6

 

NAGRZEWANIE INDUKCYJNE 

 

 

 

 

 

 

 

6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego 

6.1.1. Rys historyczny 

Nagrzewanie indukcyjne jest to nagrzewanie elektryczne polegające na generacji ciepła przy 
przepływie prądów wirowych wywołanych zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej w 
elementach sprzężonych magnetycznie. 

W 36 lat po sformułowaniu przez Faradaya praw indukcji, S. Ferranti zaproponował 
konstrukcję pieca elektrycznego, w czym prawa te okazały się pomocne (1887 r.). Idea 
Ferrantiego polegała na potraktowaniu wtórnego uzwojenia transformatora jako wsadu 
poddawanego topieniu po umieszczeniu go w rynnie ceramicznej. Uzwojenie pierwotne 
układu tego rodzaju, czyli tzw. wzbudnik, było podzielone i umieszczone pod i nad rynną z 
metalem. Rozwiązanie Ferrantiego zostało ulepszone przez A. Colby'ego (1890 r.) oraz F. 
Kjellina (1899), którego często uważa się za twórcę pierwszego pieca indukcyjnego 
nazywanego piecem Kjellina (rys. 6.1). W roku 1918 W. Rohn buduje indukcyjny piec 
próżniowy. Wszystkie te piece należały do kategorii rdzeniowych, tzn. zapewniających 
sprzężenie magnetyczne wzbudnika ze wsadem za pośrednictwem rdzenia, tak jak w trans-
formatorach. Wiadomo, że efekt przenoszenia energii ze wzbudnika do wsadu zwiększa się 
przy wzroście częstotliwości, co umożliwia zmniejszenie wymiarów rdzenia lub całkowitą z 
niego rezygnację. Mając to na uwadze, E. Northrup patentuje w 1916 r. pierwszy piec 
bezrdzeniowy. Jego pełną teorię opracował W. Esmarch 10 lat później. 

Jednocześnie z pracami dotyczącymi wykorzystania zjawiska indukcji elektromagnetycznej do 
topienia, rozwijano badania nad nagrzewaniem wsadów bez zmiany ich stanu skupienia. 
Pierwsze zastosowania przemysłowe z tego zakresu dotyczyły nagrzewania w procesie 
wytwarzania obręczy kół i są przypisywane Deweyowi (1889 r.). W roku 1926 V.P. Wołogdin 
wprowadza tę technikę do hartowania powierzchniowego wsadów prądami wielkiej 
częstotliwości wykorzystując zjawisko naskórkowości. W roku 1932 
 
                                                                                                                                                     13 

 
 
 
 
 
 

 

6. Nagrzewanie indukcyjne 

_____________________________________________________________________________________________________

 

 

Rys. 6.1. Piec indukcyjny Kjellina (1899 r.) 

l — wzbudnik, 2 — ciekły metal, 3 — rdzeń, 4 — pierścieniowa rynna ceramiczna, 5 — pokrywa 

- stosując patenty F. Denneena i W. Dunna - rozwiązano zagadnienie hartowania powie-
rzchniowego prądami  średniej częstotliwości  łożysk wałów korbowych [92]. Największy 
jednak rozwój techniki nagrzewania indukcyjnego w procesach topienia, obróbki cieplnej 
powierzchniowej, objętościowej (skrośnej) oraz w wielu innych dziedzinach przypada na lata 
po n wojnie" światowej. Nowymi impulsami w tym dziale elektrotermii stały się wynalazki z 
zakresu energoelektroniki, a zwłaszcza tyrystory i tranzystory dużej mocy stosowane do 
budowy wysokosprawnych źródeł energii o częstotliwościach dostosowanych do wymagań 
procesu technologicznego. 

6.1.2. Podstawy teoretyczne metody 

 
6.1.2.1. Równania Maxwella i Helmholtza 
 
Określenie efektu grzejnego w ośrodku nagrzewanym metodą indukcyjną, bez względu na to 
czy chodzi o topienie czy o podwyższenie temperatury bez zmiany stanu skupienia, wymaga 
znajomości rozkładu  źródeł ciepła, geometrii układu, cieplnych warunków granicznych oraz 
parametrów fizycznych wszystkich materiałów należących do rozważanego układu. Problem 
ten można rozwiąże na podstawie analizy równania lub układu równań Fouriera - Kirchhoffa. 
Występujący w tym równaniu składnik określający rozkład źródeł ciepła daje się wyznaczyć z 
równań Maxwella. Nie jest to zadanie łatwe jeśli się zważy, że w zakresach temperatur z jakimi 
ma się do czynienia, zmianie ulegają zarówno parametry cieplne jak i elektryczne elementów 
układu, co wymaga sprzężenia pól elektromagnetycznych z temperaturowymi i w konsekwen-
cji często rezygnacji z metod analitycznych rozwiązania zagadnienia. W przypadku topienia 
indukcyjnego dodatkowo występuje pole sił elektromagnetycznych i przepływu metalu, co 
jeszcze bardziej komplikuje procedury poszukiwania rozwiązań liczbowych, które nie rzadko 
ogranicza 

14 
 

6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego 
___________________________________________________________________________ 

się do zakresu umożliwiającego uzyskanie tylko niektórych informacji potrzebnych do 
zaprojektowania urz

ą

dzeń do nagrzewania indukcyjnego i opracowania technologii. Z tego 

wzgl

ę

du, przy rozwiązywaniu zagadnień z jakimi spotykają si

ę

 konstruktorzy i technolodzy 

korzystający z techniki nagrzewania indukcyjnego, niezwykle cenna jest g

ł

ęboka wiedza 

empiryczna, która musi być jednak poparta niezbędnymi wiadomościami teoretycznymi. 
Wynika to z ogromnej różnorodności układów grzejnych, źródeł zasilania, technologii, 
wymagających rozwiązań indywidualnych o nie zawsze dostępnych lub znanych 
pierwowzorach. 

Przedstawione w dalszym ciągu równania Maxwella mają charakter ogólny i nie 

ograniczają się do jakiegoś konkretnego układu. Uzyskanie szczegółowych rezultatów wymaga 
przede wszystkim zdef

i

niowania geometrii uk

ł

adu, warunków granicznych, parametrów 

materiałów i źród

ł

a energii, a następnie przekształcenia równań Maxwella do postaci 

odpowiadającej konkretnemu przypadkowi. Przyjęcie - często daleko idących - założeń 
upraszczających w procedurach obliczania układów rzeczywistych jest raczej regułą ni

ż

 

wyjątkiem. Stąd też ogromna liczba prac teoretycznych poświęconych tej tematyce, 

m.in.

 

[185], [594

].

 

Pole elektromagnetyczne w ośrodku nieruchomym jest jednoznacznie określone 

pięcioma wielkościami wektorowymi: natężeniem pola elektrycznego E, indukcją elektryczną 
D, gęstością prądu J, natężeniem pola magnetycznego H, o

r

az indukcją magnetyczną B, które 

w ogólnym przypadku są funkcjami trzech zmiennych przestrzennych i czasu. Wielkości te 
związane są równaniami Maxwella 

 

τ

rot

∂

∂

+

=

D

J

Η

                                                                                                       (6.1) 

τ

rot

∂

∂

−

=

B

E

                                                                                                            (6.2) 

ρ

div

=

D

                                                                                                                  (6.3) 

 

0

div

=

B

                                                                                                                   (6.4)                      

                                                            

Pierwsze równanie Maxwella (6.1) jest uogólnioną i rozszerzoną na prądy przesunięcia 

postacią różniczkową prawa Biota - Savarta. Jego prawa strona reprezentuje gęstości prądu 
całkowitego, będącego sumą  gęstości prądu przewodzenia i prądu przesunięcia. Drugie 
równanie Maxwella (6.2) to różniczkowa i wektorowa postać prawa indukcji 
elektromagnetycznej Faradaya. Jego sens fizyczny polega na tym, że zmienne w czasie pole 
magnetyczne wytwarza pole elektryczne wirowe. 

Zależności (6.3) i (6.4) wyrażają źródłowość pola elektrycznego i bezźródłowość pola 

magnetycznego, przy czym p jest gęstością ładunku przestrzennego. 

Jeśli możliwe jest przyjęcie jednorodności, izotropowości i liniowości ośrodka, to 

 

          

                                                                                                                     (6.5)  

H

B µ

=

           

E

D ε

=

                                                                                                                      (6.6) 

 

                                                                                                                                                            
15 

 

6. Nagrzewanie indukcyjne 
____________________________________________________________________________ 
 
przy czym właściwości ośrodka charakteryzuje: konduktywność  , przenikalność magne-
tyczna 

γ

µ  oraz przenikalność elektryczna  . Prawo Ohma w zapisie wektorowym ma dla ta-

kiego ośrodka postać 

ε

 
            

J

                                                                                                                       (6.7) 

E

γ

=

 
Powyższych siedem zależności umożliwia wyznaczenie równań pola elektromagnetycznego 
[51]. 

