B. Oleś

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

1

3. Drgania wymuszone. Zjawisko rezonansu

Siłę wymuszającą wychylenia huśtawki (1)

realistycznie przedstawimy w postaci

okresowo występujących impulsów (2),

a dla uproszczenia opisu możemy przyjąć

model siły zmiennej sinusoidalnie (3).

B. Oleś

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

2

Jeśli zewnętrzna siła wymuszająca drgania ma postać:

t

F

F

sin

0

to początkowo amplituda drgań rośnie w czasie (stan przejściowy,

nieustalony), aż osiągnie ostateczną wartość (stan ustalony,

stacjonarny).

Równanie ruchu:

.

t

F

b

kx

dt

x

d

m

sin

0

2

2

v

.

sin

2

0

2

0

2

2

t

f

x

dt

dx

dt

x

d

współczynnik tłumienia,

0

częstość drgań własnych

.

Zajmiemy się omawianiem

stanu ustalonego

, dla którego należy się

spodziewać drgań o częstości siły wymuszającej, ale opóźnionych
w fazie o .

-

przesunięcie fazowe między siłą wymuszającą i wychyleniem oscylatora

,

)

(

sin

0

t

x

x

Rozwiązanie ma wtedy postać:

B. Oleś Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

3

,

2

2

2

0

R

Amplituda drgań wymuszonych osiąga wartość maksymalną dla

częstości rezonansowej:

W rezonansie wartość amplitudy wynosi:

.

2

2

0

2

2

0

0

max

m

F

m

F

x

/

0

x

0

/x

st

1

=0

>

kr

Uniwersalne krzywe rezonansowe w
zależności od współczynnika tłumienia

x

st

=F

0

/k to wychylenie statyczne dla

=0; powyżej wartości krytycznej

kr

rezonans nie wystąpi.

Przy małym tłumieniu, częstość rezonansowa

R

jest w przybliżeniu równa

częstości drgań własnych

0

. Wraz ze wzrostem tłumienia zmniejsza się

częstość rezonansowa i ulega spłaszczeniu przebieg krzywej rezonansowej.

m

b

m

k

2

,

/

0

B. Oleś

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

4

Średnia moc dostarczana przez siłę
wymuszającą w zależności od .

Rezonans dwu kamertonów

Dostarczana przez siłę wymuszającą moc

(średnia praca wykonana w jednostce czasu)

jest zużywana na pokonanie oporów ruchu i w

rezonansie średnia moc P osiąga maksymalną

wartość, co odpowiada najszybszemu

dopływowi energii.

Przykłady

Konstrukcje mechaniczne mają jedną lub więcej częstości własnych.

Siła zewnętrzna zmieniająca się z częstością zbliżoną do częstości

własnej może doprowadzić do tak silnych drgań, że konstrukcja

ulegnie zniszczeniu. Projektanci muszą to brać pod uwagę!

P

0

2

.

4

2

0

m

F

P

B. Oleś

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

5

Trzęsienie ziemi w stolicy Meksyku w 1985 r., podczas którego

drgania sejsmiczne o częstości ok. 3rad/s były wyjątkowo silne,

spowodowało rozległe zniszczenia, głównie budynków o średniej

wysokości, ponieważ one miały zbliżone częstości rezonansowe.

Konstruktorzy samolotów muszą tak

zaprojektować skrzydła maszyny, aby ich

częstość własna drgań nie pokrywała się z

częstością pracy silników.

B. Oleś

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

6

Zniszczenie Tacoma Narrows Bridge było

spowodowane działaniem wiatru i wystąpienia

siły fluktuującej będącej w rezonansie z

drganiami własnymi konstrukcji.

Rola wirów przy

wzbudzeniu drgań mostu.

B. Oleś

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

7

4. Rodzaje fal

Fale mechaniczne

, których przykładem są

fale wzbudzone w długiej sprężynie, fale

akustyczne, fale na wodzie.

Fale elektromagnetyczne

, do których

zaliczymy światło, fale radiowe,

promieniowanie rentgenowskie.

