Otóż rymowanka ta – w przeróbce mego autorstwa, przy-
znaję, może pod względem poetyckim nie najwyższej próby
– brzmiała:
„Na co będą potrzebne – student mnie raz pytał – te ma-
cierze, te całki com o nich wyczytał; że potrzebne, mój drogi,
musisz teraz wierzyć, dlaczego potrzebne – zrozumiesz – gdy
ś
wiat zaczniesz mierzyć”.
Podam zatem garść uwag na temat matematyki, tej którą
wykłada się na studiach ekonomicznych. Nie pretendują one
do uwag całościowych. Są one fragmentaryczne, bowiem
odnoszą się jedynie do zajęć z algebry liniowej.
POSTĘPOWAĆ ROZSĄDNIE
Wybór tego działu matematyki jest podyktowany tym, że
z algebry korzysta się w ekonometrii i w programowaniu
liniowym, i w statystyce, i w prognozowaniu oraz w ekono-
mii matematycznej. W każdym z tych przedmiotów mamy
do czynienia z macierzami, a na nich trzeba wykonać pewne
działania arytmetyczne. Wszędzie tam mamy również do
czynienia z wyznacznikami, z macierzą odwrotną jak rów-
nież z układami równań liniowych. A to oznacza, że raz
opanowawszy te właśnie elementy algebry jesteśmy wypo-
sażeni w narzędzia rachunkowe odgrywające istotną rolę w
wyjaśnianiu problemów charakterystycznych dla danej dys-
cypliny naukowej – to znaczy takiej, którą umieściliśmy na
wyżej podanej liście.
A teraz coś o sposobie uczenia się szeroko rozumianych
metod ilościowych, to znaczy matematyki, ekonometrii,
programowania liniowego, prognozowania oraz ekonomii
matematycznej. Słuchacz powinien wynosić z zajęć jak
najwięcej. Aby to osiągnąć, musi jednak postępować roz-
sądnie. Oznacza to, że zadania, przytoczone na takich wy-
kładach, musi rozwiązywać samodzielnie, zaś to co jest
uwidocznione przez wykładowcę na tablicy traktować jedy-
nie jako sprawdzian poprawności swoich własnych obliczeń.
Tego niestety duża część słuchaczy wykładów nie chce
respektować. Ot, po prostu przepisuje z tablicy, na ogół nie
myśląc o tym co robi.
Dowód z mojej własnej praktyki dydaktycznej (no, może
agitacja na rzecz dowodu). Prowadząc wykład, wykładowca
celowo się myli (pod względem arytmetycznym) i obserwu-
je, jaka jest reakcja. Reakcja jest na ogół żadna. Nikt bądź
prawie nikt nie zwraca uwagi na pomyłkę, tymczasem –
gdyby słuchacze stosowali wspomnianą poprzednio zasadę –
bez trudu zauważyliby ów błąd arytmetyczny.
Kolejna uwaga, dotycząca sposobów uczenia się. Należy
zajmować się metodami ilościowymi systematycznie. Nie
trzeba poświęcać im więcej niż 15 minut dziennie (sic!), ale
trzeba to robić np. przez cztery następujące po sobie dni w
tygodniu. To – z punktu widzenia efektywności opanowywa-
nia materiału przez uczącego się – znacznie, znacznie więcej
niż przeznaczenie na naukę jednorazowo 60 min. (4 x 15).
TAK, ALE DLACZEGO?
A teraz trochę zadań typowych i typowych na nie odpo-
wiedzi.
1. Czy prawdą jest, że
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
3
6
1
1
5
2
2
4
3
det
3
6
1
1
5
2
2
4
3
det
.
Odpowiedź brzmi: tak. Ale dlaczego?
Słuchacz powinien wiedzieć z wykładów, w których
uczestniczy, że stały czynnik można wynieść przed znak
wyznacznika. No to z każdej kolumny wynosimy przed znak
wyznacznika (–1), a ponieważ macierz ma trzy kolumny,
przed wyznacznikiem stoi iloczyn (–1) (–1) (–1), czyli wła-
ś
nie –1. Stąd wyżej podany wynik.
2. Czy wektory
=
=
=
3
2
1
0
5
2
0
0
3
3
2
1
a
a
a
tworzą bazę w R
3
?