Przy założeniu, że ładunek przestrzenny 

0

ρ

= , parametry pola: 

, 

są 

jednorodne zaś 

const

ε

=

const

γ

=

var

µ

=

, czyli jest niejednorodne 

 

          

2

2

2

H

H

H

H

τ

µε

τ

µγ

µ

µ

grad

grad

∂

∂

+

∂

∂

=













+

∇

                                                             (6.8) 

 
Jeśli założyć, że 

 , 

, 

0

ρ

=

const

γ

=

const

µ

=

, natomiast 

var

ε

=

, można wyznaczyć równania 

określające natężenie pola elektrycznego 
 

         

2

2

2

E

E

E

E

τ

µε

τ

µγ

ε

ε

grad

grad

∂

∂

+

∂

∂

=









+

∇

                                                                 (6.9) 

 
Gdy natężenia pola są sinusoidalnie zmienne w czasie, występuje stan quasi - ustalony i 
wówczas 

          

ωτ

j

ωτ

j

ψ

j

H

e

e

e

ψ

ωτ

sin(

H

m

m

m

H

H

)

H

H

=

=

+

=

∧

                                                     (6.10) 

          

ωτ

j

ωτ

j

ψ

j

E

e

e

e

ψ

ωτ

sin(

E

m

m

m

E

E

)

E

E

=

=

+

=

∧

                                                        (6.11) 

 
zaś zależności (6.8) i (6.9) przyjmują postać 
 

          

m

m

m

2

H

H

H

)

µε

ω

-

ωµγ

(j

µ

µ

grad

grad

2

=













+

∇

                                                     (6.12) 

          

m

m

m

2

E

E

E

)

µε

ω

-

ωµγ

(j

ε

ε

grad

grad

2

=









+

∇

                                                       (6.13) 

 
Jeśli środowisko jest jednorodne (

0

µ

grad

0,

ε

grad

=

=

), to otrzymane związki 

          

m

2

m

m

2

H

Γ

H

H

=

=

)

µε

ω

-

ωµγ

(j

2

∇

                                                                      (6.14) 

 
          

m

2

m

m

2

E

Γ

E

E

=

=

)

µε

ω

-

ωµγ

(j

2

∇

                                                                        (6.15) 

są równaniami Helmholtza zaś 

Γ

 jest tamownością jednostkową.  

 
16 

 
6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego 
___________________________________________________________________________ 

Jeśli środowisko jest przewodzące, a pole wolnozmienne (quasi-stacjonarne) tzn. takie, 

że można pominąć prądy przesunięcia 

to równania (6.12) i (6.13) sprowadzają się 

do związków 

)

ωε

γ

(

>>

m

m

2

H

H

ωµγ

j

=

∇

                                                                                                (6.16) 

m

m

2

E

E

ωµγ

j

=

∇

                                                                                                 (6.17) 

Identyczną postać maj

ą

 r

ó

wnania pola dla wartości skutecznych 

E

oraz 

H

. 

Jeśli w rozważanym układzie występują  środowiska o różnych właściwościach 

materiałowych, to na ich granicy muszą być spełnione następujące warunki: 
— dla składowych normalnych wektora indukcji magnetycznej 

             

                                                                                                               (6.18) 

1n

2n

B

B

=

— dla składowych stycznych wektora natężenie pola elektrycznego 

            

                                                                                                                (6.19) 

1s

2s

E

E

=

— dla składowych stycznych wektora natężenia pola magnetycznego 

             

                                                                                                             (6.20) 

1s

2s

H

H

=

— dla składowych normalnych wektora natężenia pola elektrycznego 

             

                                                                                                       (6.21) 

1n

2n

E

ε

E

ε

1

2

=

Równania Helmholtza uzupełnione warunkami granicznymi stanowią podstawę do wy-
znaczenia natężenia pola magnetycznego i elektrycznego w stanie quasi-ustalonym i w 
konsekwencji także mocy wydzielanej w indukcyjnym układzie grzejnym. 

6.1.2.2. Moc w polu elektromagnetycznym 
 
Bilans mocy pola elektromagnetycznego jest określony twierdzeniem Poyntinga, które wyraża 
się następująco: moc przenikająca przez powierzchnię 

F do obszaru o objętości  V  jest 

zużywana na zmianę energii pola elektromagnetycznego oraz jest wydzielana w postaci ciepła 
w  środowisku przewodzącym. Matematycznym zapisem tego twierdzenia dla ośrodka 
nieruchomego, izotropowego, liniowego i pozbawionego ładunków, jest równanie 
 

           

∫

∫

+

∂

∂

=

dV

E

γ

τ

W

)d

x

(

2

em

F

F

H

E

−

                                                                             (6.22) 

 

                                                                                                                                                    17 

6. Nagrzewanie indukcyjne 
____________________________________________________________________________ 

Iloczyn 
                

                                                                                                               (6.23) 

S

H

E

=

x

t.zn. że wektor Poyntinga jest liczbowo równy energii przechodzącej w jednostce czasu przez 
pole o powierzchni jednostkowej prostopad

ł

ej do kierunku wektora 

S, czyli jest to gęstość 

powierzchniowa mocy pola elektromagnetycznego. 

Jeśli wektory 

E i H  są sinusoidalnie zmienne w czasie, to wektor Poyntinga daje się 

wyrazić w postaci zespolonej jako iloczyn wartości amplitudy zespolonej natężenia pola 
elektrycznego i sprzężonej amplitudy zespolonej natężenia pola magnetycznego 
 

                

)

(

2

1

∗

×

=

m

m

H

E

S

                                                                                                (6.24) 

Część rzeczywista 

)

S

Re(

 wyraża powierzchniową  gęstość mocy czynnej, a część urojona 

)

S

Im(

 - powierzchniową gęstość mocy biernej związaną z obszarem 

V o powierzchni ograni-

czającej 

F. 

             

jQ

P

d

S

F

+

=

=

∫

F

S

                                                                                                 (6.25) 

Moc czynna zamieniana na ciepło 

             

dV

E

γ

2

1

-

dV

E

γ

P

2

m

V

V

2

∫

∫

=

=

                                                                                       (6.26) 

a po uwzględnieniu prawa Ohma 

            

          lub       

                                                                               (6.27)  

E

J

γ

=

m

m

E

J

γ

=

            

∫

∫

∫

=

=

=

V

V

2

2

m

V

dV

p

dV

J

γ

1

dV

J

γ

2

1

P

V

                                                                        (6.28)           

gdzie

 - gęstość objętościowa mocy wydzielanej w ośrodku, np. w nagrzewanym wsadzie - 

jest określona wzorem 

V

p

           

2

V

J

2

1

p

=

                                                                                                                 (6.29) 

i jest poszukiwaną wielkością wchodzącą do równania Fouriera-Kirchhoffa, którego rozwią-
zanie umożliwia znalezienie pola temperatury 
 

 

18 

6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego 
___________________________________________________________________________ 
 
6.1.2.3. Ogólna charakterystyka metod obliczeń i analizy pól 

elektromagnetycznych w indukcyjnych układach grzejnych 

 
Wybór metody obliczeń i analizy (badań) parametrów elektromagnetycznych zależy od 
geometrii i właściwości układu, celu badań (nie zawsze chodzi o rozkład natężeń pól i mocy), 
będących do dyspozycji środków technicznych i obliczeniowych oraz kwalifikacji osoby lub 
zespołu podejmującego zadanie. Jeśli chodzi o cele badań, to można wyodrębnić trzy ich 
kategorie: wstępne obliczenia urządzenia lub procesu technologicznego, pełne obliczenia 
projektowanego lub eksploatowanego urządzenia przy optymalizacji jego parametrów 
eksploatacyjnych, badania urządzeń określonego typu w celu wyjaśnienia przebiegu procesów 
elektromagnetycznych i dopasowania ich do zmienionych warunków eksploatacyjnych (np. 
inny materiał wsadu, inna częstotliwość, zmodyfikowany wzbudnik itp.) [594]. Najbardziej 
efektywną metodą osiągania tych celów jest korzystanie z zaawansowanych komputerowych 
lub zautomatyzowanych systemów projektowania [385],[651], [669]. 

