B. Oleś
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
1
3. Drgania wymuszone. Zjawisko rezonansu
Siłę wymuszającą wychylenia huśtawki (1)
realistycznie przedstawimy w postaci
okresowo występujących impulsów (2),
a dla uproszczenia opisu możemy przyjąć
model siły zmiennej sinusoidalnie (3).
B. Oleś
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
2
Jeśli zewnętrzna siła wymuszająca drgania ma postać:
t
F
F
sin
0
to początkowo amplituda drgań rośnie w czasie (stan przejściowy,
nieustalony), aż osiągnie ostateczną wartość (stan ustalony,
stacjonarny).
Równanie ruchu:
.
t
F
b
kx
dt
x
d
m
sin
0
2
2
v
.
sin
2
0
2
0
2
2
t
f
x
dt
dx
dt
x
d
współczynnik tłumienia,
0
częstość drgań własnych
.
Zajmiemy się omawianiem
stanu ustalonego
, dla którego należy się
spodziewać drgań o częstości siły wymuszającej, ale opóźnionych
w fazie o .
-
przesunięcie fazowe między siłą wymuszającą i wychyleniem oscylatora
,
)
(
sin
0
t
x
x
Rozwiązanie ma wtedy postać:
B. Oleś Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
3
,
2
2
2
0
R
Amplituda drgań wymuszonych osiąga wartość maksymalną dla
częstości rezonansowej:
W rezonansie wartość amplitudy wynosi:
.
2
2
0
2
2
0
0
max
m
F
m
F
x
/
0
x
0
/x
st
1
=0
>
kr
Uniwersalne krzywe rezonansowe w
zależności od współczynnika tłumienia
x
st
=F
0
/k to wychylenie statyczne dla
=0; powyżej wartości krytycznej
kr
rezonans nie wystąpi.
Przy małym tłumieniu, częstość rezonansowa
R
jest w przybliżeniu równa
częstości drgań własnych
0
. Wraz ze wzrostem tłumienia zmniejsza się
częstość rezonansowa i ulega spłaszczeniu przebieg krzywej rezonansowej.
m
b
m
k
2
,
/
0
B. Oleś
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
4
Średnia moc dostarczana przez siłę
wymuszającą w zależności od .
Rezonans dwu kamertonów
Dostarczana przez siłę wymuszającą moc
(średnia praca wykonana w jednostce czasu)
jest zużywana na pokonanie oporów ruchu i w
rezonansie średnia moc P osiąga maksymalną
wartość, co odpowiada najszybszemu
dopływowi energii.
Przykłady
Konstrukcje mechaniczne mają jedną lub więcej częstości własnych.
Siła zewnętrzna zmieniająca się z częstością zbliżoną do częstości
własnej może doprowadzić do tak silnych drgań, że konstrukcja
ulegnie zniszczeniu. Projektanci muszą to brać pod uwagę!
P
0
2
.
4
2
0
m
F
P
B. Oleś
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
5
Trzęsienie ziemi w stolicy Meksyku w 1985 r., podczas którego
drgania sejsmiczne o częstości ok. 3rad/s były wyjątkowo silne,
spowodowało rozległe zniszczenia, głównie budynków o średniej
wysokości, ponieważ one miały zbliżone częstości rezonansowe.
Konstruktorzy samolotów muszą tak
zaprojektować skrzydła maszyny, aby ich
częstość własna drgań nie pokrywała się z
częstością pracy silników.
B. Oleś
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
6
Zniszczenie Tacoma Narrows Bridge było
spowodowane działaniem wiatru i wystąpienia
siły fluktuującej będącej w rezonansie z
drganiami własnymi konstrukcji.
Rola wirów przy
wzbudzeniu drgań mostu.
B. Oleś
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
7
4. Rodzaje fal
Fale mechaniczne
, których przykładem są
fale wzbudzone w długiej sprężynie, fale
akustyczne, fale na wodzie.
Fale elektromagnetyczne
, do których
zaliczymy światło, fale radiowe,
promieniowanie rentgenowskie.
