1

DYNAMIKA

– PD1

Ćwiczenie nr 8 – Doświadczalne rozwiązanie zagadnienia dynamiki PM

Na montażowej taśmie produkcyjnej spoczywa urządzenie o masie m[kg], które okresowo jest

przesuwane przez serwomechanizm z siłą P[N] – zmienną w czasie cyklu. Należy określić dynamikę tego
procesu

oraz nakłady energetyczne potrzebne do wykonania tej operacji produkcyjnej.

ł

ł

Rys. 7.1 Schemat pracy serwomechanizmu

1. Przygotowanie eksperymentu

Aby rozwiązać to zadanie musimy uciec się do eksperymentu, polegającego na pomiarze przebiegu siły

czynnej P=f(t) za pomocą układu pomiarowego jak na rys. 7.2.

Czujnik siły

P.[N]=f(t)

Wzmacniacz sygnału

Q[C]=f(t)

Rejestrator

U[V]

U[V]=f(t)

Analiza

wyników

pomiaru

x(t)

v(t)

p(t)

R(t)

L(t)

N(t)

S(t)

Rys. 7.2.

Schemat układu pomiarowego do wyznaczenia przebiegów czasowych siły czynnej generowanej przez

serwomechanizm wykonawczy

2. Opracowanie wyników pomiarów

Wynikiem pomiaru jest przebieg wartości siły P[N] w funkcji czasu przedstawiony na rys 7.3. Wykres ten

stanowi podstawę do uzyskania szeregu charakterystyk określających dynamikę badanego procesu
technologicznego.

P.[N]= f(t)

P.(N)

0

t[s]

t

k

Rys. 7.3.

Pomierzona wartość siły czynnej podczas jednego cyklu pracy serwomechanizmu wykonawczego

Jak wy

korzystać rezultat eksperymentu do rozwiązania postawionego na wstępie zadania?

2

 

 

1[s]

jest;

miarą

którego

czas,

ch

rozważania

tych

w

jest

)

niezależną

(zmienną

funkcji

Argumentem

)

(

]

[

)

(

:

gdzie

.

)

(

)

(

;

ie

analogiczn

otrzymamy

tu

eksperymen

czasie

w

zmiennych

wielkości

dla

to

.

]

/

[

]

[

]

[

:

dynamiki

zasadą

z

zgodnie

Ponieważ

















masy

zanej

przemieszc

enia

przyspiesz

wartość

chwilowa

t

p

urządzenia

go

przesuwane

całkowita

masa

kg

m

czynnej

siły

przebieg

pomierzony

t

P

2

7

t

p

m

t

P

1

7

s

m

p

kg

m

N

P

2

2.1. Przebieg przyspieszenia w funkcji czasu





varius

:

gdy

ogólnego,

przypadku

rozważanie

ą

umożliwiaj

numeryczne

analizy

dalej

prowadzone

chociaż

pracy

yklu

podczas

urządzenia

masy

stałość

Założymy

.

]

[

]

)[

(

)

(

:

czyli

7.2,

funkcji

postaci

w

zapisaną

ch

dynamiczny

styk

charaktery

czasową

zmienność

jąc

uwzględnia

7.1

równania

z

wyznaczymy

enie

Przyspiesz







m

również

c

a

2

7

kg

m

N

t

P

t

p

Mamy

więc do rozwiązania tzw. – g zadanie proste dynamiki: polegające na szukaniu pozostałych równań dynamicznych

na podstawie wyznaczonego eksperymentalnie (pomierzonego) przebiegu

siły czynnej.

Wykres p(t) [m/s

2

]

stanowiący drugie z czterech szukanych równań dynamicznych, otrzymamy z zależności 7.2a dokonując

przeskalowania

osi odciętych.

2.3. Przebieg pr

ędkości w funkcji czasu

 

 

 

 

 

n

i

1

;

całkowania

kroku

tym

i

na

prędkości

przyrost

]

/

[

.n

1,2,3.....

i

czym;

przy

całkowania

kroku

tego

i

upływie

po

PM

prędkości

wartość

bieżąca

]

/

[

:

gdzie

v

wzoru

wg.

ch,

przedziała

nych

poszczegól

w

prędkośc

przyrosty

kolejne

sumując

znajdziemy

m

dynamiczny

równaniem

szukanym

trzecim

będącą

PM

prędkości

zmiany

funkcję

Szukaną

.