Wyodrębnioną grupę metod obliczeń i analizy stanowią te, które stosuje się w 

systemach sterowania mikroprocesorowego urządzeniami indukcyjnymi. Muszą to być metody 
na tyle proste, by wyniki obliczeń można było otrzymywać w czasie rzeczywistym lub 
wyprzedzającym proces w warunkach ograniczonych mocy obliczeniowych. Klasyfikacja 
najbardziej rozpowszechnionych metod jest przedstawiona na rys. 6.2. 
 

 

Rys. 6.2. Klasyfikacja podstawowych metod obliczeń i analizy indukcyjnych układów grzejnych

                                             

                                                                                                                                          19 

6. Nagrzewanie indukcyjne 
____________________________________________________________________________ 

Charakter i objętość niniejszej książki nie pozwalają na ich szczegółową charakterystykę. 
Niektóre z nich będą stosowane przy omawianiu zasad nagrzewania indukcyjnego, natomiast 
w celu nabycia umiejętności posługiwania się nimi. Czytelnik powinien sięgnąć do literatury 
specjalistycznej. Z nowych książek należy wymienić pozycje [527], [594], [651], a także 
wartościowe starsze pozycje [185], [405], [558], [618], [663], [682], które powinny być 
uzupełnione specjalistycznymi pracami z zakresu matematyki (np. [570]), techniki 
modelowania (np. [116]) oraz elektrodynamiki (np. [578], [700]). 

 
6.1.2.4. Indukcyjne układy grzejne 
 
Indukcyjnym układem grzejnym nazywany będzie model strukturalny członu podstawowego 
rzeczywistego indukcyjnego urządzenia grzejnego wraz z nagrzewanym wsadem (ośrodkiem). 
Modele strukturalne, czyli układy zastępcze o parametrach geometrycznych oraz fizycznych 
zbli

ż

onych do charakteryzujących obiekty rzeczywiste konstruuje się wychodząc z różnych 

przesłanek. Najczęściej wszelkiego rodzaju uproszczenia wynikają z dążenia do ułatwienia czy 
wręcz umożliwienia opisu matematycznego interesujących zjawisk, czyli sformułowania takich 
modeli matematycznych, które pozwoliłyby na uzyskanie informacji poszukiwanych np. przez 
konstruktora lub technologa. W nielicznych istniejących systemach klasyf

i

kacyjnych 

indukcyjnych uk

ł

adów grzejnych występuje zawsze przesłanka 

„

metody obliczeniowej". Otóż 

układy te klasyf

i

kuje się bądź według bardzo ogólnie rozumianych kryteriów konstrukcyjnych 

(konf

i

guracja, rodzaj materiałów, częstotliwość zmian pola elektromagnetycznego), z 

przyporządkowaniem właściwej metody obliczeniowej, bądź według kryteriów metod 
obliczeniowych, z przyporządkowaniem każdej metodzie układów o określonych cechach 
konstrukcyjnych [527

].

 

Jeśli założyć, że indukcyjny układ grzejny tworzą trzy elementy będące modelami: 

— wzbudnika, czyli odpowiednio ukształtowanego przewodnika lub zespołu przewodników, 

stanowiącego źródło pola elektromagnetycznego; 

— poddawanego nagr

z

ewaniu wsadu; 

— ewentualnego wyposażenia, które słu

ż

y polepszeniu sprzężenia magnetycznego wzbudnika 

ze wsadem; 

to większość takich układów daje się sklasyf

i

kować na podstawie czterech grup kryteriów 

konstrukcyjnych. Dotyczą one konf

i

guracji układu, pola elektromagnetycznego, wzbudnika i 

wsadu (rys. 6.3). 

Kryterium klasyf

i

kacji układu prowadzi do wyodrębnienia sześciu podstawowych 

typów uk

ł

adów przedstawionych na rys. 6.4. 

Sprzężenie magnetyczne między wzbudnikiem i wsadem można polepszyć stosując 

różnego rodzaju magnetowody. Są one stosowane zwłaszcza przy małych częstotliwościach i 
trasują drogę strumienia magnetycznego. Boczniki magnetyczne to rdzenie otwarte 
umieszczone w stosunku do wzbudnika i wsadu w sposób zmniejszający strumień 
rozproszenia. Koncentratory służą do kierowania strumienia magnetycznego na określony 
fragment powierzchni wsadu przy jego lokalnym nagrzewaniu. Schematy trzech układów z 
magnetowodami są pokazane na rys. 6.4b, d, f. 

20 

 

 

6. Nagrzewanie indukcyjne 

___________________________________________________________________________________________                          

  

Rys. 6.3. Klasyfikacja podstawowych indukcyjnych układów grzejnych uwzględniająca kryteria konstrukcyjne 

                                                                                                                                                     21                      

6. Nagrzewanie indukcyjne 
_________________________________________________________________________________

 

Rys. 6.4.  Podstawowe konfiguracje indukcyjnych układów grzejnych: a) wsad we wnętrzu wzbudnika; 

b) wsad we wnętrzu wzbudnika z bocznikami magnetycznymi; c) wsad na zewnątrz wzbudnika; 
d) wsad na zewnątrz wzbudnika z rdzeniem zamkniętym; e) wsad poza wzbudnikiem; f) wsad poza 
wzbudnikiem, z rdzeniem ze szczeliną 
 l - wzbudnik, 2 - wsad, 3 - magnetowód 

Kryterium częstotliwości ma oczywisty związek ze wszystkimi elementami składowymi 
układu, a sprawa podziału częstotliwości jest w większym stopniu związana z techniką 
generacji pól aniżeli z metodami obliczeniowymi. 
Ze wzbudnikiem są związane cztery kryteria konstrukcyjne. Pierwsze z nich - kryterium 
względnej grubości  ścianki wzbudnika nawiązuje do zależności strat mocy czynnych we 
wzbudniku od ilorazu grubości  ścianki liczonej od strony wsadu  

 i głębokości wnikania 

prądu we wzbudnik 

δ

 (zjawisko naskórkowości). Iloraz tych wielkości nie powinien być 

mniejszy niż określona wartość graniczna  

(g

  ponieważ powoduje to gwałtowny 

wzrost strat mocy (p. 6.1.3.1). Pozostałe trzy kryteria są związane z przekrojem przewodnika, z 
którego wzbudnik jest wykonywany (przy profilach rurowych stosuje się chłodzenie cieczą), z 
kształtem, dostosowanym do nagrzewanego wsadu lub jego fragmentu oraz z liczbą warstw we 
wzbudniku. 

1

g

1

gr

1

)

δ

1

/

Kryteria odnoszące się do wsadu mają największy wpływ na wybór metody obliczeniowej. 
Dotyczą one jego kształtu, rodzaju oraz właściwości wsadu, z których największe problemy 
sprawia przenikalność magnetyczna, bardzo często zależna zarówno od natężenia pola 
magnetycznego, jak i temperatury. Stąd też modele matematyczne procesów nagrzewania 
ferromagnetyków są złożone, zwłaszcza wówczas, gdy zagadnień tych nie daje się sprowadzić 
do jednowymiarowych i jednorodnych. 

 

22 

 

6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego 
____________________________________________________________________________ 

 

Rys. 6.5. Przykłady indukcyjnych układów grzejnych: a) i b) z polem podłużnym; c) z polem poprzecznym 
                l - wzbudnik, 2 - wsad, 3 – magnetowód 

 

Rozgraniczenie wsadów na dwie kategorie ze względu na tzw. grubość względną wiąże się 
także z głębokością wnikania pola 

 i grubością wsadu 

 liczoną od powierzchni, przez 

którą wnika energia pola elektromagnetycznego. Jeśli wielkości te są porównywalne, moc 
czynna generowana we wsadzie bardzo silnie zależy od ich ilorazu. Gdy głębokość wnikania 
jest znacznie mniejsza od tej grubości, moc wydzielana we wsadzie ma z nią pomijalnie mały 
związek. Usytuowanie powierzchni wsadu względem linii pola magnetycznego rozstrzyga w 
dużym stopniu o postaci warunków granicznych. To kryterium jest często podstawą 
wyodrębnienia nagrzewania w polu podłużnym i w polu poprzecznym. W wielu układach 
modelowych (geometrycznie prostych) pole podłużne charakteryzuje się tym, że wektor 
natężenia pola magnetycznego ma kierunek styczny do powierzchni wsadu i jego osi 
równoległej do osi wzbudnika. Przypadek ten zachodzi np. gdy układ rzeczywisty może być 
zastąpiony modelem strukturalnym o wymiarze liniowym nieskończenie wielkim w kierunku 
linii pola magnetycznego (rys. 6.5a, b). Jeżeli wektor natężenia pola magnetycznego ma 
kierunek prostopadły do powierzchni wsadu i jego osi, to pole magnetyczne, które 
charakteryzuje ten wektor nazywa się polem poprzecznym (rys. 6.5c). Pola w układach, w 
których kierunek linii pola nie jest ani równoległy, ani styczny do powierzchni wsadu są 
znacznie trudniejsze do analizy. 

