A

n

a

liz

a

m

a

te

m

a

ty

cz

n

a

1

Ik

olo

kw

iu

m

,s

em

es

tr

zim

ow

y

20

03

/2

00

4

N

a

pie

rw

sz

ej

str

on

ie

pra

cy

pro

sz

na

pis

a

na

zw
ku

rsu

,z

któ

re

go

od

by

w

a

si

ko

lo

kw

iu

m

,

sw

oje

im

i

in

az

w

isk

o,

nu

m

er

in

de

ks

u,

w

yd

zia

ł,

kie

ru

ne

k,

ro

k

stu

dió

w

,im

i

in

az

w

isk

o

w

yk

ład

ow

cy

(o

so

by

pro

w

ad

z

ce

j

w

icz

en

ia)

,d

at

ora

z

sp

orz

dz

i

po

ni

sz

tab

elk

.

P

o

-

n

a

d

to

p

ro

sz
p

o

n

u

m

er

o

w

a
i

p

o

d

p

is

a
w

sz

y

st

k

ie

p

o

zo

st

a

łe

k

a

rt

k

i

p

ra

cy

.

M
1

1

2

3

4
Su

m

a

T

re

ci

za

da

pro

sz

nie

prz

ep

isy

w

a

.

R

o

zw

i

za

n

ie

za

d

a

n

ia

o

n

u

m

er

ze

n

n

a

le

y

n

a

p

i-

sa
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce

p

ra

cy

.N

a

ro

zw

i

za

nie

za

da

prz

ez

na

cz

on

o

60

m

in

ut,

za

ro

zw

i

za

nie

ka

de

go

za

da

nia

m

o

na

otr

zy

m

a

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.W

ro

zw

i

za

nia

ch

na

le

y

do

kła

dn

ie

op

isy

w

a

prz

eb

ieg

ro

zu

m

ow

an

ia,

tzn

.fo

rm

uło

w

a

w

yk

orz

ys

ty

w

an

e

de

fin

icj

e

itw

ier

dz

en

ia,

prz

yta

cz

a

sto

so

w

an

e

w

zo

ry

,u

za

sa

dn

ia

w

yc

i

ga

ne

w

nio

sk

i.

Po

na

dto

pro

sz

sp

orz

dz

a

sta

ra

nn

e

ry

su

nk

iz

pe

łn

ym

op

ise

m

.

P

o

w

o

d

ze

n

ia

!

T

er

es

a

Ju

rl

ew

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.

O

pis

a

gra

nic

zn

e

za

ch

ow

an

ie

si

prz

y

ci

gu

n

→
∞

a

n

=

(

1

2

+

sin

s

)

n

w

za

le

no

ci

od

pa

ra

m

etr

u

.

s

∈
[−

2

π
,

2

π

]

2

.

Zn

ale
w

sz

ys

tk

ie

as

ym

pto

ty

fu

nk

cji

.

f

(

x

)

=

3

x

−

5

+

x

sin

1

x

3

.

W

sk

az

a

w

sz

ys

tk

ie

pu

nk

ty

,

w

któ

ry

ch

fu

nk

cja

k

∈
Z

f

(

x

)

=

E

(

x

)
E

(

x

−

1

)
E

(

x

−

2

)

jes

tc

i

gła

.

4

.

O

bli

cz

y

po

ch

od

n

fu

nk

cji

g

(

x

)

=

(
3

−

x

)

2

x

w

pu

nk

cie

.

x

0

=

1

A

n

a

liz

a

m

a

te

m

a

ty

cz

n

a

1

Ik

olo

kw

iu

m

,s

em

es

tr

zim

ow

y

20

03

/2

00

4

N

a

pie

rw

sz

ej

str

on

ie

pra

cy

pro

sz

na

pis

a

na

zw
ku

rsu

,z

któ

re

go

od

by

w

a

si

ko

lo

k-

w

iu

m

,s

w

oje

im

i

in

az

w

isk

o,

nu

m

er

in

de

ks

u,

w

yd

zia

ł,

kie

ru

ne

k,

ro

k

stu

dió

w

,im

i

in

az

w

isk

o

w

yk

ład

ow

cy

(o

so

by

pro

w

ad

z

ce

j

w

icz

en

ia)

,d

at

ora

z

sp

orz

dz

i

po

ni

sz

tab

elk

.

P

o

n

a

d

to

p

ro

sz
p

o

n

u

m

er

o

w

a
i

p

o

d

p

is

a
w

sz

y

st

k

ie

p

o

zo

st

a

łe

k

a

rt

k

i

p

ra

cy

.

N

1

1

2

3

4
Su

m

a

T

re

ci

za

da

pro

sz

nie

prz

ep

isy

w

a

.