Także w tym wypadku odpowiedź brzmi: tak. Ale dla-
czego jest ona pozytywna? Po prostu dlatego, że opisany
układ składa się z trzech wektorów trójwymiarowych i są
one liniowo niezależne.
Dlaczego – kolejne pytanie – układ ten ma tę własność?
Dlatego, że macierz utworzona ze współrzędnych wektorów
a
1
, a
2
, a
3
, czyli macierz
=
3
0
0
2
5
0
1
2
3
A
ma rząd równy 3.
Postawmy zatem następne pytanie: dlaczego ta macierz ma
rząd równy „3”? Otóż dlatego, że
3
)
3
,
3
min(
)
(
=
≤
A
R
zaś
0
det
≠
A
ALGEBRA PONAD WSZYSTKO
Michał Kolupa
Niedawno jeden z wykładów z matematyki, jakie prowadzę
w Wyższej Szkole Społeczno-Ekonomicznej w Warszawie rozpocząłem od przeróbki
rymowanki napisanej przez nie byle kogo, bo Adama Mickiewicza.
A dlaczego jest spełniony ten warunek? Ano dlatego, że
wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi ele-
mentów tej macierzy położonych na jej głównej przekątnej.
Iloczyn ten jest równy 3 · 5 · 3 = 45 ≠ 0. Ot i cała odpowiedź.
KROK PO KROKU
3. Wykorzystajmy zadanie 2 do rozwiązania następujące-
go zadania. Tak się z reguły w matematyce (i pochodnych
dziedzinach wiedzy) postępuje, gdyż dzięki temu krok po
kroku dochodzi się do kolejnego szczebla wiedzy. A więc,
skoro wektory a
1
, a
2
, a
3
, rozpatrywane w zadaniu 2, tworzą
bazę, to dowolny wektor, np.
=
0
2
5
b
z tej przestrzeni wyra-
ż
a się jako kombinacja liniowa wektorów a
1
, a
2
, a
3.
A zatem
b
a
x
a
x
a
x
=
+
+
3
3
2
2
1
1
(1)
Znajdziemy x
1
, x
2
, x
3
, czyli rozwiążemy układ równań:
0
3
2
2
5
5
2
3
3
3
2
3
2
1
=
=
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
Mamy przeto:
0
3
=
x
5
2
2
=
x
5
7
1
=
x
czyli zgodnie z (1) mamy:
b
a
a
a
=
+
+
3
2
1
0
5
2
5
7
(2)
Z bazy a
1
, a
2
, a
3
usuniemy wektor a
3
a na jego miejsce
wprowadzamy wektor b. Czy układ a
1
, a
2
, b tworzy bazę?
Tym razem odpowiadamy: nie. A odpowiedź jest nega-
tywna, bo rząd macierzy utworzonej ze składowych wekto-
rów a
1
, a
2
, b jest mniejszy od trzech. Istotnie:
=
0
0
0
2
5
0
5
2
3
B
zaś
0
det
=
B
. Jest tak, bo ostatni wiersz składa się z samych
zer, zaś wyznacznik takiej macierzy jest równy zero. Układ
(a
1
, a
2
, b) nie tworzy bazy.
A jeżeli z bazy (a
1
, a
2
, a
3
) usuniemy wektor a
1
to czy układ
(b, a
2
, a
3
) tworzy bazę? Odpowiadamy: tak. Uzasadnienie:
macierz
=
3
0
0
2
5
2
1
2
5
C
ma rząd równy trzy, zaś
0
12
75
3
2
2
5
2
0
1
5
0
1
2
0
0
2
2
3
5
5
det
≠
−
=
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
C
Popatrzcie raz jeszcze na zależność (2) i na uzyskane re-
zultaty. Układ (a
1
, a
2
, b) nie tworzy bazy, zaś układ (b, a
2
,
a
3
) tworzy bazę. Wyciągnijcie wnioski samodzielnie, albo
zajrzyjcie do notatek z wykładu.
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
A teraz coś o układach równań liniowych. To wcale nie
jest trudniejsze od przykładów poprzednich. Zatem:
4. Dla jakich wartości parametru a przestawiony poniżej
układ równań jest sprzeczny?
a
x
x
x
x
a
x
x
2
5
2
2
5
2
3
2
1
2
1
2
1
=
+
=
+
=
+
Jest on sprzeczny wówczas – co powinno być wiadome z
wykładu – jeżeli rząd macierzy podstawowej A jest różny od
rzędu macierzy rozszerzonej B, gdzie
=
5
2
5
1
2
3
A
=
=
a
a
b
A
B
2
5
2
2
5
1
2
3
]
/
[
ale
,
2
3
:
×
A
przeto
2
)
2
,
3
min(
)
(
=
≤
A
R
i jest równy 2 bo np.