2

δ

2

g

 
6.1.2.5. Wsady płaskie w podłużnym polu elektromagnetycznym 
 
W niniejszym punkcie zostaną rozpatrzone trzy przypadki, a mianowicie: padanie fali płaskiej 
spolaryzowanej liniowo na półprzestrzeń przewodzącą, jednostronne padanie 
 
                                                                                                                                                    23 

 

6. Nagrzewanie indukcyjne 
____________________________________________________________________________ 
 
takiej fali na płytę przewodzącą i dwustronne padanie na płytę przewodzącą [652]. We 
wszystkich trzech przypadkach chodzi o zagadnienia jednowymiarowe z wsadem jedno-
rodnym. Fala płaska jest falą charakteryzującą się tym, że jej powierzchnia falowa (miejsce 
geometryczne punktów ośrodka, w których - w rozpatrywanej chwili czasu - faza fali ma tę 
samą wartość) jest płaszczyzną. Fala elektromagnetyczna płaska jest falą poprzeczną, czyli 
falą, której wektory 

E  i  H  są prostopadle do kierunku propagacji. Przyjęcie założenia o 

liniowej polaryzacji fali oznacza uznanie wektorów 

E za równoległe w całym obszarze pola. 

To samo dotyczy wektorów 

H. 

Fala płaska spolaryzowana liniowo jest najprostszym przypadkiem fal elektro-

magnetycznych, ale w analizie wielu zagadnień praktycznych założenie to jest dopuszczalne, a 
ponadto ma tę zaletę, że gwarantuje pożądaną prostotę obliczeń. 

Przyjmując, że kierunek przekazywania energii do odbiornika oraz energii traconej we 

wzbudniku jest zgodny z kierunkiem osi 

x prostokątnego prawoskrętnego układu 

współrzędnych (rys. 6.6), oraz, że wektory 

E i H  są sinusoidalnie zmienne w czasie (fala 

harmoniczna) możemy zapisać 
 
                     

my

m

j

E

E

=

                                                                                                       (6.30) 

 
                      

mz

m

k

H

H

=

                                                                                                    (6.31) 

W rzeczywistości wektory 

E nie są równoległe w obszarze między źródłem (wzbudnikiem) i 

odbiornikiem (wsadem), ponieważ oprócz składowej 

 istnieje składowa 

skierowana od 

źródła do odbiornika. Natężenie pola magnetycznego ma tylko jedną składową, a wobec tego 
oprócz mocy przekazywanej z przestrzeni między  źródłem i odbiornikiem do wsadu i 
wzbudnika ma miejsce transport mocy w kierunku 

-y, czyli w kierunku zgodnym z 

przepływem prądu w źródle promieniowania fali. 

y

E

x

E

Wychodząc z równania (6.16) oraz uwzględniając przyjęte założenia, zgodnie z 

którymi 

 

0

z

y

2

2

=

∂

∂

=

∂

∂

m

2

m

2

H

H

                                                                                              (6.32) 

czyli 

                   

2

2

dx

d

x

m

m

2

m

2

H

H

H

=

∂

∂

=

∇

                                                                               (6.33)  

otrzymuje się  

                   

m

m

H

H

ωµγ

j

dx

d

2

2

=

                                                                                            (6.34)       

                                                                               

przy czym 

k

x

H

m

)

(

H

mz

=

. 

24 

6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego 
______________________________________________________________________ 

 

Rys. 6.6.  Padanie fali płaskiej spolaryzowanej liniowo na półprzestrzeń przewodzącą (wsad) 

m

H - amplituda natężenia pola magnetycznego (o stałej wartości w obszarze miedzy wzbudnikiem i 

wsadem); 

m

E

- amplituda natężenia pola elektrycznego (w rzeczywistości jest to amplituda składowej 

stycznej wektora natężenia pola elektrycznego); 

 — wartości amplitud natężenia pola 

magnetycznego, elektrycznego i gęstości prądu na powierzchni wsadu (tzn. dla

2m0

2m0

2m0

J

 ,

E

 ,

H

0

x

=

); 

 - jw. lecz na powierzchni wzbudnika (przy 

); 

 - wysokość 

fragmentu wzbudnika 

 (n - liczba izolowanych od siebie elementów wzbudnika) 

1m0

1m0

E

 ,

H

1m0

J

 ,

2m0

1m0

H

H

=

1

l

n

/

l

l

1

1

=

∆

 

Upraszczając przez pominięcie w oznaczeniach składowych wektorów pola indeksy 

y i 

z

 oraz 

przyjmując, 

ż

e 

 
                             

2

Γ

ωµγ

j

=

                                                                                               (6.35) 

otrzymuje się  

                      

0

Γ

dx

d

2

2

=

−

m

m

H

H

                                                                                        (6.36)   

 

 
                                                                                                                                                   25 
                                                                                                                                                                             
 
 

6. Nagrzewanie indukcyjne 

_______________________________________________________________________________________________________

 

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja 

                

(

)

( )

[

k

H

m

x

Γ

exp

D

x

Γ

exp

C

+

−

=

]

                                                                       (6.37) 

                                                                                                                                                                               
przy czym 

C i D są stałymi wyznaczanymi z warunków brzegowych. Z kolei wykorzystując 

równania Maxwella (6.1) i pomijając prądy przesunięcia (

0

τ

/

τ

/

ε

=

∂

∂

=

∂

∂

D

E

), po 

uwzględnieniu prawa Ohma (6.7), otrzymuje się 
 

                  

M

m

H

E

rot

γ

1

=

                                                                                                   (6.38)  

Zgodnie z def

i

nicją  

                  

k

j

i

H

H

mx

my

mz

mx

my

mz

m

m













∂

∂

−

∂

∂

+

+













∂

∂

−

∂

∂

+













∂

∂

−

∂

∂

=

×

∇

=

y

H

x

H

x

H

z

H

z

H

y

H

rot

                         (6.39) 

 
W rozważanym układzie wektor 

m

H

nie jest funkcją współrzędnych 

y, z, ponadto składowe 

0

H

H

=

=

my

mx

, a więc 

                

j

H

m

m

x

H
∂

rot

∂

−

=

                                                                                               (6.40)  

Podstawiając wyrażenie (6.40) do (6.38) otrzymuje się zale

ż

ność 

 

               

j

E

m

m

x

H

γ

1

∂

∂

=

                                                                                                      (6.41) 

 
Biorąc pod uwagę zależność (6.37) oraz (6.31), otrzymuje się wyrażenie 
 

                

(

)

( )

[

x

Γ

exp

D

x

Γ

exp

C

Γ

x

H

−

−

−

=

∂

∂

m

]

                                                                  

(6.42) 

 

które po podstawieniu do (6.41) przyjmuje postać 
 

               

(

)

( )

[

j

E

m

x

Γ

exp

D

x

Γ

exp

C

γ

Γ

−

−

=

]

                                                                     (6.43) 

 
 lub po uwzględnieniu (6.30) 
 

                

(

)

( )

[

x

Γ

exp

D

x

Γ

exp

C

γ

Γ

E

−

−

=

m

]

                                                                       (6.44)  

Pierwszy składnik wzorów (6.37) i (6.44) odpowiada fali padającej, drugi - odbitej. 
 
