Odczyty z linijki możemy wykonywać z dokładnością do 1 mm. Moglibyśmy
więc przyjąć wartość błędu mierzonej wielkości l jako "l = 1 mm. Jednak gdy
przeanalizujemy metodę pomiaru linijką, możemy dostrzec, że za każdym razem odczytujemy
podziałkę dwukrotnie: ustawiając linijkę tak, aby zerowa podziałka pokrywała się z
początkiem mierzonego odcinka oraz odczytując wartość długości odcinka. Dlatego, więc
przyjmujemy "l = 2 mm. Problem ten nie występuje przy pomiarach suwmiarką  pozycja
zerowa ustawiona jest fabrycznie i pomiar np. średnicy wymaga pojedynczego odczytu z
noniusza.
Błąd bezwzględny jest wielkością mianowaną. Musimy pamiętać zawsze o tym, by
był on podawany w jednostkach takich samych jak wielkość mierzona. Jeżeli np. długość
podajemy w metrach to wartość błędu podajemy również w metrach a nie w milimetrach.
Podczas obliczeń stosujemy również inne niż wielkości przybliżone. Należą do nich:
- stałe matematyczne : Ą, e, wartości logarytmów, funkcje trygonometryczne
- stałe fizyczne : stała Plancka, prędkość światła w próżni itp.,
których błąd bezwzględny możemy przyjąć dowolnie małym i dlatego te wielkości uważamy
za nie obarczone błędami.
Metody pozwalające na obliczenie błędu bezwzględnego wielkości mierzonych
pośrednio omówiono w dalszej części tekstu.
2.2. Błąd względny
W praktyce doświadczalnej chodzi nam często o to, w jakim stopniu błąd popełniany
przy pomiarze może wpłynąć na wynik pomiaru. Błąd bezwzględny nie daje nam odpowiedzi
na to pytanie. Np. jeżeli błąd bezwzględny przy pomiarze jakiejś odległości jest równy
0,01 m, a odległość jest rzędu kilkuset metrów to wartość tego błędu odgrywa bardzo małą
rolę, ale jeżeli taki sam błąd popełnimy przy pomiarze wymiarów pudełka zapałek to rola tego
błędu jest bardzo istotna w tych pomiarach. Aby można było określić wpływ wielkości błędu
bezwzględnego na wykonany pomiar stosujemy tak zwany błąd względny, który oznaczamy
literą � i definiujemy następująco:
Błąd względny danej wielkości jest to stosunek błędu bezwzględnego do rzeczywistej
wartości mierzonej wielkości, czyli:
"x
�x = (2.4)
x
Ponieważ zarówno "x jak i x są wielkościami tak samo mianowanymi, błąd względny
jest wielkością niemianowaną. Bardzo często błąd względny podajemy jednak nie w postaci
ułamka, lecz wyrażamy w procentach czyli zapisujemy następująco:
"x
�x = �"100% (2.5)
x
 W zależności od typu pomiarów, metody pomiarowej, klasy laboratorium, wartości
błędu względnego mogą przyjmować różne wartości. Metody pomiarowe stosowane w
Pracowni Fizyki dobierane są ze względu na ich dydaktyczny charakter. Priorytetem nie jest
dokładność uzyskanych wyników. Dlatego też wartości błędów względnych uzyskanych w
trakcie ćwiczeń będą stosunkowo duże. Nie powinny jednak przekraczać poziomu 10%.
2.3. Przyczyny powstawania błędów pomiarowych
Ze względu na przyczyny powstawania błędów pomiarowych dzielimy je na trzy grupy:
1. Błędy systematyczne
2. Błędy grube
3. Błędy losowe
Do błędów systematycznych zaliczamy błędy, które są wynikiem niedokładności przyrządów,
złej metody pomiarowej, wpływu czynników zewnętrznych itp. np. z
le wykonana miarka w
której odległości między działkami są za duże lub za małe w stosunku do wzorca; ustawienie
wagi w pobliżu z
ródła ciepła co może powodować niejednakową rozszerzalność ramion wagi
czy tak zwany błąd paralaksy.
