Analiza matematyczna 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

A7

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Rozwiązać równanie

.

cos 5x = sin 3x + cos x

2. Obliczyć granicę

.

n → ∞

lim (

9n

2

+

5n − 3 −

9n

2

−

2n + 4 )

3. Wykorzystując znane granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych

obliczyć granicę

.

lim

x →

1

4⋅3

x

−

3⋅4

x

2⋅5

x

−

5⋅2

x

4. Znaleźć wszystkie asymptoty wykresu funkcji

.

f ( x ) =

(

2x

2

+

4x − 7 ) ( x + 5 )

25 − x

2

Odpowiedzi do zestawu

A7

1.

lub

lub

, gdzie

;

x =

kπ

3

x = −

π

12

+

kπ

7π
12

+

kπ

k ∈ Z

2. granica ciągu jest równa ;

7
6

3. granica funkcji jest równa

;

6
5

log

5/2

3
4

4. asymptota pionowa obustronna

oraz ukośna

x =

5

y = −

2x − 14

w

.

±∞

Analiza matematyczna 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

B7

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Naszkicować wykres funkcji

, jeżeli

f g h

,

,

.

f ( x ) =

arcsin x g ( x ) = E ( x )

h ( x ) =

x

2

2. Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i w oparciu o nie wyznaczyć

granicę przy

ciągu

n → ∞

.

c

n

=

3n

3

2n

+

3

4n

+

3

6n

3. Wykorzystując granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych

obliczyć granicę

.

x →

3

lim

2

x

−

8

x −

3

4. Znaleźć wszystkie asymptoty wykresu funkcji

.

f ( x ) =

x

2

−

4

x −

3

Odpowiedzi do zestawu

B7

1. Funkcja

przyjmuje wartości , , na przedziałach

f g h

−

π
2

0

π
2

odpowiednio

,

,

;

[ −

2, 0 ) [ 0, 2 ) [ 2, 4 )

2. granica ciągu wynosi ;

9

3. granica funkcji jest równa

;

8 ln 2

4. asymptota pionowa obustronna

, pozioma

w

x =

3

y = −

1

−∞

oraz pozioma

w .

y =

1

∞

Analiza matematyczna 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

C7

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Podać dziedzinę i zbiór wartości funkcji

, jeżeli

f g h

,

,

.

f ( x ) =

4 − x

2

g ( x ) =

E ( x ) h ( x ) =

x
3

2. W oparciu o definicję granicy właściwej ciągu uzasadnić, że

.

lim

n → ∞

2 +

n

1 −

4n

= −

1
2

3. Korzystając z definicji liczby oraz z twierdzenia o granicy podciągu

e

obliczyć granicę

.

lim

n → ∞

[ (

2n + 5
6n + 6

)

n

(

6n + 7
2n + 6

)

n

]

4. Znaleźć wszystkie asymptoty wykresu funkcji

.

f ( x ) =

3

x

x −

2

Odpowiedzi do zestawu

C7

1. Dziedzina

, zbiór wartości

;

[ −

6, 9 )

{

0,

3 , 2 }

2. dla ustalonego

za wskaźnik

w definicji granicy ciągu

ε >

0

n

0

∈

N

można przyjąć część całkowitą z liczby

;

1 + (

5

4ε

+

1
2

)

2

3. granica ciągu jest równa

;

1

3

e

4. asymptota pionowa prawostronna

, pozioma

w

x =

2

y =

1
3

−∞

oraz pozioma

w .

y =

3

∞

Analiza matematyczna 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

D7

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Rozwiązać równanie

.

sin

4

x +

cos

4

x =

7
8

2. Wykorzystując twierdzenie o trzech ciągach znaleźć granicę przy

ciągu

n → ∞

.

a

n

=

n

1

2n + 3

+

1

2n + 5

+

... +

1

2n + 2n − 3

3. Obliczyć granicę

.

lim

x → ∞





4x

2

−

1

( 2x + 1 )

2





1−3x

4. Znaleźć wszystkie asymptoty wykresu funkcji

.

f ( x ) =

5x

2

+

x

x −

3

+

+

+

+

4 arctg x

Odpowiedzi do zestawu

D7

1.

lub

, gdzie

;

x =

π

12

+

k

π
2

x =

5π
12

+

k

π
2

k ∈ Z

2. granica ciągu jest równa ;

1

3. granica funkcji jest równa

;

e

3

4. asymptota pionowa obustronna

, ukośna

x =

3

y =

5x + 16 − 2π

w

oraz ukośna

w

.

−∞

y =

5x + 16 + 2π

∞

Analiza matematyczna 1

I kolokwium, semestr zimowy 2007/2008

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

E7

1

2

3

4

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Obliczyć

, jeżeli

.

sin x

tg

x

2

=

9

2. Uzasadnić, że ciąg

a

n

=

n

2

⋅ (

3
5

)

n

jest od pewnego miejsca monotoniczny i zbadać ograniczoność tego
ciągu.

3. Wykorzystując twierdzenie o trzech funkcjach obliczyć granicę

.

lim

x → ∞

E ( 4

x+

3

)

E ( 2

2x

−

1 )

4. Znaleźć wszystkie asymptoty wykresu funkcji

.

f ( x ) =

x

2

+

4x − 5

Odpowiedzi do zestawu

E7

1.

;

sin x =

9

41

2. ciąg jest malejący dla

, jest ograniczony, bo

;

n ≥

4

0 < a

n

≤

a

4

3. granica funkcji jest równa

;

64

4. dwie asymptoty ukośne:

w

oraz

w

.

y = −x −

2

−∞

y = x +

2

∞