Fale te mogą rozchodzić się tylko w jakimś ośrodku
materialnym i podlegają prawom Newtona.
Fale te mogą rozchodzić się w próżni, nie potrzebują
ośrodka materialnego, aby się rozprzestrzeniać.
Fale materii
związane z cząstkami takimi jak
elektrony, protony, atomy.
Istnienie tych fal potwierdzają eksperymenty, w
których cząstki np. elektrony zachowują się jak fale.
B. Oleś
8
t
1
t
2
v
kierunek drgań
elementu sznura
Falą mechaniczną
nazywamy zaburzenia rozchodzące się w
ośrodkach sprężystych w postaci impulsu lub drgań.
Cząsteczki ośrodka nie uczestniczą w ruchu
postępowym, jedynie w drgającym.
5. Opis fali mechanicznej, równanie falowe
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
Pewien fragment ośrodka materialnego zaczyna drgać wokół
położenia równowagi, a dzięki sprężystym własnościom tego
ośrodka drgania są przekazywane sąsiednim fragmentom i
zaburzenie rozchodzi się jako
fala mechaniczna.
B. Oleś
9
Ze względu na kierunek drgań cząsteczek w odniesieniu do
kierunku rozchodzenia się fali, dzielimy fale na:
fale podłużne
– cząsteczki ośrodka drgają wzdłuż kierunku
rozchodzenia się fali,
fale poprzeczne
– cząsteczki ośrodka drgają prostopadle kierunku
rozchodzenia się fali.
kierunek propagacji fali
przemieszczenie
kierunek propagacji fali
przemieszczenie
Czoło fali
to powierzchnia rozgraniczająca część przestrzeni
wprowadzonej już w ruch falowy od tej, w której drgania jeszcze
nie powstały.
Powierzchnia falowa
to zbiór punktów drgających w jednej fazie.
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
10
Falę opisujemy za pomocą
funkcji falowej
: (równanie fali)
)
,
( t
r
W przypadku zaburzenia rozchodzącego się wzdłuż osi x z prędkością
v
w prawo, jeśli jego kształt nie zmienia się w czasie, będzie to funkcja:
x
v
x
v
vt
t=0
t>0
)
(
t
x
v
)
(
t
x
v
A rozchodzącego się w lewo:
)
(x
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
Falę, opisaną taką funkcją nazywamy
biegnącą
.
B. Oleś
11
Zróżniczkujmy dwukrotnie tę ogólną funkcje falową względem x oraz t:
.
'
2
2
2
2
2
x
t
v
,
'
2
2
2
2
x
x
Z połączenia powyższych równości dostaniemy
równanie falowe:
.
1
2
2
2
2
2
t
x
v
const
t
x
Uwaga
: ponieważ funkcja zależy od dwu zmiennych,
obliczamy pochodną cząstkową względem x:
traktując t jak stałą. Podobnie z pochodną względem
czasu t.
,
'
t
x
x
v
,
'
'
'
x
x
x
x
x
,
'
'
'
x
t
x
x
t
v
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
12
W szczególnym przypadku, gdy każdy element ośrodka drga ruchem
harmonicznym prostym, mamy do czynienia
z falą harmoniczną.
Funkcja falowa fali harmonicznej może być zapisana w postaci:
)
(
2
sin
)
,
(
t
x
A
t
x
v
gdzie A jest amplitudą fali, – fazą początkową, - długością fali,
zdefiniowaną jako odległość, między dwoma najbliższymi punktami
przestrzeni, w których fazy funkcji
w danej chwili t są identyczne.
t
T
f
t
f
A
t
/
1
,
)
π
2
sin(
)
(
T
A
ft
π
2
- faza
f
π
2
- częstość kołowa
x
ustalone, drgania elementu są
drganiami harmonicznymi prostymi
:
6. Fale harmoniczne
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
B. Oleś
13
x
A
t
ustalone
Przedstawiona fala harmoniczna w ustalonej chwili t ma kształt
sinusoidalny i cechuje ją okresowość przestrzenna, .