Charakterystyczne dla błędów systematycznych jest to, że wprowadzając tzw. poprawkę
możemy zniwelować ich wpływ na wyniki pomiarów. Warunkiem jest znajomość wartości
oraz znaku błędu systematycznego.
Jeżeli np. po wykonaniu pomiarów zauważymy, że wychyłowy wskaz
nik woltomierza
przy napięciu 0 V pokazuje 0,1 V, możemy wprowadzić poprawkę. Skoro wszystkie wyniki
pomiarów były zawyżone o 0,1 V należy od nich odjąć tę wartość. Musimy być oczywiście
pewni, że błąd ten dotyczył naprawdę wszystkich pomiarów które będziemy korygowali
poprawką.
Błędy grube są to błędy, których wystąpienie powoduje, że wartość odczytana jest bardzo
różna od rzeczywistej wartości mierzonej wielkości. Spowodowane są uszkodzeniem sprzętu,
błędami ludzkimi lub niespodziewanymi, silnymi wpływami środowiska zewnętrznego. Aby
ustrzec się błędów grubych, należy posługiwać się sprawdzonymi urządzeniami. Pomiary
należy powtarzać kilkukrotnie a jeśli to możliwe, odczyty powinny być weryfikowane przez
drugą osobę. Wynik obarczony błędem grubym nie nadaje się do dalszej analizy. Pomiary
należy powtórzyć po wyeliminowaniu przyczyny błędu.
Błędy losowe, spowodowane są wieloma różnymi przyczynami, na ogół nieznanymi i
niemożliwymi do uniknięcia. Nieokreślone wpływy otoczenia, zakłócenia pracy układów
elektronicznych urządzeń pomiarowych itp. powodują, że wielokrotny pomiar tej samej
wielkości w tych samych warunkach daje różne wyniki nieznacznie różniące się od siebie.
Statystyczny charakter rozkładu tych wartości, pozwala na stosowanie metod
matematycznych pozwalających na zminimalizowanie wpływu tego błędu na wynik pomiaru.
3. ROZKA
AD NORMALNY BA

DÓW LOSOWYCH
Z analizy błędów losowych wynika, że ich występowanie nie jest zjawiskiem
chaotycznym lecz podlega określonym prawidłowościom. Wykonując kilkakrotnie pomiar tej
samej wielkości fizycznej X otrzymujemy za każdym razem różne wartości A1, A2 , . . itd.
Różnice między rzeczywistą wartością mierzonej wielkości X a otrzymanymi przez nas
wartościami na drodze pomiarowej nazywamy według podanej wcześniej definicji błędami
bezwzględnymi i oznaczamy je "x1, "x2, . . . itd.
Przedstawiając te błędy na wykresie w układzie współrzędnych, w którym na osi
odciętych odłożymy wartości błędów, a na osi rzędnych częstości ich występowania,
otrzymamy krzywą nazywaną krzywą błędów lub krzywą Gaussa przedstawiającą tzw.
rozkład normalny
Postać analityczna funkcji opisującej ten rozkład przedstawia się następująco
2
k
y("x) = e-k ("x)2 (3.1)
Ą
gdzie k jest współczynnikiem określającym dokładność pomiarów.