0
13
5
1
2
3
det
≠
=
zaś
3
3
:
×
B
, przeto
3
)
2
,
3
min(
)
(
=
≤
B
R
i może być równy trzy, [aby była spełniona zależność
)
3
2
(
)
(
)
(
≠
≠
B
R
A
R
].
Obliczamy:
22
21
4
30
10
5
8
3
2
1
2
3
2
5
5
2
0
1
5
2
2
2
20
5
3
det
−
=
−
−
−
+
+
=
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
a
a
a
a
a
a
a
B
i aby
0
det
≠
B
(wówczas rząd macierzy B jest równy trzy)
musi być
0
22
21
≠
−
a
albo
21
22
≠
a
i to jest odpowiedź na
postawione pytanie.
5. A teraz nieco zmieńmy pytanie: dla jakich wartości pa-
rametru a układ rozpatrywany w zadaniu 4 ma jedno rozwią-
zanie? Odpowiadamy – wówczas, kiedy
2
)
(
)
(
=
=
B
R
A
R
(bo tyle jest niewiadomych w rozpatrywanym układzie),
2
)
(
=
A
R
co poprzednio stwierdziliśmy zaś
2
)
(
=
B
R
wówczas
kiedy
0
det
=
B
czyli
wówczas,
kiedy
0
22
21
=
−
a
prowadzi do wyniku
21
22
=
a
czyli dla takiej
wartości układ ma jedno rozwiązanie.
Zauważmy, że
2
)
(
=
B
R
, bo wystarczy wskazać ten sam
minor
5
1
2
3
który rozpatrywaliśmy, badając rząd macie-
rzy A. Jeszcze raz popatrzcie na budowę macierzy B (ma-
cierz A uzupełniona kolumną wyrazów wolnych).
GDY CZAS NAGLI
6. A teraz coś innego: wyznaczyć macierz odwrotną do
macierzy
=
9
11
4
5
A
Skorzystamy w tym przypadku z algorytmu podanego na
wykładzie, bo będzie szybciej, a na przykład na egzaminie –
bo może to być przecież zadanie egzaminacyjne – czas na-
gli! Postępujemy tak. Obliczamy wyznacznik, co czynimy z
tego powodu, że macierz odwrotna istnieje tylko do macie-
rzy nieosobliwej. Liczmy
1
4
11
9
5
det
=
⋅
−
⋅
=
A
. Gdyby
0
det
=
A
to nic nie należałoby liczyć, tylko powiedzieć, że
do takiej macierzy nie istnieje macierz odwrotna, ale
0
1
det
≠
=
A
przeto istnieje macierz
1
−
A
.
Wyznaczamy ją w sposób następujący. Przesuwamy ele-
menty położone na głównej przekątnej, co oznacza, że w
macierzy A
–1
na miejsce 5 która stoi na węźle (1, 1) w ma-
cierzy A postawimy 9. Na węźle (2, 2) w macierzy A stoi 9 i
dlatego na tym węźle w macierzy A
–1
postawimy 5.
Elementy 4 i 11, stojące na antygłównej przekątnej w ma-
cierzy A, piszemy na tych samych węzłach w macierzy A
–1
i
poprzedzamy je znakiem minus.
Wobec tego:
−
−
=
−
5
11
4
9
1
A
Teraz coś jeszcze innego. Liczyć czy nie liczyć – to hasło
do przykładu 7.
Jeżeli:
=
5
1
2
3
A
=
0
1
2
6
B
to jak wyznaczyć
A
AB
B
D
1
)
(
−
=
?
Zaczniemy od prezentacji tego, jak nie należy postępo-
wać. Po pierwsze obliczalibyśmy iloczyn AB, a zatem
=
=
2
11
6
20
0
1
2
6
5
1
2
3
AB
zaś następnie (patrz przykład 6) wyznaczalibyśmy
1
)
(
−
AB
:
26
66
40
)
det(
1
−
=
−
=
−
AB
.
