EWR 2006/2007 dynamika relatywistyczna /

1

DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

Prawa przyrody mają jednakową postać we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia.

Masa relatywistyczna

prawo zachowania pędu
może być spełnione gdy

m =

γ

m

0

2

2

0

1

c

v

m

m

−

=

Pęd relatywistyczny

2

2

0

1

c

v

v

m

v

m

p

−

=

=

v

m

p

0

γ

=

Drugie prawo dynamiki Newtona

dt

p

d

F

=

→

( )

v

m

dt

d

F

=

EWR 2006/2007 dynamika relatywistyczna /

2

ENERGIA KINETYCZNA (*)

(

)

k

d

d E

F d s

m v d s

d t

=

=

.

(

)

(

)

k

d m v

dE

vdt

vd m v

dt

=

=

2

k

dE

v dm

m vdv

=

+

(

)

(

)

0

2

2

2

2

2

2

2

2

1

/

1

/

1

/

K

K

m

d m

d

d m

dv

d v

d v

d v

v

c

m v

d m

dv

c

v

c

m v

d E

d v

v

c

d E

c d m





=

=









−





=

−

=

−

=

∫

=

m

m

K

dm

c

E

0

2

2

0

2

c

m

mc

E

K

−

=

EWR 2006/2007 dynamika relatywistyczna /

3

ENERGIA RELATYWISTYCZNA

•

energia całkowita

2

mc

E

=

•

energia spoczynkowa

2

0

0

c

m

E

=

•

energia kinetyczna

2

2

0

K

E

mc

m c

=

−

E = m

c

2

równoważność energii i masy

EWR 2006/2007 dynamika relatywistyczna /

4

ZWIĄZEK MIĘDZY ENERGIĄ i PĘDEM

2

mc

E

=

2

2

2

2

2

2

2

0

2

2

4

2

0

2

1

)

(

1

c

v

v

v

c

c

m

c

v

c

m

E

−

−

+

=

−

=

2

2

2

2

0

2

2

2

2

2

2

0

2

2

1

)

1

(

)

1

(

c

v

v

m

c

v

c

v

c

m

c

E

−

+

−

−

=

2

2

2

2

0

2

2

v

m

c

m

c

E

+

=

2

2

4

2

0

2

c

p

c

m

E

+

=

EWR 2006/2007 dynamika relatywistyczna /

5

ZASADA KORESPONDENCJI

(1+x)

1/2

≈

1 + ½ x

Energia kinetyczna

E

K

= mc

2

– m

0

c

2

2

2

1

mv

E

K

≈

2

2

4

2

0

1

c

v

c

m

E

+

=

2

2

2

0

4

2

0

2

c

v

m

c

m

E

+

=

)

1

(

2

2

4

2

0

2

c

v

c

m

E

+

=

c

v

Dla

<<

)

2

1

1

(

2

2

2

0

c

v

c

m

E

+

≈

2

0

2

0

2

1

v

m

c

m

E

≈

−

EWR 2006/2007 dynamika relatywistyczna /

6

WŁASNOŚCI FOTONU

•

energia fotonu h = 6,63 10

-34

Js

stała Plancka

E

f

= hf

f - częstość

•

masa fotonu

2

f

f

E

m c

=

2

f

hf

m

c

=

•

prędkość fotonu

v = c

•

pęd fotonu

f

f

p

m c

=

f

hf

p

c

=

podstawiając E

f

i p

f

do

E

2

= m

0

2

c

4

+ p

2

c

2

otrzymuje się, że

•

masa spoczynkowa

m

0

= 0

EWR 2006/2007 dynamika relatywistyczna /

7

WŁASNOŚCI FOTONU 2

2

2

0

2

2

1

f

f

m

E

m c

c

u

c

=

=

−

Jeżeli

m

0

= 0

to

E

f

≠

0

tylko dla

u = c

1.

cząstka o masie zerowej porusza się zawsze
z prędkością światła

2.

każda cząstka poruszająca się z prędkością
ś

wiatła ma zerową masę spoczynkową

Energia fotonu w układzie poruszającego się źródła

(*)

(

)

f

f

f

up

E

E

−

=

γ

'

p

E

c

f

f

=













−

=













−

=

c

u

E

c

E

u

E

E

f

f

f

f

1

'

γ

γ

oraz

'

'

f

f

E

hf

E

hf

=

=

stąd:

0

2

2

/

1

/

1

'

f

f

c

u

c

u

f

f

=

−

−

=

'

EWR 2006/2007 dynamika relatywistyczna /

8

OPTYCZNY EFEKT DOPPLERA

v

ϕ

cos

1

/

1

'

2

2

0

c

v

c

v

f

f

+

−

=

Ź O

1.

v

c

2

2

1

<<

a)











>













∈

0

cos

2

,

0

ϕ

π

ϕ

źródło się oddala

0

f

f

<

b)

ϕ

π π

ϕ

∈











<











2

0

,

cos

źródło się zbliża

0

f

f

>

c)

ϕ π

π

ϕ

=

=








2

3

2

0

,

, . ..

cos

nie ma zjawiska Dopplera

ϕ

ϕ

cos

1

1

'

0

c

v

f

f

+

=

'

cos

1

0

f

c

v

f

=













+

ϕ

ϕ

cos

'

0

c

v

f

f

f

=

−

EWR 2006/2007 dynamika relatywistyczna /

9

POPRZECZNE ZJAWISKO DOPPLERA

ϕ

cos

1

/

1

'

2

2

0

c

v

c

v

f

f

+

−

=

2.

v c

≈

1

dla

...

,

2

3

,

2

π

π

=

ϕ

2

2

0

1

'

c

v

f

f

−

=

częstość maleje

Efekt Dopplera znika dla

1

1

1

1

2

2

2

2

+

=

−

= −

−

−

















v

c

v

c

c

v

v

c

cos

cos

ϕ

ϕ

EWR 2006/2007 dynamika relatywistyczna /

10

ZJAWISKO DOPPLERA W ASTROFIZYCE

prawo Hubble’a

v

R

∼

Halliday, Resnick i

Walker

∆λ

=

λ − λ

0

=

0,9 nm

c

v

λ

λ

∆

=

v ≈ 5

x

10

5

m/s