Politechnika Warszawska
Wydział Fizyki
Laboratorium Fizyki 1  P
Piotr Jaśkiewicz
Paweł Zabierowski
Andrzej Kubiaczyk
ZASADY OPRACOWYWANIA WYNIKÓW POMIARÓW
1. Pomiary wielkości fizycznych
Pomiar wielkości fizycznej polega na przyporządkowaniu tej wielkości pewnej określonej
wartości liczbowej. Przyporządkowanie to odbywa się w trakcie eksperymentu fizycznego
(doświadczenia) poprzez wyznaczenie liczbowego stosunku badanej wielkości fizycznej do jej
jednostki. Od czasów starożytnych wprowadzano w tym celu rozmaite systemy jednostek, które
ewoluowały wraz z rozwojem nauk przyrodniczych. Współczesne definicje podstawowych jednostek
wielkości fizycznych podawane są w publikacjach Międzynarodowej Konferencji Miar, odbywającej
się cyklicznie od końca XIX wieku w Genewie. Obecnie obowiązującym jest Międzynarodowy
Układ Jednostek SI. Równolegle z nim, w niektórych dziedzinach nauki współistnieją inne układy
jednostek, jak CGS, CGSES, CGSEM, Gaussa czy układ ciężarowy. W praktyce inżynierskiej,
obowiązującej w Laboratorium Fizyki, stosujemy jedynie Międzynarodowy Układ Jednostek SI.
Obejmuje on podstawowe jednostki wielkości fizycznych. Jednostki pozostałych wielkości
fizycznych, noszące nazwę jednostek wielkości pochodnych, tworzone są poprzez znane prawa fizyki i
definiowane na specjalistycznych konferencjach naukowych.
Tabela 1. Międzynarodowy układ jednostek SI
L.p. Wielkość Symbol Jednostka Symbol
wielkości jednostki
Wielkości podstawowe
1 Długość l, h, r, s metr m
2 Masa m, M kilogram kg
3 Czas sekunda s
t, �
4 Liczność materii (ilość substancji) N, n mol mol
5 Natężenie prądu elektrycznego I, i amper A
6 Temperatura (termodynamiczna) kelwin K
T, Ś
7 Światłość I, J kandela cd
Wielkości uzupełniające
8 Kąt płaski radian rad
ą, �, ł, �
9 Kąt bryłowy steradian sr
�, �
Jednostki wielkości fizycznych wtórnych tworzone są przez dodanie nazwy mnożnika
(wielokrotności) do jednostki podstawowej, według zasad podanych w tabeli 2.
Definicje jednostek układu SI
Jednostki podstawowe
m e t r (m) jest to długość drogi przebytej w próżni przez światło w czasie 1/299792458 s
(XVII Gen. Konf. Miar 1983 r.)
k i l o g r a m (kg) jest to masa międzynarodowego wzorca tej jednostki masy
przechowywanego w Międzynarodowym Biurze Miar w Sevres (III Gen. Konf. Miar 1901 r.).
Zasady opracowywania wyników pomiarów 2
s e k u n d a (s) jest to czas równy 9 192 631 770 okresom promieniowania odpowiadającego
przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu cezu 133Cs (XII Gen.
Konf. Miar 1964 r.).
k e l w i n (K) jest to 1/273,16 część temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody
(XIII Gen. Konf. Miar 1967/68 r.).
m o l (mol) jest to liczność materii występująca, gdy liczba cząstek jest równa liczbie
atomów zawartych w masie 0,012 kg węgla o masie atomowej 12, 12C (XIV Gen. Konf. Miar 1971 r).
a m p e r (A) jest natężeniem prądu nie zmieniającego się, który płynąc w dwóch
równoległych prostoliniowych przewodach nieskończenie długich o przekroju kołowym znikomo
małym, umieszczonych w próżni w odległości 1 m, wywołuje między tymi przewodami siłę równą
2*10-7 niutona na każdy metr długości przewodu (IX Gen. Konf. Miar 1948 r.).
k a n d e l a (cd) jest to światłość, jaką ma w określonym kierunku z
ródło emitujące
promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540*1012 Hz i którego natężenie w tym kierunku
jest równe 1/683 W/sr (XVI Gen Konf. Miar 1979 r.).
Jednostki uzupełniające
r a d i a n (rd) jest to kąt płaski, zawarty między dwoma promieniami koła, wycinającymi z
jego okręgu łuk o długości równej promieniowi tego koła.
s t e r a d i a n (sr) jest kątem bryłowym o wierzchołku w środku kuli, wycinającym z jej
powierzchni część równą powierzchni kwadratu o boku równym promieniowi tej kuli.
Tabela 2. Zasady tworzenia jednostek wtórnych.
Przedrostek Oznaczenie Mnożnik
Eksa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000
Peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000
Tera T 1012 = 1 000 000 000 000
Giga G 109 = 1 000 000 000
Mega M 106 = 1 000 000
Kilo k 103 = 1 000
Hekto h 102 = 100
Deka da 101 = 10
- - 1
Decy d 10-1 = 0,1
Centy c 10-2 = 0,01
Mili m 10-3 = 0,001
Mikro 10-6 = 0,000 001
ź
Nano n 10-9 = 0,000 000 001
Piko p 10-12 = 0,000 000 000 001
Femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001
Atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001
Zasady opracowywania wyników pomiarów 3
2. y
ródła i rodzaje błędów pomiarowych
Każdy pomiar wielkości fizycznej dokonywany jest ze skończoną dokładnością, co oznacza,
że wynik tego pomiaru dokonywany jest z niepewnością pomiarową, zwaną błędem pomiaru. Fakt
ten związany jest nie tylko z niedoskonałością działań człowieka, lecz także z niedoskonałością
wykonania przyrządów pomiarowych, przypadkowym stanem materii w chwili dokonywania pomiaru,
wpływem procesu pomiarowego na wielkość mierzoną oraz przybliżonym charakterem modeli
rzeczywistości opisywanych w postaci praw fizyki. Zasady obliczania lub pomijania błędów
pomiarowych, a także oceny wyników pomiarów zawarte są w teorii analizy błędu pomiarowego.
Teoria ta - jak każda teoria naukowa - jest na bieżąco uzupełniana i modyfikowana. Jej podstawy
oparte są o metody statystyki matematycznej. W niniejszym opracowaniu zostaną podane algorytmy
postępowania dla potrzeb I Laboratorium Fizyki i wystarczające w znakomitej większości przypadków
do analizy wyników pomiarów wielkości fizycznych dokonywanych w praktyce inżynierskiej.
W ostatnich latach coraz częściej do definiowania, oceny i zapisu niepewności pomiarowych
stosuje się normy zalecane przez ISO (International Organization for Standarization). Jednakże
w Laboratorium Fizyki 1 pozostajemy przy tradycyjnych nazwach niepewności pomiarowych
stosowanych przez dziesięciolecia i oddających sens opisywanych pojęć: błąd nazywany w standardzie
ISO niepewnością typu A będziemy określać jako błąd średni kwadratowy wartości średniej, natomiast
niepewność typu B jako błąd maksymalny pojedynczego pomiaru.
Ponieważ wykonanie bezbłędnego pomiaru jest niemożliwe, zatem rzeczywistej wartości
wielkości mierzonej nie poznamy nigdy. W związku z tym poprawny sposób zapisu wyników
eksperymentu wymaga podania najlepszego przybliżenia wielkości mierzonej oraz przedziału,
w którym ta wielkość leży, co możemy zapisać jako:
wyznaczona wartość x = xnp ą �x,
gdzie xnp jest najlepszym przybliżeniem rzeczywistej wartości x, a �x jest przedziałem w którym ta
wielkość zwanym niepewnością lub błędem pomiaru. Nasuwają się tu od razu następujące pytania: Jak
znalez
ć najlepsze przybliżenie mierzonej wielkości? W jaki sposób wyznaczyć przedział niepewności
�x? Jak rozumieć powyższy zapis, to znaczy, jaką mamy pewność, że wartość rzeczywista mieści się
w przedziale (xnp-�x; xnp+�x)? Odpowiedz
zależy od sposobu, w jaki pomiary zostały przeprowadzone,
między innymi od tego czy wykonaliśmy pojedynczy pomiar czy też serię pomiarową, bądz
czy liczba
pomiarów w serii była duża, czy mała? W kolejnych rozdziałach poznamy różne sposoby określania
wartości xnp oraz �x. Mimo iż w każdym z przypadków stosujemy inny algorytm, interpretacja wyniku
zawsze oparta jest na prawach statystyki.
Do wartości rzeczywistej możemy się jedynie zbliżać poprzez doskonalenie metod
pomiarowych i staranną analizę niepewności pomiarowych. Analogicznie, jako że nie znamy
rzeczywistej wartości wielkości mierzonej, nie jest możliwe dokładne obliczenie wartości błędu
pomiarowego. Dlatego też często nie mówimy o obliczaniu błędu pomiarowego, lecz o szacowaniu
wartości tego błędu.
Wykonywanie pomiaru winno przebiegać według starannie przemyślanego algorytmu.
Podstawowy schemat takiego algorytmu przedstawiono na następnej stronie.
Zasady opracowywania wyników pomiarów 4
1. Zdefiniowanie modelu fizycznego
badanego zjawiska i mierzonej wartości.
11. Weryfikacja
modelu fizycznego.
2. Oszacowanie spodziewanych
3. Wybór
wartości wyników (z literatury,
metody
4. Dobór
teorii zjawiska, własnego
pomiarowej.
przyrządów
doświadczenia).
pomiarowych.
4. Zapewnienie niezmiennych warunków pomiaru
podczas jego dokonywania.
5. Wykonanie pojedynczego pomiaru.
6. Analiza oszacowanej wartości błędu
10. Analiza
pojedynczego pomiaru i jego z
ródeł.
kosztów
wykonania
pomiaru
7. Wykonanie serii pomiarów; ilość
pomiarów wynikać będzie z pkt. 6.
8. Analiza z
ródeł błędu serii pomiarów.
11. Publikacja wyników pomiarów wraz podaniem
wartości błędów i opisem metody pomiarowej.
Rys. 1. Algorytm wykonywania pomiarów fizycznych.
Jak to wynika z przedstawionego algorytmu, proces dokonywania pomiaru wielkości fizycznej
jest procesem ciągłym. O przerwaniu tego procesu decydują głównie jego koszty oraz czas, jaki jest
przeznaczony na dokonywanie pomiarów, lub osiągnięcie granic dokładności, wyznaczonych przez
znane nam do tej pory prawa fizyki.
Dostępne współcześnie metody pomiarowe są zazwyczaj metodami pośrednimi, co oznacza,
że do określenia wartości mierzonej konieczne są obliczenia wartości funkcji wiążącej wskazania
różnych przyrządów z wartością mierzoną. Niektóre wielkości mogą być mierzone bezpośrednio,
poprzez przyłożenie wzorca do wielkości mierzonej - jak np. długość, czas, kąt, natężenie prądu,
częstotliwość. W niniejszym opracowaniu, przy każdym sposobie szacowania błędu zostanie podana
informacja czy dotyczy on metody pośredniej, czy bezpośredniej.
Wszystkie rodzaje wprowadzanych podczas dokonywania pomiaru błędów pomiarowych
można podzielić na trzy grupy: BA

DY SYSTEMATYCZNE, BA

DY PRZYPADKOWE
i BA

DY NADMIAROWE (grube).
Błędy systematyczne mają stałą wartość podczas wykonywania pomiarów i powodują
zazwyczaj przesunięcie wyników pomiarów w jedną stronę. Wstępnie można je oszacować
na podstawie pojedynczego pomiaru. Wybrane sposoby szacowania błędów systematycznych opisano
w rozdziale 6.