26 

6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego 
____________________________________________________________________________ 

 
Padanie fali płaskiej na półprzestrzeń przewodzącą jest przypadkiem, w którym nie 

następuje odbicie fali od powierzchni wsadu przeciwległej do tej, przez która fala wnika. We 
wzorach (6.37) i (6.44) falę odbitą charakteryzuje drugi ich składnik. Wprowadzając 
oznaczenie indeksem 2 wszystkich wielkości związanych ze wsadem

1

, w przypadku 

0

D

=

2

otrzymuje się zależności 

 

 

(

k

H

2

m

2

x

Γ

exp

C

−

=

)

                                                                                      (6.45) 

        

(

j

E

2

2

2

m

2

x

Γ

exp

C

γ

Γ

−

=

)

                                                                                (6.46)  

 
Wyznaczenie stałej całkowania wymaga określenia warunku brzegowego. Zakładając,  że na 
powierzchni wsadu 

(x=0) amplituda natężenia pola magnetycznego jest równa 

0

m

2

0

m

2

m

2

k

H

H

H

0)

x

(

=

=

=

, z (6.45) otrzymuje się 

mo

2

2

H

C

=

. Wobec tego 

 

        

(

)

(

)

k

H

H

2

0

m

2

2

0

m

2

m

2

x

Γ

exp

H

x

Γ

exp

−

=

−

=

                                               (6.47) 

        

(

j

E

2

0

m

2

2

2

m

2

x

Γ

-

exp

H

γ

Γ

=

)

                                                                           (6.48) 

Współczynnik 

2

Γ

 zgodnie z (6.35)  

 

       

(

)

2

2

δ

j

1

2

γ

ωµ

j

1

2

γ

ωµ

2j

ωµγ

j

Γ

+

=

+

=

=

=

2

2

2

2

                                       (6.49) 

 
Zależność ta zawiera jedną z najważniejszych wielkości charakteryzujących nagrzewanie 
indukcyjne, a mianowicie głębokość wnikania pola elektromagnetycznego. Przy wyrażeniu jej 
w metrach 

        

2

2

2

γ

µ

f

1

503,29

γ

ωµ

2

δ

2r

2

=

=

                                                                      (6.50) 

 
gdzie: 

(

-przenikalność magnetyczna względna).  

f

π

2

ω

,

µ

10

π

4

µ

µ

µ

-7

=

⋅

=

=

r

2

r

2

0

2

r

2

µ

Ponieważ 

                      













+

=













+

=

+

4

π

jsin

4

π

cos

2

2

1

j

2

1

2

j

1

                                              (6.51)  

                                                 

1

 W celu ujednolicenia oznaczeń, wielkości związane ze źródłem promieniowania (wzbudnikiem) będą miały 

indeks l, ze wsadem - 2, wielkości zaś związane z obszarem propagacji między źródłem i odbiornikiem (zwykle 
powietrze) - indeksem 3. Indeksy są pomijane w rozważaniach ogólnych oraz w przypadkach, gdy wprowadzane 
wielkości dotyczą więcej niż jednego środowiska. 

                                                                                                                                                         

                                                                                                                                                     27                      

  6. Nagrzewanie indukcyjne 
___________________________________________________________________________ 
 
a dla 

x=0 z (6.10) 

 

    

k

k

0

m

2

ωτ

j

ψ

j

2m0

ωτ

j

e

e

H

e

H

H

=

                                                                              (6.52) 

 

to przyjmując, że 

0

m

2

H

 jest wielkością rzeczywistą, czyli, że jego faza początkowa

ψ

0

=

H

, 

otrzymuje się następujące wyrażenia na wektory pola elektromagnetycznego: 
 

    

k

H

m

2





































−

=

2

2

2m0

δ

x

-

ωτ

j

exp

δ

x

exp

H

                                                       (6.53) 

 

    

j

E

2

m

2

























+













−

=

4

π

δ

x

-

ωτ

j

exp

δ

x

exp

H

δ

γ

2

2

2

2m0

2

                                         (6.54) 

  

Gęstość prądu indukowanego w półprzestrzeni przewodzącej, zgodnie z prawem Ohma 

m

2

2

m

2

E

J

γ

=

 

     

j

J

2

m

2





































−

=

δ

x

-

ωτ

j

exp

δ

x

exp

H

δ

2

2

2m0

2

                                                  (6.55)  

 

Z trzech ostatnich zależności wynika, że natężenie pola elektrycznego i gęstość prądu 
indukowanego wyprzedzają natężenia pola magnetycznego o 

, zaś amplitudy wszystkich 

trzech wektorów maleją wykładniczo w funkcji odległości od powierzchni, przez którą energia 
pola wnika, czyli: 

4

/

π

       

2m

2

2m0

H

δ

x

exp

H

=













−

                                                                                    (6.56)  

         

2m

2

2m0

2

E

δ

x

exp

H

δ

γ

2

=













−

2

                                                                          (6.57) 

 

          

2m

2

2m0

2

J

δ

x

exp

H

γ

2

=













−

                                                                           (6.58) 

 
W odległości 

 od powierzchni wnikania fali do odbiornika (wsadu) amplitudy 

 maleją 

e-razy. Oznacza to, że głębokość wnikania fali harmonicznej można 

zdefiniować jako taką odległość od powierzchni wnikania, w której zarówno amplitudy jak i 
wartości skuteczne natężenia pola magnetycznego, elektrycznego oraz gęstości prądu maleją 
do 0,368 wartości maksymalnej występującej na powierzchni wnikania fali (rys. 6.7). 

2

δ

x

=

2m

2m

2m

J

,

E

,

H

Tłumienie fali jest spowodowane wywołaniem w odbiorniku (wsadzie) prądów wirowych, 
które generują  własne pole magnetyczne, skierowane przeciwnie do 

m

2

H

 i osłabiają pole 

pierwotne. Osłabienie to jest tym większe, im dalej od powierzchni. 
 
28 

6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego 
____________________________________________________________________________ 

 

Rys. 6.7. Rozkład podstawowych wielkości elektromagnetycznych w półprzestrzeni przewodzącej przy padaniu 

na jej .powierzchnię fali płaskiej w odniesieniu do wartości maksymalnych (tzn. dla x = 0); obszar 
zakreskowany oznacza, że identyczną moc grzejną jak w układzie rzeczywistym można uzyskać przy 
przepływie prądu o stałej gęstości 

2

/

H

J

2m

2m

=

w warstwie o grubości

; 

2

δ

2m

H

 i 

- amplitudy natężenia pola magnetycznego i elektrycznego, 

- amplituda gęstości 

prądu, 

  -  gęstość objętościowa mocy czynnej, 

- współrzędna względna (odniesiona do 

głębokości wnikania 

) 

2m

E

2V

p

2m

J

2

δ

x/

2

δ

 

Częstotliwość tych prądów we wsadzie jest oczywiście taka sama jak częstotliwość fali 
wnikającej, inna jest natomiast jej długość. Przy częstotliwości zmian fali 

f = 50 Hz jej długość 

w powietrzu 

6000 km natomiast po wniknięciu do metalu zmniejsza się do wartości 

, co wynika z zależności (6.53). Na przykład dla Cu w temperaturze 20°C, przy 

f = 

50 Hz, 

 6,3 cm. 

=

3

λ

2

πδ

2

λ

=

2

1

λ

≈

Amplitudy 

 dla 

2m

2m

2m

J

,

H

,

E

2

λ

x

=

 są równe 

(

)

(

π

2

-

exp

δ

/

λ

-

2

)

exp

=

2

= 0,00187, czyli 

0,187% wartości maksymalnej. Przy 

2

/

2

λ

x

=

 wartości tych amplitud stanowią tylko 4,3% 

wartości maksymalnych, a więc wsad, którego grubość 

2

/

λ

g

2

=>>

 może być uznany za 

półprzestrzeń przewodzącą, ponieważ bardziej odległe od powierzchni obszary nie mają 
praktycznego wpływu na zjawiska elektromagnetyczne. Mają one jednak bardzo istotny wpływ 
na procesy cieplne. 

Niezbędną do obliczenia rozkładu 

 i 

 wartość natężenia pola 

magnetycznego na powierzchni wsadu 

obliczyć można ze wzoru 

x)

(

E

),

x

(

H

2m

2m

x)

(

J

2m

2m0

H

               

                                                                                           (6.59)                      

1m0

1

1m1

2m0

H

l

/

I

H

=

=

w którym 

 jest amplitudą prądu we wzbudniku o wysokości 

l

  (rys. 6.6).  

1m1

I

1

                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                     29 

 6. Nagrzewanie indukcyjne 
____________________________________________________________________________ 
 
Praktycznie taką samą wartość natężenia pola magnetycznego można uzyskać przy mniejszych 
wartościach prądu aniżeli 

 dzieląc jednolity wzbudnik o wysokości 

l

1m1

I

1

 na n izolowanych od 

siebie elementów (przewodów) o wysokości

n

/

l

∆l

1

1

=

. Prąd w takim elemencie 

, stąd 

1m

1m1

I

n

/

I

=

   

l

1

1m

l

1

1m

1m0

w

I

2

I

w

l

nI

H

=

=

=

                                                                              (6.60) 

 

przy czym: 

 - gęstość zwojów we wzbudniku,  - wartość skuteczna prądu w pojedynczym 

przewodzie o wysokości 

. 

l

w

1

I

1

∆l

Rozkład gęstości objętościowej mocy czynnej we wsadzie oblicza się z zależności (6.29) i 
6.58) pamiętając, że 

2

J

2

J

=

m

2

 

 

       













−

=

=













−

=













−

=

=

2

2

20

2

2

2

0

m

2

2

2

2

0

m

2

2

2

2

2

2

2V

δ

x

2

exp

H

ωµ

δ

x

2

exp

H

2

ωµ

δ

x

2

exp

H

δ

γ

1

J

γ

1

p

                      (6.61)   

             
przy czym 

 jest wartością skuteczną natężenia pola magnetycznego na powierzchni wsadu, 

równą wartości skutecznej natężenia tegoż pola w przestrzeni między wzbudnikiem i wsadem. 