]

[

urządzenia

pracy

cykl

cały

śmy

podzielili

jakie

na

wielkości

o

w

przedziałó

ilość

n

:

gdzie

.

)

(

v(t)

:

zależność

dostaniemy

h

skończonyc

przyrostów

do

c

Przechodzą

.

)

(

v(t)

:

równania

ego

następujac

postaci

w

go,

materialne

punktu

do

ej

sprowadzon

masy,

się

zającej

przemieszc

prędkości

zmianę

ą

poszukiwan

więc

Otrzymamy

o

pomiaroweg

cyklu

końca

czas

]

[

t

cyklu

początek

:

gdzie

.

)

(

:

otrzymamy

e

obustronni

równanie

całkując

to

.

)

(

otrzymamy

zmienne

ąc

rozdzielaj

czyli

)

(

:

Ponieważ

n

k

tk

0



























































s

m

v

s

m

v

v

7

7

t

s

t

n

[s]

t

6

7

t

t

p

5

7

dt

t

p

s

0

t

4

7

dv

dt

t

p

3

7

dv

dt

t

p

dt

dv

t

p

i

k

n

1

i

i

k

n

1

i

i

tk

0

0

tk

0

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

3

2.4. Przebieg drogi w funkcji czasu

Kolejny parametr dynamiczny- czyli przemieszczenie PM (

właściwie środka

masy urządzenia, gdzie umieszczono

PM)

– otrzymamy z

następującej

zależności:

 

 





urządzenia

badanego

pracy

cykl

całkowity

czyli

t

śmy

podzielili

jakie

na

ch

przedziała

nych

poszczegól

w

drogi

przyrostów

n"

"

z

jednym

jest

natomiast

czym

przy

.

)

(

.

)

(

:

otrzymamy

stronami

całkując

oraz

)

(

zmienne;

ąc

Rozdzielaj

.

)

(

k

tk

0

































i

n

1

i

i

n

n

1

i

i

i

tk

0

x

x

x

10

7

t

t

v

x

9

7

dx

dt

t

v

dt

t

v

dx

8

7

dt

dx

t

v

Δ

Δ

Δ

Komentarz

Graficzne

szukanie całek sprowadza się do wyznaczenia „pola pod krzywą” obliczanego według następującej

zależności:





 





a

V

t

v

PM

dz

s

k

dz

s

m

k

t

p

dz

dz

F

V

gdzie

k

k

dz

dz

F

V

n

i

t

p

x

y

i

i

t

p

x

y

i

i

6

7

czasowych

ch

przedziała

n"

"

w

prędkości

przyrosty

kolejne

sumując

czyli

6

7

zależności

nieco

conej

przekształ

z

c

korzystają

obliczyć

można

prędkości

wartość

Bieżącą

rzędnych

osi

na

działki

jednej

wartość

(

:

czasu

osi

ik

współczynn

)

odciętych

osi

na

działki

jednej

wartość

enia

przyspiesz

osi

ik

współczynn

enia

przyspiesz

krzywą

pod

,

(kratkach)

ch

kwadratowy

działkach

w

pole

czasu

przedziale

tym

i

w

prędkości

przyrost

11

7

1

2

.

)

(

.

)

]

[

(

]

/

[

:

)

(

]

[

:

.

]

[





































Podobny sposób

wyznaczenia przemieszczenia PM, metod

ą graficzną przedstawiono poniżej:













a

X

t

x

PM

dz

s

k

dz

s

m

rędkości

k

t

p

i

narysowaną

dz

dz

F

X

gdzie

k

k

dz

dz

F

X

n

i

t

v

x

y

i

i

t

v

x

y

i

i

10

7

czasowych

ch

przedziała

n"

"

w

drogi

przyrosty

kolejne

sumując

czyli

10

7

zależności

nieco

conej

przekształ

z

c

korzystają

obliczyć

można

drogi

wartość

Bieżącą

rzędnych

osi

na

działki

jednej

wartość

(

:

czasu

osi

ik

współczynn

)

odciętych

osi

na

działki

jednej

wartość

p

osi

ik

współczynn

prędkośc

krzywą

pod

,

(kratkach)

ch

kwadratowy

działkach

w

pole

czasu

przedziale

tym

i

w

drogi

przyrost

11

7

1

.

)

(

.

)

]

[

(

]

/

[

:

)

(

]

[

:

.

]

[





































4

2.5.