Zasady opracowywania wyników pomiarów 5
Błędy przypadkowe pojawiają się podczas wykonywania serii pomiarów, podlegają prawom
statystyki matematycznej i jedynie na podstawie starannej analizy zjawisk fizycznych towarzyszących
pomiarowi można wnioskować o z
ródłach tych błędów. Jedną z metod szacowania błędów
przypadkowych opisano w rozdziale 3.
Błędy nadmiarowe są wynikiem ewidentnej pomyłki człowieka lub awarii sprzętu
pomiarowego. Błędy takie należy wykreślić z serii wyników pomiarów.
Oprócz wartości błędu pomiarowego (wartości bezwzględnej) �, obliczamy także błąd
względny �w (stosunek wartości błędu do wielkości mierzonej, np. x), który może być również podany
jako wielkość procentowa:
� �
� = lub � = �100% (1)
w w
x x
Na przykładzie wyników konkursu strzeleckiego, podanych na rysunku 2, zobrazowano
klasyfikację błędów pomiarowych.
b) Błąd przypadkowy mały
a) Błąd przypadkowy mały
Błąd systematyczny duży
Błąd systematyczny mały
c) Błąd przypadkowy duży
Błąd systematyczny mały
d) Błąd przypadkowy duży
Błąd systematyczny duży
e) Błąd nadmiarowy
Rys. 2. Wyniki konkursu strzeleckiego. W przypadku e) zastosowano złą tarczę strzelecką.
Zasady opracowywania wyników pomiarów 6
Wyniki konkursu pokazują, że wyznaczenie rzeczywistej wartości wielkości fizycznej jest
niemożliwe (na rys. 2 odpowiadałoby to jednemu otworowi, leżącemu dokładnie w środku tarczy,
przez który przeleciało wszystkie 10 kul).
Analiza rysunku 2 wykazuje, że w praktyce pomiarowej możemy spotkać przypadki, w których
błąd pomiarowy jednego rodzaju jest znacznie większy od pozostałych. Dlatego omówienie każdego
rodzaju błędów przeprowadzone zostanie przy założeniu, że pozostałe można pominąć (przypadki b, c
i e na rysunku 2).
Prawidłowy zapis wyników
Prawidłowy zapis wyników pomiarów jest jednym z podstawowych elementów rachunku
błędów. Na stronie 3 przedstawiono ogólną postać zapisu wyniku, poniżej zostały omówione zasady
zapisu konkretnych, liczbowych wartości (bez analizy, w jaki sposób zostały wyznaczone).
Na początek przypomnienie pojęcia cyfr znaczących. Cyframi znaczącymi są cyfry od 1 do 9,
oraz zero, jeżeli zero:
(I) znajduje się między dwiema cyframi, które zerami nie są, bądz

(II) znajduje się na dowolnym miejscu po cyfrze nie będącej zerem w liczbie przedstawionej
w postaci liczby niecałkowitej.
Przykładowo, liczba 1�104 , czyli 10000 ma jedną cyfrę znaczącą. Gdybyśmy chcieli zaznaczyć,
że ma ona 3 cyfry znaczące, należałoby ją zapisać w postaci 1.00 �104 . Z tego względu wynik będący
ułamkiem dziesiętnym należy zapisywać w postaci liczby mnożonej przez 10 w odpowiedniej potędze,
np. 0,0000125430=1,25430x10-5.
Wartość BA

DU zapisujemy z dokładnością do dwóch cyfr znaczących (należy pamiętać, że
BA

D ZAOKR
GLAMY ZAWSZE W GÓR
!). Wartość najbardziej prawdopodobną
(na przykład średnią) zapisuje się z dokładnością wyznaczoną przez poprawny zapis wartości błędu:
ostatnia cyfra znacząca wyniku musi znajdować się na tym samym miejscu dziesiętnym, co
w błędzie. Wartość najbardziej prawdopodobną zaokrągla się zgodnie ze standardowymi metodami
zaokrąglania: poczynając od prawej strony zapisu liczby, poszczególne cyfry pomijamy, pozostawiając
poprzednią cyfrę bez zmiany - o ile pominięta ma wartość mniejszą od 5, i zwiększając poprzednią
cyfrę o 1 - o ile pominięta ma wartość większą lub równą 5.
Jeśli zaokrąglenie BA

DU do jednej cyfry znaczącej zmieniłoby wartość błędu o mniej niż
10% jego wartości, to należy wynik pomiarów zapisać z dokładnością do jednej cyfry znaczącej
(np. 68 zaokrąglamy do 70, ale 61 nie można zaokrąglić do 70). Pozostałe zasady są identyczne
z podanymi powyżej. Załóżmy, że w wyniku pomiarów i obliczeń uzyskaliśmy następujące wyniki:
d
=24,1225 i "d=0,0039167.
Prawidłowy zapis wyników pomiarów powinien mieć postać:
d
= 24,123 ą 0,004 [cm].
Zapis taki pokazuje, na którym miejscu znajdują się cyfry  pewne wyniku pomiaru, oraz że na
ostatnim miejscu (lub dwóch ostatnich) zapisu wyniku znajdują się cyfry już obarczone błędem.
Oprócz zapisu wyniku, należy podać poziom ufności, dla którego wykonano obliczenie błędu
(szczegółowy opis znajduje się w dalszej części opracowania).
Przykłady poprawnego zapisu wyników pomiarów:
d
=123432,789 [m], "d=315,77 [m], poprawny zapis: d=123430ą320 [m] lub d=(1234,3ą3,2)�102 [m]
d
= 123432,789 [m], "d =1,2277 [m], poprawny zapis: d = 123432,8 ą 1,3 [m]
d
= 123432,789 [m], "d =2,87 [m], poprawny zapis: d = 123433 ą 3 [m]
Zasady opracowywania wyników pomiarów 7
3. Błędy przypadkowe
Błędy przypadkowe objawiają się jako rozrzut wyników wokół wartości oczekiwanej,
występujący przy powtarzaniu pomiarów.
Tabela 3.
I l o ś ć w y n i k ó w
Wyniki n = 12 pomiarów długości pręta d.
o d a n e j w a r t o ś c i
N
i d N
d
� = di -
5
L.p. [cm] [cm]
1 24,12 -0,0025 5
2 24,14 0,0175 1
4
3 24,15 0,0275 1
4 24,12 -0,0025 5
3
5 24,12 -0,0025 5
6 24,10 -0,0225 1
7 24,12 -0,0025 5
2
8 24,11 -0,0125 2
9 24,13 0,0075 2
10 24,13 0,0075 2 1
11 24,11 -0,0125 2
12 24,12 -0,0025 5
24,10 24,11 24,12 24,13 24,14 24,15
i=n
289,47
Wa r t o ś ć p o mi a r u
suma
i
"d
i=1
Rys. 3. Zależność krotności wyników pomiarów N
24,1225
d
średnia
od wartości wyniku pomiaru.
Przykład 1.
Wykonano 12 pomiarów długości pręta, d. Wyniki zgromadzono w drugiej kolumnie tabeli 3. Można
zauważyć, że jedne wyniki pomiarów powtarzają się częściej a inne rzadziej: np. wynik 24,14 cm
w całej grupie pomiarów powtarza się 1 raz, a wynik 24,11 cm powtarza się 2 razy. Krotność wyników
pomiarów, czyli liczbę określającą ilość powtórzeń wyników w całej grupie, umieszczono w kolumnie
czwartej. Na rys. 3 pokazano wykres ilości powtórzeń wyników pomiarów w zależności od wartości
wyniku. Można zauważyć, że wykres ten posiada maksimum. Jaki wynik pomiaru jest zatem
najbardziej zbliżony do wartości rzeczywistej? Przyjęto, że wartości rzeczywistej wyznaczanej
wielkości fizycznej najlepiej odpowiada wartość średniej arytmetycznej wszystkich wyników
pomiarów:
n
1
x = xi ,
" (1)
n
i = 1
x
gdzie xi oznacza wartość wyniku i - tego pomiaru, n - ilość pomiarów a - poszukiwaną wartość
średniej. W tabeli 3 w kolumnie drugiej obliczono sumę i wartość średniej arytmetycznej wszystkich
wyników pomiarów. Można zauważyć, że wartość ta jest bliska tej wartości wyniku, która powtarza
się najczęściej (w tym przypadku 5 razy), czyli leży w pobliżu maksimum wykresu na rys. 3.
W kolumnie trzeciej tabeli 3 umieszczono wartości różnic pomiędzy wartościami
poszczególnych wyników pomiarów a wartością średniej. Różnica taka nosi nazwę rozbieżności
(łacińska nazwa - dywergencja).
� = xi - x
(2)
i
Zasady opracowywania wyników pomiarów 8
Wartość bezwzględna rozbieżności
I l o ś ć r o z b i e ż n o ś c i
będzie miarą bezwzględnego błędu
o d a n e j w a r t o ś c i
przypadkowego pojedynczego (i - tego)
N
pomiaru:
5
� = xi - x
(3)
pi
Wartości rozbieżności � (delta)
4
powtarzają się oczywiście w ten sam sposób
jak wyniki pomiaru. Na rysunku 4 pokazano
3
wykres liczby powtórzeń wartości
rozbieżności w zależności od wartości tych
rozbieżności. Analogicznie do wykresu
2
na rys.3, zależność krotności powtórzeń
rozbieżności N od wartości rozbieżności �
posiada maksimum. Można zauważyć, że
1
małe wartości rozbieżności powtarzają się
często (np. 5 razy) a duże powtarzają się
-0,0225 -0,0125 -0,0025 0,0075 0,0175 0,0275
rzadko. Udowodniono, że w przypadku
nieskończenie dużej liczby pomiarów
Wa r t o ś ć r o z b i e ż n o ś c i �
najlepszym przybliżeniem wykresu z rys. 4
jest tzw. rozkład Gaussa.
Rys. 4. Zależność krotności powtórzeń rozbieżności
N od wartości rozbieżności �.
4. Rozkład Gaussa błędów przypadkowych.
Dla nieskończenie wielkiej ilości pomiarów niemożliwe jest obliczenie, ile razy powtarza się
dana wartość rozbieżności. Dlatego wygodniej jest posługiwać się pojęciem gęstości
prawdopodobieństwa � (ro) wystąpienia dla i - tego pomiaru rozbieżności o wartości �:
"P = �(� )"�
, (4)
gdzie "P oznacza prawdopodobieństwo wystąpienia rozbieżności z przedziału � ą "�, a �(�) oznacza
gęstość tego prawdopodobieństwa.
Aby móc analitycznie opisać zależność gęstości prawdopodobieństwa wystąpienia rozbieżności
od wartości tej rozbieżności, wyniki pomiarów muszą spełniać następujące założenia:
1. Gęstości prawdopodobieństwa �(�) występowania rozbieżności dodatniej i ujemnej o tej samej
wartości bezwzględnej są równe.
2. Gęstość prawdopodobieństwa występowania rozbieżności o większej wartości bezwzględnej
jest mniejsza od prawdopodobieństwa występowania rozbieżności o mniejszej wartości
bezwzględnej.
Na podstawie danych zawartych w przykładzie 1 można przypuszczać, że wyniki pomiarów
fizycznych spełniają te założenia.
Postać analityczna rozkładu rozbieżności przypadkowych nosi nazwę rozkładu Gaussa (lub
rozkładu normalnego) i jest następująca:
�# ś#
1 �2 ź#
�(�) = expś#-
(5)
ś#
� 2Ą 2�2ź#
�# #
Zasady opracowywania wyników pomiarów 9
gdzie � (sigma) jest parametrem, noszącym nazwę odchylenia standardowego. Można wykazać, że �
jest taką wartością rozbieżności �, dla której funkcja Gaussa posiada punkt przegięcia (zerową wartość
drugiej pochodnej).
Na rys. 5 pokazano wykres
�
rozkładu Gaussa dla trzech różnych
wartości odchylenia standardowego.