Prawdopodobieństwo, że podczas pomiarów występują błędy z przedziału ("x1, "x2) jest
równe :
"x2
P["x " ("x1, "x2 )]= y("x)d("x) (3.2)
+"
"x1
Tak zdefiniowane wartości błędów są wielkościami dokładnymi ale nieznanymi,
ponieważ nie znamy rzeczywistej wartości mierzonej wielkości X. Analiza krzywej Gaussa
pozwala na sformułowanie tezy, która w teorii błędów nosi nazwę postulatu o średniej
arytmetycznej i brzmi następująco :
Najbardziej zbliżoną do rzeczywistej wartości wielkości X jest średnia
arytmetyczna wszystkich pomiarów, czyli
A1 + A2 + K + An
X = (3.3)
śr
n
Oznaczając różnicę między średnią arytmetyczną pomiarów Xśr, a poszczególnymi
pomiarami Ai przez ai otrzymujemy przybliżone wartości błędów bezwzględnych, których
rozkład opisuje ta sama funkcja, ale o innym współczynniku określającym dokładność
2
K
y(a) = �" e-K �"a2 (3.4)
Ą
Związek między K i k jest następujący:
n
K = k �" (3.5)
n -1
Z ostatniej równości wynika, że K jest większe od k, czyli przyjmując średnią
arytmetyczną jako dokładną wartość mierzonej wielkości przeceniamy dokładność pomiaru w
stosunku do rzeczywistości. Aby zminimalizować wpływ średniej arytmetycznej na
dokładność powinniśmy wykonać co najmniej 10 pomiarów. Wtedy różnica między k i K jest
równa około 5%. Dla 100 pomiarów będziemy mieli różnicę wynoszącą 0,5%. Tak więc
widać, że przy dużej liczbie pomiarów średnia arytmetyczna jest bardzo bliska rzeczywistej
wartości mierzonej wielkości. Aby powiązać współczynnik dokładności k z wartością błędów
"xi wprowadzamy tak zwane wskaz
niki dokładności :
3.1. Błąd średni kwadratowy
n
)2
"("xi
1 ("x1)2 + ("x2 )2 + K + ("xn )2 1
i=1
� = �" = �" (3.6)
n n
k �" 2 k �" 2
Wskaz
nik ten nazywamy również odchyleniem standardowym lub dyspersją, jest on miarą
rozbieżności błędu "x, wokół jego wartości oczekiwanej �, którą obliczamy ze wzoru
+"
� = �" y("x) dx (3.7)
+""x
-"
Przedział o szerokości 2�" "x0, dla którego z prawdopodobieństwem p jest spełniona
nierówność
"xi - "x0 d" � d" "xi + "x0 (3.8)
nazywamy przedziałem ufności, a zadane prawdopodobieństwo p poziomem ufności.
Oznacza to, że jeżeli wykonamy n pomiarów z jednakową dokładnością to możemy uważać,
że p�"n przedziałów o szerokości 2�" "x0 będzie zawierać wartość oczekiwaną �.
Jeżeli wez
miemy zamiast "xi odchylenie od średniej arytmetycznej ai, to
n
2
"ai
1
i=1
(3.9)
� = �"
n
K 2 -1
3.2. Błąd prawdopodobny
Błąd prawdopodobny r jest określony następująco:
Prawdopodobieństwo wystąpienia błędów mniejszych od r jest równe
prawdopodobieństwu pojawienia się błędów większych od r, czyli
r +"
y("x)d("x) = y("x)d("x) (3.10)
+" +"
0 r
Z tej definicji wynika, że
n
)2
"("xi
i =1
r = 0,674 �"� = 0,674 �" (3.11)
n
lub w przypadku zastąpienia "xi przez ai otrzymamy
n
2
"ai
i =1
r = 0,674 �" (3.12)
n -1
3.3. Błąd przeciętny
"x1 + "x2 +K + "xn
x0 = (3.13)
n
Z analizy krzywej Gaussa wynika, że
n
)2
"("xi
i=1
x0 = 0,8 �"� = 0,8 �" (3.14)
n
lub dla odchylenia od średniej arytmetycznej ai otrzymamy
n
2
"ai
i =1
x0 = 0,8 �" (3.15)
n -1
Jeżeli przedstawimy wartości tych błędów na wykresie krzywej Gaussa to będą one
przedstawiały się następująco:
� - wartość równa odciętej punktu przegięcia krzywej Gaussa
r - wartość odciętej punktu dzielącego krzywą na dwie części pod którymi pola są sobie
równe
xo - wartość odciętej środka ciężkości figury ograniczonej osią y, osią x oraz krzywej Gaussa
po prawej stronie osi y.