20

H

Całkowita moc czynna wydzielająca się w nieskończenie długim prostopadłościanie o 
podstawie l m x l m zlokalizowanym na powierzchni, przez którą wnika fala do półprzestrzeni 
jest wyrażona wzorem 
 

  

2

20

2

2

2

0

m

2

2

2

0

x

2

0

x

2

0

m

2

2

2

2

V

2

2

H

δ

γ

1

H

δ

γ

2

1

dx

δ

x

2

exp

H

δ

γ

1

dx

p

P

=

=













−

=

=

∫

∫

∞

=

∞

=

                 (6.62)   

              

Moc wydzielająca się w warstwie przypowierzchniowej o grubości 

 równa jest 

0,8647

P

2

δ

x

=

2

, czyli 86,47% mocy całkowitej. W warstwie o grubości 

wydziela się 98,16%

P

2

δ

2

2

, a 

grubości 

 aż 99,75%

P

2

δ

3

2

, czyli praktycznie cała moc [652]. 

Natężenie prądu indukowanego w elemencie półprzestrzeni o wysokości 

l (rys. 6.6) 

  

2

2

20

2

0

x

0

m

2

2

0

m

2

2

m

2

2

1

m

2

l

δ

J

δ

2

J

l

H

l

dx

J

l

I

=

=

=

=

∫

∞

=

                                                 (6.63) 

Oznacza to, że rzeczywisty wykładniczy rozkład prądu we wsadzie może być zastąpiony 
prądem równoważnym o stałej gęstości w warstwie o grubości  . 

2

δ

Impedancję jednostkową przewodnika masywnego (np. wsadu) w postaci półprzestrzeni 
(wyrażoną w Ω) określa się odnosząc ją do jednostkowej długości 

= l m 

y

∆

 
30 

6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego 

_______________________________________________________________________________________________________

 

 
oraz jednostkowej wysokości przewodnika 

1

l

2

= m. Grubość jest przy tym nieskończenie 

wielka (rys. 6.6). Taką samą wartość impedancji jednostkowej ma przylegający do powierzchni 
wnikania fragment półprzestrzeni o wymiarach 

δ

y

∆

l

2

2

×

×

 

, przy założeniu, że dla 

0

2

δ

x

<

≤

 

wartość 

0

m

2

m

2

E

idem

)

x

(

E

=

=

, a co za tym idzie 

).

δ

l

(

:

I

idem

)

x

(

I

2

2

1

m

2

m

2

=

=

  Zgodnie z 

tym, oraz uwzględniając zależność (6.63), otrzymuje się 
 

           

21

21

2

2

2

2

2

2

0

m

2

0

m

2

0

m

2

2

0

m

2

1

m

2

1

m

2

21

jX

R

δ

γ

1

j

δ

γ

1

δ

γ

j

1

H

E

H

l

E

y

∆

I

U

+

=

+

=

+

=

=

=

=

Z

                        (6.64) 

przy czym: 

U

 - napięcie na elemencie półprzestrzeni (wsadu) o długości 

m wyra-

żone w V, 

 - prąd przepływający przez wycinek półprzestrzeni o przekroju 

l

. 

1

m

2

1

m

2

1

y

∆

=

2

2

δ

δ

I

Oznacza to, że warstwa przypowierzchniowa półprzestrzeni o grubości 

ma taką 

samą rezystancję dla prądu stałego, jaką cała półprzestrzeń przedstawia dla prądu przemien-
nego. 

2

Gęstość powierzchniowa mocy pozornej (moc przepływająca przez powierzchnię od-

daloną od brzegu o x) określa wektor Poyntinga (6.24) 

 

(

)

i

H

E

S













−

+

=

×

=

∗

2

2

0

m

2

2

2

m

2

m

2

2

δ

x

2

exp

H

δ

γ

2

j

1

2

1

                                                       (6.65) 

 

Gęstość powierzchniowa mocy pozornej (w V • A/m

2

) wnikającej do wsadu przez powierzch-

nię 

x = O 

20

20

2

0

m

2

2

2

20

jq

p

H

δ

γ

2

j

1

S

+

=

+

=

                                                                                (6.66) 

przy czym 

                  

2

0

m

2

2

2

20

20

H

δ

γ

2

1

)

S

Re(

p

=

=

                                                                               (6.67) 

 

                  

2

0

m

2

2

2

20

20

H

δ

γ

2

1

)

S

Im(

q

=

=

                                                                               (6.68) 

Uwzględniając w (6.67) związek (6.60) dla jednostkowej powierzchniowej mocy czynnej, wy-
rażonej w W/m, otrzymuje się 

         

2

l

1

2

2

20

)

w

I

(

δ

γ

2

1

p

=

                                                  

(6.69)

  

 
                                                                                

31 

 
 

6. Nagrzewanie indukcyjne 
____________________________________________________________________________ 
 
Po przekształceniu 

f

K

)

w

I

(

10

2

γ

/

f

µ

)

w

I

(

10

2

γ

/

f

µ

1

.

0

)

w

I

(

10

π

2

p

p

2

l

1

3

2

r

2

2

l

1

3

2

r

2

2

l

1

3

20

−

−

−

⋅

=

=

⋅

≈

⋅

=

                           (6.70) 

elektromagnetycznego przy czym 

2

r

2

p

2

γ

/

µ

K

=

 - współczynnik pochłaniania energii pola.  

Wyrażenie na gęstość powierzchniową mocy biernej jest analogiczne. Współczynnik mocy dla 
odbiornika jakim jest półprzestrzeń przewodząca ma postać 

707

.

0

2

1

q

p

P

Q

P

P

φ

cos

2

20

2

20

20

2

2

2

2

2

2

=

=

+

=

+

=

                                                      (6.71)                       

co oznacza, że nie zależy on od parametrów elektromagnetycznych półprzestrzeni 

 oraz  , 

a także od częstotliwości fali elektromagnetycznej. 

2

µ

2

γ

Jednostronne padanie fali płaskiej na płytę przewodzącą jest przypadkiem, w 

którym modelem strukturalnym układu rzeczywistego nie może być półprzestrzeń, ponieważ 
głębokość wnikania fali jest porównywalna z grubością układu rzeczywistego. Sprawia to, że 
zjawisko pochłaniania fali komplikuje się wskutek odbicia fali od powierzchni przeciwległej 
do tej, przez którą fala wnika. 

Zakładając,  że za płytą o grubości 

, czyli dla 

 znajduje się powietrze o 

parametrach 

, zgodnie z zależnościami (6.37), (6.43), rozwiązania 

równań pola elektromagnetycznego mają postać: 

2

g

2

g

x

>

0

3

3

0

2

ε

ε

,

0

γ

,

µ

µ

=

=

=

— w płycie (obszar 2 dla 

0

2

g

x

≤

≤

) 

          

(

)

(

)

[

k

H

x

Γ

exp

D

x

Γ

exp

C

2

2

2

2

m

2

+

]

−

=

                                                                    (6.72)  

          

(

)

(

)

[

j

E

x

Γ

exp

D

x

Γ

exp

C

γ

Γ

2

2

2

2

2

2

m

2

−

−

=

]

                                                               (6.73)                      

— w powietrzu (obszar 3 dla 

) 

2

g

x

>

           

(

)

k

H

x

α

exp

C

3

3

m

3

−

=

                                                                                              (6.74) 

            

(

)

[

j

E

x

α

exp

C

ε

µ

3

3

0

0

m

3

−

=

]

                                                                                     (6.75)  

przy czym 

0

0

3

ε

µ

ω

j

=

α

. 

Zależności (6.74), (6.75) otrzymuje się z rozwiązania równań pola (6.12), (6.13) dla 

dielektryka idealnego (

) przy założeniu, że 

0

γ

3

=

m

3

H

 i 

m

3

E

 powinny mieć wartość 

32 
 

6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego 

_______________________________________________________________________________________________________

 

skończoną przy

∞

→

x

).

0

D

(

3

=

 Stałe 

2

2

3

D

,

C

,

C

wyznacza się z warunków brzegowych, w 

myśl których 

0

m

2

H

0

x

=

m

2

H

=

dla 

oraz 

m

3

m

2

i 

m

3

m

2

dla 

2

 [652]. 