Poszukiwanie pozostałych charakterystyk dynamicznych

Powyżej przedstawiono sposób na wyznaczenie metodą graficzną (przybliżoną) podstawowych

charakterystyk dynamicznych; przyspieszenia

, prędkości oraz drogi w zależności od czasu. Przejdziemy teraz do

wyznaczenia innych parametrów dynamiki określających pracę serwomechanizmu wykonawczego.

4. Chwilowa energia PM: T [J],
5. Zmiana pędu PM:



R [kg

·

m/s]=f

5

(t),

6.

Impuls siły zewnętrznej (popęd): S [N·s]=f

6

(t),

7. Praca siły zewnętrznej L [J]=f

7

(t),

8.

Moc chwilową siły zewnętrznej N [W]=f

8

(t).

2.6. Zmiana energii kinetycznej PM

Energia kinetyczna przemieszczanej masy wynosi:









masy.

taśmie

na

j

przesuwane

j

kinetyczne

energii

zmian

wykres

y

otrzymujem

v

0

czasowym;

kroku

danym

(na

wartości

bieżące

11

7

do

Wstawijąc

jak

j

traktowane

masy

prędkości

wartość

chwilowa

masy

nizm

serwomecha

przez

ej

prszesuwan

wartość

11

7

2

i

2

)

)

.

]

/

[

]

[

;

.

])

/

[

(

]

[

]

[

n

i

PM

s

m

v

kg

m

czym

przy

s

m

v

kg

m

J

T

i

i













2.7. Zmiana

ilości ruchu (pędu) PM

Pęd obliczymy z zależności 7.12





PM

prędkości

wartość

chwilowa

s

m

v

s

t

hwili

Ns

Q

12

7

s

m

v

kg

m

Q

i

i

i

i

i









]

/

[

]

[

c

w

PM

pędu

wartość

chwilowa

]

[

:

gdzie

.

]

/

[

]

[

2.8. Zmiana

impulsu czyli popęd siły czynnej działającej na PM

Przyrost

impulsu siły zewnętrznej w skończonym przedziale czasy zgodnie z definicją wynosi:













poprzednio

jak

samo

tak

określona

w

przedziałó

liczba

-

n

t

przedziale

danym

w

czynnej

siły

wartość

średnia

gdzie

17

7

czasowych

w

przedziałó

ilości

skończonej

dla

16

7

wzoru

ze

wyliczyć

można

wartość

bieżącą

jego

więc

tak

15

7

1

0





















]

[

:

.

)

]

[

(

)

(

:

lub

.

)

(

.

N

P

t

N

P

t

S

dt

t

P

S

dt

P

dS

i

n

i

i

tk

Ad 7.

Pracę siły zmiennej w czasie można obliczyć korzystając z twierdzenia o przyroście energii kinetycznej, które mówi:

Def. Przyrost energii kinetycznej PM w skończonym przedziale czasu równy jest sumie prac wykonanych tym czasie przez
wszystkie siły zewnętrzne działające na ten punkt. Ponieważ jedyną siłą zewnętrzną jest pomierzona siła działania
serwomechanizmu to:

5









19

7

h

skończonyc

przyrostów

dla

czyli

L

czasu;

od

zależnej

zmiennej

siły

pracę

ej

określajac

zależności

inej

z

również

orzystać

Możemy sk

czasowych

ch

przedziała

kolejnych

w

PM

prędkości

wartości

18

7

2

2

inaczej

lub

1

2

1

1

1

2

1

2

1

1

.

)

(

)

)

(

(

;

:

.

)

(

)

(

]

[

t

v

P

L

dt

v

t

P

v

v

gdzie

v

m

v

m

L

T

T

J

L

n

i

i

i

t

t

i

i

i

i

i

i









































Ad 8.

Chwilową wartość mocy serwomechanizmu możemy obliczyć korzystając z jej definicji:









przedziale

tym

w

prędkosci

i

siły

wartości

średnie

czasu

przedziale

w

mocy

wartość

średnia

gdzie

21

7

:

otrzymamy

czasowych,

ch

przedziała

danych

w

wartości

do

c

przechodzą

20

7



















]

/

[

;

]

[

]

[

:

.

.

)

(

)

(

]

[

s

m

v

N

P

tym

i

W

N

v

P

N

v

t

P

dt

dx

t

P

dt

dL

W

N

i

i

i

i

i

i

Opracował: Robert Piekarski