Tak zdefiniowane odchylenie standardowe i wynikające stąd określenia błędów
prawdopodobnych i przeciętnych charakteryzują średnią niepewność każdego z wyników x1,
x2, ...xn. Jeżeli postaramy się wyliczyć odchylenie standardowe dla średniej wartości
obliczonej z n pomiarów, to okaże się, że jest ono równe odchyleniu standardowemu
pojedynczego pomiaru, czyli � podzielonemu przez n . Oznaczając je �śr możemy napisać
�
� = (3.16)
śr
n
Dowód tej ostatniej równości przeprowadzimy w następnej części naszych rozważań. Dla tak
określonego odchylenia standardowego czyli inaczej mówiąc średniego błędu kwadratowego
średniej możemy napisać zależności dla błędów określonych powyżej
n
"ai
�
i =1
� = = (3.17)
śr
n �" (n -1)
n
n
2
"ai
r
i =1
rśr = = 0,674 �" (3.18)
n �" (n -1)
n
rśr - błąd prawdopodobny średniej
n
"ai
x0
i =1
x0śr = = 0,8 �" (3.19)
n �" (n -1)
n
x0śr - błąd przeciętny średniej
Rozważania powyższe dotyczyły serii pomiarowych złożonych z dużej ilości
pomiarów, do których można stosować rozkład normalny, ale bardzo często w praktyce
mamy do czynienia z niewielką ilością wyników pomiarowych i w tym przypadku zaleca się
stosować tak zwany rozkład t-Studenta
2
t k +1
S(t, k) = Ck �" (1+ ) - (3.20)
k 2
t  dla określonego poziomu ufności odczytujemy z tablic,
k = n -1  nazywamy liczbą stopni swobody
Ck zależy wyłącznie od k i jest wyrażone przez iloraz funkcji � Eulera.
4. WYZNACZANIE WIELKOŚCI BA

DÓW WYNIKÓW ZA
OŻONYCH
Wszystkie dotychczasowe rozważania dotyczą pomiarów bezpośrednich, czyli
pomiarów pojedynczych wielkości jak: długość, temperatura, masa itp. Podczas
wykonywania badań mamy jednak do czynienia z przypadkami bardziej złożonymi, to znaczy
wyznaczone przez nas wielkości są funkcjami jednej lub wielu zmiennych.
W takim przypadku musimy umieć odpowiedzieć na pytanie, jakim błędem jest obarczona
wyznaczana przez nas wielkość fizyczna, jeżeli wykorzystywane do jej wyliczenia pomiary
są wykonane z odpowiednio znanymi błędami.
4.1. Metoda różniczki zupełnej
Rozpoczniemy analizę tego zagadnienia od najprostszego przypadku, w którym wynik
doświadczenia zależy tylko od jednej zmiennej zmierzonej z błędem bezwzględnym "x.
Niech szukana wielkość będzie opisana funkcją jednej zmiennej f (x). Wówczas
"f = f (x + "x) - f (x) (4.1)
będzie błędem bezwzględnym jaki popełniamy przy wyznaczeniu f (x).
Rozwińmy tę funkcję w szereg Taylor`a
2 3
df (x) d f (x) ("x)2 d f (x) ("x)3
f (x + "x) = f (x) + �" "x + �" + �" +K (4.2)
dx
dx2 2! dx3 3!
Przyjmując, że "x<< x możemy wszystkie składniki sumy w której występują "x w wyższej
potędze niż pierwsza odrzucić i wówczas otrzymamy, że :
df (x)
f (x + "x) = f (x) + �" "x (4.3)
dx
a stąd
df (x)
f (x + "x) - f (x) = �" "x (4.4)
dx
czyli
df (x)
"f (x) = �" "x (4.5)
dx
Przykładem wielkości, która jest opisana funkcją jednej zmiennej może być
powierzchnia kwadratu:
P = a2
Jeżeli długość boku kwadratu została zmierzona z błędem "a, to na podstawie
powyższych rozważań błąd bezwzględny wyznaczenia powierzchni tego kwadratu jest równy
dP
"P = �" "a = 2 �" a �" "a
da
Częściej mamy jednak do czynienia z przypadkami, w których wyznaczana wielkość
zależy od wielu zmiennych. Funkcja ma postać:
f (x1, x2,K, xn )
Wówczas postępujemy analogicznie jak w przypadku jednej zmiennej, czyli rozwijamy
funkcję wielu zmiennych w szereg Taylor`a
"f "f
f (x1 + "x1, x2 + "x2,K, xn + "xn ) = f (x1, x2,K, xn ) + �" "x1 + �" "x2 + K +
"x1 "x2
(4.6)
"2 f ("x1)2 "2 f ("x2 )2 "2 f "x1 �" "x2
+ �" + �" + K + 2 �" �" +K
"x1"x2 2!