R

o

zw

i

za

n

ie

za

d

a

n

ia

o

n

u

m

er

ze

n

n

a

le

y

n

a

-

p

is

a
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce

p

ra

cy

.N

a

ro

zw

i

za

nie

za

da

prz

ez

na

cz

on

o

60

m

in

ut,

za

ro

zw

i

-

za

nie

ka

de

go

za

da

nia

m

o

na

otr

zy

m

a

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.W

ro

zw

i

za

nia

ch

na

le

y

do

kła

dn

ie

op

isy

w

a

prz

eb

ieg

ro

zu

m

ow

an

ia,

tzn

.fo

rm

uło

w

a

w

yk

orz

ys

ty

w

an

e

de

fin

icj

e

tw

ier

dz

en

ia,

prz

yta

cz

a

sto

so

w

an

e

w

zo

ry

,u

za

sa

dn

ia

w

yc

i

ga

ne

w

nio

sk

i.

Po

na

dto

pro

-

sz

sp

orz

dz

a

sta

ra

nn

e

ry

su

nk

iz

pe

łn

ym

op

ise

m

.

P

o

w

o

d

ze

n

ia

!

T

er

es

a

Ju

rl

ew

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.

W

yk

orz

ys

tu

j

c

tw

ier

dz

en

ie

o

ci

gu

m

on

oto

nic

zn

ym

io

gra

nic

zo

ny

m

uz

as

ad

ni

zb

ie

no
ci

gu

a

n

=

n

⋅
3

n

(

n

+

1

)
!

ip

od

a

jeg

o

gra

nic

.

2

.

O

bli

cz

y

gra

nic

.

lim

x

→
∞

x
−

3

x

3

+

2

x

2

3

.

W

yz

na

cz

y

w

art

o

ci

pa

ra

m

etr

ów

,

dla

któ

ry

ch

fu

nk

cja

s
,

t

∈
R

f

(

x

)

=

x

+

1,

x
≤

2

sx

2

+

tx

−

5,
x
>

2

jes

tc

i

gła

na

zb

io

rz

e

.

R

4

.

Zn

ale
w

zó

ro

gó

ln

y

na

po

ch

od

n
rz

du

fu

nk

cji

n

.

f

(

x

)

=

1

(
2

x

+

3

)

2

A

n

a

liz

a

m

a

te

m

a

ty

cz

n

a

1

Ik

olo

kw

iu

m

,s

em

es

tr

zim

ow

y

20

03

/2

00

4

N

a

pie

rw

sz

ej

str

on

ie

pra

cy

pro

sz

na

pis

a

na

zw
ku

rsu

,z

któ

re

go

od

by

w

a

si

ko

lo

kw

iu

m

,

sw

oje

im

i

in

az

w

isk

o,

nu

m

er

in

de

ks

u,

w

yd

zia

ł,

kie

ru

ne

k,

ro

k

stu

dió

w

,im

i

in

az

w

isk

o

w

yk

ład

ow

cy

(o

so

by

pro

w

ad

z

ce

j

w

icz

en

ia)

,d

at

ora

z

sp

orz

dz

i

po

ni

sz

tab

elk

.

P

o

-

n

a

d

to

p

ro

sz
p

o

n

u

m

er

o

w

a
i

p

o

d

p

is

a
w

sz

y

st

k

ie

p

o

zo

st

a

łe

k

a

rt

k

i

p

ra

cy

.

O
1

1

2

3

4
Su

m

a

T

re

ci

za

da

pro

sz

nie

prz

ep

isy

w

a

.

R

o

zw

i

za

n

ie

za

d

a

n

ia

o

n

u

m

er

ze

n

n

a

le

y

n

a

p

i-

sa
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce

p

ra

cy

.N

a

ro

zw

i

za

nie

za

da

prz

ez

na

cz

on

o

60

m

in

ut,

za

ro

zw

i

za

nie

ka

de

go

za

da

nia

m

o

na

otr

zy

m

a

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.W

ro

zw

i

za

nia

ch

na

le

y

do

kła

dn

ie

op

isy

w

a

prz

eb

ieg

ro

zu

m

ow

an

ia,

tzn

.fo

rm

uło

w

a

w

yk

orz

ys

ty

w

an

e

de

fin

icj

e

itw

ier

dz

en

ia,

prz

yta

cz

a

sto

so

w

an

e

w

zo

ry

,u

za

sa

dn

ia

w

yc

i

ga

ne

w

nio

sk

i.

Po

na

dto

pro

sz

sp

orz

dz

a

sta

ra

nn

e

ry

su

nk

iz

pe

łn

ym

op

ise

m

.

P

o

w

o

d

ze

n

ia

!

T

er

es

a

Ju

rl

ew

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.

O

bli

cz

y

gra

nic

.

lim

n

→
∞

n

+

n

+

4
−

n

+

1

2

.