1
Aby na jednym wykresie można
12
� 2Ą
było porównać trzy rozkłady
� = 01
.
pokazane dla różnych wartości �,
10
wartości rozbieżności � podzielono
8
przez �. Można zauważyć, że
wykres ten może być dobrym
6
przybliżeniem wykresu z rysunku 3,
jeżeli wszystkie wartości rzędnych
4
na tym rysunku podzielimy przez 12,
� =05
.
2
czyli przez ilość pomiarów n. Wtedy
� =09
.
zamiast ilości powtórzeń, N,
0
otrzymamy częstość f występowania
�
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
danej rozbieżności. Gdy ilość
h =
�
pomiarów, n dąży do
nieskończoności, to częstość f dąży
Rys. 5. Zależność gęstości prawdopodobieństwa � otrzymania
do gęstości prawdopodobieństwa
wyniku pomiaru o rozbieżności � od wartości tej rozbieżności
otrzymania rozbieżności o danej
w znormalizowanej skali h = �/�.
wartości.
Jak powiedziano uprzednio
(równanie 3), wartość bezwzględna rozbieżności będzie miarą bezwzględnego błędu przypadkowego
pojedynczego (i-tego) pomiaru. Można udowodnić, że dla liczby pomiarów dążącej do
nieskończoności (n ") miarą bezwzględnego błędu przypadkowego pojedynczego pomiaru jest
odchylenie standardowe rozkładu Gaussa, �.
Z definicji gęstości prawdopodobieństwa, �(�) (równanie 4) wynika, że prawdopodobieństwo P
� , �
otrzymania wyniku pomiaru o rozbieżności � z przedziału , czyli nie mniejszej od �1 i nie
1 2
większej od �2 wyraża się zależnością:
�
2
P = �(� )d�
(6)
+"
�1
(+" ,-" )
Oczywiście otrzymanie wyniku pomiaru o jakiejkolwiek rozbieżności, czyli � z przedziału
jest równe pewności:
+"
P = �(� )d� = 1
(7)
+"
-"
Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przypadkowego o wartości � = � = xi - x będzie równe:
p
�
p
P = �(� )d�
(8)
+"
0
Zasady opracowywania wyników pomiarów 10
Wzór ten oznacza odpowiedz
na pytanie, jaka część całego zbioru wyników będzie obarczona
błędem przypadkowym nie większym od �p. Z zależności (5) wynika, że odchylenie standardowe �
gęstości prawdopodobieństwa otrzymania błędu �p, �(�p), jest szczególną wartością błędu �p, którą
wręcz można obrać jednostką na osi wartości błędów. Dzieląc wartość błędu �p przez � otrzymamy h,
nową wartość liczbową na osi wartości błędu, oznaczającą, ile razy błąd przypadkowy popełniony przy
danym pomiarze jest większy lub mniejszy od �:
�
p
h =
(9)
�
Zależność (8) można zatem przedstawić w postaci:
� h
P = �(� )d� = �(h)dh = erf (h)
(10)
+"+"
00
gdzie obliczone prawdopodobieństwo P w tych właśnie współrzędnych nosi nazwę funkcji błędu
erf(h), lub normalnej całki błędu.
Na rys. 6 pokazano przebieg normalnej całki błędu P = erf(h). Funkcja ta przedstawia
prawdopodobieństwo otrzymania wyniku o danym odchyleniu standardowym �, a oś zmiennej
niezależnej opisana jest w jednostkach �. Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku o danym
odchyleniu standardowym � nazywamy poziomem ufności �.
P
0,997
1.0
0,954
0.8
0,682
0.6
0,5
0.4
0.2
0.0
01234
0,674
h
Rys. 6. Prawdopodobieństwo P, że pomiar wielkości fizycznej x zostanie wykonany z błędem
przypadkowym nie większym niż h odchyleń standardowych.
Wynik pomiaru zapisujemy w postaci:
x = x ą "x
przy � = �p (11)
p
gdzie x oznacza wartość mierzoną, xp - wynik pomiaru, "x - wartość błędu (w tym rozdziale - błędu
przypadkowego), a � poziom ufności. Wartość poziomu ufności należy przyjąć a priori, przed
rozpoczęciem obliczania błędu przypadkowego. Analiza rysunku 6 wykazuje, że przypadkowy błąd
� = 0,674� x = x ą �
o wartości np. wyniku pomiaru wielkości fizycznej x, zapisanego w postaci ,
p
został obliczony dla poziomu ufności � = 0,5. Oznacza to, że prawdopodobieństwo otrzymania wyniku
Zasady opracowywania wyników pomiarów 11
�
2,5
2,0
1,5
1,0
= 0.5
�
0,5
0,0
h
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
�
-3� -2� -� 2� 3�
� = 68,2%
� = 95,4%
� = 99,8%
Rys. 7. Prawo trzech sigm dla � = 0,5.
� = 0,674�
pomiaru obarczonego błędem wynosi 0,5. Jeżeli zatem wykonamy nieskończenie wiele
pomiarów wielkości x, to jedynie 0,5 (50%) wszystkich wyników będzie miało wartości z przedziału
x = xp ą 0,674� x = xp ą �
. Z rysunku 6 wynika także, że w przedziale znajdzie się 68,2%
x = x ą 2�
wszystkich wyników, w przedziale - 95,4% wszystkich wyników, a w przedziale
p
x = xp ą 3�
- 99,7% wszystkich wyników.
� = 99,7% H" 1
Dla potrzeb rachunku błędów w pomiarach wielkości fizycznych przyjęto, że .
x = x ą 3�
Znaczy to, że w przedziale znajdą się prawie wszystkie wyniki pomiarów, czyli
p
prawdopodobieństwo P otrzymania wyniku obarczonego błędem przypadkowym � = 3� jest
w zasadzie równe 1. Powyższe zdanie stanowi tzw. prawo trzech sigm i zostało zobrazowane na
rysunku 7. Na rysunku pokazano rozkład gęstości prawdopodobieństwa popełnienia błędu
przypadkowego o wartości � = h� oraz zaznaczono poziomy ufności z rysunku 5. Wartości liczbowe �
podano dla � = 0,5.
5. Sposoby obliczania błędów przypadkowych
dla skończonej liczby pomiarów
5.1. Duża ilość pomiarów
Każdy z wyników pomiarów posiada swoją rozbieżność �. Pytanie o średnią wartość
rozbieżności nie ma sensu fizycznego, albowiem (por. trzecią kolumnę tabeli 4) jedne rozbieżności są
dodatnie, a inne ujemne. Dlatego większy sens ma pytanie o średnią wartość błędu przypadkowego.
W poprzednim rozdziale stwierdzono, że dla liczby pomiarów dążącej do nieskończoności (n ")
miarą bezwzględnego błędu przypadkowego pojedynczego pomiaru jest odchylenie standardowe
rozkładu Gaussa, �. Dla skończonej, aczkolwiek dużej liczby pomiarów, stosuje się następujące
reguły szacowania błędów przypadkowych. Przyjęto, że najlepszym przybliżeniem odchylenia
standardowego � (miary błędu przypadkowego dla nieskończonej liczby pomiarów) wielkości
fizycznej x jest średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru, sx:
Zasady opracowywania wyników pomiarów 12
n
2
Tabela 4. Wyniki n = 12 pomiarów długości pręta d.
( xi - x )
"
i=1
s =
(12)
x
n - 1
i d
d
� = di - �2
Lp. [cm] [cm] To, że sx jest średnim błędem
kwadratowym pojedynczego pomiaru
1 24,12 -0,0025 0,00000625
oznacza, że każdy pomiar jest obarczony
2 24,14 0,0175 0,00030625
średnim błędem kwadratowym sx.
3 24,15 0,0275 0,00075625
4 24,12 -0,0025 0,00000625
5 24,12 -0,0025 0,00000625
Przykład 2.
6 24,10 -0,0225 0,00050625
W tabeli 4 przypomniano wyniki 12
7 24,12 -0,0025 0,00000625
pomiarów długości pręta, zgromadzone
8 24,11 -0,0125 0,00015625
uprzednio w tabeli 3. W celu obliczenia
9 24,13 0,0075 0,00005625
średniego błędu kwadratowego sd, należy
10 24,13 0,0075 0,00005625
podnieść do kwadratu wszystkie
11 24,11 -0,0125 0,00015625
rozbieżności obliczone w trzeciej
12 24,12 -0,0025 0,00000625
kolumnie (kolumna czwarta), a następnie
i=n i=n
289,47 0,002025
je zsumować (symbol Ł), podzielić przez
2
suma suma
i
"d "�
(n-1) i podnieść do potęgi 1/2. Wyniki
i=1 i=1
tych obliczeń pokazano w ostatnich dwu
24,1225 0,013568011
d
średnia
sd [cm]
wierszach tabeli 4. Znaczenie średniego
błędu kwadratowego pojedynczego
pomiaru zilustrujemy na przykładzie.
Załóżmy, że zmierzony pręt był jednym z serii 20 prętów. Jeżeli pręty nie różnią się znacznie od
siebie, to mamy prawo oczekiwać, że pojedynczy pomiar długości każdego z pozostałych prętów (przy
zastosowaniu tej samej metody!) będzie obarczony takim samym błędem przypadkowym, co dla
pierwszego pręta. Innymi słowy, dla każdego z pozostałych prętów wystarczy wykonać jeden pomiar
długości i przyjąć, że jego niepewność równa jest znalezionemu właśnie sx dla pierwszego pręta.
A zatem możemy powiedzieć, że wynik JEDNEGO pomiaru długości (dla dowolnego z prętów) różni
się z prawdopodobieństwem 0.68 (poziom ufności 68%) od prawdziwej wartości o mniej niż sx.
Podkreślmy, że średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru nie określa błędu
mierzonej wielkości fizycznej, a zatem nie można go interpretować jako przedziału, który
z określonym prawdopodobieństwem zawiera rzeczywistą wartość mierzonej wielkości. Jest on
jedynie miarą rozrzutu wyników, co dobrze ilustruje poniższe zadanie.
Zadanie 1
Wykonano 10 pomiarów kąta skręcenia płaszczyzny polaryzacji Ć przez roztwór cukru, otrzymując wyniki:
15038 , 1508 , 15046 , 15034 , 15040 , 15010 , 15050 , 15032 , 15028 , 15036 . Dokładność użytego
polarymetru wynosiła 2 . Jaka wartość kąta skręcenia płaszczyzny polaryzacji jest najbliższa
rzeczywistej? Jaki jest średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru? Podać jego interpretację.
Rozwiązanie
W podanym przykładzie błędy przypadkowe są znacznie większe od dokładności przyrządu
pomiarowego. Liczącym się z
ródłem błędów jest tu więc niedoskonałość oka eksperymentatora dająca
błędy przypadkowe. Ponadto przyjmujemy, że liczba pomiarów (n=10) jest duża (patrz rozdział 5.2). W tej
sytuacji można zastosować wyżej wprowadzone wzory. Wartością kąta polaryzacji najbardziej zbliżoną
do wartości rzeczywistej będzie średnia arytmetyczna Ć, wyliczona ze wzoru (1). Po przeliczeniu minut na
dziesiąte części stopnia oraz wykonaniu szczegółowych rachunków otrzymujemy:
Ć = 15.540
Natomiast obliczenie średniego błędu kwadratowego ze wzoru (12) daje wartość:
sĆ = 0.230
Zasady opracowywania wyników pomiarów 13
Otrzymany wynik oznacza, że 68% wyników, a więc w naszym przypadku 7, powinno leżeć w przedziale:
15.530 ą 0.230, 95% w przedziale 15.540 ą 0.460 a 99.7% wyników w przedziale 15.540 ą 0.690.
W naszym przypadku pozostałe 3 pomiary powinny pokrywać przedział 15.540 ą 0.690.
Sprawdzenie potwierdza te przewidywania. W przedziale 15.30  15.76 leżą wyniki: 15.64, 15.76, 15.55,
15.68, 15.52, 15.48, 15.58 a więc 7, a na resztę pozostało 3 wyniki.