Faza funkcji falowej:
]
)
/
2
sin[(
)
(
x
A
x
,
)
(
2
t
x
k
t
x
v
Prędkość fali jest prędkością przemieszczania się
powierzchni stałej fazy. Stąd nazywamy ją
prędkością fazową
.
T
/
v
Funkcja ta spełnia równanie falowe:
.
1
2
2
2
2
2
t
x
v
)
(
sin
)
,
(
t
kx
A
t
x
gdzie k =2 / –
liczba falowa.
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
Funkcja falowa może być
zapisana w postaci:
v
)
,
( t
x
prędkość fali
u
B. Oleś
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
14
Sens fizyczny funkcji falowej
= przemieszczenie elementu ośrodka w położeniu x, w
chwili t, względem położenia równowagi
)
,
( t
x
= szybkość elementu ośrodka (szybkość zmian
przemieszczenia) w położeniu x, w chwili t
t
t
x
u
)
,
(
2
2
)
,
(
t
t
x
a
= przyspieszenie elementu x w chwili t
Zapamiętaj!
B. Oleś
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
15
7. Prędkość fali
Prędkość fali mechanicznej określona jest przez właściwości ośrodka.
Obliczymy prędkość fali wzbudzonej w linie.
Wartość siły napinającej linę F jest związana ze sprężystością
ośrodka – elementy liny przemieszczające się podczas
rozchodzenia fali, działają na sąsiednie elementy, rozciągając
się wzajemnie.
1
F
2
F
Fale można wytworzyć tylko w linie napiętej przez siły
działające na oba jej końce.
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10 16
R
.
O
2
x’
y’
v
Układ odniesienia, w którym
impuls jest stacjonarny
Rozważamy ruch pojedynczego impulsu biegnącego wzdłuż liny z
prędkością , w układzie odniesienia, w którym impuls się nie porusza.
v
Koncentrujemy się na małym odcinku liny o długości
l, który przypada na wierzchołek impulsu.
Tworzy on łuk okręgu o promieniu R i odpowiada
kątowi 2 ..
l
2
F
1
F
x
F
x
F
y
F
y
F
Suma składowych pionowych F
y
=Fsin jest
równa sile radialnej i dla małych kątów:
.
)
2
(
sin
2
R
l
F
F
F
F
wyp
gdzie a, to przyspieszenie dośrodkowe:
Druga zasada dynamiki Newtona zapisana dla elementu l o masie m:
,
R
l
F
a
m
.
2
R
a
v
Wprowadźmy pojęcie liniowej gęstości liny, wówczas:
l
m/
,
2
R
l
F
R
l
v
.
F
v
a stąd otrzymujemy wartość
prędkości impulsu:
B. Oleś
Odcinek liny rozciągany jest stycznymi siłami
i , których wartości są równe, F
1
=F
2
=F.
1
F
2
F
B. Oleś
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
17
F
v
otrzymane wyrażenie jest słuszne dla dowolnej fali.
Prędkość fali mechanicznej zależy od siły napinającej linę i gęstości
liniowej, czyli własności sprężystych i bezwładności (masa jest
miarą bezwładności ciała):
.
2
2
2
2
t
F
x
2
2
2
2
2
1
t
x
v
Równanie falowe
:
możemy zapisać w postaci:
Fale mechaniczne
poprzeczne
mogą powstawać tylko w ciałach stałych,
ośrodkach charakteryzujących się
sprężystością postaciową
.
W ośrodkach o
sprężystości objętościowej
(cieczach,
gazach) mogą powstawać
tylko fale podłużne.
W ciałach stałych mogą też powstawać
fale podłużne
.
własności sprężyste
.
v
bezwładność
http://
blog.pandora.com/pandora/archives/degas.singer-glove.jpg
http://www.freewebs.com/violinduets/Violin1.jpg
B. Oleś
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
18
W tym celu musimy dostarczyć energii. Jest ona potem przenoszona
przez falę w postaci energii kinetycznej i potencjalnej.