Fale te mogą rozchodzić się tylko w jakimś ośrodku
materialnym i podlegają prawom Newtona.

Fale te mogą rozchodzić się w próżni, nie potrzebują
ośrodka materialnego, aby się rozprzestrzeniać.

Fale materii

związane z cząstkami takimi jak

elektrony, protony, atomy.

Istnienie tych fal potwierdzają eksperymenty, w
których cząstki np. elektrony zachowują się jak fale.

B. Oleś

8

t

1

t

2

v

kierunek drgań
elementu sznura

Falą mechaniczną

nazywamy zaburzenia rozchodzące się w

ośrodkach sprężystych w postaci impulsu lub drgań.

Cząsteczki ośrodka nie uczestniczą w ruchu

postępowym, jedynie w drgającym.

5. Opis fali mechanicznej, równanie falowe

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

Pewien fragment ośrodka materialnego zaczyna drgać wokół

położenia równowagi, a dzięki sprężystym własnościom tego

ośrodka drgania są przekazywane sąsiednim fragmentom i

zaburzenie rozchodzi się jako

fala mechaniczna.

B. Oleś

9

Ze względu na kierunek drgań cząsteczek w odniesieniu do

kierunku rozchodzenia się fali, dzielimy fale na:

fale podłużne

– cząsteczki ośrodka drgają wzdłuż kierunku

rozchodzenia się fali,

fale poprzeczne

– cząsteczki ośrodka drgają prostopadle kierunku

rozchodzenia się fali.

kierunek propagacji fali

przemieszczenie

kierunek propagacji fali

przemieszczenie

Czoło fali

to powierzchnia rozgraniczająca część przestrzeni

wprowadzonej już w ruch falowy od tej, w której drgania jeszcze

nie powstały.

Powierzchnia falowa

to zbiór punktów drgających w jednej fazie.

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

10

Falę opisujemy za pomocą

funkcji falowej

: (równanie fali)

)

,

( t

r



W przypadku zaburzenia rozchodzącego się wzdłuż osi x z prędkością

v

w prawo, jeśli jego kształt nie zmienia się w czasie, będzie to funkcja:

x

v

x

v

vt

t=0

t>0

)

(

t

x

v

)

(

t

x

v

A rozchodzącego się w lewo:

)

(x

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

Falę, opisaną taką funkcją nazywamy

biegnącą

.

B. Oleś

11

Zróżniczkujmy dwukrotnie tę ogólną funkcje falową względem x oraz t:

.

'

2

2

2

2

2

x

t

v

,

'

2

2

2

2

x

x

Z połączenia powyższych równości dostaniemy

równanie falowe:

.

1

2

2

2

2

2

t

x

v

const

t

x

Uwaga

: ponieważ funkcja zależy od dwu zmiennych,

obliczamy pochodną cząstkową względem x:

traktując t jak stałą. Podobnie z pochodną względem
czasu t.

,

'

t

x

x

v



,

'

'

'

x

x

x

x

x

,

'

'

'

x

t

x

x

t

v



Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

12

W szczególnym przypadku, gdy każdy element ośrodka drga ruchem
harmonicznym prostym, mamy do czynienia

z falą harmoniczną.

Funkcja falowa fali harmonicznej może być zapisana w postaci:

)

(

2

sin

)

,

(

t

x

A

t

x

v



gdzie A jest amplitudą fali, – fazą początkową, - długością fali,

zdefiniowaną jako odległość, między dwoma najbliższymi punktami

przestrzeni, w których fazy funkcji

w danej chwili t są identyczne.

t

T

f

t

f

A

t

/

1

,

)

π

2

sin(

)

(

T

A

ft

π

2

- faza

f

π

2

- częstość kołowa

x

ustalone, drgania elementu są

drganiami harmonicznymi prostymi

:

6. Fale harmoniczne

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

B. Oleś

13

x

A

t

ustalone

Przedstawiona fala harmoniczna w ustalonej chwili t ma kształt

sinusoidalny i cechuje ją okresowość przestrzenna, .