Jak pokazano uprzednio (wzór 1), wartości rzeczywistej wyznaczanej wielkości fizycznej
Jak pokazano uprzednio (wzór 1), wartości rzeczywistej wyznaczanej wielkości fizycznej
najlepiej odpowiada wartość średniej arytmetycznej. Należy zatem postawić pytanie, jak obliczyć
najlepiej odpowiada wartość średniej arytmetycznej. Należy zatem postawić pytanie, jak obliczyć
x
błąd przypadkowy wartości średniej n wyników pomiarów, czyli błąd
błąd przypadkowy wartości średniej n wyników pomiarów, czyli błąd . ŚREDNI BA

D
KWADRATOWY WARTOŚCI ŚREDNIEJ obliczamy z zależności:
n
2
( xi - x )
"
s
x i=1
s = =
(13)
x
n(n - 1)
n
Jak wynika z powyższej zależności, wartość średniego błędu kwadratowego (zarówno
pojedynczego pomiaru, jak i wartości średniej) będzie tym mniejsza, im więcej pomiarów n
wykonamy w serii pomiarowej.
sd
Wartość wyników pomiarów z przykładu 2 wyniesie zatem:
sd 0,013568011
sd = = =
0,003916747 [cm]
n 12
sd =
Po zaokrągleniu 0,004 [cm].
Interpretacja średniego błędu kwadratowego wartości średniej (nazywanego także błędem
standardowym lub błędem standardowym średniej) jest następująca: dla serii składającej się
z dużej liczby pomiarów (kiedy liczbę pomiarów możemy uważać za dużą dowiemy się dalej)
(x ą sx )
prawdopodobieństwo, że przedział zawiera wartość rzeczywistą wynosi 0.68, przedział
(x ą 2sx ) (x ą 3sx )
- 0.95 oraz przedział - 0.99.
5.2. Mała ilość pomiarów
Gdy liczba pomiarów jest skończona, do szacowania odchylenia standardowego zamiast
rozkładu Gaussa należałoby zastosować inny rozkład uwzględniający skończoną (często niewielką)
liczbę pomiarów. Takim rozkładem jest rozkład t-Sudenta. Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu t-
Studenta ma kształt podobny do gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Gaussa, co pokazano na
rysunku 8, przy czym kształt rozkładu t-Studenta jest  bardziej płaski niż kształt rozkładu Gaussa,
obliczonego dla tego samego odchylenia standardowego �. Ważnym parametrem rozkładu t-Studenta
jest liczba stopni swobody. Liczba stopni swobody k jest liczbą wyników pomiarów n
pomniejszoną o liczbę parametrów równania (lub równań) r wykorzystanych do obliczenia
wartości odchylenia standardowego. W przypadku wielokrotnego pomiaru jednej wielkości
fizycznej, r = 1, czyli k = n - 1 W przypadku analizy zależności między dwoma wielkościami
fizycznymi, czyli także w przypadku metody najmniejszej sumy kwadratów r=2. W miarę wzrostu
liczby pomiarów (dokładniej liczby stopni swobody) różnice stają się coraz mniejsze i praktycznie
znikają dla liczby pomiarów (liczby stopni swobody) większej od 30. Jednak w praktyce zarówno
laboratoryjnej jak i inżynierskiej, rzadko wykonuje się więcej niż kilka czy kilkanaście pomiarów tej
sx
samej wielkości fizycznej. A zatem stosowanie wzorów (12) i (13) powoduje, iż wartości oraz
sx są zbyt małe (niedoszacowane), co znaczy, że odpowiednie prawdopodobieństwa są mniejsze niż
Zasady opracowywania wyników pomiarów 14
0.68. Jeżeli chcemy zapewnić naszym obliczeniom odpowiednią interpretację statystyczną, jako
oszacowanie średniego błędu kwadratowego powinniśmy brać odchylenie standardowe rozkładu t
Studenta. Można je obliczyć poprzez pomnożenie odchylenia standardowego rozkładu Gaussa przez
2,5
�
= 0.5
rozkład Gaussa �
2,0
1,5
1,0
k = 2
rozkład t - Studenta
0,5
0,0
�
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 h =
�
t
�
-� -�
t �
Rys. 8. Porównanie rozkładów Gaussa i t-Studenta.
stabelaryzowaną wartość współczynnika rozkładu t-Studenta. Przybliżone wartości tego
współczynnika podano w tabeli 5 dla różnych wartości poziomu ufności � oraz ilości stopni swobody
k. Dlatego też błąd przypadkowy pojedynczego pomiaru będzie wynosił:
"xp = sxt(�,k)
, (14)
a błąd przypadkowy wartości średniej:
"xp = sxt(�,k)
, (15)
gdzie � oznacza poziom ufności, k - liczbę stopni swobody. Należy podkreślić jeszcze raz,
że zależności wymienione w poprzednim rozdziale dotyczą sposobu obliczania średnich błędów
kwadratowych pojedynczego pomiaru oraz wartości średniej w przypadku, gdy ilość pomiarów jest
wystarczająco duża, aby można było stosować rozkład Gaussa.
Tabela 5. Wartości współczynników t rozkładu t-Studenta.
K
� = 0.682 � = 0.9 � = 0.95 � = 0.99
1 1.86 6.31 12.71 63.66
2 1.29 2.92 4.30 9.93
3 1.20 2.35 3.18 5.84
4 1.15 2.13 2.78 4.60
5 1.12 2.02 2.57 4.03
6 1.10 1.94 2.45 3.70
7 1.08 1.90 2.37 3.50
8 1.07 1.86 2.30 3.36
9 1,06 1.83 2.26 3.25
10 1,06 1.81 2.23 3.17
11 1,05 1,79 2,21 3,13
Zasady opracowywania wyników pomiarów 15
Szacując błąd przypadkowy pojedynczego pomiaru długości pręta z przykładu 2 należy
najpierw wybrać poziom ufności, dla którego zostanie obliczony błąd. Dla wartości poziomu ufności
� = 0,682 oraz dla k = n -1 = 11, wartość współczynnika t(� = 0.682, k = 11) jest równa 1,05. Zatem:
sd = 0,013568011�"
1,05 = 0,01424641155 [cm], a
sd
sd = =
sd
0,004112584772, po zaokrągleniu =0,0042 [cm].
12
sd
Oznacza to, że liczbę pomiarów możemy w tym przypadku uznać za dużą (pomnożenie oraz
sd przez 1,05 praktycznie nie zmienia wartości szacowanych błędów).
Decyzja, czy daną liczbę pomiarów uznajemy za małą bądz
dużą zależy od wartości
współczynnika rozkładu t-Studenta dla liczby stopni swobody i wybranego poziomu ufności,
co ilustruje poniższe zadanie.
Zadanie 2.
Określić dla poziomów ufności a)0.68 i b) 0.95 przedziały, które zawierają rzeczywistą wartość kąta
skręcania płaszczyzny polaryzacji z zadania 1.Przypominamy, że liczba pomiarów wynosi n=10, a liczba
wyznaczanych parametrów r=1.
Rozwiązanie
a) Ponieważ dla poziomu ufności 0.68 i liczby stopni swobody k=n-r=10-1=9 współczynnik t-Studenta
wynosi t(� = 0.68, k = 9)=1.06, liczbę pomiarów możemy uznać za dużą i do określenia szukanego
przedziału zastosować wzory (12) i (13):
sĆ 0.23o
"Ć = sĆ = = = 0.07o
n 10
Otrzymany wynik oznacza, że z prawdopodobieństwem 0.68 przedział (15.53� ą 0.07�) będzie zawierał
rzeczywistą wartość kąta skręcania płaszczyzny polaryzacji.
b) Z tabeli 5 odczytujemy t(� = 0.95, k = 9) = 2.26. A zatem tym razem liczbę pomiarów należy uznać za
małą i szukany przedział wyznaczyć za pomocą wzorów (14) i (15):
"Ć = sĆ �" 2.26 = 0.07o �" 2.26 = 0.16o
Szukany przedział, który z prawdopodobieństwem 0.95 zawiera rzeczywistą wartość kąta skręcania
płaszczyzny polaryzacji wynosi:
Ć ą "Ć = Ć ą "Ć �" t(� = 0.95, k = 9) = 15.53o ą 0.16o
Prowadząc obliczenia według rozkładu Gaussa otrzymalibyśmy zaniżoną wartość błędu:
Ć ą 2sĆ = 15.53o ą 0.14o
5.3. Błędy przypadkowe wielkości fizycznych mierzonych pośrednio
Sposoby obliczania błędów przypadkowych podane do tej pory dotyczyły wielkości
mierzonych bezpośrednio, tzn. mierzonych podczas eksperymentów polegających na bezpośrednim
porównaniu wielkości mierzonej z jej jednostką (np. pomiar długości pręta przy pomocy suwmiarki,
czy różnicy potencjałów przy pomocy woltomierza). Większość pomiarów w praktyce inżynierskiej
wykonujemy pośrednio, przez pomiar pośredniej wielkości fizycznej, z której dopiero po zastosowaniu
przekształceń matematycznych uznanych za słuszne dla wybranego modelu fizycznego, obliczamy
bezpośrednio interesującą nas wielkość fizyczną. Zostanie to zilustrowane na poniższym przykładzie.
Przykład 3
Sześciokrotnie zmierzono masę i promień kuli. Poszukujemy wartości gęstości materiału kuli
oraz błędu przypadkowego tej gęstości. Wyniki pomiarów podano w drugiej i czwartej kolumnie
Tabeli 6.
Zasady opracowywania wyników pomiarów 16
Określenie wartości gęstości materiału kuli wymaga zastosowania wzoru na gęstość:
m m
� = = , gdzie m oznacza masę kuli, V - jej objętość a r - promień.
4
V
Ą r3
3
r = r
Prawidłowe obliczenie gęstości polega na obliczeniu wartości � dla m = m oraz . Wtedy
�
obliczona wartość � będzie równa ., W przypadku ogólnym, wartość średnią mierzonej pośrednio
z
wielkości zależnej od zmiennych (x1, x2, x3...) mierzonych bezpośrednio należy obliczać
(x1, x2, x3...)
w punkcie :
jeżeli z = f (x1, x2 , x3...) , to z = f (x1, x2 , x3...) . (16)
Obliczanie średniej wartości z poprzez obliczanie z z poszczególnych pomiarów (dla
każdego i), a następnie obliczanie średniej uzyskanych wyników jest nieprawidłowe .
Postępowanie mające na celu znalezienie wartości błędu przypadkowego gęstości � rozpoczyna
się od znalezienia wartości błędów przypadkowych osobno dla masy m i promienia r. Obliczenia,
wykonane przy pomocy programu Microsoft Excel pokazano w Tabeli 6.
Tabela 6. Obliczenia błędów przypadkowych.
