PODSTAWY MECHANIKI
PODSTAWY MECHANIKI
KWANTOWEJ
KWANTOWEJ
Postulaty mechaniki kwantowej
Obserwacje wielkości fizycznych opisujących stan układu są
Øð
reprezentowane przez operatory hermitowskie. Każdej wielkości fizycznej
przyporzÄ…dkowany jest odpowiedni operator.
Funkcje zespolone, na które działają te operatory, reprezentują stany układu.
Øð
Nazywamy je funkcjami falowymi lub funkcjami stanu. Funkcja falowa w
sposób jednoznaczny i pełny określa stan układu. Funkcja falowa powinna
być różniczkowalna (jest wówczas też ciągła) i  całkowalna z kwadratem ,
tzn. całka z kwadratu modułu funkcji musi mieć wartość skończoną.
b
2
È d3x = P
+"
a
Najczęściej używamy funkcji falowej w takiej postaci, że P=1. Mówimy, że jest ona
znormalizowana. Interpretacja fizyczna znormalizowanej funkcji falowej jest taka,
rð
r
że |È( )|2dxdydz oznacza prawdopodobieÅ„stwo znalezienia czÄ…stki w obszarze o
rð
objętości dxdydz wokół punktu .
r
Związki między operatorami są takie same, jak relacje między wielkościami
Øð
fizycznymi w fizyce klasycznej (zasada korespondencji).
Wielkość Oznaczenie w mechanice Postać operatora
obserwowana klasycznej w tzw. reprezentacji położeniowej
Ć
Współrzędna x, y, z, lub x1, x2, x3 x, w
, Ä™
przestrzenna
Składowe pędu
" rð
dxi
Ć
Ć
px, py, pz, pi = - ihð , p = [px , py , pz ]
pi = m
" xi
dt
2 2 2
Energia
Ć
p2 hð2 " " "
p2
Ęk = = - ( + + )
Ek =
kinetyczna
2
2m 2m " x " y2 " z2
2m
2 2 2
hð2 " " "
Ęk = - " , " = + + - laplasjan
2m " x2 " y2 " z2
Energia V(x, y, z) Ć
Ć
V(x, w
,Ä™)
potencjalna
Energia
p2 hð2
Ć Ć
Ć
E = Ek + V = + V(x, y, z) $
= Ęk + V = - " + V(x, w
, Ä™, t)
całkowita
2m 2m
rð
rð
rð
Wektor pędu
p Ć
p = -ihð"
rð
rð rð
rð rð
Wektor momentu rð rð rð
Ć
M = r × p Ć Ć
M = r × p = - ihðĆ × "
r
pędu
 Jedynymi możliwymi rezultatami dokładnego (ostrego) pomiaru wielkości
Øð
fizycznej są wartości własne operatora, który tej wielkości odpowiada.
Prawdopodobieństwo otrzymania wartości własnej an jest równe
Jeśli pomiar ma charakter makroskopowy, w efekcie pomiaru otrzymujemy
wartość średnią (wartość oczekiwaną) operatora, zdefiniowaną jako:
rð rð
3
)
+"È*(rrðÂÈ(r)d x
 = È ÂÈ =
rð
3
È
+"È*(r)ÈÈr)d x
a w przypadku funkcji unormowanej:
rð rð
3
 = È  È = È ÂÈ =
+"È*(r)ÂÈ(r)d x
È
Zauważmy, że jeśli funkcja falowa jest funkcją własną operatora, to:
 un = an un , È = un
 = un  un = un an un = an un un = an
un
W przypadku dowolnej funkcji falowej:
 = cmum  cnun = c*m cn um anun = c*m cnan um un =
" " " " " "
È
m n m n m n
2
c*m cnan´mn = c*n cnan = cn an
" " " "
m n n n
jeśli funkcja falowa jest unormowana, to
È È = 1, È È = cmum cnun =
" "
m n
2
c*m cn um un = c*m cn´mn = c*n cn = cn = 1
" " " " " "
m n m n n n
2
Zatem współczynniki , które stanowią wagę w wyrażeniu na wartość średnią, mają sens
cn
prawdopodobieństwa otrzymania przy pomiarze wyniku równego wartości własnej an..
 Funkcja falowa ukÅ‚adu speÅ‚nia tzw. równanie Schrödingera (zależne od czasu):
Øð
" È({qi}, t)
ihð = $
({qi},{pi}t)È({qi}, t)
" t
" È " È
Ć
ihð = $
, ihð = Ęk + V
" t " t
Można pokazać, że gdy V nie zależy jawnie od czasu, to funkcja falowa zależy
następująco od czasu:
E
È({qi}, t) = e-iÉtÕ ({qi}), É =
t
i równanie Schrödingera (zależne od czasu) można sprowadzić do równania Schrödingera
niezależnego od czasu, które jest po prostu równaniem własnym operatora energii (mówimy
również o energetycznym stanie stacjonarnym:
hð2
Ć
Ć
$
Õ = EÕ , - "Õ + V(x, w
,Ä™, t)Õ = EÕ
2m
Przykład 1. Cząstka swobodna.
2 2 2
hð2 " Õ " Õ " Õ
V = 0, ( + + ) = EÕ
2m " x2 " y2 " z2
2 2 2
" Õ " Õ " Õ 2mE 2mE
+ + = Õ , = k2
" x2 " y2 " z2 hð2 hð2
2 2 2
rðrð
rð
" Õ " Õ " Õ hð2k2
+ + = k2Õ , Õ (r) = Õ eikr , E =
0
" x2 " y2 " z2 2m
Zauważmy, że funkcja ta jest jednocześnie funkcją własną wektora pędu odpowiadającą
rð
rð
wartości własnej . Pełna funkcja falowa ma postać:
p = khð
rð
rð rð rð
rð
È(r, t) = Õ ei(k r -É t) = Õ ei(p r-E t)/hð
0 0
1.5 1.5
1
1
0.5 0.5
0 0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 10 20 30 40 50
-0.5 -0.5
-1 -1
-1.5 -1.5
t, w=12.6 1/s x, k=3.14 1/m
Przykład 2. Cząstka w jednowymiarowej, nieskończonej studni potencjału.
3Ä„x
Õ = 2/a sin
3
a
2Ä„x
Õ = 2/a sin
2
a
Ä„x
Õ = 2/a sin
1
a
0 a
x
V(x) = 0, dla 0 < x < a
V(x) " dla x d" 0 lub x e" a
2
hð2 " Õ
Dla 0 < x < a : - = EÕ ,
2m " x2
2
hð2 " Õ
- + VÕ = EÕ , Õ = 0 dla x = 0 lub x = a
2m " x2
nÄ„ hð2k2 hð2 nÄ„
Õ (x) = Csinkx, k = , En = = ( )2, n = 1,2,3..., C = 2/a
n
a 2m 2m a