N

as

zk

ico

w

a

w

yk

re

s

fu

nk

cji

pa

rz

ys

tej

sp

ełn

iaj

ce

j

f
:

R
→
R

po

da

ne

w

aru

nk

i:

lim

x

→
∞

f

(

x

)

x

=

2,
lim

x

→
∞

[

f

(

x

)

−

2

x

]

=

1,

.

lim

x

→
0

−

f

(

x

)

=

−

∞

,

lim

x

→
−
1

f

(

x

)

=

∞

3

.

K

orz

ys

taj

c

z

tw

ier

dz

en

ia

D

arb

ou

x

uz

as

ad

ni

,

e

ró

w

na

nie

arc

co

s

x

−

arc

sin

x

=

1

m

a

do

kła

dn

ie

jed

no

ro

zw

i

za

nie

.S

po

rz

dz

i

ry

su

ne

k.

4

.

D

ob

ra

pa

ra

m

etr

y

tak

,a

by

fu

nk

cja

p
,

q

∈
R

g

(

x

)

=

p

x

+

q

dla

x

<

3

x

2

−

3

x

+

2

dla

x

≥

3

m

iał

a

po

ch

od

n

w

pu

nk

cie

.

x

0

=

3

A

n

a

liz

a

m

a

te

m

a

ty

cz

n

a

1

Ik

olo

kw

iu

m

,s

em

es

tr

zim

ow

y

20

03

/2

00

4

N

a

pie

rw

sz

ej

str

on

ie

pra

cy

pro

sz

na

pis

a

na

zw
ku

rsu

,z

któ

re

go

od

by

w

a

si

ko

lo

k-

w

iu

m

,s

w

oje

im

i

in

az

w

isk

o,

nu

m

er

in

de

ks

u,

w

yd

zia

ł,

kie

ru

ne

k,

ro

k

stu

dió

w

,im

i

in

az

w

isk

o

w

yk

ład

ow

cy

(o

so

by

pro

w

ad

z

ce

j

w

icz

en

ia)

,d

at

ora

z

sp

orz

dz

i

po

ni

sz

tab

elk

.

P

o

n

a

d

to

p

ro

sz
p

o

n

u

m

er

o

w

a
i

p

o

d

p

is

a
w

sz

y

st

k

ie

p

o

zo

st

a

łe

k

a

rt

k

i

p

ra

cy

.

P

1

1

2

3

4
Su

m

a

T

re

ci

za

da

pro

sz

nie

prz

ep

isy

w

a

.

R

o

zw

i

za

n

ie

za

d

a

n

ia

o

n

u

m

er

ze

n

n

a

le

y

n

a

-

p

is

a
n

a

n

-t

ej

k

a

rt

ce

p

ra

cy

.N

a

ro

zw

i

za

nie

za

da

prz

ez

na

cz

on

o

60

m

in

ut,

za

ro

zw

i

-

za

nie

ka

de

go

za

da

nia

m

o

na

otr

zy

m

a

od

0

do

5

pu

nk

tó

w

.W

ro

zw

i

za

nia

ch

na

le

y

do

kła

dn

ie

op

isy

w

a

prz

eb

ieg

ro

zu

m

ow

an

ia,

tzn

.fo

rm

uło

w

a

w

yk

orz

ys

ty

w

an

e

de

fin

icj

e

tw

ier

dz

en

ia,

prz

yta

cz

a

sto

so

w

an

e

w

zo

ry

,u

za

sa

dn

ia

w

yc

i

ga

ne

w

nio

sk

i.

Po

na

dto

pro

-

sz

sp

orz

dz

a

sta

ra

nn

e

ry

su

nk

iz

pe

łn

ym

op

ise

m

.

P

o

w

o

d

ze

n

ia

!

T

er

es

a

Ju

rl

ew

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.

Sto

su

j

c

tw

ier

dz

en

ie

o

ci

gu

m

on

oto

nic

zn

ym

io

gra

nic

zo

ny

m

uz

as

ad

ni

zb

ie

no
ci

gu

.

a

n

=

3

+

n

2

(

n

−

1

)
!

2

.

W

yz

na

cz

y

sta

łe

i
,

je

eli

w

iad

om

o,

e

a

b

.

lim

x

→
∞

x

2

+

3

x

−

1

+

a

x

−

b

=

0

3

.

Zb

ad

a

,c

zy

ró

w

na

nie

2

sin

π

x

=

x

+

1

m

a

ro

zw

i

za

nie

w

prz

ed

zia

le

.

(

−

1

2

,1

)

4

.

K

orz

ys

taj

c

z

ró

nic

zk

ifu

nk

cji

ob

lic

zy

prz

yb

li

on

w

art

o

w

yra

en

ia

.

e

0,0

5

−

e

−
0,0

1