"x12 2! "x22 2!
Przy założeniu, że "xi<"xi pominąć i po odpowiednim przekształceniu otrzymamy następujący wzór na określenie
błędu bezwzględnego
"f "f "f
"f (x1, x2 ,..., xn ) = �" "x1 + �" "x2 + K+ �" "xn (4.7)
"x1 "x2 "xn
Rozpatrzmy dla przykładu funkcję dwóch zmiennych wyrażającą pole prostokąta
P = a �" b
Jeżeli a i b wyznaczamy odpowiednio z błędami "a i "b to błąd bezwzględny "P możemy
wyliczyć na podstawie wzoru
"P "P
"P = �" "a + �" "b
"a "b
czyli
"P = b �" "a + a �" "b
Możemy zauważyć, że poszczególne składniki powyższej sumy to wielokrotności
poszczególnych błędów wielkości mierzonych bezpośrednio. Porównując wartości przez
"P "P
które mnożymy poszczególne błędy bezwzględne (w naszym przykładnie i )
"a "b
możemy określić wagę błędów bezwzględnych, czyli stwierdzić, które wielkości mierzone
bezpośrednio mają największy wpływ na ostateczny wynik. Chcąc zwiększyć dokładność
wyznaczania wielkości mierzonej pośrednio, musimy skupić się na zminimalizowaniu błędów
pomiarów bezpośrednich o największej wadze.
4.1. Metoda logarytmiczna
Wyznaczając błąd pomiaru pola powierzchni prostokąta, doszliśmy do zależności:
"P = b �" "a + a �" "b
Błąd względny będzie więc wyrażony wzorem:
"P b �" "a a �" "b "a "b
�P = = + = +
P a �" b a �"b a b
Możemy zauważyć, że błąd względny wyznaczanej wielkości, jest równy sumie
błędów względnych wielkości mierzonych bezpośrednio. Okazuje się, że dla funkcji pewnego
typu, możemy w ten sposób obliczać błąd względny, omijając żmudne różniczkowanie.
Jeżeli wielkość, którą mamy wyznaczyć jest opisana funkcją iloczynową:
f (x1 + x2 +Kxn ) = C �" x1ą �" x2 � �"K�" xnł (4.8)
(C to dowolna stała, ą, � i ł mogą być ujemne, gdy dany czynnik znajduje się w
mianowniku ułamka lub ułamkowe, gdy mamy do czynienia z pierwiastkiem)
możemy błąd względny funkcji f obliczyć wg wzoru:
"f "x1 "x2 "xn
�f = = �"ą + �" � +K + �"ł (4.9)
f x1 x2 xn
Z tak obliczonego błędu względnego możemy uzyskać wartość błędu bezwzględnego
stosując zależność:
"f = �f �" f (4.10)
5. PRZEDSTAWIANIE WYNIKÓW POMIARÓW NA WYKRESIE
W wielu przypadkach celowe jest przedstawienie wyników pomiarów na wykresie.
Metodę tę stosujemy najczęściej, aby znalez
ć zależność funkcyjną jaką spełniają mierzone
wielkości, lub gdy wykres dostarcza nam danych do dalszych obliczeń. Przy sporządzaniu
wykresów stosujemy na ogół prostokątny układ współrzędnych. Aby wykonać wykres z
odpowiednio dużą dokładnością używamy papieru milimetrowego. Nanosimy układ
współrzędnych i dobieramy odpowiednio skalę na osiach. Odpowiednio dobrana skala
powinna pozwalać na łatwy odczyt współrzędnych dowolnego punktu.