2 2
Lp. m r
Dm = (mi - m)2 Dr = (ri - r)2 t(0,68;5)
(i) [kg] [m] 1.12
1 0.39 0.0001 0.05 0
2 0.4 0 0.049 0.000001
3 0.41 0.0001 0.05 0
4 0.4 0 0.051 0.000001
5 0.39 0.0001 0.051 0.000001
i=n
6 0.41 0.0001 0.049 0.000001
i
"x
suma 2.4 0.0004 0.3 0.000004
i=1
i=n
wartość 1 0.4 0.05
i
"x
średnia n
i=1
n
średni błąd Sm = 0.0089443 Sr = 0.0008944
( xi - x )2
kwadratowy
"
i=1
pojedynczego
sx =
n - 1
pomiaru
sx
średni błąd kwadratowy
Sm = 0.0036515 Sr = 0.0003651
s =
x
n
wartości średniej
Znamy zatem średnie błędy kwadratowe pojedynczego pomiaru wielkości mierzonych
sm sr
bezpośrednio, i . W celu obliczenia średniego błędu kwadratowego gęstości (wielkości
mierzonej pośrednio), należy zastosować zasadę kwadratowego przenoszenia błędu:
2
2
Ą# ń#
"f (x, y) "f (x, y)
2
sz = sx Ą# ń# + s2 ó# Ą#
, (17)
y
ó# Ą#
"x "y
Ł# Ś#
Ł# Ś#
sz
gdzie jest szukaną wartością średniego błędu kwadratowego wartości średniej wielkości mierzonej
sy
sx są
pośrednio i zależnej od zmiennych x i y poprzez zależność funkcyjną z = f(x,y,), a
odpowiednio wartościami średniego błędu kwadratowego średnich wartości x i y . Ponieważ
Zasady opracowywania wyników pomiarów 17
m m "� 1 "� - 3m
� = = , zatem = , a = . Po podstawieniu liczbowych wartości
4 4 4
V "m
3 4
Ą r Ą r3 "r Ą r
3 3 3
średnich m i r , w celu obliczenia błędu przypadkowego gęstości, "�p, należy obliczyć wartość S�
uwzględniając współczynniki t rozkładu t-Studenta dla zmiennych m i r:
2
2
"f (x, y) Ą# ń#
Ą# ń# "f (x, y)
2
sz = sx ó# Ą# t2(�,kx) + s2 ó# Ą# t2(�,ky )
, czyli: (17a)
y
"x "y
Ł# Ś#
Ł# Ś#
2 2
Ą# ń# Ą# ń#
ó#" �(m,r) Ą# ó#" �(m,r) Ą#
2 2
S� = Sm ó# t2(�,k ) + Sr ó# t2(�,k )
=
Ą# Ą#
m=m m=m
" m " r
ó# Ą# ó# Ą#
r=r r=r
Ł# Ś# Ł# Ś#
2 2 2 2
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
1 -3m 1 -3m
2 2 2 2
Sm t2(�,k ) + Sr ó# Ą# t2(�,k ) = "mp ó# Ą# + "rp
= ó# Ą# ó# Ą# .
4 4 4 4
3 4 3 4
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
Ą r Ą r Ą r Ą r
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
3 3 3 3
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
Kryteria doboru poziomu ufności � zależą od eksperymentatora. Z podanej w rozdziale 4 klasyfikacji
poziomów ufności, opartej na  prawie trzech sigm , wynikają dwie logicznie powiązane ze sobą
możliwości:
- Przyjęcie � = 68,2%, określające jedynie tę część wyników, które leżą w obszarze średniego
błędu kwadratowego wartości średniej, za właściwe dla przyjętej metody pomiarowej. Wariant ten
należałoby przyjąć w przypadku, gdy:
a) liczba pomiarów jest duża,
b) błędy systematyczne są porównywalne lub małe w porównaniu z przypadkowymi,
c) wartość pomiaru została potwierdzona innymi metodami pomiarowymi,
d) liczba pomiarów jest mała, lecz wartość błędu systematycznego jest duża, porównywalna z
wartością mierzoną albo czyniąca niewiarygodnym przyjęty model fizyczny.
- Przyjęcie � = 99,8%, charakterystyczne dla metody błędu maksymalnego, opisanej w rozdziale 6.
Wariant ten należałoby przyjąć w przypadku, gdy:
a) liczba pomiarów jest mała,
b) błędy systematyczne są duże lub porównywalne z przypadkowymi,
c) wartość pomiaru została nie została jeszcze potwierdzona innymi metodami pomiarowymi
ani przez innych badaczy.
Należy pamiętać, że obliczywszy błąd dla poziomu ufności � = 68,2%, można zawsze określić
błąd maksymalny, charakterystyczny dla � = 99,8%, korzystając z prawa trzech sigm.
Wracając do naszego przykładu, przyjmijmy, że � = 68,2%, co dla k = n - 1 = 5 daje wartość t
równą t(�=0,682, k=5) = 1,12. Otrzymujemy wtedy:
0,0089443
"m = �"1,12 = 0,0036515 �"1,12 = 0,004089662 [kg] ;
p
6
0,0008944
"rp = �"1,12 = 0,0003651�"1,12 = 0,000408966 [m].
6
Wartość błędu przypadkowego gęstości materiału kuli wyniesie:
"� = 0,0040896622 �"1909,85931722 + 0,0004089662 �" 45836,623612 = 20,30776442 [kg/m3].
p
Zasady opracowywania wyników pomiarów 18
Szukana wartość gęstości materiału kuli wraz z obliczonym błędem przypadkowym wynosi:
� = � ą "� = (764 ą 21)Ą# kg ń# .
p
3
ó#m Ą#
Ł# Ś#
Zadanie 3
Wyznaczano wartość przyspieszenia ziemskiego g za pomocą wahadła matematycznego. Pomiary
długości wahadła l, przymiarem, którego dokładność wynosiła 10-3 m, dały wyniki: 3.966, 3.984, 3.978,
3.975, 3.988, 3.969 [m]. Natomiast 7-krotny pomiar okresu drgań T (każdorazowo T wyznaczano z
pomiaru czasu 10 wahnięć), stoperem o dokładności 0.1 s, dał rezultat: 4.0, 3.8, 4.2, 4.4, 3.9, 4.0, 3.7 {s}.
Przyjmując poziom ufności 0.95, znalez
ć wartość przyśpieszenia ziemskiego.
Rozwiązanie:
2
4Ą l
.
Przyspieszenie ziemskie w tej metodzie wyznaczamy ze wzoru: g = Wartością przyspieszenia
2
T
najbardziej zbliżoną do rzeczywistej jest wartość obliczona na podstawie średnich wartości długości
2
4Ą l
wahadła i okresu, to znaczy g = , gdzie: l ,T - wartości średnie długości wahadła i okresu, liczone
2
T
z (1). Z rozrzutu pomiarowego widać, że błędy pomiarowe zarówno długości wahadła jak i okresu są
znacznie większe od dokładności użytych przyrządów pomiarowych mamy więc przypadek wyżej
omawiany i do policzenia błędu "g zastosujemy wzór (17a). Dla ułatwienia śledzenia obliczeń
sporządzimy tabelę (patrz tabela niżej).
2
2
I li
Ti
li - l Ti - T
(Ti - T )
(li - l )
1 3.966 -0.011 0.000121 4.0 0.0 0.00
2 3.984 0.007 0.000049 3.8 -0.2 0.04
3 3.978 0.001 0.000001 4.2 0.2 0.04
4 3.975 -0.002 0.000004 4.4 0.4 0.16
5 3.988 0.011 0.000121 3.9 -0.1 0.01
6 3.969 -0.008 0.000064 4.0 0.0 0.00
7 3.7 -0.3 0.09
23.860 0.000360 28.0 0.34
Ł
l = 3.977 T = 4.0
Posługując się zebranymi w tabelce wynikami otrzymujemy:
6 7
23.860
= 23.860[m]; l = = 3.977[m]; = 28.0[s]; T = 4[s]& & & & & & & & & .
"li "Ti
6
i=1 i=1
Ą# m ń#
Mając obliczone l i T z wzoru (1) obliczamy: g = 9.81ó# 2 Ą# . W celu policzenia "g (ze wzoru 17a)
s
Ł# Ś#
"g "g
2
znajdujemy pochodne i oraz sl2 i sT . Po wykonaniu szczegółowych działań dostajemy
"l "T
2 2
"g(l ,T ) 4Ą 4Ą l g 9.81
-2
= = = = = 2.467[s ]
2 2
"l 3.977
l
T T l
2 2
"g(l ,T ) 8Ą l 8Ą l 2g 9.81
-3
= - = - = - = -2�" = -4.905[ms ]
3 3
"T T 4.0
T T
6
1
sl2 =
i
"(l - l)= 0.00036 m2 = 1.2�10-5[m2]
6(6 -1) 30
i=1
Zasady opracowywania wyników pomiarów 19
2
7
1 0.34
2
sT = - T ) = = 8.09 �10-3[s2]
"(Ti
7(7 -1) 42
i=1
2 2
"g "g
�# ś# �# ś#
-4 -6
ś# ź# = 6.086[s ]; = 24.059[m2 s ]
ś# ź#
"l "T
�# # �# #
Z tabeli 5 (rozkładu t-Studenta) znajdujemy odpowiednie współczynniki t(�,k). W naszym przypadku
wynoszą one:
dla pomiaru długości wahadła  t(0.95,5) = 2.57
dla pomiaru okresu  t(0.95,6) = 2.45
Podstawiając wynik pośrednie do wzoru (17a) otrzymujemy:
"g = 6.086 �1.2 �10-5 � 2.572 + 24.059 � 8.09 �10-3 � 2.452 [ms-2]
= 4.82 �10-4 +1.168[ms-2]= 1.08[ms-2]
Z prawdopodobieństwem 0.95 możemy twierdzić, że prawdziwą wartość przyspieszenia ziemskiego
zawiera przedział: 9.8 ą 1.1 [m/s2]. Na zakończenie chcemy zwrócić uwagę, że pierwszy składnik pod
ostatnim pierwiastkiem, reprezentujący udział pomiaru długości w całkowitej niepewności pomiarowej,
jest znacznie mniejszy od drugiego, reprezentującego pomiar okresu. Oznacza to, że należy podjąć
działania zmierzające do zredukowania błędu okresu wahań. Najprostszym działaniem (nie
wymagającym dokładniejszych przyrządów) jest mierzenie nie jednego okresu wahań, a dużej ich liczby
(np. 10) i podzielenie otrzymanego wyniku przez liczbę wahnięć. Wówczas średni błąd kwadratowy
ulegnie zmniejszeniu tyle razy, ile okresów wahań zostało zmierzonych (zakładając, że nie został
popełniony błąd przy liczeniu ilości wahnięć  pamiętajmy, że pomiar liczności może być bezbłędny).
6. Błędy systematyczne
Błędy systematyczne objawiają się jako przesunięcie wyników w jedną stronę w stosunku do
wartości oczekiwanej.
6.1. y
ródła błędów systematycznych
Przy spełnieniu wszystkich warunków wynikających z algorytmu pokazanego w rozdziale 2,
błędy systematyczne są wynikiem skończonej dokładności wykonania przyrządów pomiarowych. Poza
tym, z
ródłami błędów systematycznych mogą być:
a) niedotrzymanie niezmiennych warunków pomiaru podczas jego dokonywania, np.:
- zmiana temperatury, ciśnienia lub wilgotności powietrza podczas wykonywania
długotrwałego pomiaru,
- niedostateczne osłony przed pasożytniczymi polami elektromagnetycznymi, pochodzącymi
choćby od przejeżdżającego w pobliżu tramwaju,
- drgania lub nachylenie stołu laboratoryjnego,
- zmiany potencjału zachodzące na zerującym bolcu gniazda elektrycznego lub na zacisku
uziemienia,
- skokowa zmiana oporności kontaktu wynikająca ze zjawisk nieuwzględnionych przy
projektowaniu zestawu pomiarowego,
- nieuwzględnienie zmiany oporności wewnętrznej miernika podczas zmiany jego zakresu
pomiarowego,
b) przybliżony charakter modelu zjawiska fizycznego, np.:
- pominięcie warunku małych wychyleń przy pomiarze okresu wahań wahadła,
- pominięcie składnika związanego z oporem neonówki przy obliczaniu okresu drgań
relaksacyjnych w obwodzie RC,
- obliczanie indukcji magnetycznej w osi cewki laboratoryjnej z zależności słusznej dla
cewki o nieskończonej długości,
Zasady opracowywania wyników pomiarów 20
- pominięcie aberracji sferycznej soczewek układu optycznego spektroskopu przy pomiarze
kątowego położenia elementów liniowego obrazu dyfrakcyjnego,
oraz wiele podobnych.
6.2. Przyrządy pomiarowe stosowane w laboratorium studenckim
W laboratorium studenckim spotykamy zarówno przyrządy analogowe jak i cyfrowe.