Rozważmy nieskończenie długą, naciągniętą linę, w której wzbudzamy
falę biegnącą:
8. Energia i moc w ruchu falowym
,
)
(
sin
)
,
(
t
x
k
A
t
x
Energia kinetyczna elementu struny zależy od jego prędkości poprzecznej;
energia potencjalna od stopnia jej naprężenia w danej chwili.
Zastanówmy się, jak energia jest przekazywana od
jednego elementu liny do następnego.
Odcinek struny na lewo od punktu A wywiera siłę
o wartości F na jej odcinek po prawej stronie, i
na odwrót, a jej składowa:
A
y
F
F
x
x
t
x
F
t
x
F
y
)
,
(
)
,
(
Podczas ruchu punktu A w kierunku pionowym siła F
y
wykonuje pracę
i energia jest przekazywana do elementu struny na prawo od A.
B. Oleś
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
19
Chwilowa moc P przekazywana w punkcie A:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
t
x
t
x
F
t
x
P
y
y
v
v
F
dt
r
d
F
dt
dW
P
Definicja mocy:
.
)
,
(
)
,
(
)
,
(
t
t
x
x
t
x
t
x
F
W przypadku fali harmonicznej:
,
)
(
sin
)
,
(
t
x
k
A
t
x
),
(
cos
)
,
(
2
2
t
x
k
A
k
F
t
x
P
.
2
2
2
1
v
A
P
śr
Średnia moc, czyli średnia szybkość z jaką
energia jest przenoszona przez falę:
,
)
(
cos
2
2
1
2
2
A
k
F
t
x
k
A
k
F
P
śr
t
T
co
s
2
t
1
½
cos
2
t =½
,
/
2
k
v
v
F
korzystając z zależności prędkości fali od siły napinającej F dostaniemy
a stąd
Uzyskany wynik, że średnia moc jest proporcjonalna do szybkości
v
,
kwadratu amplitudy A
2
oraz kwadratu częstości
2
, ma charakter
ogólny i jest prawdziwy dla wszystkich typów fal.
B. Oleś
20
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
9. Fale na wodzie
Dlaczego fale tsunami są nieodczuwalne na pełnym oceanie a
wyrządzają tak wielkie szkody na lądzie?
Na pełnym morzu przejście fali tsunami, poruszającej się z wielką prędkością (do 900 km/h),
może być nawet niezauważone, ponieważ długość tych fal dochodzi do kilkuset kilometrów,
ale ich wysokość nie przekracza kilkudziesięciu centymetrów. Dopiero w strefie brzegowej
może ona osiągnąć wysokość kilkudziesięciu metrów niszcząc nadbrzeżne miejscowości.
B. Oleś
21
Analityczny opis fal na wodzie
jest bardzo skomplikowany.
Tory cząsteczek są w przybliżeniu okręgami na głębokiej wodzie,
elipsami na płytkiej, zakreślanymi wokół położeń równowagi.
Okres obrotu jest równy okresowi fali. Na szczytach fal prędkość
cząsteczek dodaje się do prędkości fali, a w dolinach odejmuje.
To oznacza, że cząsteczka wody porusza się zarówno w kierunku
poziomym jak i pionowym. W tym sensie fala wodna ma zarówno
charakter fali poprzecznej jak i podłużnej.
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
Średnia moc fali: pozostaje
w przybliżeniu stała.
v
2
2
2
1
A
P
śr
B. Oleś
Na głębokiej wodzie prędkość i długość fali nie zależą od głębokości,
na płytkiej prędkość propagacji i zachodzi
.
T
gh
T
v
gh
v
Wykład 7 Wydz.Chemii PK, 2009/10
Ponieważ prędkość fali, gdy dotrze do
płytkich wód przybrzeżnych maleje, zatem
jej amplituda musi wzrosnąć i dopiero
wówczas przejawia się niszczycielska natura
tsunami.
22