H

H

=

E

E

=

g

x

=

Uwzględniając fakt, że w obszarze 2 ma miejsce nakładanie się fali padającej i odbitej, 

wynikowe wektory natężenia pola magnetycznego, elektrycznego i gęstości prądu są określone 
wzorami 

 

(

)

[

]

k

k

H

m

2

2

2

2

2

0

m

2

m

2

H

)

g

Γ

sinh(

x

g

Γ

sinh

H

=

−

=

                                                                  (6.76) 

 

(

)

[

]

j

j

E

m

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

m

2

E

)

g

Γ

sinh(

x

g

Γ

cosh

δ

γ

j

1

H

=

−

+

=

                                                      (6.77) 

 

j

E

J

m

2

m

2

2

m

2

J

γ

=

=

                                                                                                 (6.78) 

 

przy czym 

δ

 jest głębokością wnikania w płytę o konduktywności  . 

2

2

γ

Moduły tych wektorów 
 

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

m

2

δ

/

g

2

cos

)

δ

/

g

2

cosh(

]

δ

/

)

x

g

(

2

cos[

]

δ

/

)

x

g

(

2

cosh[

H

H

−

−

−

−

=

                                     (6.79)                       

 

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

m

2

δ

/

g

2

cos

)

δ

/

g

2

cosh(

]

δ

/

)

x

g

(

2

cos[

]

δ

/

)

x

g

(

2

cosh[

δ

γ

H

2

E

−

−

+

−

=

                                 (6.80) 

 

m

2

2

m

2

E

γ

J

=

                                                                                                               (6.81) 

 
Otrzymane rezultaty pokazano na rys. 6.8. Natężenie pola magnetycznego 

, ponieważ jego składowa pierwotna jest w przeciwfazie do składowej odbitej. 

Rzecz ma się inaczej w przypadku natężenia pola elektrycznego, którego składowa pierwotna i 
wtórna są w fazie i dlatego dla 

0

0

)

g

(

H

2

m

2

=

g

x

≤

≤

 jego amplituda jest większa aniżeli w przypadku 

wnikania fali do półprzestrzeni, czyli w warunkach nie występowania odbicia. 

Z przedstawionych na rys. 6.8 krzywych wynika, że dla płyt o 

 oddziaływanie 

pola z płytą i półprzestrzenią pod względem elektromagnetycznym jest praktycznie takie same. 
Do obliczeń mogą być w takich przypadkach stosowane wzory obowiązujące dla 
półprzestrzeni. 

3

δ

/

g

2

2

≥

Znajomość rozkładu gęstości prądów (6.81) umożliwia zgodnie z (6.29) obliczenie 

rozkładu gęstości objętościowej mocy czynnej we wsadzie (rys. 6.8) 

 

)

δ

/

g

2

cos(

)

δ

/

g

2

cosh(

]

δ

/

)

x

g

cos[

]

δ

/

x

g

(

2

cosh[

H

δ

γ

1

J

γ

2

1

p

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

2

2

2

2

m

2

2

V

2

−

−

+

−

=

=

                            (6.82) 

 
 
                                                                                                                                            33 

6. Nagrzewanie indukcyjne 
_________________________________________________________________________ 

 

Rys. 6.8. Rozkład podstawowych wielkości elektromagnetycznych w płycie przewodzącej przy jednostronnym 

padaniu na jej powierzchnię fali płaskiej w odniesieniu do wartości maksymalnych (tzn. x = 0) dla kilku 
grubości względnych płyty g

2

/δ

2 

H

2m

, E

2m

 - amplituda natężenia pola magnetycznego i elektrycznego w płycie o grubości g

2

;

  

J

2m 

- amplituda gęstości prądu w płycie;  p

2V

  -  gęstość objętościowa mocy czynnej; x/g

2 

- współrzędna 

względna 
 

Całkowita moc czynna wydzielana w elemencie objętościowym płyty o powierzchni l 

m

2

 i o grubości 

g

2 

(

l m, 

 l m) 

2

=

y

∆

=

l

r

2

2

2

0

m

2

g

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

V

2

2

F

δ

γ

2

H

)

δ

/

g

2

cos(

)

δ

/

g

2

cosh(

)

δ

/

g

2

sin(

)

δ

/

g

2

sinh(

δ

γ

2

H

dx

p

P

2

=

−

+

=

=

∫

                       (6.83)       

 
 
 
 
 
34 

6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego 
___________________________________________________________________________ 
 
Impedancja l m

2

 płyty o grubości 

g

2 

 

                      

21

21

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

0

m

2

21

jX

R

)

g

k

(

ctgh

δ

γ

j

1

)

g

k

sinh(

)

g

k

cosh(

δ

γ

j

1

H

E

Z

+

=

+

=

+

=

=

                                       

(6.84)

 

 
przy czym 

0

m

2

E

- wartość natężenia pola elektrycznego na powierzchni płyty określona ze 

wzoru (6.77) dla 

x = 0. 

Reaktancję i rezystancję jednostkową  płyty (l m

2

) określa się z równania (6.84) 

wyodrębniając z niego część rzeczywistą i urojoną 

 

r

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

21

F

δ

γ

1

)

δ

/

g

2

cos(

)

δ

/

g

2

cosh(

)

δ

/

g

2

sin(

)

δ

/

g

2

sinh(

δ

γ

1

R

=

−

+

=

                                           (6.85)  

 

x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

21

F

δ

γ

1

)

δ

/

g

2

cos(

)

δ

/

g

2

cosh(

)

δ

/

g

2

sin(

)

δ

/

g

2

sinh(

δ

γ

1

X

=

−

−

=

                                          (6.86) 

 

przy czym 

F

r

 i F

x

   są współczynnikami kształtu wsadu. 

Współczynnik mocy 
 

2

r

x

2

21

2

21

21

2

)

F

/

F

(

1

1

X

R

R

φ

cos

+

=

+

=

                                                                (6.87) 

 

Zależność współczynników kształtu oraz 

cos od względnej grubości płyty (odniesionej do 

głębokości wnikania) przedstawia rys. 6.9. 

φ

Aby obliczyć gęstość powierzchniową mocy wnikającej do płyty, należy posłużyć się 

zespolonym wektorem Poyntinga (6.24) 

 

i

H

E

S







−

−

−

−

+

+







−

−

−

−

=

×

=

∗

)

δ

/

g

2

cos(

)

δ

/

g

2

cosh(

]

δ

/

)

x

g

(

2

sin[

]

δ

/

)

x

g

(

2

sinh[

j

)

δ

/

g

2

cos(

)

δ

/

g

2

cosh(

]

δ

/

)

x

g

(

2

sin[

]

δ

/

)

x

g

(

2

sinh[

δ

γ

2

H

)

(

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

m

2

m

2

2

    (6.88)                         

Dla 

x=0 

          

20

20

x

r

2

2

2

0

m

2

20

jq

p

)

jF

F

(

δ

γ

2

H

S

+

=

+

=

                                                                       (6.89)  

  a po uwzględnieniu (6.60) oraz związków: 

r

2

0

2

µ

µ

µ

=

, 

f

π

2

ω

=

 

 
              

r

2

r

2

0

2

l

1

20

F

γ

/

µ

µ

f

π

)

w

I

(

p

=

                                                                             (6.90) 

 
              

x

2

r

2

0

2

l

1

20

F

γ

/

µ

µ

f

π

)

w

I

(

=

q

                                                                              (6.91) 

                                                                 
                                                                                                                                                 35 

6. Nagrzewanie indukcyjne 

_________________________________________________________________

 

 

Rys. 6.9. Zależność współczynników kształtu F

r

, i F

x

, oraz współczynnika mocy cosϕ od grubości, względnej 

płyty przewodzącej o grubości g

2

; (odniesionej do głębokości wnikania δ

2

) przy jednostronnym padaniu 

na jej powierzchnię fali płaskiej 

 

Dwustronne padanie fal płaskich na płytę przewodzącą o grubości 

g

2 

(rys. 6.10) może być 

modelem układu grzejnego nagrzewnicy dwustronnej wsadów płaskich o grubości 

g

2

<<s

2

, 

przy czym 

s

2

 jest szerokością płyty. Zakładając, że tak jak w dwóch poprzednich przypadkach 

występuje fala płaska harmoniczna o parametrach płyty przewodzącej identycznych z 
przyjętymi przy formułowaniu równań ogólnych, warunki brzegowe możemy zapisać 
następująco:

0

m

2

2

m

2

2

m

2

H

)

2

/

g

(

H

)

2

/

g

(

H

=

−

=

. Po ich uwzględnieniu w rozwiązaniach 

ogólnych (6.37), (6.43), otrzymuje się wektory i ich moduły w następującej postaci [652]: 
 
 

k

H

H

)

2

/

g

Γ

cosh(

)

x

Γ

cosh(

2

2

2

0

m

2

m

2

=

                                                                                           (6.92) 