Przyrządy analogowe pozwalają na odczytanie wartości mierzonej poprzez porównanie położenia
wskazówki lub noniusza z działkami rozmieszczonymi na skali przyrządu. Przyrządy cyfrowe
pozwalają na bezpośrednie odczytanie wartości mierzonej z elektronicznego wyświetlacza. Obie grupy
przyrządów można usystematyzować następująco:
a) Przyrządy ze skalą do bezpośredniego odczytu wartości długości lub kąta (liniały, suwmiarki,
mikromierze, spektroskopy, termometry, manometry).
b) Elektromagnetyczne i magnetoelektryczne przyrządy do pomiaru wartości napięć, ładunku
elektrycznego i natężeń prądów.
c) Woltomierze i czasomierze elektroniczne.
d) Oscyloskopy.
e) Polarymetry.
Podstawowymi parametrami charakteryzującymi przyrządy pomiarowe są:
a) Wielkość fizyczna, którą można zmierzyć danym przyrządem (x).
b) Zakres pomiarowy (z), czyli maksymalna wartość wielkości mierzonej, którą można zmierzyć
danym przyrządem bez jego uszkodzenia.
c) Czułość, czyli stosunek minimalnej, zauważalnej zmiany wskazania przyrządu do zmiany
"ą
wartości mierzonej, która ją wywołała: c = .
"x
d) Dokładność (tolerancja) ("x), czyli maksymalny błąd bezwzględny wnoszony przez przyrząd
do wartości mierzonej na danym zakresie pomiarowym.
e) Klasa (K), czyli maksymalny błąd względny, liczony w procentach, wnoszony przez przyrząd
do wartości mierzonej na danym zakresie pomiarowym.
Aby zapoznać się z innymi parametrami charakteryzującymi przyrządy pomiarowe (takimi jak np.
dobroć, stała czasowa, stabilności odczytu itp.), czytelnik winien przestudiować literaturę
specjalistyczną.
6.3. Błąd maksymalny wielkości fizycznych mierzonych bezpośrednio
Pomiar bezpośredni wielkości fizycznej jest porównaniem wskazania przyrządu pomiarowego,
przeznaczonego do mierzenia tej właśnie wielkości. W ten sposób mierzymy długość przymiarem
prostym czy wartość spadku napięcia na oporniku - woltomierzem.
Dokładność przyrządu, czyli maksymalny błąd bezwzględny wnoszony przez przyrząd do
wartości mierzonej na danym zakresie pomiarowym można wyznaczyć z odległości pomiędzy
działkami na skali przyrządu. Dokonując pomiaru bezpośredniego np. długości wahadła, ustawiamy
początek skali przyrządu w osi wahań wahadła i oceniamy, która z działek przyrządu leży najbliżej
środka masy ciężarka. Oceny tej dokonujemy zatem z błędem nie przekraczającym (w najgorszym
przypadku) połowy odległości pomiędzy działkami. Błąd maksymalny odczytu długości l na skali
wykonanej np. co 1 mm będzie zatem wynosił "l = 0,5 mm. Odczytana wartość wyniesie zatem
l ą 0,5 mm.
Bardziej dokładne przyrządy mają podaną klasę uwidocznioną na metryczce w pobliżu skali
lub w instrukcji obsługi przyrządu. Z punktu widzenia rachunku błędów, z definicji dokładności
i klasy przyrządu należy zapamiętać związek pomiędzy maksymalnym błędem bezwzględnym a klasą
przyrządu:
Zasady opracowywania wyników pomiarów 21
z �" K zakres �" klasa
"xmax = = (18)
100% 100%
Bezwzględne niepewności pomiarowe wnoszone do wartości pomiaru przez dokładność
przyrządu pomiarowego są natury zarówno przypadkowej, jak i systematycznej, których rozdział nie
jest łatwym zadaniem. Jednakże, dla ułatwienia obliczeń, będziemy traktować błąd wskazania
przyrządu pomiarowego jako błąd systematyczny, jako że - przy spełnieniu zasady niezmienności
warunków pomiarów podczas ich trwania - maksymalny błąd wskazania przyrządu pomiarowego jest
dla każdego pomiaru taki sam. Zakładamy tu ponadto, że nie wgłębiamy się w zasady działania
przyrządu pomiarowego, a jedynie przestrzegamy zasad wymienionych w instrukcji.
Jak wynika z klasyfikacji z
ródeł błędów systematycznych, przyrządy pomiarowe nie są
jedynym z
ródłem systematycznych błędów pomiaru. Jeżeli jesteśmy w stanie wykryć wartość błędu
wynikającą z pozostałych z
ródeł, winniśmy szacowany błąd maksymalny zwiększyć o wartość
poprawki z nich wynikającej. I tak np.:
�! do błędu bezwzględnego wynikającego z klasy przyrządu należy dodać błąd wynikający z faktu
dokonywania pomiaru długości w temperaturze innej niż temperatura, w której przyrząd
pomiarowy wyskalowano (zazwyczaj jest to temperatura tzw. normalna, czyli 20oC);
�! do błędu bezwzględnego wynikającego z klasy przyrządu należy dodać połowę maksymalnej
wartość różnicy wskazań wynikającej z niestabilności czasowej wskazania przyrządu (maksymalną
wartość połowy różnicy wskazań zauważonej podczas  pływania wartości mierzonej).
Na marginesie warto zauważyć, że o ile oba wymienione z
ródła błędu wnoszą do wartości
pomiaru błąd maksymalny, to pierwsze z
ródło jest z
ródłem błędu systematycznego, a drugie -
przypadkowego. Znajomość z
ródła błędu często wystarcza do obliczenia poprawki wartości mierzonej,
uwzględnienia jej w wyniku pomiaru i w ten sposób uniknięcia zwiększenia wartości błędu pomiaru,
lecz często nie pozwala na to czas i koszty wykonania tej procedury.
Podane dalej metody analizy wyników pomiarów dotyczą sytuacji, w której błędy
systematyczne wszystkich punktów pomiarowych są równe i są błędami maksymalnymi.
W przeciwnym przypadku zarówno do obliczania średniej jak i średnich błędów kwadratowych należy
wprowadzić pojęcie wagi pomiaru, co zmienia nie tylko wzory, ale i metody postępowania.
6.4. Błędy maksymalne wielkości fizycznych mierzonych pośrednio
Jeżeli został dokonany pomiar wielkości fizycznej złożonej, z, związanej zależnością funkcyjną
z = z(x1, x2, x3 ...) z wielkościami x1, x2, x3 ... mierzonymi bezpośrednio, to bezwzględny błąd
maksymalny wielkości z można obliczyć metodą zwaną metodą różniczki zupełnej:
"z(x1, x2, x3...) "z(x1, x2, x3...) "z(x1, x2, x3...)
"zm = "x1 + "x2 + "x3 ... (19)
"x1 "x2 "x3
W przypadku, kiedy wielkość złożona wyraża się iloczynem stałej i dowolnych potęg wielkości
zmierzonych bezpośrednio:
q r
z = Ax1p x2 x3 ... , (20)
względny błąd maksymalny wielkości z można obliczyć metodą pochodnej logarytmicznej:
"zm "x1 "x2 "x3
= p + q + r ... . (21)
z x1 x2 x3
Powyższe reguły noszą nazwę zasad przenoszenia błędów maksymalnych i zazwyczaj prowadzą
do tych samych wartości, co zilustruje poniższe zadanie.
Zasady opracowywania wyników pomiarów 22
Zadanie 4.
Zmierzono objętość drutu w następujący sposób: Średnicę zmierzono mikromierzem o dokładności
równej 0,01 mm. Wartość pomiaru wyniosła d = 2,42 mm. Długość drutu zmierzono miarką o odległości
pomiędzy działkami równej 1 mm. Wartość pomiaru wyniosła l = 1250 mm. Obliczyć błąd maksymalny
objętości drutu.
Przyjmujemy, że mierzony drut jest walcem, podczas pomiaru był wyprostowany, a temperatura
2
Ą d
otoczenia wynosiła 20oC. Zatem możemy założyć, że V = l i V = 5749,507255 [mm3].
4
metoda różniczki zupełnej:
2
Ą d Ą dl
"Vm = "l + "d = 2,299802902 + 23,75829444 = 26,05809734 E" 27 [mm3].
4 2
metoda pochodnej logarytmicznej:
"Vm "d "l
= �" 2 + �"1 = 0,004532231 , a stąd "Vm = 26,05809734 E" 27 [mm3].
V d l
7. Postępowanie w przypadku, gdy błędy systematyczne
7. Postępowanie w przypadku, gdy błędy systematyczne
są porównywalne z przypadkowymi.
są porównywalne z przypadkowymi.
W przypadku, gdy wartości błędu pomiarowego, pochodzące z różnych z
ródeł, są
W przypadku, gdy wartości błędu pomiarowego, pochodzące z różnych z
ródeł, są
porównywalne co do rzędu wielkości, należy w obliczaniu całkowitej wartości błędu uwzględnić
porównywalne co do rzędu wielkości, należy w obliczaniu całkowitej wartości błędu uwzględnić
wszystkie znane jego z
ródła. Należy wziąć jedynie pod uwagę fakt, że błąd systematyczny "zs jest
wszystkie znane jego z
ródła. Należy wziąć jedynie pod uwagę fakt, że błąd systematyczny "zs jest
błędem maksymalnym, czyli takim, dla którego wartość rzeczywista leży na pewno w obszarze
błędem maksymalnym, czyli takim, dla którego wartość rzeczywista leży na pewno w obszarze
o szerokości ą "zs otaczającym wartość mierzoną (� H" 1). W praktyce laboratoryjnej stosujemy dwa
o szerokości ą "zs otaczającym wartość mierzoną (� H" 1). W praktyce laboratoryjnej stosujemy dwa
sposoby dodawania błędów systematycznych i przypadkowych.
sposoby dodawania błędów systematycznych i przypadkowych.
7.1. Wariant szacunkowy (dodawanie błędu maksymalnego)
7.1. Wariant szacunkowy (dodawanie błędu maksymalnego)
Błędem przypadkowym, który z prawdopodobieństwem bliskim 1 zawiera wszystkie wartości
Błędem przypadkowym, który z prawdopodobieństwem bliskim 1 zawiera wszystkie wartości
mierzone, jest błąd przypadkowy liczony dla poziomu ufności � = 0,99. Tylko taki błąd przypadkowy
mierzone, jest błąd przypadkowy liczony dla poziomu ufności � = 0,99. Tylko taki błąd przypadkowy
możemy bezpośrednio dodać do błędu systematycznego. I tak dla wielkości mierzonych bezpośrednio:
możemy bezpośrednio dodać do błędu systematycznego. I tak dla wielkości mierzonych bezpośrednio:
"xs = sxt[(� = 0.99),k] + �0x , (22)
a dla wielkości z = f(x,y) mierzonych pośrednio (przy "ys = sy �" t[(� = 0.99), k] + � ) :
0 y
"f (x, y) "f (x, y)
"zs = "xs + "ys
, (23)
"x "y
gdzie �0x i �0y oznaczają wartości błędów systematycznych wielkości x i y.
Powyższa zależność jest oczywiście identyczna z zależnością słuszną dla obliczania błędów
systematycznych wielkości mierzonych pośrednio (wzór 19).
7.2. Wariant odpowiadający odchyleniu standardowemu rozkładu Gaussa
(szczegółowy)
Średni błąd kwadratowy zarówno pojedynczego pomiaru, jak i wartości średniej wielkości
mierzonej obliczany jest z zależności wynikającej z definicji odchylenia standardowego rozkładu
Gaussa, czyli dla poziomu ufności � = 0,68. Chcąc obliczyć wartość błędu systematycznego na tym
samym poziomie ufności, należy założyć postać rozkładu prawdopodobieństwa wystąpienia błędu
Zasady opracowywania wyników pomiarów 23
systematycznego o wartości �0. Rozkład taki nosi nazwę rozkładu jednostajnego i jest przedstawiony
na rys. 9.
�(�)
1
�
-�0 �0
Rys. 9. Rozkład jednostajny błędu systematycznego.