Faza funkcji falowej:

]

)

/

2

sin[(

)

(

x

A

x

,

)

(

2

t

x

k

t

x





v

Prędkość fali jest prędkością przemieszczania się
powierzchni stałej fazy. Stąd nazywamy ją

prędkością fazową

.

T

/

v

Funkcja ta spełnia równanie falowe:

.

1

2

2

2

2

2

t

x

v

)

(

sin

)

,

(

t

kx

A

t

x

gdzie k =2 / –

liczba falowa.

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

Funkcja falowa może być

zapisana w postaci:

v



)

,

( t

x

prędkość fali

u



B. Oleś

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

14

Sens fizyczny funkcji falowej

= przemieszczenie elementu ośrodka w położeniu x, w

chwili t, względem położenia równowagi

)

,

( t

x

= szybkość elementu ośrodka (szybkość zmian

przemieszczenia) w położeniu x, w chwili t

t

t

x

u

)

,

(

2

2

)

,

(

t

t

x

a

= przyspieszenie elementu x w chwili t

Zapamiętaj!

B. Oleś

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

15

7. Prędkość fali

Prędkość fali mechanicznej określona jest przez właściwości ośrodka.

Obliczymy prędkość fali wzbudzonej w linie.

Wartość siły napinającej linę F jest związana ze sprężystością

ośrodka – elementy liny przemieszczające się podczas

rozchodzenia fali, działają na sąsiednie elementy, rozciągając

się wzajemnie.

1

F



2

F



Fale można wytworzyć tylko w linie napiętej przez siły

działające na oba jej końce.

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10 16

R

.

O

2

x’

y’

v



Układ odniesienia, w którym

impuls jest stacjonarny

Rozważamy ruch pojedynczego impulsu biegnącego wzdłuż liny z

prędkością , w układzie odniesienia, w którym impuls się nie porusza.

v



Koncentrujemy się na małym odcinku liny o długości

l, który przypada na wierzchołek impulsu.

Tworzy on łuk okręgu o promieniu R i odpowiada
kątowi 2 ..

l

2

F



1

F



x

F

x

F

y

F

y

F

Suma składowych pionowych F

y

=Fsin jest

równa sile radialnej i dla małych kątów:

.

)

2

(

sin

2

R

l

F

F

F

F

wyp

gdzie a, to przyspieszenie dośrodkowe:

Druga zasada dynamiki Newtona zapisana dla elementu l o masie m:

,

R

l

F

a

m

.

2

R

a

v

Wprowadźmy pojęcie liniowej gęstości liny, wówczas:

l

m/

,

2

R

l

F

R

l

v

.

F

v

a stąd otrzymujemy wartość
prędkości impulsu:

B. Oleś

Odcinek liny rozciągany jest stycznymi siłami
i , których wartości są równe, F

1

=F

2

=F.

1

F



2

F



B. Oleś

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

17

F

v

otrzymane wyrażenie jest słuszne dla dowolnej fali.

Prędkość fali mechanicznej zależy od siły napinającej linę i gęstości

liniowej, czyli własności sprężystych i bezwładności (masa jest

miarą bezwładności ciała):

.

2

2

2

2

t

F

x

2

2

2

2

2

1

t

x

v

Równanie falowe

:

możemy zapisać w postaci:

Fale mechaniczne

poprzeczne

mogą powstawać tylko w ciałach stałych,

ośrodkach charakteryzujących się

sprężystością postaciową

.

W ośrodkach o

sprężystości objętościowej

(cieczach,

gazach) mogą powstawać

tylko fale podłużne.

W ciałach stałych mogą też powstawać

fale podłużne

.

własności sprężyste

.

v

bezwładność

http://

blog.pandora.com/pandora/archives/degas.singer-glove.jpg

http://www.freewebs.com/violinduets/Violin1.jpg

B. Oleś

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

18

W tym celu musimy dostarczyć energii. Jest ona potem przenoszona

przez falę w postaci energii kinetycznej i potencjalnej.