−
−
=
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
26
20
26
11
26
6
26
2
20
11
6
2
26
1
20
11
6
2
66
40
1
)
(
1
AB
następnie
−
−
=
−
−
−
=
−
−
=
−
13
3
13
1
13
2
13
5
26
6
26
2
26
4
26
10
26
20
26
11
26
6
26
2
0
1
2
6
)
(
1
AB
B
i na koniec
=
−
−
=
−
1
0
0
1
5
1
2
3
13
3
13
1
13
2
13
5
)
(
1
A
AB
B
Takie postępowanie jest jednak w tym przypadku niece-
lowe, gdyż jest czasochłonne, a czas na egzaminie jest bez-
cenny. Można tę procedurę pominąć, jeśli skorzystamy z
tego, co powinniśmy wiedzieć już wcześniej. Pokażę, jak
postępować, aby nie liczyć tego wszystkiego, co przedsta-
wiłem wyżej. Wiemy – a w każdym razie powinniśmy wie-
dzieć – że
1
1
1
)
(
−
−
−
=
A
B
AB
przeto
A
A
BB
A
AB
B
D
1
1
1
)
(
−
−
−
=
=
ale
I
BB
=
−
1
oraz
I
A
A
=
−
1
ostatecznie
I
D
=
.
I oto wynik, do jakiego doszliśmy skomplikowaną drogą,
mamy bez liczenia, „na talerzu” (I jest macierzą stopnia
drugiego, bo takiego stopnia jest macierz D). Ale oczywiście
postępowanie według bardziej skomplikowanej procedury
nie jest zabronione, wybór należy do zdającego.
NIE KOMPLIKOWAĆ BEZ POTRZEBY
8. No teraz jeszcze jedno, sytuacja nieco zbliżona. Dany
jest układ równań
5
2
6
2
4
5
4
3
2
4
3
1
=
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
zaś
=
=
=
=
2
4
6
5
1
0
0
1
4
3
2
1
a
a
a
a
czyli
5
2
6
2
4
5
4
3
2
4
3
1
=
+
+
=
+
+
a
a
a
a
a
a
Rozwiązanie bazowe względem bazy zbudowanej z
wektorów a
1
i a
2
ma postać
0
0
5
2
4
3
2
1
=
=
=
=
x
x
x
x
Zadanie polega na tym, by znaleźć nowe rozwiązanie ba-
zowe względem bazy utworzonej z wektorów (a
1
a
4
). Z bazy
(a
1
a
2
) wyrzuciliśmy wektor a
2
i na jego miejsce wprowa-
dziliśmy wektor a
4
. Oznacza to, że wprowadzony wektor
powinien mieć w bazie (a
1
a
4
) rozkład taki jak wektor, który
z bazy został usunięty. Innymi słowy wektor
=
2
4
4
a
ma
przejść w wektor
1
0
, stąd zamiast 2 ma być jedynka, zaś
zamiast 4 zero.
Jest to zapowiedź wykonywanych przekształceń. Obli-
czenia prowadzimy w tablicy.
b
a
1
a
2
a
3
a
4
Rozwiązanie i komentarz
T
ab
li
ca
1
2
5
1
0
0
1
5
6
4
2
0
0
5
2
4
3
2
1
=
=
=
=
x
x
x
x
Do bazy a
4
z bazy a
2
T
ab
li
ca
2
-8
2
5
1
0
-2
2
1
-7
3
0
1
Zamiast 2 ma być jedynka. Dzieli-
my drugi wiersz przez 2 i zapisu-
jemy w drugim wierszu tablicy 2.
Aby było zero (tablica 2) na miej-
scu 4 (tablica 1) należy drugi
wiersz tablicy 2 pomnożyć przez
–4 i dodać do pierwszego wiersza
tablicy 1.
Nowe rozwiązanie względem bazy
(a
1
a
4
) ma postać
2
5
0
0
8
4
3
2
1
=
=
=
−
=
x
x
x
x
9. I jeszcze o własnościach wyznacznika. Obliczyć
+
+
2
2
2
2
det
b
c
b
b
a
c
b
a
Nie należy sądzić, iż skoro jest to wyznacznik macierzy
stopnia trzeciego to należy stosować schemat Sarrusa.
Znacznie łatwiej jest skorzystać z własności wyznacznika.