Z przedstawionego rysunku wynika, że gęstość prawdopodobieństwa w przedziale <-�0 , + �0>
jest stała i wynosi 1.
Analogicznie do zależności przedstawionych w rozdziale 3, można obliczyć wariancję D2,
będącą miarą rozrzutu błędu � w stosunku do wartości oczekiwanej <�> równej zeru:
+"
2
�
0
D2 = �(� ) �"(� - < � >)2 d�)= < (� - 0)2 > = . (24)
+"
3
-"
Stąd na podstawie prawa przenoszenia wariancji, wynikającego z prawa kwadratowego przenoszenia
błędów, dodawanie błędów wartości średniej (przypadkowych i systematycznych) na poziomie ufności
� = 0,68, dla wielkości mierzonych bezpośrednio przeprowadzamy według zależności:
2 2
�0x "xs
2 2 2
"x = sxt (�,kx ) + = "x +
. (25)
p
3 3
Dla wielkości mierzonych pośrednio postępujemy podobnie, stosując prawo kwadratowego
przenoszenia błędów:
2
2
2 �#
�#
�0 y ś#Ą#"f (x, y)ń#2
�0x ś#Ą#"f (x, y)
ń#
2 ś# ź#
ś# ź#
sz = sxt2(� , kx ) + + s2t2(� , ky ) +
, (26)
y
Ą#
Ą#
ś# ź#ó# ś# ź#ó#
3 "x 3 "y
Ś#
Ś#
�# #Ł#
�# #Ł#
czyli:
2
2 2
�# ś#Ą#"f (x, y)ń#2 �# ś#Ą#"f
ś#"x 2 + "xs ź# ś#"y 2 "ys ź#ó# (x, y)ń# .
sz = + + (27)
p p
Ą#
Ą#
ś# ź#ó# ś# ź#Ł#
3 "x 3 "y
Ś#
Ś#
�# #Ł# �# #
Zadanie 5.
Wyznaczyć długość fali żółtej linii sodu za pomocą siatki dyfrakcyjnej o stałej d = 4,5 �" 10-6m, mierząc kąt
ugięcia ą dla prążka pierwszego rzędu. Dokładność pomiaru kąta wynosiła 2'. Pięciokrotnie zmierzono
położenie lunetki  na wprost ą0 oraz położenie lunetki ą1 dla wiązki ugiętej (badanej linii). Otrzymano
wyniki:
Zasady opracowywania wyników pomiarów 24
Szukaną długość fali określa wyrażenie:
nr pomiaru ą0 [deg] ą1 [deg]
 = d �" siną = d �" siną0 -ą1 .
(i)
1 179o 30 172o 02
Na wartość błędu " składać się będą błędy systematyczne
2 179o 32 172o 00
"ą0s i "ą1s oraz błędy przypadkowe "ą0p i "ą1p . Ponieważ
3 179o 34 172o 02
dokładność pomiaru kąta wynosi 2 , więc "ą0s = "ą1s = 2 =
4 179o 32 172o 02
2 2Ą
�" = 0,000581776 rd. Konieczność zamiany jednostek
5 179o 32 172o 04
60 360
kąta ze stopni na radiany wynika z wzorów na obliczenie błędów, w których występuje mnożenie przez
wartość "ą: w odróżnieniu od stopni kątowych, radian jest jednostką niemianowaną.
Obliczenie  .
Po zamianie minut kątowych na dziesiąte części stopnia (w ten sposób łatwiej dokonywać obliczeń na
kalkulatorze), otrzymujemy średnie wartości kątów ą0 i ą1 . Po ich odjęciu otrzymujemy średni kąt
ugięcia ąu = 7,5 o. Stąd:
 = 4,5 �"10-6 �" sin(7,5o ) = 5,87367865�"10 -7 [m].
Obliczenie "s.
Ponieważ długość fali została obliczona z wartości średnich ą0 i ą1 , więc błąd systematyczny także
obliczymy dla tych wartości kątów.
" "
"s = �" "ą0s + �" "ą1s = d cosą0 -ą1 �" "ą0s + - d cosą0 -ą1 �" "ą1s =
"ą0 "ą1
= 4,5 �"10-6 �" cos(7,5o ) �" 2 �" 0,000581776 = 5,191193�"10-9 [m] .
Obliczenie " .
p
2 2
�# ś# �# ś#
1 " "
2 2
S = Są ś# ź# ś# ź#
+ Są =
0 ś# ź# 1 ś# ź#
"ą0 "ą1
5
�# # �# #
1
2 2
(0,000183974)2 �" d cos2 (7,5o ) + (0,000183974)2 �" d cos2 (7,5o ) = 3,670730 -10 [m]
5
"p = S t(� = 0,682;k = 4) = 1,15 �" 3,670730 �"10-10 = 4,22134�"10-10 [m].
Obliczenie " .
Porównania wartości błędu przypadkowego i systematycznego należy dokonać dla wartości błędów
pojedynczego pomiaru. "S jest błędem pojedynczego pomiaru, a "p= S = "p �" 5 =9,4392�"10-10 [m].
Wartości "S i "p są porównywalne co do rzędu wielkości (|"S - "p| < 10), zatem obliczenie "
wymaga uwzględnienia wkładu obu rodzajów błędu.
Metoda szacunkowa.
" = "S + S t(� = 0,995;k = 4) = 5,191193�"10-9 + 16,88526�"10-10 = 6,879719�"10-9 [m]; � E" 1.
(W tej metodzie pomnożono błąd przypadkowy średniej przez współczynnik t-Studenta
t(�=0,995;k=4)=4,60)
Metoda przenoszenia wariancji.
2
"
2
s
" = " + = 5,19691�"10-9 [m]; � E" 0,682.
p
3
Podanie wyniku obliczeń zgodnie z zasadami poprawnego zapisu wielkości fizycznych.
 = (5,87 ą 0,07) 10 -7 [m] =587 ą 7 [nm] dla � E" 1. (metoda szacunkowa)
 = (5,874 ą 0,052) 10 -7 [m] = 587,4 ą 5,2 [nm] dla � E" 0,682. (metoda przenoszenia wariancji)
Oba wyniki są prawidłowe. Należy zwrócić uwagę na ich różną dokładność związaną z różnym poziomem
ufności przyjętym w obliczeniach.
Zasady opracowywania wyników pomiarów 25
Należy przy tym pamiętać, że błędy systematyczny i przypadkowy muszą być obliczone dla tej samej
wartości wielkości mierzonej (wartości średniej). Jeżeli np. błąd systematyczny wielkości mierzonej
pośrednio został obliczony dla wartości x1 i wyniósł "x1S a błąd przypadkowy obliczono dla wartości
średniej, x i jego wartość wynosi " x , to w celu obliczenia całkowitego błędu wartości średniej
p
możemy wykorzystać błąd względny:
"xs "x1s "x1s
Ponieważ = , zatem "xs = �" x . Obliczony w ten sposób błąd systematyczny wartości
x x1 x1
średniej możemy dodać do jej błędu przypadkowego jedną z dwóch opisanych metod.
8. Metoda najmniejszej sumy kwadratów
Poza spotykaną w praktyce inżynierskiej koniecznością wykonania pomiaru wielkości
fizycznej i oszacowania jej błędu, w praktyce laboratoryjnej bardzo często mamy do czynienia
z koniecznością sprawdzenia czy zmierzone wielkości (zazwyczaj dwie) zależą od siebie w sposób
opisany teoretycznie. Sprawdzenie modelowej (teoretycznej) zależności pociąga za sobą wyznaczenie
parametrów tej funkcji.
Teoretyczne zależności funkcyjne wiążące wielkości fizyczne są podane równaniami
najczęściej w postaci jawnej, uwikłanej lub parametrycznej. Model fizyczny podaje ponadto zakres
wartości, dla którego równanie takie nadaje się do stosowania. Zadaniem eksperymentatora jest
przeprowadzenie jak największej ilości pomiarów z zakresu stosowalności równania i dopasowanie
wyników pomiarów do tego równania. Współczesne programy komputerowe pozwalają na
dopasowanie najczęściej spotykanych zależności fizycznych. Żeby jednak zrozumieć zasady rządzące
takim dopasowaniem, w praktyce Laboratorium Fizyki I stosować będziemy równanie zależności
fizycznej jednej zmiennej, w postaci jawnej i sprowadzone do równania linii prostej.
Praktycznie każdą funkcję występującą w fizyce można sprowadzić do zależności liniowej
(zlinearyzować). Polega to na tym, aby znaną funkcję y = f(x) należy przekształcić w inną funkcję
Y = F(X), która będzie miała postać wielomianu 1 stopnia, czyli postać Y = A + BX.
Przykłady przekształceń do funkcji liniowej
y = 2d sin x �! X = 2sin x, Y = y, B = d ;
x
-
�# ś#
y 1
�
ś# ź#
y = y0e �! X = x, Y = lnś# ź#, B = - ;
y0 �
�# #
;
Współrzędne podane powyżej nie są jedynymi, możliwymi do przyjęcia dla funkcji y = f(x).
W rezultacie pomiarów otrzymujemy dwa zbiory wyników (x1, x2, x3, ... xn) oraz (y1, y2, y3, ... yn),
które następnie, przy wykorzystaniu podstawień, należy przekształcić na zbiory (X1, X2, X3, ... Xn) oraz
(Y1, Y2, Y3, ... Yn). Otrzymane liczby umieszczamy na wykresie ortokartezjańskim, którego zmienną
niezależną będzie X, a zmienną zależną będzie Y. Typowy wykres takiej zależności pokazano na
rysunku 10.
Zasady opracowywania wyników pomiarów 26
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
02468 10
X [jednostka]
Rys. 10. Wyniki pomiarów po przekształceniu do zależności liniowej zgodnie z przyjętym modelem.
Następnie należy przeprowadzić procedurę dopasowania tych wyników do linii prostej
metodą najmniejszej sumy kwadratów. Metoda ta polega na znalezieniu takiej prostej, która będzie
leżała  najbliżej punktów pomiarowych, a dokładnie takiej, dla której suma kwadratów odległości
punktów od tej prostej będzie najmniejsza. Procedurę tę można wykonać  ręcznie , korzystając
z podanych poniżej zależności.
Jeżeli Y = A + BX, to dla każdego punktu pomiarowego znajdujemy najpierw wartości funkcji
~ ~ ~
pomocniczych X , Yi oraz di :
i
n
n
n
~ 1 ~ ~ 1
1
, ,
di = Yi - BXi - , a następnie wyznaczamy średnie
Xi = Xi - Xi ~ -
Yi = Yi
"Yi
" "Yi
n n n
i=1 i=1 i=1
wartości współczynnika kierunkowego prostej B oraz A (rzędnej punktu przecięcia prostej z osią
OY):
n
~ ~
Yi
"Xi
n n
1 B
i=1
B = A= - .
"Yi "Xi
n
ni=1 n
~2
i=1
"Xi
i=1
Z kolei z zależności:
2
n n
�# ś#
~2
ś# ź#
"di "Xi
n
1 1 ~2 ś#i=1 ź#
i=1
sB = �" sA = sB +
ś# ź#
"Xi
n
n-2 n n
~2 ś# ź#
i=1
"Xi
ś# ź#
i=1 �# #
wyznaczamy średni błąd kwadratowy wartości średnich B oraz A . Oczywiście, mając do dyspozycji
komputer, posługujemy się obecnie dowolnym programem, co do którego mamy pewność, że wyniki
dopasowania będą tożsame z otrzymanymi powyższą metodą. Na rysunku 11 pokazano wyniki
liniowego dopasowania przy pomocy programu MicroCal Origin.