Rozważmy nieskończenie długą, naciągniętą linę, w której wzbudzamy

falę biegnącą:

8. Energia i moc w ruchu falowym

,

)

(

sin

)

,

(

t

x

k

A

t

x

Energia kinetyczna elementu struny zależy od jego prędkości poprzecznej;
energia potencjalna od stopnia jej naprężenia w danej chwili.

Zastanówmy się, jak energia jest przekazywana od

jednego elementu liny do następnego.

Odcinek struny na lewo od punktu A wywiera siłę

o wartości F na jej odcinek po prawej stronie, i

na odwrót, a jej składowa:

A

y

F



F



x

x

t

x

F

t

x

F

y

)

,

(

)

,

(

Podczas ruchu punktu A w kierunku pionowym siła F

y

wykonuje pracę

i energia jest przekazywana do elementu struny na prawo od A.

B. Oleś

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

19

Chwilowa moc P przekazywana w punkcie A:

)

,

(

)

,

(

)

,

(

t

x

t

x

F

t

x

P

y

y

v

v









F

dt

r

d

F

dt

dW

P

Definicja mocy:

.

)

,

(

)

,

(

)

,

(

t

t

x

x

t

x

t

x

F

W przypadku fali harmonicznej:

,

)

(

sin

)

,

(

t

x

k

A

t

x

),

(

cos

)

,

(

2

2

t

x

k

A

k

F

t

x

P

.

2

2

2

1

v

A

P

śr

Średnia moc, czyli średnia szybkość z jaką

energia jest przenoszona przez falę:

,

)

(

cos

2

2

1

2

2

A

k

F

t

x

k

A

k

F

P

śr

t

T

co

s

2

t

1

½

cos

2

t =½

,

/

2

k

v

v

F

korzystając z zależności prędkości fali od siły napinającej F dostaniemy

a stąd

Uzyskany wynik, że średnia moc jest proporcjonalna do szybkości

v

,

kwadratu amplitudy A

2

oraz kwadratu częstości

2

, ma charakter

ogólny i jest prawdziwy dla wszystkich typów fal.

B. Oleś

20

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

9. Fale na wodzie

Dlaczego fale tsunami są nieodczuwalne na pełnym oceanie a

wyrządzają tak wielkie szkody na lądzie?

Na pełnym morzu przejście fali tsunami, poruszającej się z wielką prędkością (do 900 km/h),

może być nawet niezauważone, ponieważ długość tych fal dochodzi do kilkuset kilometrów,

ale ich wysokość nie przekracza kilkudziesięciu centymetrów. Dopiero w strefie brzegowej

może ona osiągnąć wysokość kilkudziesięciu metrów niszcząc nadbrzeżne miejscowości.

B. Oleś

21

Analityczny opis fal na wodzie

jest bardzo skomplikowany.

Tory cząsteczek są w przybliżeniu okręgami na głębokiej wodzie,
elipsami na płytkiej, zakreślanymi wokół położeń równowagi.

Okres obrotu jest równy okresowi fali. Na szczytach fal prędkość
cząsteczek dodaje się do prędkości fali, a w dolinach odejmuje.

To oznacza, że cząsteczka wody porusza się zarówno w kierunku

poziomym jak i pionowym. W tym sensie fala wodna ma zarówno

charakter fali poprzecznej jak i podłużnej.

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

Średnia moc fali: pozostaje

w przybliżeniu stała.

v

2

2

2

1

A

P

śr

B. Oleś

Na głębokiej wodzie prędkość i długość fali nie zależą od głębokości,

na płytkiej prędkość propagacji i zachodzi

.

T

gh

T

v

gh

v

Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10

Ponieważ prędkość fali, gdy dotrze do

płytkich wód przybrzeżnych maleje, zatem

jej amplituda musi wzrosnąć i dopiero

wówczas przejawia się niszczycielska natura

tsunami.

22