 

j

H

)

2

/

g

Γ

cosh(

)

x

Γ

sinh(

γ

Γ

E

2

2

2

0

m

2

2

2

m

2

=

                                                                                      (6.93) 

 

m

2

2

m

2

γ

E

J

=

                                                                                                                        (6.94) 

 

36 

6.1. Zasady nagrzewania indukcyjnego 
 

 

 

 

 

)

δ

/

g

cos(

)

δ

/

g

cosh(

)

δ

/

x

2

cos(

)

δ

/

x

2

cosh(

H

H

2

2

2

2

2

2

0

m

2

m

2

+

+

=

                                                         (6.95) 

 

 

)

δ

/

g

cos(

)

δ

/

g

cosh(

)

δ

/

x

2

cos(

)

δ

/

x

2

cosh(

δ

γ

H

2

E

2

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

m

2

+

−

=

                                                   (6.96) 

 
 

                                                                                                           (6.97) 

m

2

2

m

2

E

γ

J

=

 
Zależności powyższe są pokazane na rys. 6.11. Przy 

    

4

δ

/

g

2

2

>

 
 

                                                                                     (6.98) 

)

δ

/

x

exp(

H

H

2

0

m

2

m

2

′

−

=

 
przy czym   jest odległością od powierzchni płyty. 

x′

Dla 

 można przyjąć 

1

δ

/

g

2

2

<

0

m

2

m

2

H

H

≈

. 

 

Gęstość objętościową mocy czynnej oblicza się, wykorzystując (6.97) w zależności 

(6.29) 
 

 

)

δ

/

g

cos(

)

δ

/

g

cosh(

)

δ

/

x

2

cos(

)

δ

/

x

2

cosh(

δ

γ

2

H

p

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

V

2

+

−

=

                                                                                        

(6.99) 

 
                                                                                                                                              37 
 
 
 

6. Nagrzewanie indukcyjne 
_________________________________________________________________________ 

Moc czynna wydzielona w elemencie objętościowym płyty o powierzchni 1 m

2

 i o grubości 

0.5g

2

 

Rys. 6.11. Rozkład podstawowych wiel-
kości elektromagnetycznych w płycie
przewodzącej o grubości  g

2

 przy dwu-

stronnym padaniu na jej powierzchnię
fal płaskich w odniesieniu do wartości
maksymalnych (tzn. dla x=0.5g

2

 oraz  

x=-0.5g

2

) dla kilku grubości względnych

płyty g

2 

/δ

2 

         

r

2

2

2

0

m

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

/

g

0

2

2

2

0

m

2

V

2

2

F

δ

γ

2

H

)

δ

/

g

cos(

)

δ

/

g

cosh(

)

δ

/

g

sin(

)

δ

/

g

sinh(

δ

γ

2

H

dx

p

P

2

=

+

−

=

=

∫

                     (6.100) 

 

Gęstość powierzchniowa mocy pozornej wnikającej do płyty 
 
 
38 

6. Zasady nagrzewania indukcyjnego 
___________________________________________________________________________ 
 

20

20

x

r

2

2

2

0

m

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

20

jq

p

)

jF

F

(

δ

γ

2

H

)

δ

/

g

cos(

)

δ

/

g

cosh(

)

δ

/

g

sin(

)

δ

/

g

sinh(

j

)

δ

/

g

cos(

)

δ

/

g

cosh(

)

δ

/

g

sin(

)

δ

/

g

sinh(

δ

γ

2

H

S

+

=

+

=

=













+

+

+

+

−

=

(6.101)                      

Wielkości 

 i 

 są określone tymi samymi wyrażeniami jak w przypadku poprzednim, tzn. 

(6.90) i (6.91) zaś współczynnik mocy wyrażeniem (6.87). Oczywiście wartości 

F

20

p

20

q

r

,  i  F

x

, są 

inne, takie jak we wzorze (6.101). 

 

Rys. 6.12. Zależność współczynników kształtu F

r

, i F

x

, oraz współczynnika mocy 

 od grubości względnej 

płyty przewodzącej o grubości 

 (odniesionej do głębokości wnikania

 

) przy dwustronnym 

padaniu na jej powierzchnię fal płaskich

 

2

φ

cos

δ

2

g

2

 

Współczynniki kształtu 

F

r

, i 

F

x

, oraz 

 

 dla płyty nieskończenie rozciągłej w kierunkach 

y, z dla rozważanego przypadku pokazano na rys. 6.12. 

2

φ

cos

 
6.1.2.6. Wsady cylindryczne w podłużnym polu elektromagnetycznym 
 
W niniejszym punkcie przedstawione zostaną dwa zagadnienia, a mianowicie: padanie fali 
cylindrycznej na powierzchnię boczną wsadu cylindrycznego pełnego (problem odpowiadający 
padaniu fali płaskiej na półprzestrzeń) oraz padanie tegoż rodzaju fali na powierzchnię boczną 
zewnętrzną wsadu rurowego (odpowiednik padania fali płaskiej na 

 
           
                                                                                                                                      39                        

                                                                                                          

6. Nagrzewanie indukcyjne 
___________________________________________________________________ 
 
płytę). W obu przypadkach chodzi o zagadnienia jednowymiarowe (wsady jednorodne 
nieskończenie rozciągłe wzdłuż osi z), charakteryzujące się stałością  

 oraz  . 

2

µ

2

γ

W celu otrzymania rezultatów szczegółowych rozwiązuje się w pierwszym przypadku 

przekształcone równania Maxwella dla środowiska przewodzącego, a w drugim dodatkowo dla 
dielektryka. W obu przypadkach korzystamy ze współrzędnych walcowych [527]. 

Padanie fali cylindrycznej na powierzchnię boczną wsadu cylindrycznego pełnego 

prowadzi do następujących rezultatów: 

     

k

H

)

r

Γ

(

I

)

r

Γ

(

I

H

2

0

2

0

0

m

2

m

2

=

                                                                                             (6.102)  

     

Θ

2

2

0

2

0

2

2

0

m

2

m

2

)

r

Γ

(

I

)

r

Γ

(

I

γ

Γ

H

1

E

−

=

                                                                                   (6.103)  

m

2

2

m

2

γ

E

J

=

                                                                                                              (6.104)  

przy czym: , - zmodyfikowane funkcje Bessela pierwszego rodzaju zerowego i pierwszego 
rzędu, 

0

I

1

I

2

2

δ

/

)

j

Γ

1

+

(

=

. 

Odpowiednio ich moduły 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

m

2

C

bei

C

ber

r

r

C

bei

r

r

C

ber

H

C

bei

C

ber

C

bei

C

ber

H

H

+













+













=

+

+

=

                           (6.105) 

  

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

m

2

2

2

m

2

C

i

be

C

r

be

r

r

C

i

be

r

r

C

r

be

H

δ

γ

2

C

i

be

C

r

be

C

i

be

C

r

be

H

δ

γ

2

E

′

+

′













′

+













′

=

′

+

′

′

+

′

=

       (6.106)  

  

m

2

2

m

2

E

γ

J

=

                                                                                                                   (6.107) 

przy czym: 

2

2

2

2

l

m

1

0

m

2

δ

/

2

r

C

,

δ

/

2

r

C

,

w

I

H

=

=

=

. Takie przekształcenie ułatwia 

sporządzenie wykresów względnych wartości modułów natężeń pola magnetycznego i elek-
trycznego w funkcji 

r/r

2

 dla różnych wartości 

C

2

 (rys.6.13)

2

 

Funkcje 

ber, bei, ber', bei' dla C << 10 wyraża się w postaci szeregów zaś dla  

10 < 

C < 125 w postaci funkcji trygonometrycznych [185], [570]. Często są one podawane w 

formie tablic dla argumentów mających znaczenie praktyczne [558], [652]. Dla 

C>6, suma 

C

π

2

/

)]

2

C

[exp(

C

i

be

C

r

be

C

bei

C

ber

2

2

2

2

=

′

+

′

≈

+

0

r

, dlatego przy 

(wtedy 

C > 6), 

wzory (6.99), (6.105) upraszczają się (

2

2

δ

2

.

4

r

>

≠

).

 

 
 
40 
                                                 

2

  

Przy korzystaniu do tego celu z MathCada należy stosować zapis: 

)

x

,

0

(

bei

beix

);

x

,

0

(

ber

berx

));

x

,

0

(

bei

(

dx

/

d

lub

)

x

,

1

(

bei

beix

));

x

,

0

(

ber

(

dx

/

d

x

r

be

lub

)

x

,

1

(

ber

x

r

be

≡

≡

≡

≡

′

≡

′