Najpierw pomnożymy pierwszy wiersz przez (–1) i dodamy
do drugiego wiersza. Wówczas
0
2
2
2
det
2
2
2
2
det
=
=
+
+
b
b
b
c
b
a
b
c
b
b
a
c
b
a
To już wszystko, bo drugi i trzeci wiersz są proporcjonal-
ne, a wyznacznik takiej macierzy jest równy zero.
UWIERZYĆ W SIEBIE
10. Kolejne zadanie i ćwiczenie, na zakończenie tych pa-
ru uwag mającego już trochę życiowego doświadczenia
pedagoga, któremu przypadło zajmować się tak (podobno)
„trudnymi”, ale – proszę mi wierzyć – pasjonującymi dzie-
dzinami wiedzy, jak matematyka, ekonometria i statystyka.
Oto ono: wiedząc, że
10
det
=
z
y
x
v
q
p
c
b
a
(*)
obliczyć
+
+
+
−
−
−
v
q
p
v
b
q
a
p
z
y
x
2
2
2
2
3
3
3
det
Postępujemy następująco: z pierwszego wiersza wyłą-
czymy (–1), zaś z trzeciego 2. Wówczas
+
+
+
−
=
=
+
+
+
−
−
−
v
q
p
z
v
b
q
a
p
z
y
x
v
q
p
v
b
q
a
p
z
y
x
3
3
3
det
)
1
(
2
2
2
2
2
3
3
3
det
Pomnożymy trzeci wiersz przez –3 i dodamy do drugiego
wiersza.
Wówczas
−
=
+
+
+
−
v
q
p
c
b
a
z
y
x
v
q
p
c
v
b
q
a
p
z
y
x
det
2
3
3
3
det
2
Z kolei należy zamienić wiersz drugi z pierwszym (doko-
naliśmy nieparzystej liczby przestawień wierszy). Wówczas
=
−
v
q
p
z
y
x
c
b
a
v
q
p
c
b
a
z
y
x
det
2
det
2
I na koniec zamieniamy wiersz drugi z trzecim (dokonali-
ś
my nieparzystej liczby przestawień wierszy), czyli na pod-
stawie informacji (*):
20
det
2
det
2
−
=
−
=
z
y
x
v
q
p
c
b
a
v
q
p
z
y
x
c
b
a
Łatwe, ale tylko dla tych, którzy chcą się czegoś nauczyć
i którzy nie odczuwają niechęci do matematyki. Ci, którzy
dotknięci są taką niechęcią, muszą się koniecznie pozbyć jej.
Nie można nauczyć się czegokolwiek, jeżeli towarzyszy
temu niechęć do przedmiotu.
A na koniec jeszcze jedna rada. Trzeba wierzyć, że ma-
tematykę można opanować w takim stopniu i zakresie, jaki
jest potrzebny do zdania egzaminu.
Zrozumieć, a nie uczyć się na pamięć, to ostatnie zalece-
nie przed egzaminem, którego na przykład na kierunku stu-
diów: ekonomia, finanse czy zarządzanie nikomu uniknąć
się nie da, bo to fundament dla wielu innych wykładanych
na tych kierunkach przedmiotów. Także zresztą na wielu
pozostałych kierunkach studiów wyższych. Od siebie zaś
dodam, że to naprawdę wiedza sympatyczna i odwzajem-
niająca „dobre uczucia”, jeśli takie wobec niej się żywi.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Pokój ponad wszystko
Ernest Gellner RELATYWIZM PONAD WSZYSTKO
300 Roberts Alison Miłość ponad wszystko
Ekumenizm ponad wszystko
Jayci Lee Pragnę cię ponad wszystko
Miłość ponad wszystko
Jednoślady ponad wszystko
BÓG PONAD Wszystko
16 Miłosierdzie Boże ponad wszystkie dzieła
Wybrała Boga ponad wszystko
Internet ponad wszystko
Rafal Ziemkiewicz Felietony Pokój ponad wszystko
Elementy algebry liniowej Kolupa
teksty z akordami (ponad 300), A WSZYSTKO TO BO CIEBIE KOCHAM
Elementy algebry liniowej Kolupa
ETS2 Kierowca ponad normę wykonaj dostawy po wszystkich zaprojektowanych trasach dla ładunków ponad
więcej podobnych podstron