Niech zależność między nieznanymi wielkościami przedstawia funkcja
y = f (x)
Na poniższym rysunku przedstawiamy przykładowe rozmieszczenie punktów pomiarowych o
odpowiadających im współrzędnym (xi, yi )
Ponieważ każdy pomiar jest obarczony błędem, powinniśmy na wykresie nanieść nie
jeden punkt na osi odciętych x, ale odpowiedni przedział (x-"x, x+"x). Argumentom funkcji
z tego przedziału odpowiada na osi rzędnych również pewien przedział wartości funkcji (y-
"y, y+"y). Prowadząc odpowiednie proste z granic tych przedziałów, prostopadłe do osi x i y,
otrzymamy w przecięciu prostokąt, którego wszystkie punkty wewnętrzne mogą należeć do
wykresu ponieważ ich współrzędne różnią się od (x, y) co najwyżej o "x lub "y. Jeżeli tak
postąpimy z wszystkimi punktami pomiarowymi, to w rezultacie będziemy mieć do czynienia
nie z pojedynczymi punktami, a maleńkimi prostokątami. Wówczas powinniśmy krzywą
poprowadzić tak aby przechodziła ona przez każdy z prostokątów. Wykreślenie krzywej
wykonujemy posługując się krzywikiem. Krzywa powinna być  wygładzona ponieważ
zakładamy, że badane zjawisko ma przebieg regularny. W teorii błędów są opracowane
metody  wygładzania krzywych. Niedopuszczalne jest wykonanie wykresu przez połączenie
linią łamaną poszczególnych punktów pomiarowych.
Jeżeli pewne wartości pomiarowe nie znajdą się na krzywej, a w tym obszarze zjawisko nie
wykazuje przebiegu anomalnego to wartości te należy potraktować jako błędy grube i
odrzucić. Jeśli jednak podejrzewamy, że te pomiary mogą mieć związek ze zmianami w
przebiegu zjawiska to w tych obszarach powinniśmy przeprowadzić dodatkowe pomiary
zagęszczając punkty pomiarowe.
6. ZAPISYWANIE WYNIKÓW OBLICZEC

Obliczenie prowadzone za pomocą kalkulatora, dają nam wyniki 8 lub 12 cyfrowe.
Intuicyjnie wyczuwamy, że uzyskana dokładność wynika nie z dokładności pomiarów lecz
jest efektem operacji matematycznych. Uzyskane wyniki należy zaokrąglić.
W trakcie opracowywania pomiarów w Pracowni Fizyki będziemy stosowali
następujące zasady:
1. Błąd zaokrąglamy do jednej cyfry znaczącej.
2. Błąd zaokrąglamy  do góry .
3. Wartość wyznaczanej wielkości zaokrąglamy do rzędu wielkości błędu.
Zaokrąglanie rozpoczynamy od zaokrąglenia wartości błędu bezwzględnego. Należy
pamiętać, że cyfra znacząca błędu nie musi znajdować się po przecinku. Jeżeli obliczona
wartość błędu jest równa np. 0,0234 to po zaokrągleniu będzie to 0,03 (2 zasada!). Jeżeli
jednak wartość ta będzie równa np. 123,764 to po zaokrągleniu dostaniemy 200.
Wartość wyznaczonej wielkości zaokrąglamy, nie tak jak w przypadku błędu  do góry , a
wg ogólnie przyjętych zasad. W pierwszym z powyższych przykładów rząd wielkości błędu
to części setne więc nasz wynik zaokrąglimy również do części setnych. W drugim
przykładzie rząd wielkości błędu to pełne setki, wynik zaokrąglamy więc do pełnych setek.
Np. jeżeli obliczona wielkość ma wartość :
x = 537,314
a błąd bezwzględny jest równy 0,03 to wynik powinniśmy zapisać :
x = 537,31ą 0,03
gdyby zmierzona wielkość miała wartość 27 543, 567 a błąd był równy 200 to zapis
mierzonej wielkości powinien wyglądać następująco
x = 27500 ą 200
Podane przykłady dotyczą wielkości niemianowanych. W wypadku wielkości
mianowanych należy pamiętać, aby zawsze podawać jednostkę. Prawidłowo zapisany wynik
pomiaru napięcia może mieć postać:
U = 120 ą 10 V
Jeżeli w podawanym wyniku należy użyć zapisu wykładniczego, to lepiej podać
wynik i błąd stosując ten sam wykładnik np.
C = (2,51+ 0,03) �"10-12 F
zamiast
C = (2,51�"10-12 + 3�"10-14 )F