Y [jednostka]
Zasady opracowywania wyników pomiarów 27
Linear Regression for Data8_B:
2,6
Y = A + B * X
Parameter Value Error
2,4
------------------------------------------------------------
2,2
A 0,02716 0,02031
B 0,19725 0,00326
2,0
------------------------------------------------------------
1,8
R SD N P
------------------------------------------------------------
1,6
0,99891 0,02985 10 <0.0001
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
02468 10
X [jednostka]
Rys. 11. Dopasowanie wyników z rysunku 10 linią prostą (tzw. regresja liniowa) w programie Origin
Na wykresie otrzymujemy wartości parametrów szukanej prostej (value) oraz ich średnie błędy
kwadratowe (error) dla poziomu ufności � = 0.682 i bez uwzględnienia współczynnika rozkładu t-
Studenta.
Ponadto w tabeli wyników dopasowania funkcją liniową otrzymujemy wartości:
�! Współczynnik korelacji R. Im bardziej wartość tego współczynnika jest zbliżona do 1 (lub -1),
tym lepiej punkty pomiarowe  leżą na otrzymanej prostej; im bardziej natomiast wartość tego
współczynnika jest zbliżona do zera, tym mniejsze prawdopodobieństwo, że pomiędzy punktami
pomiarowymi zachodzi zależność liniowa.
�! Średni błąd kwadratowy SD interpolacji, czyli błąd rzędnej przy jej obliczaniu dla dowolnego
punktu o odciętej Xi przy wykorzystaniu wzoru otrzymanej prostej.
�! Liczba punktów pomiarowych N.
�! Prawdopodobieństwo P, że współczynnik korelacji R jest równy 0.
W praktyce laboratoryjnej wartości parametrów SD i P nie będą nam potrzebne.
Popularność współczesnych programów komputerowych nie zwalnia od krytycznej analizy
obrazów przedstawianych na ekranie przez taki program. Często spotykanym błędem jest utożsamianie
procedury dopasowania otrzymanych wyników do znanego modelu fizycznego z metodami
przewidywania przyszłości (liniami trendu), stosowanymi w prognozowaniu ekonomicznych efektów
działania firm (na przykład w programie Excel). Porównajmy zatem oba algorytmy:
Linie trendu służą do analizowania problemów związanych z prognozowaniem. Analizę tego
typu nazywa się również analizą regresji. Stosując analizę regresji można rozciągnąć linię trendu na
wykresie naprzód lub wstecz, poza bieżący zakres danych, aby przedstawić trend. Analiza regresji jest
metodą analizy statystycznej używaną do prognozowania, czyli przewidywania wartości funkcji",
której zmienną niezależną jest czas. Wynik zastosowania tej metody analizy także ma charakter
statystyczny, a wartości funkcji przewidywane dla czasu daleko odbiegającego w przyszłość są coraz
mniej prawdopodobne.
"
Ze zbioru  pomocy programu Microsoft Excel
Y [jednostka]
Zasady opracowywania wyników pomiarów 28
Analiza wyników pomiarów fizycznych, przeprowadzonych dla konkretnego modelu zjawiska
fizycznego, opiera się na założeniach ścisłych i przewidywalnych dla każdej wartości zmiennej
niezależnej z zakresu stosowalności tego modelu. Nie możemy zatem mówić tu o  liniach trendu ,
tylko o znanych od dawna metodach interpolacji i ekstrapolacji.
Metoda dopasowania wyników pomiarów do funkcji zlinearyzowanej jest metodą
najdokładniejszą, bowiem pozwala określić zarówno wartości błędów mierzonych wielkości, jak i
zakres stosowalności modelu. Metody dopasowania wyników do funkcji nieliniowych (np. typu
y = aebx + cedx ) nie zawsze prowadzą do jednoznacznych rezultatów. Jeżeli np. błędy przypadkowe są
duże a ilość pomiarów mała, to wynik takiego dopasowania silnie zależy od warunków początkowych
parametrów a, b, c i d, przyjętych przez eksperymentatora do zainicjowania procedury dopasowania.
Wtedy ekstrapolowanie wyników dla wartości zmiennej niezależnej x spoza zakresu wartości, dla
których wykonano pomiar, dokonuje się z małym prawdopodobieństwem.
A zatem:
1. Metoda dopasowania wyników pomiarów do funkcji zlinearyzowanej pozwala określić zarówno
wartości błędów mierzonych wielkości, odrzucić wyniki obarczone błędem grubym i wyznaczyć
zakres stosowalności modelu fizycznego.
2. Statystyczne metody ekstrapolacji pozwalają na przewidywanie wartości funkcji spoza zakresu
wartości, dla których wykonano pomiar, oraz określenie prawdopodobieństwa stosowalności
modelu zjawiska, który nie zawsze jest modelem fizycznym.
Ponadto, jednym z najczęściej spotykanych błędów jest dopasowywanie linią prostą
wyników, które według przyjętej teorii fizycznej wcale na linii prostej leżeć nie powinny.
9 Błędy systematyczne na wykresie i identyfikacja błędów nadmiarowych
Błędy systematyczne (wprowadzane przez przyrządy pomiarowe) zaznaczamy na wykresie
w postaci  prostokątów błędu , których długość boku poziomego jest równa podwojonej wartości
błędu systematycznego wartości zmiennej niezależnej X, a długość boku pionowego równa
podwojonej wartości błędu systematycznego wartości zmiennej zależnej Y. Jeżeli wartości tych
błędów są tak małe, że trudno je na wykresie zidentyfikować, należy zrezygnować z ich nanoszenia.
Na rysunku 12 pokazano zbiór punktów pomiarowych we współrzędnych zlinearyzowanego
równania wraz z prostokątami błędów wnoszonych przez przyrządy pomiarowe. Wartości tych
błędów są oczywiście przeliczone według nowych zmiennych równania. Punkty te zostały
dopasowane linią prostą (c), której parametry oraz ich błędy przypadkowe są podane w oknie
tekstowym. Współrzędne jednego punktu - oznaczonego strzałką - znacznie odbiegają od prostej c.
Można zatem przypuszczać, że punkt ten jest obarczony błędem nadmiarowym. Punkt taki
należy odrzucić i przeprowadzić dopasowanie po raz drugi. Kryteria, według których odrzucamy taki
punkt zależą głównie od doświadczenia eksperymentatora. Można jednak podać trzy proste sposoby
jego przybliżonej identyfikacji, przy założeniu, że ilość pomiarów nie jest mniejsza od 10":
1. Jeżeli linia dopasowania nie przecina prostokąta błędu systematycznego danego punktu, można ten
punkt odrzucić. Jednak analiza wyników umieszczonych na wykresie pokazuje, że prawie
wszystkie punkty (oprócz dwóch) spełniają to kryterium i w zasadzie powinniśmy odrzucić całą
serię pomiarową i zastanowić się nad wyborem innej metody pomiarowej. W przypadku, gdy
liczba punktów odrzuconych nie przekracza 10% liczby wszystkich punktów pomiarowych, można
to kryterium stosować.
"
Liczba odrzucanych punktów nie może przekroczyć 5% liczby wszystkich wyników. Na potrzeby Laboratorium
Fizyki I przyjęto, że ilość takich punktów nie może przekroczyć 10% liczby wszystkich wyników.
Zasady opracowywania wyników pomiarów 29
2. Jeżeli program komputerowy to umożliwia, należy wykreślić linie graniczne oczekiwanych
wartości wyników (prediction bands) dla poziomu ufności (confidence) �=0.682 (dla
przypomnienia - przedstawione w niniejszym opracowaniu zasady analizy wyników pomiarów
oparte są na rozkładzie Gaussa i prawie trzech sigm). Granice oczekiwanych wartości wyników
pokazane są na rysunku w postaci linii oznaczonych literą b. W przypadku, gdy kilka punktów ze
zbioru wyników wraz z prostokątami błędów systematycznych leży poza wyznaczonym przez te
linie obszarem, należy te punkty odrzucić i dopasowanie przeprowadzić od początku. Według praw
statystyki matematycznej stosowanej do opracowywania wyników pomiarów, dla podanej liczby
pomiarów (N = 10) współczynnik t-Studenta jest już bliski 1 i można go pominąć.
3. Jeżeli program komputerowy, którym dysponujemy, nie posiada możliwości opisanych powyżej,
możemy zastosować kryterium przybliżone, pokazane na rysunku w postaci linii oznaczonych
literą a. Obie te linie są wykresem równań: Y=A+"A+(B+"B)*X oraz Y=A-"A+(B-"B)*X, gdzie
"A i "B są błędami przypadkowymi wykazanymi przez dopasowanie punktów pomiarowych linią
prostą. Punkty, które razem z prostokątami błędów systematycznych leżą poza oznaczonym
liniami a obszarem, należy odrzucić (przy zachowaniu 10% ilości wyników odrzuconych).
Linear Regression for Data6_B: Y = A + B * X
3
Parameter Value Error
a
A 0,13546 0,31899
B 0,16072 0,05126
b
R SD N P
2
0,74251 23,44385 10 0,0139
c
b
1
a
0
02468 10
X [jednostka]
Rys. 12. Wyniki pomiarów dopasowane linią prostą c, której parametry pokazano w okienku
tekstowym, b - linie wartości oczekiwanych dla � = 0,682, a - linie równania prostej c dla wartości
parametrów powiększonymi o wartości błędów. Punkt oznaczony strzałką jest obarczony błędem
nadmiarowym.
Można powiedzieć, że linie a i b z rysunku 12 otaczają obszar, w którym z przybliżeniem
powinno mieścić się co najmniej 68,2% wszystkich wyników, czyli ok. 31,8% wyników  ma prawo
znalez
ć się poza tym obszarem. Jednak należy pamiętać, że wartości "A i "B, a także wartości
parametrów prostej, zostały obliczone dla całego zbioru wyników, wraz z tymi punktami
pomiarowymi, które będą odrzucone. Dlatego - przy zachowaniu 10-cio procentowego progu liczby
wyników odrzuconych - opisane kryterium może być stosowane, a wynik dopasowania nowego
zbioru, powstałego po odrzuceniu wyników obarczonych błędem nadmiarowym, do nowej linii
prostej, pokazano na rysunku 13.
Analiza nowego wykresu wykazuje, że pozostałe punkty pomiarowe  dobrze leżą na prostej,
a linie graniczne obszaru wartości oczekiwanych, obliczone obydwiema metodami, uległy znacznej
zmianie i zawęziły ten obszar.
Y [jednostka]
Zasady opracowywania wyników pomiarów 30
Należy pamiętać przy tym, że kryterium nr 2 i 3 dotyczy poziomu ufności � = 0,682. Oznacza
to, że długości boków prostokątów błędów systematycznych, wykreślone na wykresie służącym do
wykrywania wyników obarczonych błędem nadmiarowym, winny być podzielone przez 3 , tak jak
przy metodzie dodawania wariancji.
Procedury odrzucania wyników obarczonych błędami nadmiarowymi nie należy powtarzać.
Może się zdarzyć, że po dokonaniu dopasowania nową linią prostą, pewna liczba punktów
pomiarowych znów będzie leżeć poza obszarem oczekiwanych wartości wyników. Powtarzanie tej
procedury nie będzie dotyczyć jednak wykonanej na początku serii pomiarów, lecz serii
zmodyfikowanej, uszczuplonej o punkty odrzucone. Możemy jedynie powtórzyć pomiary tak, aby nie
popełnić błędu nadmiarowego pamiętając, że błąd taki, jako jedyny w klasie błędów pomiarowych
omawianych w ramach niniejszego opracowania, powstaje w wyniku błędu człowieka.
Linear Regression for Data7_B: Y = A + B * X
2,4
Parameter Value Error
A 0,03327 0,05138
2,1
B 0,20554 0,0086
1,8
R SD N P
0,99394 3,7518 9 <0.0001
1,5
1,2
0,9
0,6
0,3
0,0
02468 10
X [jednostka]
Rys. 13. Dopasowanie wyników z rys 12 (po odrzuceniu  podejrzanego punktu) nową linią prostą c,
wraz z liniami granicznymi wartości oczekiwanych b oraz liniami metody przybliżonej a.
Y [jednostka]